天然肠衣搭配的优化方案

根数 长度 根数
52 2323.4 0
63 23.523.9 6
49 2424.4 0
35 24.524.9 0
27 2525.4 0
16 25.525.9 1
12
2
根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人 根据这个方案“照方抓药”进行生产。 公司对搭配方案有以下具体要求： (1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好； (2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越 多，方案越好； (3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差， 总根数允许比标准少1根； (4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如 长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品 属于7-13.5米的规格； (5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。 建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2 给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。
日期： 2011 年 9 月 12日
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七、模型评价
优点：
1、这是一个经济生活中常见的确定生产方案问题，是运 筹学中很典型的问题。 2、该模型思路明朗清晰，结构简单，有一定的适用范围 能够较为简便的解决生产方案安排问题。 3、从模型总体看来，问题都是通过LINGO来解决的，这体 现了建模的科学合理性。 4、通过对数据的分析，对模型进行了合理性检验。 缺点： 1、在对模型变量进行求解过程，运用了整数规划。 2、该模型的程序过于繁琐。 3、模型的假设过于理想化。
1、 问题重述
天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产 业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不 等的小段（原料），进入组装工序。 原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3 米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是 几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实 际长度小于26米。 表1 成品规格表
许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根，得到捆数最 多。 建立目标函数： 约束条件一： 总根数允许比标准少1根，满足如下：
总长度介于米之间，满足条件如下： 约束条件二： 总根数允许比标准少1根，满足下： 总长度介于米之间，满足条件如下： 约束条件三： 总根数允许比标准少1根，满足如下：
总长度介于米之间，满足条件如下： 建立目标函数： 上述模型通过LINGO软件编程进行求解得到最多捆数188 捆。 问题三 根据问题二的结果统计出剩余材料根数如表：
三、符号说明
符号 解释说明 原材料一定，不考虑其它条件，得到的最多捆数 为提高原材料使用率，考虑根数、总长，得到最 多捆数 对原材料的充分利用剩余材料降级使用得到最多 捆数 规格米最多捆数 规格米最多捆数 规格米最多捆数 规格米不同区间使用根数分别为 规格米，不同区间使用根数分 规格米，不同区间使用根数分别 最多捆数
对此模型的检验，在满足此题成品搭配的具体要求下，通 过对表中数据分析，可计算出原料的总长度17170.5米，并且 每捆成品有总长± 0.5米的误差，即总长度为88.5或89.5米。 对成品总捆数进行估计：＝原料总长度／每捆成品总长度 捆数的最少估计； 捆数的最多估计； 原料搭配方案中成品的总捆数位于区间，故可知所建立的 模型比较符合实际，具有一定的合理性。
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 （包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括 指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别 人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按 照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确 列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、 公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西安铁路职业技术学 院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
五、模型的建立与求解
问题一 成品的三种规格为：米,7米,米，相应的最多捆数分别表 示为：，建立如下目标函数： 约束条件：原料按长度分挡，通常以0.5米为一档，规定 米按3米计算、米按3.5米计算，其余的以此类推。 对约束条件进行分析： 约束条件一：规格米，不同区间使用根数分别为 总根数满足条件如下： 总长度满足条件如下： 约束条件二：规格米，不同区间使用根数分别为 总根数满足条件如下： 总长度满足条件如下： 约束条件三：规格米，不同区间使用根数分别为 总根数满足条件如下： 总长度满足条件如下： 由上面分析，可以建立目标函数如下： 上述模型通过LINGO软件编程进行求解得到最多捆数为 180捆。 问题二 为提高原材料使用率，在问题一的基础上，考虑总长度允
天然肠衣搭配的优化方案 摘 要
