概率论与数理统计-第1章-第2讲-古典概率与几何概率
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19
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
解
n Nk
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球
P( A1)
k! Nk
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( m k )
P(
A2 )
Ckm
(N 1)km Nk
（3）恰有 k 个盒子中各有一球 每个盒子至多一球
P( A3 )
CNk k! Nk
ANk Nk
N (N 1)
(N k 1) ANk
基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生
有限性 等可能性
具有上述特点的随机试验E称为古典(等可能)概型.
3
02 古典概率
1. 古典概率
设随机试验E为古典概型，记
n 样本空间S 中所包含的基本事件的个数
k 事件A中所包含的基本事件的个数
则 P( A) k n
概率的古典定义
对古典概率的计算可以转化为对样本点的计数问题，该问题通常可以 借助排列组合公式以及加法和乘法原理等进行计算.
（1） 设样本空间S是平面上某个区域， 它的面积记为μ(S);
S
12
02 古典概率
（2） 向区域S上随机投掷一点
“随机投掷一点”的含义是: 该点落入S内任何部分区域内的可能性只与 这部分区域的面积成比例，而与这部分区域 的位置和形状无关.
S
13
02 古典概率
（3） 设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一点， 该点落在区域A的概率为
解 令A={恰有k件次品}
P( A)
C C k nk M NM
C
n N
超几何公式
6
02 古典概率
快充
普充
例 口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只一只抽取，求第k次摸得黑球的 概率．
(1)有放回抽取：
a
a
b
(2)不放回抽取： a ab
无放回和有放回答案相同！ 简单理解是“抽签理论或排队理论”：如10个充电器含3个快充，每次抽中快 充的概率都是3/10，与次序无关！
4
02 古典概率
（1）加法原理 设完成一件事有m 种方式，第i 种方式有ni种方法， 则完成这件事共有:n1 n2 nm种不同的方法.
（2）乘法原理 设完成一件事需要m个步骤，第i个步骤有ni种方法， 则完成这件事共有: n1 n2 nm种不同的方法.
（3）排列公式 Ank n(n 1)
X
Y
|
1
2
( A) (S)
1
1 2
2
1
3 4
解法2 利用均匀分布计算（第三章）
y
1 A
O 1/2 1
x
18
第2讲 古典概率与几何概率
知识点解读—古典概型与几何概型
古典概型是最简单的一种概率模型，要掌握好古典概型，必须 学好排列组合公式.会利用排列组合公式去求样本点总数和事件 包含的样本点个数. 几何概型的概率计算的关键是将样本空间和随机事件用正确的 图形表示出来. 几何图形的度量主要是长度，面积或体积等，经常运用积分等 工具去求解.
C a1 a b 1
Ca ab
a ab
8
02 古典概率
例（分房模型）
设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ k N ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球； （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球（ m k ） （3）恰有 k 个盒子中各有一球.
7
02 古典概率
例 口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只一只抽取， 求第k次摸得黑球的概率． (2)不放回抽取
解法1
把球编号，按抽取次序把球排成一列，样本点总 数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! ． 事件A相当于在第k 位放黑球，共有a种放法，每
种放法又对应其它a+b－1个球的(a+b－1)! 种放
法, 故事件A包含的样本点数为a(a+b－1)!
解法2 只考虑前k个位置
a(a b 1)! a (a b)! a b
aAk 1 a b 1 Ak ab
a ab
解法3 共a +b个次序，总数:从a +b个次序里边挑a 个给 黑球。事件A的次数：把第k个位置放黑球，剩 下a +b-1个位置，挑a-1个给黑球
2.几何概率
设样本空间为有限区域 S, 若样本点落入S内任何区域 A中的概率 与区域A的测度成正比, 则样本点落入A内的概率为
P( A) A的测度 S 的测度
17
02 几何概率
典型例题
约会问题
在区间(0, 1)中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于1/2的概率.
解法1 利用几何概型计算
P |
A
S
P( A) ( A) (S)
14
02 古典概率 （3） 假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用
P( A) ( A) (S)
确定，只不过把() 理解为长度或体积即可.
