不等式、因式分解及分式
不等式知识点详解
不等式知识点详解不等式是数学中的一种重要的表示关系的方式，它利用不等号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等）来表示数之间的大小关系。
不等式在数学中的运用广泛，特别在代数、几何、经济学等领域中起到了重要的作用。
下面将详细介绍一些有关不等式的基本知识点。
一、不等式的基本形式1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）、ax+b≥0（或≤0）的不等式，其中a、b为已知的实数，x为未知数。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（或<0）、ax^2+bx+c≥0（或≤0）的不等式，其中a、b、c为已知的实数，x为未知数。
3.绝对值不等式：形如，f(x)，>g(x)（或，f(x)，<g(x)，f(x)，≥g(x)，f(x)，≤g(x)）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
4.分式不等式：形如f(x)/g(x)>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
二、不等式的性质1.基本性质：不等式在数轴上表示一组数，一般情况下是一个区间或它的余区间。
对于不等式来说，如果它的一个解是真解，则它关于这个解的两边均成立。
2.四则运算性质：对于不等式，可以进行加减乘除等四则运算，但需要注意乘除以负数时不等号的方向要翻转。
3.取绝对值性质：对于不等式中的绝对值，可以将其加上取非的表示方式，即，a，>b等价于a>b或a<-b。
4.平方性质：对于一元不等式中的平方项，当平方项为正时，等号成立时解可能为空集；当平方项为负时，等号成立时解为全集；当平方项与常数同号时，等号成立时解由其他项决定。
三、不等式的求解方法1.绝对值不等式的求解方法：-对于，f(x)，>g(x)的不等式，可以考虑f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
-对于，f(x)，<g(x)的不等式，可以考虑-f(x)<g(x)和f(x)<g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
不等式解集方法
不等式解集方法一、引言不等式是数学中常见的一种基本概念，它涉及到比较两个数大小关系的数学符号。
不等式的解集是指满足不等式条件的所有数值的集合。
掌握不等式的解集方法对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍求解一元一次不等式、解集在数轴上的表示、二元一次不等式组的解集、分式不等式的解法、含绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法和一元高次不等式的解法等方法。
二、求解一元一次不等式一元一次不等式是数学中最基础的不等式类型，其形式为ax+b>cc或ax+b<c，其中a、b、c为常数，x为未知数。
求解一元一次不等式的方法是将其转化为等式，然后通过移项、合并同类项和化简等步骤求解。
例如，求解2x+3>5，首先移项得到2x>2，然后除以2得到x>1。
三、解集在数轴上的表示解集在数轴上的表示是将不等式的解集在数轴上标出来。
首先需要确定解集的取值范围，然后将这个范围在数轴上表示出来。
例如，解集x>1表示在数轴上1的右侧的所有点都是这个不等式的解。
四、二元一次不等式组的解集二元一次不等式组是由两个或多个一元一次不等式组成的。
求解二元一次不等式组的方法是分别求解每个不等式，然后找出满足所有不等式的解的集合，即解集。
例如，求解不等式组{x+y>2, x-y<1}，首先分别求解两个不等式得到两个解集，然后找出这两个解集的交集即为原不等式组的解集。
五、分式不等式的解法分式不等式是指含有分母的不等式。
求解分式不等式的方法是将其转化为整式不等式，然后通过求解整式不等式得到分式不等式的解。
例如，求解不等式(x+3)/(x-2)>0，首先去分母得到x^2-x-6>0，然后因式分解得到(x-3)(x+2)>0，最后确定解集为x<-2或x>3。
六、含绝对值不等式的解法含绝对值的不等式是指含有绝对值符号的不等式。
求解含绝对值不等式的方法是根据绝对值的定义将其转化为分段函数，然后分别求解每个分段函数的不等式得到原不等式的解。
初中数学中常见的数值计算问题有哪些
初中数学中常见的数值计算问题有哪些在初中数学的学习中，数值计算是一个重要的组成部分。
掌握常见的数值计算问题对于提高数学能力和解决实际问题至关重要。
下面我们就来探讨一下初中数学中常见的数值计算问题。
一、有理数的计算有理数的计算是初中数学数值计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法。
加法和减法运算要注意符号的变化。
例如，计算“－5 ＋3”，结果为“－2”；计算“8 （－3）”，要将其转化为“8 ＋3”，结果为“11”。
乘法运算中，同号得正，异号得负。
例如，“（－2）×（－3）＝6”，“5 ×（－4）＝－20”。
除法运算时，除以一个数等于乘以它的倒数。
例如，“6 ÷ （－2）＝ 6 ×（－1/2）＝－3”。
在有理数的混合运算中，要遵循先乘除后加减的顺序，有括号先算括号里的。
例如，计算“2 ＋（－3）× 4 ÷ 5”，先计算括号内的乘法“（－3）× 4 ＝－12”，然后计算加法“2 ＋（－12）＝－10”，最后计算除法“－10 ÷ 5 ＝－2”。
二、整式的计算整式的计算包括整式的加减、乘除。
整式的加减，实质是合并同类项。
比如，“3x ＋ 2x ＝5x”，“5y²2y²＝3y²”。
整式的乘法有单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。
例如，“3x × 2x² ＝6x³”，“2x（3x ＋ 1）＝ 6x²＋2x”，“（x＋ 2）（x 3）＝x² x 6”。
整式的除法，主要是单项式除以单项式和多项式除以单项式。
例如，“15x³y ÷ 3x ＝5x²y”，“（12x³ 8x²）÷ 4x ＝3x² 2x”。
三、因式分解因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
常见的方法有提公因式法、公式法和十字相乘法。
高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析
高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析本文介绍了解简单不等式的几种方法，包括解二元一次不等式组、一元二次不等式、含绝对值的简单不等式、分式不等式和简单高次不等式。
其中，第一部分介绍了分数不等式的性质，包括两种情况下的大小关系。
第二部分介绍了“三个二次”的关系，即二次函数图象、一元二次方程的根和不等式的解集之间的关系。
第三部分介绍了解一元二次方程的三种方法，包括求根公式、因式分解法和配方法。
最后一部分介绍了解一元二次不等式的方法，包括统一处理二次项系数为正数，以及(x －a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法。
由y=x^2-3x-10的开口向上，可得x^2-3x-10>0的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞)。
设集合M={x|x^2-3x-4<0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N等于[0,4)。
解析：因为M={x|x^2-3x-4<0}={x|-1<x<4}，所以M∩N=[0,4)。
已知不等式ax^2-bx-1≥0的解集是(3/2,3]，则不等式x^2-bx-a0，且Δ=b^2-4ac0，b<0，且0<b<3.综合可得x^2-bx-a<0的解集是(0,3)。
若关于x的不等式m(x-1)>x^2-x的解集为{x|1x^2-x的解集为{x|1<x<2}，所以1和2一定是m(x-1)=x^2-x的解，因此m=2.若一元二次不等式2kx^2+kx-8<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(-3,0]。
解析：因为2kx^2+kx-8<0对一切实数x都成立，所以2k<0，解得k∈(-∞,0)，又因为Δ=k^2-4×2k×(-8)<0，解得k∈(-3,0]。
设a为常数，∀x∈R，ax^2+ax+1>0，则a的取值范围是(0,4)。
解析：对于任意实数x，ax^2+ax+1>0，即Δ=a^2-4a<0，解得0<a<4.若不等式x^2-2x+5≥a^2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)。
不等式的解法和应用
不等式的解法和应用不等式的解法和应用是数学中的重要内容，尤其在奥数中更是常见。
以下是关于不等式解法和应用的一些知识点：不等式的解法1.图像法：通过绘制不等式所代表的图形，在数轴上表示出不等式的解集。
这种方法直观易懂，尤其适用于一元一次不等式。
2.代数法：通过代数运算，如移项、合并同类项、因式分解等，将不等式化为标准形式，然后确定解集。
这种方法适用于各种类型的不等式。
不等式的应用1.最值问题：不等式在求最值问题中有广泛应用。
