不等式选讲(用基本不等式证明不等式)

不等式选讲(用基本不等式证明不等式)

一、用基本不等式证明不等式

1．（2014年1卷）若0,0a b >>

，且

11a b +=．证明： （1） 求33a b +的最小值；

（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．

【解析】（I

11a b =+≥，得2ab ≥

，且当a b == 故33a b

+≥≥

，且当a b ==时取等号．

所以33a b +

的最小值为

（II ）由（I

）知，23a b +≥≥

6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．

2.（2013年2卷）设均为正数，且，证明：

（1） （2） 【解析】（Ⅰ）222222

2,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得 222a b c ab bc ca ++≥++

由题设得()2

1a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=． 所以()31ab bc ca ++≤，即13

ab bc ca ++≤ （Ⅱ）∵222

2,2,2a b c b a c b a c b c a

+≥+≥+≥ ,,a b c 1a b c ++=13

ab bc ca ++≤222

1a b c b c a

++≥

∴222

()2()a b c a b c a b c b c a

+++++≥++ 即222

a b c a b c b c a

++≥++ ∴222

1a b c b c a

++≥

3.（2019年1卷）已知a ，b ，c

正数，且满足abc=1．证明： （1）222111a b c a b c

++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．

【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫

∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭ (

)()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++

当且仅当a b c ==时取等号， ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （1） ()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，

当且仅当a b c ==时取等号

又a b +≥b c +≥a c +≥

（当且仅当a b c ==时等号同时成立）

()()()333

3a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc

()()()333

24a b b c c a ∴+++++≥

4.已知正数x 、y 、z ，且1xyz =.

（1）证明：222x y z y z x y

++≥+； （2）证明：()()()222

12x y y z z x +++++≥.

【详解】

（1）因为x 、y 、z 为正数，且1xyz =，所以222x y y z +≥==， 当且仅当32y zx =时等号成立，即4y x =时，等号成立；

同理22y z z x +≥，22x z y x +≥22222x y z y z x z y ⎛⎛⎫++≥++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭

，

即222x y z y z x z y

++≥+，当且仅当1x y z ===时等号成立；

（2）因为()()()222x y y z z x +++++≥

由二元均值不等式得x y +≥y z +≥，z x +≥，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，

所以()24x y xy +≥，()24y z yz +≥，()2

4z x xz +≥， ()()()()22226464x y y z z x xyz ∴+++≥=，

因此，()()()22212x y y z z x +++≥=++，当且仅当1x y z ===时，等号同时成立.

【点睛】本题考查利用三元和二元均值不等式证明不等式，考查推理能力，属于中等题.

5.（2020年3卷）设a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a ，b ，c}表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c}．

【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，

()22212

ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，

()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，

由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，

1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc

++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，

a ∴≥，即3max{,,}

4a b c .