2011年北约自主招生物理试题与答案

2011年综合型大学自主招生选拔联合考试（北约）物理试题解析

第一题 （14分)

平直铁轨上停着一节质量2M m =的小车厢，可以忽略车厢与水平铁轨之间的摩擦。有N 名组员沿着铁轨方向列队前行，另有1名组长在最后，每名组员的质量同为m 。 ⑴ 当组员和组长发现前面车厢时，都以相同速度0v 跑步，每各组员在接近车厢时又以02v 速度跑着上车坐下，组长却因跑步速度没有改为而恰好未追上车，试求N 。

⑵ 组员们上车后，组长前进速度减为02

v

，车上的组员朝着车厢前行方向一个接一个

水平跳下，组员离开车瞬间相对车厢速度大小同为u ，结果又可使组长也能追上车。试问，跳车过程中组员们总共至少消耗掉人体中的多少内能？ [解析]

⑴ 设组员全部上车后，车的速度为v

由动量守恒：

()02Nmv M Nm v =+（2）

00222Nm N

v v v M Nm N ⇒==++（0.5）

队长恰好未能追上车，必有 0v v =（1）

即得2N =（0.5） ………写出2N =并写出动量守恒给全分，只写出2N =未写出理由不得分

⑵ 设第一名组员离开后车速度1v ，第二名组员离开后车速度2v 由动量守恒：

()()()0112M m v M m v v u +=+++m （1） …如果把()1v u +m 写为()0v u +m 方程给0.5分，结果不给分

0110444

u

v v u v v ⇒=+⇒=-（1） …如果设人的速度求解，只要结果等效给全分 ()()122M m v Mv m v u +=++（1）

….如果把两人当作同时跳离，不得分

1221333

u

v v u v v ⇒=+⇒=-

（1） 可使组长也能追上车，要求

2002100111172233412u v v v v v v u v u ⎛⎫

<⇒>=-=-+=- ⎪⎝⎭（1）…把临界条件写为等号或者小于

等于扣0.5分

06

7

u v ⇒>（1）

为了计算临界情况，取201

2

v v =，067u v =，得

10011414u v u v =-=，1023

14v u v +=（0.5）

210132u v v v =-=，2019

14v u v +=（0.5）

()()()2222

2120

1112222E Mv m v u v u M m v ⎡⎤=++++-+⎣

⎦内 （2） ….前面是否正确，只要能量守恒方程与前面自洽，即给两分 2

5198

mv = （1） …只要此结果正确，有能量方程，没有中间结果也给全分

第二题( 12分)

两质量为m 的小球，放在劲度系数为k ，原长为L 的弹簧两端，自由静止释放。设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上并已知小球密度为ρ。 ①问在两球间万有引力作用下，弹簧最大压缩量。

②若体系整体绕中心ω角度旋转，要求弹簧保持原长，ω应为多大？ [解析] ①共7分。 设小球半径为r 3

43

r V m πρ= （2） 设平衡位置相对原长移动l ∆ 则由0F ∑=：

()2202Gm l k l r l ∆⋅-=+-∆（2） k l ∆写对1分，()2

2

2Gm l r l +-∆写对1分。 由于l

l ∆万有引力很弱。 ∴2

2Gm l l k

∆≈ （2）

压缩到最大程度共缩2l ∆。

2

222Gm l l k

∆=（1）

使用能量守恒方程，正确写出方程给5分，解对结果给2分。 ②共5分

由F ma ∑=；弹簧弹力为0

222()2(2)L Gm m r L r ω⋅+=+ （4）只写向心加速度2分，写对万有引力2分

解得：3

4(2)Gm

L r ω=

+（1）

若把r 直接当作0，结果正确得1分

第三题（ 16分）

设一天的时间为T ，地面上的重力加速度为g ，地球半径为0R ⑴ 试求地球同步卫星P 的轨道半径p R

⑵ 赤道城市A 的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P 。

（2.1）设P 的运动方向突然偏北转过45︒，试分析地判定而当地居民一天解有多少次机会可看到P 掠过城市上空。

（2.2）取消（2.1）问中偏转，设P 从原来的运动方向突然偏西北转过105︒，再分析地判定而经当地居民一天能有多少次机会可看到P 掠过城市上空。 （3）另一个赤道城市B 的居民，平均每三天有四次机会，可看到某卫星自东向西掠过该城市上空，试求Q 的轨道半径

Q R 。

解析：⑴由牛顿第二定律

22

p p

GMm

m R R ω= （3）

由定义

2

0GM gR =，2π

T

ω=

（2） 解得

P R =（2）

（2.1）取地心不动的惯性参照系。卫星运动方向偏北转过45︒，P 点就的大圆轨道绕圆心运动，A 城P 边赤道沿大圆，绕地心运动，经过半天，各转过半个大圆近日方向相遇。再经过半天，各自又转过半个大圆，近日方向相遇。故当地居民一天能有两次机会可看到P 掠过城市上空。 （2） （2.2）分析同（2.1），只是每经过半天，各转过半个大圆，经过半天相遇，结论仍为当地居民一天能有两次机会看到P 略过城市上空。 （2） （3）由题意得

B 城Q 星：34天3414B Q ⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩转过大圆转过大圆

64天6434B Q ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩转过大圆转过大圆 94天9434

B Q ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩转过大圆转过大圆

12124444B Q ⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩转过大圆天转过大圆 故Q 的角速度Q ω为B （地球）的（自转）角速度B ω的三分之一，即有

()333

B

Q Q B T T T ωω=

⇒==周期 （2）….若得到3

4Q B T T =给1分

同第（1）问，得：

2e GM gR =，2π

Q Q

T ω=

22

Q Q Q

GMm

m R R ω=

（1）

解得：1223

2

94πe Q gR T R ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（2）

第四题 14分

设无重力空间有匀强电场E 。现两质量为m 的小球，A 带电0q >，B 不带电。0t =时，两球静止，且相距l ，AB 方向与E 方向相同。0t =时刻，A 开始受电场力而向B 运动。A 与B 相遇时发生第一次间弹性正碰（关于弹性正碰的性质参见题五），A 、B 无电量转移，求第8次正碰到第9次正碰之间需要的时间。 [解析] 画出两球的v-t 图，发现每两次碰撞之间需要时间相同

A 球加速度 Eq

a m

=

第一次碰撞前相对速度0v ==两次碰撞过程中相对速度从0v -变化到0v

所以两次碰撞之间需要时间02v t a =

正确解出第一次碰撞后的两球的运动速度，及A 从静止到第一次碰撞所需的时间：（2分）