一道高考题的思考
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ａ
＝
ｘ ＝ 一
÷ 对称．据此可推测， 对任意的非零实数
ｄ
［（ 一 ） ＋矿 一 ＋ ／ 一 】 ，（皇～ ） ｐ
ｃ ｜ ａ
口ｂｃ ，， ， 的方程 （］ ，，， ｎＰ 关于 ２ ＋
的解集都不 可能是 （
Ａ． ｛，｝ １ ２
Ｃ ｛， ， ， ｝ ． Ｉ２ ３ ４
ｌ 一 ） 厂 二一 ＝ｆ（） （ ｘ．
当 ∈ ｘ， ） 。有 ｇ ＞ （ 一 时 ） ０，ｇｘ 在区间 （ （）
ｌ ６
福建 中学数 学
２０ ０ ９年第 ｌ 期 ｌ
（ ， ） 是 增 函数 ； ～ 上
ａ
Ｌ
那么方程 ［ （） （） ＿ ］ 厂 ＋ ＋Ｐ＝０ 的解的个数 为 ｌ ；
＋ ： ｐ０
＝ 脚［ （） ／ 】 ｆ（） ＋ｎ ｘ ＋Ｐ ：ｇｘ （），
）
Ｂ． ｛， ｝ ｌ４
Ｄ ｛， １ ６ ｝ ． １ ４，６，４
由此可得 ：ｇ 也关于直线 ｘ：一 对称． （）
ａ
而对于这样一 类 以二次函数为载体 的抽象 函数
的问题我们还 可以加以改进 引申．例如“ 已知 二次函 数 ｆ ｘ ＝ａ ＋ｃａ≠０ 判断对任 意的非零实数 （） ｘ ＋ （ ），
口
［ （） ＿ 】 厂 ＋∥（） Ｐ＝０的 解 也 一 定 关 于 直 线
Ｌ
＝ 一 ．
ｇ ） ［（］＋ 厂 ） Ｐ与 （ ＝ ／ ｚ 哩（ ＋ 轴的交点个数， ） 实际
上就是判 断函数 ｇ ｘ 的大致 图象形状． （）
对称．再分析上述四个答案 ， 只有第四个解
的解 的个数 ．”
ｇｘ ＝ ／ 】 ｆ（） （） ［ （） ＋ｎ ＋Ｐ函数 的图 象也关 于直 线
Ｌ
： 一 －
事实上 ，要判断方程 【（） ＋ｎ（） Ｐ＝ 的 ＿ 】 ｆ ｘ＋ ０ 厂
解 的 个 数 ， 也 就 是 转 化 为 判 断 函 数
对 称 ，所 以 马 上 就 － ， ７以 得 出 方 程
“ ” ． 型
那 么函数 ｇ （）的图象 是一 条关于直线 ｘ ＝一
ａ
如 果两个极小值 ｇ ｘ） （２ ＞０，则函数 ｇ ｘ （ ＝ｇ ｘ） （）
ｚａ
Ｐ（ 一ｘ， 一 ），又 因 函数 ＿（） 厂 ：
ａ
Ｌ
＋ ｘ＋ｃａ≠０ ｂ （ ）
由此 可 知 ｌ ＜ ． ＜一 ２
ａ
的 图 象 关 于 直 线 ＝一
２ａ
＾
对 称 ， 所 以 有
那么 当 ｘ ～ ） ，有 ｇ（） ∈（∞， 时 ＜０。ｇ ｘ 在 区 （） 间 （∞， ） — 上是减函数 ；
Ｌ
当 ｇ一 ） （ ＜０时 ，函数 ｇ ｘ （）的图象与 轴有 两
ａ
当 ∈ 一 ，２ 时 ，有 ｇ（） （ ｘ） ＜０， ｇ 在区间 （）
￡ａ
Ｌ
个交点 ，那么方程 ［ （） ＋ （） ＿ 】 ＋Ｐ＝０的解的个 厂
数 为 ２ ．
（ ， ， 上是减函数 ； ～ ｘ）
ａ
下面笔者就 来研 究这个结 论的可靠性．
பைடு நூலகம்
不 妨 设 ｇｘ ＝ ｆ （ ］＋ ｆ ＋ （） ｒｆ ｘ ｎ（） Ｐ函数 的图象 ｕ ）
Ｌ
任 一 点 尸 ， ），它 关 于 直 线 ＝一 对 称 的 点 ． ｙ
ａ
所 以 ｘ ，２ ｉ ｘ 也关于直线 ＝一 对称 ， ．
初看该题 ，似乎无 从下手 ．很多学生在再 次认 真读题后就会发现 ，本题 中的第一句话好象 是废话 ， 但机 灵 的学生 很快就 会从 后面 的五个 字“ 此 可推 据
测 ”中 读 出 端 倪 ． 由 此 展 开 思 考 ， 推 测 出
ａｂｃｍ Ｐ 关于 ，，， ，， ， 的 方程， （］ ， 曲＋ ＝ ２ ０ ＋
ｄ
接下来 。我们就来研究它 的大致 图象形状．
首先对 函数 ｇ ｘ 求导 ， （） ｇ（） ｆ（） ） ｆ （） ＝ｍ ｘｆ（ ＋ｎ
