高等数学基础模拟题答案

高等数学基础模拟题

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（ D ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点

2.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． (A) x 1 (B) x

x sin (C) 1e -x

(D) 2x

x

3.设x

x f e )(=，则=∆-∆+→∆x

f x f x )1()1(lim 0（ B ）．

(A) e 2 (B) e

(C) e 41 (D) e 21

4.=⎰x x xf x

d )(d d 2（ A ）． (A) )(2

x xf (B) x x f d )(2

1

(C) )(2

1x f (D) x x xf d )(2

5.下列无穷限积分收敛的是（ B ）． (A) ⎰

+∞

d e x x (B)

⎰

+∞

-0

d e x x

(C)

⎰

+∞1d 1

x x

(D) ⎰

+∞

1

d 1x x

二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数)

1ln(92

--=x x y 的定义域是 (1,2)U(2,3］ ．

2.函数⎩

⎨⎧≤>-=0sin 0

1x x x x y 的间断点是 X=0 ．

3.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ．

4.函数1)1(2

++=x y 的单调减少区间是 （－∞，－1） ．

5.='⎰

x x d )(sin sinx + c ． 三、计算题（每小题9分，共54分）

1.计算极限x x

x 5sin 6sin lim

0→．

2.设22sin x x y x

+=，求y '．

3.设x

y e sin 2=，求．

4.设

是由方程y

x y e cos =确定的函数，求

．

5.计算不定积分⎰

x x x d 3cos ． 6.计算定积分

⎰

+e

1

d ln 2x x

x

． 四、应用题（本题12分）

圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

五、证明题（本题4分）

当0>x 时，证明不等式x x arctan >．

高等数学基础 模拟题答案

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.D 2.C 3.B 4.A 5. B

二、填空题（每小题3分，本题共15分） 1. ]3,2()2,1( 2. 0=x 3.

2

1

4. )1,(--∞

5. c x +sin 三、计算题（每小题6分，共54分）

1. 解：56

55sin lim 66sin lim

5

655sin 66sin 56lim 5sin 6sin lim

0000=⋅=⋅=→→→→x

x x x

x x x x x x x x x x 2. 解：由导数四则运算法则得

3. 解：)e 2sin(e e cos e sin e 2x

x

x

x

x

y ==' 4. 解：等式两端求微分得

左端y x x y x y d cos )(cos d )cos (d +== 右端y y

y

d e )e (d == 由此得 整理后得

5. 解：由分部积分法得

6. 解：由换元积分法得 四、应用题（本题12分）

解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足

2

2

2

l r h =+ 圆柱体的体积公式为 将2

2

2

h l r -=代入得 求导得 令0='V 得l h 33=，并由此解出l r 36=．即当底半径l r 36=

3

体的体积最大．

五、证明题（本题4分）

证明：设x x x F arctan )(-=，则有2

2

21111)(x

x x x F +=+-=' 当0>x 时，0)(>'x F ，故)(x F 单调增加，所以当0>x 时有0)0()(=>F x F ，即

不等式x x arctan >成立，证毕．

高等数学基础练习题

一、单项选择题：（每小题3分，共15分）

1．设函数f (x )的定义域为),(+∞-∞，则函数f (x ))(x f --的图形关于（ ）对称。 （A ）x y = （B ）x 轴 （C ）x 轴 （D ）坐标原点 2．．当x →0时，下列变量中是无穷小量的是（ ）。

（A ）

x 1 （B ）x

x sin （C ）1-x

e （D ）2x

x

3．设x

e x

f =)(，则=∆-∆+→x

f x f x )1()1(lim 0（ ）。

（A ）e 2 （B ）e （C ）e 41 （D ）e 2

1

4．⎰=dx x xf dx

d )(2（ ）。 （A ）)(2

x xf （B ）2

1dx x f )(

（C ）)(2

1x f （D ）dx x xf )(2

5．下列无穷积分收敛的是（ ）。 （A ）⎰

∞+0dx e x

（B ）⎰

∞+-0

dx e x

（C ）

⎰

∞

+1

1

dx x （D ）⎰∞+11dx x

二、填空题：（每空3分，共15分）

1．函数y ＝)

1ln(92--x x

的定义域是______________。

2．函数⎩⎨⎧≤>-=0

sin 0

1x x x x y 的间断点是______________。

3．曲线1)(+=x x f 在点)2,1(处的切线斜率是______________。

4．函数1)1(2

++=x y 的单调减少区间是______________。

5．⎰

='dx x )(sin ______________。 三、计算题：（每小题9分，共54分）