例如，在给定条件下，求某个表达式的最大值或最小值。
这类问题通常涉及到基本不等式的应用，如均值不等式、柯西不等式等。
2.比较大小：不等式可以用于比较两个数或表达式的大小。
例如，在比较分数大小时，可以通过通分、化简等方法将问题转化为不等式求解。
3.实际应用：不等式在日常生活和实际应用中也有广泛的应用。
例如，在经济学中，可以用不等式来描述资源的分配问题；在物理学中，可以用不等式来描述物体的运动规律等。
常见的不等式类型1.一元一次不等式：形如ax + b > 0（或< 0）的不等式，其中a 和b 是常数，a ≠ 0。
2.绝对值不等式：形如|x| < a（或≤ a）的不等式，其中a 是常数。
3.分式不等式：形如(ax + b) / (cx + d) > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c、d 是常数，且c ≠ 0。
总之，不等式的解法和应用涉及的知识点非常广泛，需要系统学习和掌握。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的解法和方法。
常见不等式通用解法
常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式① 基础一元二次不等式 如2x 2 x 60，x 2 2x 1 0 ,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元次不等式，重点关注 解区间的“形状”。
当二次项系数大于 0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。
3又如x 2 ax 4-，令t x 2，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集2③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结：序号步骤1首先判定二次项系数是否为0，为0则化为一元一次不等式，再分类讨论 2二次项系数非0,将其化为正的，讨论 判别式的正负性，从而确定不等式的解 集3若可以直接看出两根，或二次式可以因 式分解，则无需讨论判别式，直接根据 不同的参数值比较两根大小4综上，写出解集如不等式x 2 ax 1 0，首先发现二次项系数大于 0,而且此不等式无法直接看出两根,所以，讨论a 2 4的正负性即可。
0,R以只需要判定a 2和a 的大小即可。
a 0or a 1,{x R| x a} 此不等式的解集为0 a 1,( ,a 2) (a,) 2a 0or a 1,(, a) (a ,)又如不等式ax 2 2(a 1)x 4 0 ,注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成2x x 60的解为（当二次项系数大于|,2）0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。
2x 10的解为（,1 . 2) (1 .2,)当二次项系数小于②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如3x 1 x 的范围 0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。
9x 2，令t 3x ，原不等式就变为t 23t 2 0，再算出t 的范围，进而算出此不等式的解集为0,{x 0,(R|x 自又如不等式x 2 （a 2 a ）x a 30，发现其可以通过因式分解化为(x a)(x a 2)0，所)(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4) 0 的示意图见下。
一元二次不等式的解法6种常见考法归类(原卷版)
2.2.3 一元二次不等式的解法6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次项系数a 有a >0和a <0两种，注意aa <0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．2、一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x －x 1)(x －x 2)<0的解集是(x 1，x 2)，不等式(x －x 1)(x －x 2)>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．依据是：ab >0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0 ；ab <0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0.（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 的正负等知识，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系4、简单分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．5、求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程：6、一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：∪确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；∪画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；∪由图像得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p ＜q 时，若(x －p)(x －q)＞0，则x ＞q 或x ＜p ；若(x －p)(x －q)＜0，则p ＜x ＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．7、含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．8、三个“二次”之间的关系一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∪，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．9、简单的分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：设A 、B 均为含x 的多项式 （1）00>⇔>A AB B （2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB A B B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 10、解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．考点一 解不含参数的一元二次不等式 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 考点三 利用不等式的解集求参数考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题 考点六 一元二次不等式的实际应用考点一 解不含参数的一元二次不等式1．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式(1)(2)0x x -+>的解集为（ ） A ．{2x x <-或1}x >B ．{21}x x -<<C ．{12}x x <<D ．{1x x <或2}x >2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023·上海·高一专题练习）解下列不等式： （1）22310x x -+-<； （2）()2160x -->；（3）2260340x x x x ⎧--≤⎨+-<⎩4．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1）22320x x --> （2）2350x x -+>（3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式24410x x -+<的解集为 A ．1(,]2-∞B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．∅6．【多选】（2023秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为∅的是（ ） A ．210x x -++≤ B ．22340x x -+<C ．2690x x ++≤D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭考点二 含参数的一元二次不等式的解法7．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．8．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->9．