＝
集找不到对称轴 ，所 以正确答案选 Ｄ 事实上 ，这 ．
是解决这道选择题的最好方式． 但是得 出“ （） ［ （） ＋ （） ｇ ＝ 厂 】 ＋Ｐ函数 的图
（ａ ＋ｂ（ ｘ ＋， ＋Ｃ ） ２ｘ ） ｍａ ２ ＋ 。
象也关于直线 ＝一 对称” — 这一结论 ，很多学生心
ａ
再令 ｇ（） ＝０，则 可得 ：
＝ 一 —
中总有一丝疑惑． 事实上 ，这 个结论 的得 出是通 过合情推理得 出 的 ，结论是否可靠 ，谁都心 中无底 ，玻利亚说过“ 通 过合情推理得 出的结论往往 是暂 时的 、不可靠 的 、
２ａ
当 Ｘ∈（２ ＋ ｏ 时 ．有 ｇ（） ０， ｇ 在 区间 ｘ ． 。） ＞ （）
（， ＋ 上是增函数． Ｘ ， ）
【） （ Ｃ当 ｝ ）中的 Ａ： ｒｂ 一４ （ ＋” ＜０时 ，方 （ ） ｍａｃ ） ｏ
程 ｍａ ｘ＋ｍｂ ＋Ｃ ｘ ＋＂＝０无实解 ．
厶
由此可判 断函数 ｇ ｘ 的图象是一个开口向上的 （）
冒险的” ．
或 ｍａ ｘ＋ｍｂ 十Ｃ ＝ ｘ ＋ ０… （）
２ 口
（ ）当 ｍａ＞０时 １ （） （） ａ 当 中的 Ａ＝（ ） 一４ ａｃ ） ６ ｍ （ ＋月 ＞０时，方
程 ｍａ 。 ｘ ＋ ｘ＋ｍｂ ＋Ｃ ＝０ 两个不等 的实解． 有 不妨设为 ｘ ，２（１ ２ ， Ｉ Ｘ Ｘ ＜ｘ ） 又因为函数 ｇ 关于直线 ：一 对称 。 （） ．
２０ ０ ９年第 １ 期 １
福建 中学数学
ｌ ５
一
道 高考题 的思考
龚洪洋
福建省厦 门集美 中学 （ ６ ０ １） ３ １２
２０ 年 高考福建卷理科 第 １ 题 ： ０９ Ｏ
函数 ｆ ｘ ＝ａ ＋ ｘ＋ （ ≠０ 的 图象关 于 直线 （） ｘ ｂ ｃａ ）
ｋ
由此可得 ：ｇ 一 （ 兰一ｘ ）
＝
ｘ ＝ 一
÷ 对称．据此可推测， 对任意的非零实数
ｄ
［（ 一 ） ＋矿 一 ＋ ／ 一 】 ，（皇～ ） ｐ
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的解集都不 可能是 （
Ａ． ｛，｝ １ ２
Ｃ ｛， ， ， ｝ ． Ｉ２ ３ ４
ｌ 一 ） 厂 二一 ＝ｆ（） （ ｘ．
当 ∈ ｘ， ） 。有 ｇ ＞ （ 一 时 ） ０，ｇｘ 在区间 （ （）
ｌ ６
福建 中学数 学
２０ ０ ９年第 ｌ 期 ｌ
（ ， ） 是 增 函数 ； ～ 上
ａ
Ｌ
那么方程 ［ （） （） ＿ ］ 厂 ＋ ＋Ｐ＝０ 的解的个数 为 ｌ ；
＋ ： ｐ０
＝ 脚［ （） ／ 】 ｆ（） ＋ｎ ｘ ＋Ｐ ：ｇｘ （），
）
Ｂ． ｛， ｝ ｌ４
Ｄ ｛， １ ６ ｝ ． １ ４，６，４
由此可得 ：ｇ 也关于直线 ｘ：一 对称． （）
ａ
而对于这样一 类 以二次函数为载体 的抽象 函数
的问题我们还 可以加以改进 引申．例如“ 已知 二次函 数 ｆ ｘ ＝ａ ＋ｃａ≠０ 判断对任 意的非零实数 （） ｘ ＋ （ ），
口
［ （） ＿ 】 厂 ＋∥（） Ｐ＝０的 解 也 一 定 关 于 直 线
Ｌ
＝ 一 ．
ｇ ） ［（］＋ 厂 ） Ｐ与 （ ＝ ／ ｚ 哩（ ＋ 轴的交点个数， ） 实际
上就是判 断函数 ｇ ｘ 的大致 图象形状． （）
对称．再分析上述四个答案 ， 只有第四个解
的解 的个数 ．”
ｇｘ ＝ ／ 】 ｆ（） （） ［ （） ＋ｎ ＋Ｐ函数 的图 象也关 于直 线
Ｌ
： 一 －
事实上 ，要判断方程 【（） ＋ｎ（） Ｐ＝ 的 ＿ 】 ｆ ｘ＋ ０ 厂
解 的 个 数 ， 也 就 是 转 化 为 判 断 函 数
对 称 ，所 以 马 上 就 － ， ７以 得 出 方 程
