第3章 幂级数展开分解

说明n＞N后面项的和为一小数，则级数收敛。 证明略
二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质
1、 绝对收敛 ⑴ 绝对收敛的定义 由复数级数 的各项模 1 、 2 …. k 组成的新级数
k k
或写为
u1 v1 、
2
2
u 2 v2
k
2
2
、…
k
u k vk
2
2
收敛，则称这个级数 为绝对收敛级数。 ⑵ 性质： a. 如果级数 是绝对收敛的，则该级数收敛。
极限S称为级数的和.
s 1 2 3 ......
s3 1 2 3
......
limS
n
n
S

反之，称为发散。
k 收敛。 则称级数 k 1
（3）实数项级数Cauchy收敛原理 级数 u k 收敛的充分必要条件为：
k 1
对于任意给定的正数 ,总存在自然数N 使得当n>N 时， 对于任意的自然数p 都有：
其中 z0 , a0 , a1, a2 , 中心的幂级数。
都是复常数，这样的级数称为以z0为
二、幂级数的收敛半径及其求法：
1、收敛半径R： 应用正项级数的比值判别法可知,如果
a ( z z0 ) lim a ( z z0 )
k 1 k k
k 1
k
lim
k
ak 1 ( z z0 ) 1 ak
n p
k n 1

k
( z ) 成立。
则称级数 k 为一致收敛。
k 1
⑵ 性质：
a、一致收敛是对B或l而言，或者说是对复函数而言的。 b、在B上一致收敛的级数的每一项都是B上的连续函数，
则级数的和也是B上的连续函数。 在l上一致收敛的级数的每一项都是l上的连续函数，则 级数的和也是l上的连续函数,而且级数可以沿l逐项积分。 c、在 B 中一致收敛的级数的每一项都在 B 中单值解析，则 级数的和也是 B 中的单值解析函数，其各阶导数可由级数 逐项求导得到，且导数的级数在 B 内的任意一个闭区域中 一致收敛。
则幂级数绝对收敛。否则发散。
ak 引入记号R， R lim k a k 1
于是，若 z z0 R, 则幂级数绝对收敛。若 则幂级数发散。 以 z0 为圆心作一个半径为 R 的圆，幂级数在圆的内部 绝对收敛，在圆外发散。这个圆称为幂级数的收敛圆，它
z z0 R,
的半径称为收敛半径。
......
极限S称为级数的和.
s u1 u2 u3 ......
limS
n
n

S
反之，称为发散。
u k 收敛。 则称级数 k 1
（2） 复数项级数的收敛定义 如果复数项级数 k 的部分和序列Sn 有极限S，即
k 1
s1 1
s2 1 2
c.改变绝对收敛级数各项的先后次序其和不变。
和相同

1, 2 ,.i , j....k
1, 2 ,. j , i....k
2、一致收敛 ⑴ 一致收敛的定义 如果级数定义在区域B（或某曲线l）上，则在区域 B（或l）上的各点z，对于给定的小正数ε，存在与z无
关的正整数N,使得n >N时，对于任意的自然数p恒有：
k k
——充分条件
，
常用判断级数绝对值收敛的方法来判断级数的收敛
b. 如果级数 和 是绝对收敛的，将它们逐项相乘，
k k
k k
得到的级数 也是绝对收敛的。
k k l l

k k
k
A, k B,
k l l k l k l

k
AB
n p
k n 1
u
k
成立。
证明见高等数学教材。
（4）复数项级数Cauchy收敛原理 函数项级数 k ( z )收敛的充分必要条件为：
k 1
对于任意给定的正数 ,总存在自然数N(z)使得当n>N(z) 时， 对于任意的自然数p 都有：
n p
k n 1

k
( z ) 成立。
2、Cauchy法求收敛半径 应用正项级数的根值判别法可知,如果
lim a z z 0 ＜1 幂级数绝对收敛；若＞1则发散。
k k k
k
收敛半径为
R = lim k k
1
a
k
对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）
例１ 求级数 1 t t 2 ... t k .... 的收敛圆，t 为复变数。 解：
三、级数绝对收敛性的常用判别法：
⒈达朗贝尔（d’Alembent） 判别法 对于级数


k 1
k
1 2 ...k k 1 ...
如果（至少当n充分大时） n1

1,
n
则级数 k 绝对收敛。反之，发散。
k 1

⒉柯西(Cauchy)判别法 如果（至少当n充分大时）
第三章
重点内容
幂级数展开
1、求幂级数收敛半径的方法
2、复变函数泰勒展开条件与展开方法
3、复变函数洛朗展开条件与展开方法
4、极点阶的确定
§3.1
复数项级数
一、复数项级数定义及其收敛判据
1. 复数项级数定义：


k 1
k
1 2 3 .....
说明： ⑴每一项均为复数 ⑵实数项级数是复数项级数的特例 ⑶一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论
ak 1,
R lim

u
k 1 k k 1
k
i v k
k 1
2、复数项级数的收敛判据---Cauchy收敛判据 （1）实数项级数的收敛定义 如果实数项级数 u k 的部分和序列 Sn 有极限S，即
k 1
s1 u1 s2 u1 u2 s3 u1 u2 u3
n
＜1，则级数 是绝对收敛的，反之，发散。
nห้องสมุดไป่ตู้
k 1 k

⒊高斯（Gauss）判别法 如果（至少当n充分大时）

n
1

n

n
np
,
n 1
其中p>1，而λn 是有界的。
k
常数 1 时，级数 绝对收敛；
k
当 1 时级数发散。
§3.2

幂级数
一、幂级数表示
k 2 a (z z ) a a ( z z ) a ( z z ) .... k 0 0 1 0 2 0 k 0