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.10．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.11．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．12．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集.考点三 利用不等式的解集求参数13．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（ ）A ．-10B ．-6C ．0D ．214．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （ ）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-15．【多选】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（ ）A ．a<0B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞16．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（ ）A ．()1,2?B ．1,2C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（ ）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -18．（2023秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数()243f x ax x =++.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(),1b ，求,a b 的值. (2)若0a >，求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集.19．（2023秋·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式20x x c +-≤的解集为[]2,1-，则c = .20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式()210x a x a -++≤的解集是[]4,3-的子集，则a 的范围是（ ）A ．[－4，3]B ．[－4，2]C ．[－1，3]D ．[－2，2]21．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四 简单的分式不等式的解法22．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是 ．23．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为 ． 24．（2023秋·河南商丘·高一统考期中）不等式3102x x +≤- 的解集是 ． 25．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 26．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式： (1)2450x x -++>； (2)2221x ax a -≤-+； (3)132x x+≥-. 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题27．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .28．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．29．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．30．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．31．（2023·高一课时练习）已知函数()()2322f x x a x a b =+-+++，a ，b ∈R .(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为{4x x <-或}2x >，求实数a ，b 的值； (2)若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上有解，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围．考点六 一元二次不等式的实际应用32．（2023秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P （单位：元/件）与月销售量x （单位：件）之间的关系为1602P x =-，生产x 件的成本（单位：元）50030R x =+.若每月获得的利润y （单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x 的取值范围为（ ）A ．()20,45B ．[)20,45C ．(]20,45D ．[]20,4533．（2023·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中()50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x 的取值范围是（ ）.A ．{}2030,N x x x +≤≤∈B ．{}2045,N x x x +≤≤∈C ．{}1530,N x x x +≤≤∈D ．{}1545,N x x x +≤≤∈34．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,635．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m )。
数与式、方程、不等式
数与式实数与代数式1、数的分类及概念：整数和分数统称有理数（有限小数和无限循环小数），像√3，π，0.101001∙∙∙叫无理数；有理数和无理数统称实数。
实数按正负也可分为：正整数、正分数、0、负整数、负分数，正无理数、负无理数。
2、实数和数轴上的点是一一对应的．2．（1）互为倒数的积为1；（2）互为相反数的和为0,商为-1；（3）绝对值是距离，非负数。
3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a 、b 互为相反数，则a+b=0，1-=ab （a 、b ≠0） 4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 去绝对值法则：正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零； 负数的绝对值是它的相反数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a数轴：①定义（三要素：原点、正方向，单位长度）；②点与实数的一一对应关系。
(2)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
5、近似数和有效数字：测量的结果都是近似的；利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
6、科学记数法；一般地，一个大于10的数可以表示成ａ×10 n 的,其中1≤a ﹤10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
7、整指数幂的运算： ()()m m mmn n m n m n m b a ab a a a a a ⋅===⋅+,, （a ≠0） 负整指数幂的性质：pp p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11 零整指数幂的性质：10=a （a ≠0）正数的任何次幂为正数；负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数8、实数的开方运算：()a a a a a =≥=22;0)(9、实数的混合运算顺序10、无理数的错误认识：（1）无限小数就是无理数如1．414141···(41 无限循环）；（2（3但它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此．11、实数的大小比较：(1).数形结合法(2).作差法比较(3).作商法比较整式1、代数式的有关概念．(1)代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子．(2)求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代入2、整式的有关概念(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式(3)多项式的降幂排列与升幂排列(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．3、整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。