“ ” ． 型
那 么函数 ｇ （）的图象 是一 条关于直线 ｘ ＝一
ａ
如 果两个极小值 ｇ ｘ） （２ ＞０，则函数 ｇ ｘ （ ＝ｇ ｘ） （）
ｚａ
Ｐ（ 一ｘ， 一 ），又 因 函数 ＿（） 厂 ：
ａ
Ｌ
＋ ｘ＋ｃａ≠０ ｂ （ ）
由此 可 知 ｌ ＜ ． ＜一 ２
ａ
的 图 象 关 于 直 线 ＝一
２ａ
＾
对 称 ， 所 以 有
那么 当 ｘ ～ ） ，有 ｇ（） ∈（∞， 时 ＜０。ｇ ｘ 在 区 （） 间 （∞， ） — 上是减函数 ；
Ｌ
当 ｇ一 ） （ ＜０时 ，函数 ｇ ｘ （）的图象与 轴有 两
ａ
当 ∈ 一 ，２ 时 ，有 ｇ（） （ ｘ） ＜０， ｇ 在区间 （）
￡ａ
Ｌ
个交点 ，那么方程 ［ （） ＋ （） ＿ 】 ＋Ｐ＝０的解的个 厂
数 为 ２ ．
（ ， ， 上是减函数 ； ～ ｘ）
ａ
下面笔者就 来研 究这个结 论的可靠性．
பைடு நூலகம்
不 妨 设 ｇｘ ＝ ｆ （ ］＋ ｆ ＋ （） ｒｆ ｘ ｎ（） Ｐ函数 的图象 ｕ ）
Ｌ
任 一 点 尸 ， ），它 关 于 直 线 ＝一 对 称 的 点 ． ｙ
ａ
所 以 ｘ ，２ ｉ ｘ 也关于直线 ＝一 对称 ， ．
初看该题 ，似乎无 从下手 ．很多学生在再 次认 真读题后就会发现 ，本题 中的第一句话好象 是废话 ， 但机 灵 的学生 很快就 会从 后面 的五个 字“ 此 可推 据
测 ”中 读 出 端 倪 ． 由 此 展 开 思 考 ， 推 测 出
ａｂｃｍ Ｐ 关于 ，，， ，， ， 的 方程， （］ ， 曲＋ ＝ ２ ０ ＋
ｄ
接下来 。我们就来研究它 的大致 图象形状．
首先对 函数 ｇ ｘ 求导 ， （） ｇ（） ｆ（） ） ｆ （） ＝ｍ ｘｆ（ ＋ｎ
＝
集找不到对称轴 ，所 以正确答案选 Ｄ 事实上 ，这 ．
是解决这道选择题的最好方式． 但是得 出“ （） ［ （） ＋ （） ｇ ＝ 厂 】 ＋Ｐ函数 的图
（ａ ＋ｂ（ ｘ ＋， ＋Ｃ ） ２ｘ ） ｍａ ２ ＋ 。
象也关于直线 ＝一 对称” — 这一结论 ，很多学生心
ａ
再令 ｇ（） ＝０，则 可得 ：
＝ 一 —
中总有一丝疑惑． 事实上 ，这 个结论 的得 出是通 过合情推理得 出 的 ，结论是否可靠 ，谁都心 中无底 ，玻利亚说过“ 通 过合情推理得 出的结论往往 是暂 时的 、不可靠 的 、
２ａ
当 Ｘ∈（２ ＋ ｏ 时 ．有 ｇ（） ０， ｇ 在 区间 ｘ ． 。） ＞ （）
（， ＋ 上是增函数． Ｘ ， ）
【） （ Ｃ当 ｝ ）中的 Ａ： ｒｂ 一４ （ ＋” ＜０时 ，方 （ ） ｍａｃ ） ｏ
程 ｍａ ｘ＋ｍｂ ＋Ｃ ｘ ＋＂＝０无实解 ．
厶
由此可判 断函数 ｇ ｘ 的图象是一个开口向上的 （）
冒险的” ．
或 ｍａ ｘ＋ｍｂ 十Ｃ ＝ ｘ ＋ ０… （）
２ 口
（ ）当 ｍａ＞０时 １ （） （） ａ 当 中的 Ａ＝（ ） 一４ ａｃ ） ６ ｍ （ ＋月 ＞０时，方
程 ｍａ 。 ｘ ＋ ｘ＋ｍｂ ＋Ｃ ＝０ 两个不等 的实解． 有 不妨设为 ｘ ，２（１ ２ ， Ｉ Ｘ Ｘ ＜ｘ ） 又因为函数 ｇ 关于直线 ：一 对称 。 （） ．
２０ ０ ９年第 １ 期 １
福建 中学数学
ｌ ５
一
道 高考题 的思考
龚洪洋
福建省厦 门集美 中学 （ ６ ０ １） ３ １２
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函数 ｆ ｘ ＝ａ ＋ ｘ＋ （ ≠０ 的 图象关 于 直线 （） ｘ ｂ ｃａ ）
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