最优化方法及其应用(课堂PPT)

一 最优化问题总论
上述三种表示形式中，称为集约束．在所讨论的最优
化问题中，集约束是无关紧要的．这是因为一般，不 然的话，通常也可用不等式约束表达出来．因此今后 一般不再考虑集约束．
满足所有约束的点称为容许点或可行点．容许点的集 合称为容许集或可行域．可用
D { X | g ( X ) 0 ， i 1 ， 2 ， L ， l ； h ( X ) 0 ， j 1 ， 2 ， L ， m ( m n ) }
上面三个等式分别乘以 x, y, z，并利用已知
条件得到
xyz 2 (3a2 yz) 0，
xyz
2 (3a2
zwenku.baidu.com)
0，
xyz
2 (3a2
xy)
0．
一 最优化问题总论
比较以上三式可得
3a2y z3a2zx3a2xy
从而x=y=z=a，右侧面积固定的长方 体的最大体积客观存在，因此侧面积固定 的长方体中以正方体体积最大．
由拉格朗日乘数法，考虑函数
F (x ,y ,z ) x y( 2 z y z 2 z x 2 x y 6 a 2 )
§1.1 最优化问题数学模型
令
Fx yz 2( y z) 0，
Fy xz 2(z x) 0，
Fz xy 2(x y) 0，
由题意可知 x, y, z应是正数，由此，将
令 f(x ) 2 (a 2 x )( 2 )x (a 2 x )2 (a2x)(a6x)0
得两个驻点：
x
1a, 2
x 1a 6
一 最优化问题总论
第一个驻点不合实际，这是因为剪去4个边 长为 的正方形相当于将铁板全部剪去．现在来判断第 二个驻点是否为极大点． 因为 f(x)24x8a f (a) 4a 0 所以 x a 是极大点 b
6
结论是：每个角剪去边长为的正方形可使所制成 的水槽容积最大．
§1.1 最优化问题数学模型
例1.2 求侧面积为常数体积最大的长方体体积．
解 设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，体积
为 v，则依题意知体积为 vf(x,y,z)xyz
限制条件为 (x ,y,z) 2 (y z x z x y) 6 a 2 0
i
j
表示．
一 最优化问题总论
一般地，对于最优化问题（1.1）的求解，是指在
可行域内找一点，使得目标函数在该点取得极小 值，即
f ( X * ) m in f ( X )，
G ( X * ) 0，
s.
t.
H
(
X
*
)
0．
这样的称为问题（1.1）的最优点，也称极小点， 而相应的目标函数值 f ( X * ) 称为最优值；(X*, f (X*))
最简单的最优化问题实际上在高等数学 中已遇到，这就是所谓函数极值，我们习惯 上又称之为经典极值问题．
例1.1 对边长为a的正方形铁板，在四
个 角处剪去相等的正方形以制成方形无盖 水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
一 最优化问题总论
解 设剪去的正方形边长为x，由题意易知，与
此相应的水槽容积为
f(x)(a2x)2x
综上所述，全书所要讨论的问题是如下的（静态） 最优化问题，其表示形式有三种：
第一种最优化问题表示形式为
[x1， x2， m L， inxn]Tf(x1， x2， L， xn)， s.t.hgji((xx11， ， xx22， ， L L， ， xxnn)) 00， ，ji 11， ， 22， ， L L， ， m l，(mn)．
最优化（一）
一 最优化问题总论 二 一维搜索法 三 常用无约束最优化方法 四 常用约束最优化方法 五 程序设计及其他优化方法
一 最优化问题总论
无论做任何一件事，人们总希望以最少 的代价取得最大的效益，也就是力求最好， 这就是优化问题．最优化就是在一切可能的 方案中选择一个最好的方案以达到最优目标 的学科．例如，从甲地到乙地有公路、水路、 铁路、航空四种走法，如果我们追求的目标 是省钱，那么只要比较一下这四种走法的票 价，从中选择最便宜的那一种走法就达到目 标．这是最简单的最优化问题，实际优化问 题一般都比较复杂．
第二种最优化问题表示形式为
m in f ( X )，
X
s
.
t
.
G H
( (
X X
) )
0， 0，
一 最优化问题总论
第三种最优化问题表示形式为
minf(X)，
sX.t .hgji((XX))00， ，ji11， ， 22， ， LL， ， ml，(mn)．（1.1）
其中
G ( X ) [ g 1 ( X ) ， L ， g l ( X ) ] T ， H ( X ) [ h 1 ( X ) ， L ， h m ( X ) ] T
2x15x240 x10，x2 0
即求 mfa(x1x ,x2)x1x2，
2x1x10， 5xx22
40， 0．
一 最优化问题总论
最优化问题的数学模型包含有三个要求：即变 量（又称设计变量）、目标函数、约束条件．
一、变量 二、目标函数 三、约束条件 四、带约束条件的优化问题数学模型表示形式
一 最优化问题总论
一条直线，不等式约束在坐标平面上为一半平面； 当约束函数为非线性时，等式约束条件在坐标平
一 最优化问题总论
概括地说，凡是追求最优目标的数学问 题都属于最优化问题作为最优化问题，一般 要有三个要素：第一是目标；第二是方案； 第三是限制条件．而且目标应是方案的“函 数”．如果方案与时间无关，则该问题属于
静 态最优化问题；否则称为动态最优化问题
本书只讨论静态最优化问题．
一 最优化问题总论
一 最优化问题总论
例1.3 某单位拟建一排四间的停车房，平 面位置如图1.1所示．由于资金及材料的 限制，围墙和隔墙的总长度不能超过 40m，为使车房面积最大，应如何选择 长、宽尺寸？
x1
x2
一 最优化问题总论
解 设四间车房长为 x 1 ，宽为 x 2．由题意可 知面积为 f(x1, x2)x1x2 且变量 x 1 ，x 2 ，应满足
合起来称为最优解，但习惯上把X *本身称为最优 解．最优点的各分量和最优值必须是有限数．
一 最优化问题总论
一、二维最优化问题的图解法
讨论二维最优化问题为
min f (x1，x2)，
s.t.
gi(x1，x2)0，i 1，2，L，l， hj(x1，x2)0，j 1，2，L，m．
一 最优化问题总论
（一）约束集合 当约束函数为线性时，等式约束在坐标平面上为