不等式的解集计算
不等式的解集计算不等式是数学中的一种关系表达式，它描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。
计算不等式的解集是解决不等式问题的核心内容之一，它能帮助我们确定不等式中所有满足条件的数值范围。
在计算不等式的解集时，我们需要遵循一定的求解步骤和规则。
下面将介绍一些常见的不等式类型和相应的解集计算方法。
一、线性不等式线性不等式是指不等式中只包含一次线性项的不等式，如ax+b>0、cx-d≤0等形式。
解集计算的关键在于将不等式转化为等价的形式，并根据不等式的符号情况进行分类讨论。
我们可以通过以下步骤来计算线性不等式的解集：1. 将不等式中的变量项移到一边，常数项移到另一边，得到形如ax+b>0或ax+b≤0的等价不等式；2. 根据不等式中系数a的正负情况，分别进行讨论：a) 当a>0时，解集为x>-b/a或x≤-b/a，可以根据不等式的符号进行表示；b) 当a<0时，解集为x<-b/a或x≥-b/a，同样可以根据不等式的符号进行表示。
二、多项式不等式多项式不等式是指不等式中包含多个多项式项的不等式，如x^2+3x-10>0、2x^3-5x+1≤0等形式。
计算多项式不等式的解集可以通过构造不等式的因式分解形式，进而利用因式分解的性质进行求解。
具体的步骤如下：1. 将不等式移项，并得到多项式不等式的因式分解形式；2. 根据不等式的符号情况，考虑每个因子的符号，并根据多项式的乘法性质来确定解集。
三、分式不等式分式不等式是指不等式中包含分式表达式的不等式，如1/(x+2)<2/x 或(x-3)/(x+1)≥0等形式。
分式不等式的解集计算方法可以通过以下步骤来进行：1. 将不等式化简为分式的分子、分母均为多项式的形式，得到形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)≤0的等价形式；2. 构造分式的因子分解形式，并根据因子的符号情况来确定解集。
综上所述，不等式的解集计算方法可以根据不等式的类型和形式来进行相应的求解。
分式 因式分解
分式与因式分解在数学领域中，分式和因式分解是两个基础但极其重要的概念。
它们不仅在代数中占据核心地位，而且对于解决各种数学问题具有关键作用。
本文将详细探讨分式的定义、性质以及因式分解的方法和应用。
一、分式的概述分式，顾名思义，是指一个数学表达式被另一个数学表达式除所得的商。
具体来说，分式由分子和分母两部分组成，形如$\frac{a}{b}$，其中$a$是分子，$b$是分母。
需要注意的是，分母不能为0，否则分式无意义。
分式具有多种性质，如基本性质、运算性质等。
基本性质包括分式的值不变性，即分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
运算性质则涉及分式的加减乘除运算，这些运算都需遵循一定的法则和步骤。
二、因式分解的概念与方法因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。
这种方法在解决代数方程、不等式以及函数问题等方面具有广泛应用。
因式分解的核心在于找到多项式中的公因式或利用公式进行分解。
常见的因式分解方法包括提取公因式法、公式法（如平方差公式、完全平方公式等）以及分组分解法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的多项式。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的因式分解方法。
三、分式与因式分解的联系分式和因式分解在代数中紧密相连。
一方面，因式分解可以简化分式，使其更易于计算和理解。
例如，通过因式分解，我们可以将复杂的分式化简为几个简单分式的和或差，从而便于进行后续的运算和分析。
另一方面，分式运算中也经常需要用到因式分解的技巧。
例如，在求解分式方程时，我们通常需要对方程两边进行因式分解，以便消除分母或降低方程的次数。
此外，在分式的加减运算中，通过因式分解可以找到通分母，从而简化运算过程。
四、分式与因式分解的应用分式和因式分解在数学领域具有广泛的应用。
在代数中，它们是解决方程、不等式和函数问题的重要工具。
在几何中，分式和因式分解也被用来描述和解决与形状、面积和体积相关的问题。
此外，在实际生活中，分式和因式分解也发挥着重要作用。
2023年初中数学中考考点归纳双向细目表
2023年初中数学中考考点一、代数1. 一元一次方程与一元一次不等式 1.1 解一元一次方程1.2 解一元一次不等式2. 整式2.1 整式的加减2.2 整式的乘除3. 因式分解3.1 提公因式法3.2 积因式分解4. 分式4.1 分式的加减4.2 分式的乘除二、几何1. 相似三角形1.1 判定相似三角形 1.2 相似三角形的性质2. 平行线与三角形2.1 平行线的性质2.2 三角形内角和3. 圆3.1 圆的性质3.2 圆内接四边形4. 三角形4.1 三角形的外角性质 4.2 三角形的面积计算三、函数与图像1. 一次函数1.1 一次函数的性质 1.2 一次函数图像2. 二次函数2.1 二次函数的性质2.2 二次函数图像3. 绝对值函数3.1 绝对值函数的性质 3.2 绝对值函数图像四、统计与概率1. 统计1.1 统计量的计算1.2 统计图的绘制2. 概率2.1 基本概率事件2.2 条件概率的计算五、解析几何1. 直线与圆1.1 直线与圆的位置关系 1.2 直线与圆的性质2. 空间图形2.1 空间图形的投影2.2 空间图形的体积计算六、实际问题1. 实际问题的解决方法1.1 将实际问题转化为数学问题1.2 利用数学方法解决实际问题2. 实际问题的综合运用2.1 结合多种数学知识解决实际问题 2.2 实际问题综合运用的技巧七、综合练习1. 综合练习题1.1 完形填空题1.2 阅读理解题2. 综合练习题解析2.1 完形填空题解析2.2 阅读理解题解析以上便是2023年初中数学中考的考点归纳双向细目表，同学们在备考中可根据此表进行有针对性的复习和练习，以取得更好的考试成绩。
2023年初中数学中考考点归纳双向细目表随着2023年初中数学中考的逐渐临近，同学们将面临着对数学知识的系统复习和全面梳理。
为了帮助同学们更好地备战数学中考，以下将就上文所述的考点进行更加详细的探讨和扩充。
一、代数代数是数学中的重要分支，它涵盖了一元一次方程与一元一次不等式、整式、因式分解和分式等内容。
一元二次方程 不等式 分式方程
中考总复习：一元一次不等式（组）—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、不等式的相关概念 1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.要点诠释：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 考点二、不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc （或a c ＞bc ）． 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc （或a c ＜b c）． 要点诠释：（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号.概念 基本性质不等式的定义 不等式的解法 一元一次不等式 的解法一元一次不等式组 的解法 不等式 实际应用 不等式的解集（2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c . 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b ＞0(a ≠0)或ax+b ≥0(a ≠0) ，ax+b ＜0(a ≠0)或ax+b ≤0(a ≠0)． 2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 要点诠释：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 3．一元一次不等式组及其解集含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 要点诠释：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 4．一元一次不等式组的解法由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 不等式组 （其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b>⎧⎨<⎩ ba无解 （空集） （大大、小小 找不到）5．一元一次不等式（组）的应用列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．要点诠释：列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（•或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）•的解集中求出符合题意的答案． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系一次函数(0)y kx b k =+≠，当函数值0y =时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值0y ＞或0y ＜时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定x 的取值范围.【典型例题】类型一、解不等式（组）1．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）2x ﹣1＜3x+2 （2）．举一反三：【变式】131321≤---x x 解不等式：.2．解不等式组352,1212x x x x -<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩并将其解集在数轴上表示出来.举一反三：【变式1】解不等式组312(1)2(1)4x x x x +≥-⎧⎨+>⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【变式2】解不等式组24x ≤⎧⎪⎨+⎪⎩（x-1）+33x x-2＞3，并写出不等式组的整数解；类型二、一元一次不等式（组）的特解问题3．若不等式组的正整数解有3个，那么a 必须满足（ ） A ．5＜a ＜6 B ．5≤a＜6 C ．5＜a≤6 D ．5≤a≤6举一反三：【变式1】关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于3)43(414-=+x a x a 的解，求a 的取值范围．【变式2】若不等式-3x+n ＞0的解集是x ＜2，则不等式-3x+n ＜0的解集是_______．类型三、一元一次不等式（组）的应用4．仔细观察下图，认真阅读对话：根据对话内容，试求出一盒饼干和一袋牛奶的标价各是多少元．举一反三：【变式】某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110＜p＜120．已知有关数据如表所示，•那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？产品每件产品的产值甲 4.5万元乙7.5万元类型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用5．某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2•分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5•分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案．6．某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．⑴如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案【巩固练习】一、选择题1. 不等式-x-5≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A B C D2．若实数a＞1，则实数M=a，N=23a+，P=213a+的大小关系为（）A．P＞N＞M B．M＞N＞P C．N＞P＞M D．M＞P＞N3．如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过A ，B两点，则不等式kx+b＞0•的解集是（）A．x＞0 B．x＞2 C．x＞-3 D．-3＜x＜24．如果不等式213x++1＞13ax-的解集是x＜53，则a的取值范围是（）A．a＞5 B．a=5 C．a＞-5 D．a=-55．已知整数x满足是不等式组，则x的算术平方根为（）A．2 B．±2 C． D．46．不等式组3(2)423xa xxx+--≤⎧>⎪⎨⎪⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1二、填空题7．若不等式ax＜a的解集是x＞1，则a的取值范围是__ ____．8．若（m﹣1）x|2m﹣1|﹣8＞5是关于x的一元一次不等式，则m= ．9．已知3x+4≤6+2（x-2），则│x+1│的最小值等于__ ____．10．若不等式a（x-1）＞x-2a+1的解集为x＜-1，则a的取值范围是____ __．11．满足22x+≥213x-的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于__ ____．12．有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，•已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，•则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．三、解答题13．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（1）x-3≥354x-．（2）解不等式组14. 若0231<-+x x ，求x 的取值范围．15．某电器商场销售A 、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．（1）求商场销售A 、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A 、B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？16. 如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，•则剩下9个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于3个，问共有几个儿童，•分了多少个橘子？中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为24b b acx -±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0⇔方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%． 明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x +=举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．类型二、分式方程 3．解分式方程：=﹣．举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x ++-=++产生增根，则m 的值是（ ） A.B. C. D.举一反三： 【变式】若关于x 的方程2332+-=--x m x x 无解，则m 的值是 ．类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【巩固练习】一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25 3．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k≥﹣1C ．k≠0D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）A.B. C. D.二、填空题 7．方程﹣=0的解是 ． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 . 11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m = m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？。
分式不等式的解法
分式不等式的解法分式不等式是一种含有分式的不等式，其解的求解方法与普通的不等式有所不同。
本文将介绍两种常见的分式不等式的解法：基本不等式法和区间法。
一、基本不等式法基本不等式法是分式不等式的常用解法之一，适用于形如\(\frac{A}{B} \geq 0\)或\(\frac{A}{B} \leq 0\)的分式不等式。
其中，A 和B分别表示多项式。
步骤如下：1. 将分式不等式化为标准形式：将分式中的分子和分母用括号括起来，并将不等号方向保持不变。
2. 对分子和分母进行因式分解。
3. 找出分母因式为0的值，这些值构成分式不等式的解。
4. 将分母为0的值所对应的点作为分式的分界点，将实数轴分成若干个区间。
5. 在每个区间上确定分式的正负号，判断每个区间上是否满足不等式的条件。
6. 将满足不等式条件的区间合并，得到分式不等式的解集。