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本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 几何概率
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
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概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
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02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
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02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
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02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
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02 古典概率
解
n Nk
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球
P( A1)
k! Nk
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( m k )
P(
A2 )
Ckm
(N 1)km Nk
（3）恰有 k 个盒子中各有一球 每个盒子至多一球
P( A3 )
CNk k! Nk
ANk Nk
N (N 1)
(N k 1) ANk
基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生
有限性 等可能性
具有上述特点的随机试验E称为古典(等可能)概型.
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02 古典概率
1. 古典概率
设随机试验E为古典概型，记
n 样本空间S 中所包含的基本事件的个数
k 事件A中所包含的基本事件的个数
则 P( A) k n
概率的古典定义
对古典概率的计算可以转化为对样本点的计数问题，该问题通常可以 借助排列组合公式以及加法和乘法原理等进行计算.
（1） 设样本空间S是平面上某个区域， 它的面积记为μ(S);
S
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02 古典概率
（2） 向区域S上随机投掷一点
“随机投掷一点”的含义是: 该点落入S内任何部分区域内的可能性只与 这部分区域的面积成比例，而与这部分区域 的位置和形状无关.
S
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02 古典概率
（3） 设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一点， 该点落在区域A的概率为
解 令A={恰有k件次品}
P( A)
C C k nk M NM
C
n N
超几何公式
6
02 古典概率
快充
普充
例 口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只一只抽取，求第k次摸得黑球的 概率．
(1)有放回抽取：
a
a
b
(2)不放回抽取： a ab
无放回和有放回答案相同！ 简单理解是“抽签理论或排队理论”：如10个充电器含3个快充，每次抽中快 充的概率都是3/10，与次序无关！
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02 古典概率
（1）加法原理 设完成一件事有m 种方式，第i 种方式有ni种方法， 则完成这件事共有:n1 n2 nm种不同的方法.
（2）乘法原理 设完成一件事需要m个步骤，第i个步骤有ni种方法， 则完成这件事共有: n1 n2 nm种不同的方法.
（3）排列公式 Ank n(n 1)
X
Y
|
1
2
( A) (S)
1
1 2
2
1
3 4
解法2 利用均匀分布计算（第三章）
y
1 A
O 1/2 1
x
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第2讲 古典概率与几何概率
知识点解读—古典概型与几何概型
古典概型是最简单的一种概率模型，要掌握好古典概型，必须 学好排列组合公式.会利用排列组合公式去求样本点总数和事件 包含的样本点个数. 几何概型的概率计算的关键是将样本空间和随机事件用正确的 图形表示出来. 几何图形的度量主要是长度，面积或体积等，经常运用积分等 工具去求解.
C a1 a b 1
Ca ab
a ab
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02 古典概率
例（分房模型）
设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ k N ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球； （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球（ m k ） （3）恰有 k 个盒子中各有一球.
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02 古典概率
例 口袋中a只黑球，b只白球． 随机地一只一只抽取， 求第k次摸得黑球的概率． (2)不放回抽取
解法1
把球编号，按抽取次序把球排成一列，样本点总 数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! ． 事件A相当于在第k 位放黑球，共有a种放法，每
种放法又对应其它a+b－1个球的(a+b－1)! 种放
法, 故事件A包含的样本点数为a(a+b－1)!
解法2 只考虑前k个位置
a(a b 1)! a (a b)! a b
aAk 1 a b 1 Ak ab
a ab
解法3 共a +b个次序，总数:从a +b个次序里边挑a 个给 黑球。事件A的次数：把第k个位置放黑球，剩 下a +b-1个位置，挑a-1个给黑球
2.几何概率
设样本空间为有限区域 S, 若样本点落入S内任何区域 A中的概率 与区域A的测度成正比, 则样本点落入A内的概率为
P( A) A的测度 S 的测度
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02 几何概率
典型例题
约会问题
在区间(0, 1)中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于1/2的概率.
解法1 利用几何概型计算
P |
A
S
P( A) ( A) (S)
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02 古典概率 （3） 假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用
P( A) ( A) (S)
确定，只不过把() 理解为长度或体积即可.
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本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 几何概率