制作加工天然肠衣在我国有着悠久的历史，但传统的生产 方式对原材料利用率低，浪费比较严重。为了提高生产效率及 原材料的利用率，本文针对天然肠衣原料的组装工艺问题进行 了讨论，使用线性规划方法，建立相应的优化模型，并对模型 进行了分析与评价。 在给定原材料一定的条件下，建立了线性规划模型一： 通过LINGO求解，得到第一规格的最多捆数，第二规格的最多 捆数，第三规格的最多捆数，进而得到最多捆数＝180捆。 问题二：在问题1的条件下，为了提高材料的使用率，我们 考虑总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根， 建立优化模型二： 通过LINGO求解，最多捆数捆。 问题三：通过计算可知，规格三的原材料可以充分利用， 而规格二的原材料有所剩余，为了充分利用原材料，可将规格 二的剩余材料按照规格一的标准降级使用，建立优化模型三： 通过MATLAB求解，得到规格一的捆数最多增加＝4捆。故三种 规格的最多捆数为：捆。 最后，对天然肠衣三种规格的搭配方案分别进行了运算， 其中规格米搭配方案运用附录四（1）程序运算结果表4。规格 米和米搭配方案分别由附录四（2）和附录四(3)的程序。 关键词：天然肠衣 搭配方案 优化模型 线性规划
表4 第几 捆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 米搭配方案 长 度 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 6.5-6.9 根 数 20 1 18 1 20 3 8 2 1 6 19 7 1 2 9 19 5 3 1 1 8 1 20 1 7 2 1 1 8 19 6 1 11 1 20 1 18 1 19 4 1 13 1 19 5 2 9 1 2
八、模型推广
1、通过对题目的分析，不难发现这是一类资源分配问 题，我们建立了线性规划模型，对此进行了求解分析，得到较 为合理的结论。本模型不仅适用于资源的配置问题，对规划类 问题的求解也可以起到指导作用。例如：水力资源，自然资 源，热力资源，投资问题等。 2、对剩余材料的降级处理，会造成部分原料的浪费，为 了充分利用原材料，可以将剩余材料分割处理。
10 11 12 13 14
20 19 19 20 20
1
12 9 8
2 16 16
2 1
2 2
6 2 1 1
5 2 4 3 3
同理，规格米搭配方案根据附录四（2）程序运算，规格 米搭配方案根据附录四（2）程序运算。
六、模型检验
长度 剩余根数 表3 原材料的剩余根数 3—3.4 7—7.4 7.5—7.9 8—8.4 18 24 24 10
由题要求可知，为了提高剩余原料的使用率，可以将长度 在米原料降级到米使用。为了使得剩余原材料最少，得到成品 捆数最多，我们建立目标函数：
约束条件一：总根数允许比标准少1根，满足条件如下： 约束条件二：总长度介于米之间，满足条件如下： 约束条件三：降级后长度米和米中捆绑所用根数满足： 由上面分析，可以建立以下优化模型 目标函数： 上述模型通过MATLAB软件编程进行求解得到最多捆数1捆。 经分析： 余下原料总长度：米 余下原料总根数： 根 假设余下成品以每捆19根进行捆扎，得出的成品捆数为： 捆 3捆所需原料最长：米 由此可见，剩余原料组成的总捆数为4捆。 综合问题二和问题三，得到成品捆数最多为，即S=192 捆。 以下对天然肠衣进行合理搭配，规格米搭配方案根据附录 四（1）程序运算，结果如表：
九、参考文献
[1] 韩中庚，数学建模方法及其运用，北京：高等教育出版 社，2005. [2] 姜启源、谢金星、叶俊，数学建模（第三版），北京：高 等教育出版社，2003. [3] 朱道远，数学建模型方法及其运用，南京，东南大学出版 社，1999. [4] 姜启源，数学模型matlab，北京：高等教育出版社，
二、模型假设
1、假设肠衣原料完好无损，无伪劣破烂导致不能使用现 象； 2、假设加工过程中，切割、打捆没有造成肠衣长度的损 失； 3、假设原材料测量数据准确无误； 4、假设生产过程中全都使用熟练工人，半小时内可以产 生方案； 5、假设肠衣有剩余降级使用，长度以下一级最长长度计
算； 6、假设成品捆数相同的方案中，扎捆时统一规格优先考 虑最长的。
四、问题Fra Baidu bibliotek析
问题（1），要求原料一定的条件下给出的成品捆数最多 的原料搭配方案，客观上要求在生产中做到平衡选择原料数 量。按照每组数量的多少选择肠衣原料的数量，这样即使得到 每捆之间的差别较少，所包含的不同长度的肠衣原料的数量也 比较为接近：另一方面，要做到成品的捆数最多，即就是要做 到浪费要少，余下的不能做成一捆成品的剩余肠衣原料尽可能 少。因此建立一系列的约束最优化模型。 问题（2），在第一问的条件下提高材料的使用率，考虑
总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根，建 立优化模型。 问题（3）为了使原材料的充分利用，将剩余材料降级使 用。但是按照模型和实际的要求，长度在7米以下的肠衣实际 没有了降级使用的可能。需要重点考虑的是有限使用相对较低 长度的肠衣原料。因此长度越长，即使剩余下了，降级使用的 选择空间和使用的方式仍然较大。
最短长度 3 7 14 最大长度 6.5 13.5 ∞ 根数 20 8 5 总长度 89 89 89
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有 原料，建立一个原料表。表2为某批次原料描述。 表2 原料描述表
长度 根数 长度 根数 长度 根数 长度 根数 长度 3-3.4 43 7-7.4 24 1111.4 31 1515.4 30 1919.4 3.5-3.9 59 7.5-7.9 24 11.511.9 23 15.515.9 42 19.519.9 4-4.4 39 8-8.4 20 1212.4 22 1616.4 28 2020.4 4.5-4.9 41 8.5-8.9 25 12.512.9 59 16.516.9 42 20.520.9 5-5.4 27 9-9.4 21 1313.4 18 1717.4 45 2121.4 5.5-5.9 28 9.5-9.9 23 13.513.9 25 17.517.9 49 21.521.9 6-6.4 34 1010.4 21 1414.4 35 1818.4 50 2222.4 6.5-6.9 21 10.510.9 18 14.514.9 29 18.518.9 64 22.522.9