举例说明：假设有一个分式不等式：\(\frac{x-1}{x+2} \geq 2\)首先将其化为标准形式，得到：\(\frac{x-1}{x+2} -2 \geq 0\)然后对分子和分母进行因式分解，得到：\(\frac{(x-1)-2(x+2)}{x+2} \geq 0\)化简得：\(\frac{x-1-2x-4}{x+2} \geq 0\)继续化简得：\(\frac{-x-5}{x+2} \geq 0\)找出分母为0的值，得到：\(x=-2\)根据\(x=-2\)将实数轴分成三个区间：\((-∞, -2), (-2, -5), (-5, +∞)\)接下来在每个区间上判断分式的正负号：当\(x < -5\)时，\(\frac{-x-5}{x+2} > 0\)，这个区间上不满足不等式条件；当\(-5 < x < -2\)时，\(\frac{-x-5}{x+2} < 0\)，这个区间上满足不等式条件；当\(x > -2\)时，\(\frac{-x-5}{x+2} > 0\)，这个区间上不满足不等式条件。
高一不等式性质知识点总结
高一不等式性质知识点总结在高中数学中，不等式是一个重要且常见的概念。
不等式性质是解不等式以及进行数学推理的基础。
在高一学习阶段，学生需要掌握一些基本的不等式性质，并能够运用它们解决问题。
本文将对高一不等式性质进行总结和归纳，帮助学生更好地理解和运用相关知识。
一、基本的不等式性质1. 加减性质：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。
这个性质表示不等式两边同时加（减）相同的数时，不等关系保持不变。
2. 倍数性质：如果a>b，且c>0，那么ac>bc。
这个性质表示不等式两边同时乘以正数时，不等关系保持不变。
3. 倒数性质：如果a>b，且c<0，那么ac<bc。
这个性质表示不等式两边同时乘以负数时，不等关系改变。
4. 等价性质：如果a>b，并且c是一个正数，那么ac>bc；如果c是一个负数，那么ac<bc。
这个性质可以用于推导和证明不等式。
二、不等式的求解方法1. 基于图形的方法：对于简单的一元一次不等式，可以通过在数轴上绘制相关函数的图像来直观地找到解。
2. 基于性质的方法：利用不等式的性质进行数学推理和变形，以求得解的范围。
3. 基于代数的方法：对于复杂的不等式，可以利用代数的方法进行推导和解答。
常用的方法包括因式分解、配方法、平方根法等。
三、常见的不等式类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b是已知的实数，x是未知数。
通过代数的方法解题，可以得到解的范围。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b 和c是已知的实数，x是未知数。
解一元二次不等式的方法包括图像法、配方法和因式分解等。
3. 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b和c是已知的实数，x是未知数。
解绝对值不等式的方法包括分情况讨论和代数方法等。
4. 分式不等式：形如f(x)>g(x)的不等式，其中f(x)和g(x)是已知的分式函数，x是未知数。
初中数学中的代数知识有哪些
初中数学中的代数知识有哪些代数是数学中重要的一个分支，它研究了数量关系、未知数和变量之间的运算规律。
在初中数学教学中，代数知识是必不可少的内容。
本文将介绍一些初中数学中常见的代数知识。
一、代数表达式代数表达式是由运算符、变量和数的乘积、和、差、商组成的算式。
代数表达式中的变量表示未知数，可以用字母表示。
例如，3x^2 - 2y表示一个代数表达式，其中x和y是变量。
代数表达式主要有以下几种常见形式：1. 单项式：由一个常数或一个变量的乘积组成，如4x、-3a^2等。
2. 多项式：由多个单项式的和或差组成，如5x^2 + 2xy - 3。
3. 系数：代数表达式中每个项的系数是该项的常数因子，如2x^2中的系数是2。
4. 次数：代数表达式中每个项的次数是指该项中变量的指数，如2x^2中的次数是2。
5. 常数项：代数表达式中不含变量的项称为常数项，如5x^2 + 2xy- 3中的-3。
二、方程与不等式方程和不等式是代数学中重要的概念。
它们用于表示数的相等和大小关系，并通过解方程和不等式来求解问题。
1. 方程：方程是一个含有未知数的等式，通常用于描述两个量之间的关系。
例如，2x + 3 = 7是一个方程，求解该方程可以得到未知数x 的值。
2. 不等式：不等式是一个含有不等号的算式，由两个代数表达式相比较得到。
例如，2x - 5 > 10是一个不等式，求解该不等式可以得到满足条件的x的取值范围。
三、线性方程与一次函数线性方程和一次函数是初中数学中代数知识的重要部分，它们描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
1. 线性方程：线性方程是只含有一次幂的方程，通常可以表示为y = kx + b的形式，其中x和y是变量，k和b是常数。
例如，y = 2x + 3就是一个线性方程，它表示了y和x之间的线性关系。
2. 一次函数：一次函数是指函数的自变量和因变量之间的关系是线性的函数。
一次函数的表达式通常为y = kx + b，其中k和b为常数。
代数公式知识点总结
代数公式知识点总结一、整式与因式分解1. 整式的概念整式是包含有代数式和数字的有理式，它包括有一个或多个代数式，且代数式中只包含有字母，数字及分数的运算。
整式的基本运算有加法、减法、乘法和除法。
整式的阶数是指单项式中字母的次数的最大值。
2. 因式分解因式分解是将一个代数式分解成若干个较简单的代数式的乘积的过程。
例如，对于一个多项式的因式分解，可以通过提取公因式、利用基本公式、配方法等方法进行因式分解。
因式分解的目的是将复杂的代数式变成简单的代数式，方便进行运算和推导。
二、分式1. 分式的概念分式是指分数形式的代数式，包括有一个或多个字母和一个或多个数字构成。
其中，分子和分母都可以是整式或者单项式。
分式的基本运算包括有加法、减法、乘法和除法。
2. 分式的化简对分式进行化简是为了使分式的形式更简单，方便进行计算和推导。
化简分式的方法主要有找出最大公因数、分子分母同除以一个公因数、通分等方法。
三、方程式1. 方程式的概念方程式是指含有一个或多个未知数的等式，它包括有代数式的运算及未知数的计算。
方程式可分为一元方程式和多元方程式。
一元方程式包括一个未知数，多元方程式包括两个或更多个未知数。
2. 方程式的解方程式的解是指使等式成立的未知数的值。
解方程的方法有代数法、几何法、分解法等。
解方程的关键是要找出未知数的值，使得等式两边的值相等。
四、不等式1. 不等式的概念不等式是表示两个数量或两个式子大小关系的符号，包括有大于、小于、大于等于、小于等于等符号。
不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
2. 不等式的解法解不等式通常采用代数法、几何法和其他数学方法进行求解，找出不等式的解集。
解不等式的关键在于找出使不等式成立的所有实数的范围。
以上是代数的一些重要知识点的总结，代数作为数学的一个重要分支，在数学的教学和实际应用中都具有重要的地位和作用。
通过对代数的整式与因式分解、分式、方程式、不等式等内容进行深入理解和掌握，不仅可以在学术研究中运用，还可以在日常生活中进行实际应用。
因式分解、不等式与分式方程
因式分解、不等式与分式方程一、分解因式1. 因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，也叫分解因式。
2. 因式分解的方法：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧±=+±+-=-)(2:))((2222b a b ab a b a b a b a 完全平方式平方差公式：公式法分解以是字母）的因子（可以是数也可提公因式法：提取公共 练习：1．分解因式 m 3 – 4m = . 解因式：3222b ab b a +-＝2．因式分解：=+-m mx mx 2422 ．分解因式：a 3－2a 2+a=_______________.=++222y xy x 。
分解因式：=+-122x x3．因式分解：y y x 92-=___________.分解因式：x ²y-xy ²= ．4．分解因式：m 2—2m= ．分解因式：=-442x5．因式分解：162-x = ．分解因式：4χ2-y 2= .6、计算：(－3x 2)3＝＿＿＿＿＿＿＿＿。
7、因式分解：x 2－4＝＿＿＿＿＿分解因式：3a 2b －4ab =________________ 分解因式：34x x -= 因式分解：2()1xy -= 分解因式x 2－9y 2＝_______． 分解因式:29a -= 因式分解:x 2-9=_____________________ 把x x 43-分解因式，结果为_________________________下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）（A ）xy x -2 （B ）xy x +2 （C ）22y x + （D ）22y x - 把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -二、解不等式y y y1、不等式110320.x x ⎧+>⎪⎨⎪-⎩，≥的解集是（ ） A ．－31＜x ≤2 B ．－3＜x ≤2 C ．x ≥2 D ．x ＜－3 2、 关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜23、把不等式x+2>4的解表示在数轴上，正确的是( )4、不等式组320,10x x ->⎧⎨+⎩≥的解集在数轴上表示正确是的是（ ）5、不等式26,2 1.x x -<⎧⎨-+>⎩的解集是( )A ．x >－3B ．x >3C ．－3<x <3D ．无解6、不等式组⎩⎨⎧≤-<+5148x x x 的解集是：A. 5≤xB. 53≤<-xC.53≤<xD. 3-<x7、下列不等式变形正确的是（ ）(A)由a ＞b ，得a －2＜b －2 (B)由a ＞b ，得－2a ＜－2b(C)由a ＞b ，得a ＞b (D)由a ＞b ，得a 2＞b 28、不等式组⎩⎨⎧-<++≤14242x x x x 的正整数解有：（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个9、不等式组2312x x x x +>⎧⎪⎨⎪⎩≥-3的解集是 10、请你写出一个满足不等式2x -1<6的正整数x 的值： .11、不等式－032>-x 的解是_______________12、不等式组2113x x +>-⎧⎨+⎩２,≤.的整数解为_______． 13、不等式组⎩⎨⎧>-<-21312x x 的解集是___________．三、分式方程1．方程23+x =11+x 的解为（ ） A ．x =54 B ．x = －21 C ．x =－2 D ．无解 2． 分式方程0242=+-xx 的根是( ) . A.2-=x B. 0=x C.2=x D.无实根3．分式方程3x －2＝1的解是( ) A ．x ＝5 B ．x ＝1 C ．x ＝－1 D ．x ＝24．分式方程131x x x x +=--的解为 A ．1x = B ．1x =- C ．3x = D ．3x =-5．分式方程xx 321=-的解是（ ） (A)－3 (B) 2 (C)3(D)－26．分式方程131x x x x +=--的解为 A ．1x = B ．1x =- C ．3x = D ．3x =-7．将分式方程13)1(251+=++-x x x x 去分母整理后得：（A ）018=+x （B ）038=-x（C ）0272=+-x x （D ）0272=--x x8．分式方程xx x -=+--23123的解是（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-29．分式方程01111=-++x x 的解是 （ ） A ．x = 1 B ．x = －1 C ． x = 0 D ．21=x二、填空题 1．分式方程112x =-的解是 ▲ . 2．分式方程2231x x x x =+-的解x ＝________． 3．方程121x x=-的解是 . 4．方程 1x –2 = 2x 的解是5．方程x x 132=-的解为x =___________． 6．方程4131x +=-的解为 . 7．分式方程456x x x x -=-+的解是 ．8．方程035=-+x x x 的解是 。
数学中的因式分解知识点
数学中的因式分解知识点在数学中，因式分解是指将一个多项式或一个整数分解为若干个乘积的形式，其中每一个乘积因子都是原多项式或整数的因子。
因式分解是数学中的基础概念之一，它在代数、方程与不等式、多项式、分式等诸多领域具有重要的应用。
本文将主要介绍因式分解的一些基本概念和常见方法。
一、整数因式分解整数因式分解是指将一个整数表示为几个素数的乘积的形式。
这种分解方法也叫做质因数分解。
对于任何一个大于1的整数，都可以找到一组素数，使得它们的乘积等于该整数。
例如，对于整数60，可以进行如下的因式分解：60 = 2 × 2 × 3 × 5上述式子中的2、3和5都是素数，它们的乘积正好等于60。
其中2、3、5就是60的质因数。
通过整数的因式分解，我们可以更好地理解整数的性质，例如判断整数的奇偶性、最大公约数、最小公倍数等。
同时，整数因式分解也为解决一些与整数相关的问题提供了有效的方法。
二、多项式因式分解多项式因式分解是指将一个多项式表示为若干个乘积的形式。
在进行多项式因式分解时，可以根据多项式的特点应用不同的方法。
1. 提取公因式法提取公因式法是一种常用的多项式因式分解方法，它适用于多项式中每一项都含有相同的因子的情况。
通过提取公因式，可以将多项式分解为含有公因式的乘积形式。
例如，对于多项式3x^2 + 6x，我们可以进行如下的因式分解：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)上述分解过程中，我们提取出了3x这个公因式。
通过提取公因式，我们将多项式3x^2 + 6x分解为了3x和x + 2两个乘积。
2. 平方差公式平方差公式也是一种常用的多项式因式分解方法，它适用于多项式的形式为a^2 - b^2的情况。
平方差公式可以将这种多项式分解为两个因式的乘积。
例如，对于多项式x^2 - 9，我们可以进行如下的因式分解：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)上述分解过程中，我们利用了平方差公式将多项式x^2 - 9分解为(x + 3)和(x - 3)两个乘积。
分解因式`、分式及分式方程单元练习题
分解因式：2x2﹣18；﹣a2+6ab﹣9b2x2（m﹣n）+y2（n﹣m）a2﹣4ab+4b2﹣9解不等式组：先化简，再求值：（+2）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．解方程：﹣1＝；因式分解：8a2﹣2b2﹣a3+2a2b﹣ab24xy2﹣4x2y﹣y31﹣a2+4ab﹣4b2解不等式：先化简，再求值：，其中x＝，y＝．解方程：﹣1＝因式分解：4ax2+2a2x+a3x2+12x﹣7．x2﹣2x+（x﹣2）．2x2﹣5x﹣3（p﹣4）（p+1）+6解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来先化简：（1+）÷，请在﹣1，0，1，2，3当中选一个合适的数a代入求值．解方程：因式分解：x2+2x﹣3x3﹣3x2+2x．x2﹣4xy+4y2﹣1（x﹣1）（x﹣3）+12x2﹣4xy+3x﹣6y解不等式组，并写出它的所有整数解先化简：÷（a+1）+，再在﹣1≤a≤1中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值，解方程：﹣1＝解方程：．先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣1．利用因式分解计算：121×0.13+12.1×0.9﹣1.21×12证明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．先化简，再求值：，其中x＝．先化简，再求值（x+1﹣）．其中x＝﹣2．先化简，再求值：（+2）÷，其中x 的值从不等式组的整数解中选取．已知：a2+3a﹣＝0，求代数÷（a+2﹣）的值．已知P＝（a≠±b）（1）化简P；（2）若点（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，求P的值．已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4+（b2c2﹣a2c2）＝0．试判断△ABC的形状．已知a+b＝5，ab＝3，（1）求a2b+ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求（a2﹣b2）2的值．已知关于x的方程．（1）m取何值时，方程的解为x＝4；（2）m取何值时，方程有增根．已知关于x的分式方程+＝．（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；（2）若方程有增根，求m的值；（3）若方程无解，求m的值．。
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5、若关于 x 的不等式组
A．m＜8
B．m＞8
C．m≤8
的解满足不等式 C． ＞-1 C．a>1
D．m≥8
＞0，则 的取值范围是（ ）
6、关于 x、y 的二元一次方程组 A． ＜-1 A．a<0 B． ＜1 B．a<-1
D． ＞1 D．a>-1
7、如果关于 x 的不等式(a+1)x>a+1 的解集为 x<1，则 a 的取值范围是（ ） 8、若关于 x 的一元一次不等式组
13、在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需 要 60 天；若由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合做 24 天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元．若该工程计划在 70 天 内完成， 在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合 作完成该工程省钱？
3
.
6.若 m n 2 ，求
m2 n2 mn 的值= 2 1 3 1 a b a 2b 2 ab 3 的值= 2 2
(2)
7、若 a b 3 ， ab 1 ，求
8.分解因式：(1)-4x3+16x2-26x
1 2 1 a (x-2a)2- a(2a-x)3 2 4
6.要使 三、解答题（共 60 分） 1.（7 分）计算（
x x 4x ） ; x2 x2 x2
2.（7 分）化简
a2 b2 a2 b2 ; 2 ab ab
3.（8 分）化简：
2 x 3 x 1 。 x 1 x 1
3
m2 n2 的值等于（ mn 6
）
C.
D. 3
二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1.若分式
a 2 (a 2)(a 3)
的值为 0，则 a=
.
2.已知当 x=-2 时，分式
xb 无意义，x=4 时，此分式的值为 0，则 a+b= xa
4
.
3.已知
y 1 x, 用 x 的代数式表示 y 为 y 1 3a 9a 2b 得 2b 4b 3a
m 1 n
B.
C.
D.
6.把 a 千克盐溶于 b 千克水中，得到一种盐水，若有这种盐水 x 千克，则其中含盐（ A.
）
ax 千克 ab
B.
bx 千克 ab
C.
ax 千克 ab
）A.
D.
ax 千克 b
B.
7.把分式
x2 x2 化简的正确结果为（ x2 x2
8x x2 4
）A.
3 2
（2） 18b( a b) 12( a b) ； （3） 2a ( x a ) 4b( a x ) 6c ( x a ) ；
2
3
12．将下列各式分解因式： （1） 9( m n) 16( m n) ；
2
2
（2） 16a 72a b 81b ；
的 x 的值代入求值．
10.A,B 两地相距 80 千米，一辆公共汽车从 A 地出发开往 B 地，2 小时后，又从 A 地开来一辆小汽车，小汽车的速 度是公共汽车的 3 倍。结果小汽车比公共汽车早到 40 分钟到达 B 地。求两种车的速度。
12、根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长 300 米的盲道.铺设了 60 米后，由于采用新 的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 10 米，结果共用了 8 天完成任务，该工程队改 进技术后每天铺设盲道多少米？
.
.
4.化简 1
5.使分式方程
x m2 产生增根，m 的值为 2 x3 x3
.
5 4 与 的值相等，则 x= . x 1 x 2 a b 7.化简 . ab ba a 2b 9 ，则 a：b= 8.已知 . 2a b 5 1 1 9.若 与 ( x 4) 互为倒数，则 x= . 2x 1 3 2x m 3 的解是正数，则 m 的取值范围为_____________． 10 已知关于 x 的方程 x2
B． m 4 C． m 4 D． m 4
A． m 4
4、某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y元．后来他以每
斤
x y 元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ） 2 A． x < y B． x > y C． x ≤ y D． x ≥ y 2 x m 2 无解，则 m 的取值范围是（） 1 3 x 2 m ＞
（3）56x3yz+14x2y2z－21xy2z2
9.分解因式：(1) 4xy–(x2 +4y2)
(2)-
1 1 (2a-b)2+4(a - b)2 4 2
(3)mn(m－n)－m(n－m)
10、分解因式：(1)-3ma3+6ma2-12ma
(2) a2(x-y)+b2(y-x)
11、分解因式 （1） 5( x y ) 10( y x ) ；
6
14、某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比 去年同期每台降价 1000 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为 10 万元，今年销售额只有 8 万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为 3500 元，乙种电 脑每台进价为 3000 元，公司预计用不多于 5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共 15 台， 有几种进货方案？
3a 2 x 2 3 a , , a b, ( x 3) ( x 1), m 2 , 中，是分式的有（ 2x 4 m
B.3 个 C.4 个 D.5 个 ）A.x=
）
3x 有意义，则 x 的取值范围是（ 3x 7
）A.2
7 3
C. 2
B.x>
7 3
D.0
C.x<
7 3
D.x =
不等式专题一 一、选择题
2 x 3( x 3) 1 1、关于 x 的不等式组 3 x 2 有四个整数解，则 a 的取值范围是 [ xa 4
A．
]．
11 5 a 4 2
B．
11 5 a 4 2
C．
11 5 a 4 2
D．
11 5 a 4 2
8x x2 4
B.
C.
8x 2 x 4
C.
D.
2x 2 8 x2 4
D.
8.当 x=
3 x 2 3x 3 时，代数式 (x ) 的值是（ 3 x2 2 x
3 1 2
3 1 2
3 1 3 x 3
3 1 3
9.某工地调来 72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走。怎样调配劳动力才能使挖出的土能 及时运走且不窝工。 解决此问题， 可设派 x 人挖土， 其他人运土， 列方程为①
x 3 上述所列方程正确的有（ 72 x 1 1 1 ab 10.已知 ，则 的值是（ a b 2 ab
④
72 x 1 x 3
C.3 个
②72-x= D.4 个
③x+3x=72
） A.1 个
B.2 个
）A.
1 2
B.－
1 2
C.2
D.－2
11.设 m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则 A2 3 B.
]．
2．已知关于 x 的不等式组 A．-2 B．
x a b b 的解集为 3 x 5 ，则 的值为 [ a 2 x a 2b 1
C．-4 D．
1 2
1Байду номын сангаас4
]．
3．不等式组
x 2 x 6 的解集是 x 4 ，那么 m 的取值范围是 [ x m
2
因式分解专题 1.分解因式：m -4m= . 2 2 2.已知 x+y=6，xy=4，则 x y+xy 的值为 . n n 2 2 3.将 x -y 分解因式的结果为(x +y )(x+y)(x-y)，则 n 的值为 4.若 ax2+24x+b=(mx-3)2，则 a= ， b= ， m= . 2 5.如果 a ＋ma＋121 是一个完全平方式，那么 m＝________.
A． 9、已知不等式组 A．2013 二、填空 1．不等式 2(x + 1) B． B． 的解集为 C． 有公共部分，则 m 的取值范围为
C． ，则
D． （ ） D． 1
2 x 7x 1 的解集为_____________。 3 2 x x 2．同时满足不等式 7x + 4≥5x – 8 和 2 的整解为______________。 3 5
4
2
2
4
13．将下列各式分解因式 1） 4a b ( a b )
2
2
2
2 2
（2） ； (c a b ) 4 a b
2
2
2 2
2
2
14．若 a、b、c 为△ABC 的三边，且满足 a2+b2+c2－ab－bc－ca=0。探索△ABC 的形状，并说明理由。
3
分式专题 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.在下列各式 A.2 个 2.要使分式
12、为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下： 每月各户用水量 不超过 5 吨部分 超过 5 吨部分 价格（元/吨） 1.5 2