第1讲 函数三要素和常见题型及解法

第一讲 函数三要素和常见题型及解法

函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 题型一函数的定义域

1．下列函数中，与函数

定义域相同的函数为( )

A ．y ＝

B ．y ＝ln x

x C ．y ＝xe x D ．y ＝

2．函数f(x)＝

x －4

|x|－5

的定义域是________________． 3．函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1] C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)

4．函数f (x )＝

1－|x －1|

a x －1

(a ＞0且a ≠1)的定义域为____________________．

5．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 017]，则函数g (x )＝f (x ＋1)

x －1

的定义域是( )

A ．[0,2 016]

B ．[0,1)∪(1,2 016]

C ．(1,2 017]

D ．[－1,1)∪(1,2 016] 6．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．

函数定义域的求解策略

(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：

①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式

a ≤g (x )≤

b 求出；

②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．

题型二 函数的表示及解析式

1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )

2．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．

则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________．

3. (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1

x 2，求f (x )的解析式；

(2)已知f ⎝⎛⎭⎫

2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；

(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋

1，求f (x )；

(4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．

求函数解析式的4种方法

题型三 函数的值域和最值

1． 求二次函数242y x x =-+-（[]

1,4x ∈）的值域.（配方法）

2． 求函数3

42

-+-=x x e y 的值域.

3． 求函数421,[3,2]x x y x --=-+∈-的最大值与最小值。

4．求函数])8,1[(4

log 2log 22∈⋅=x x

x y 的最大值和最小值。

附例：求函数

f(x)= 最小值。

5.已知[]

0,2x ∈，求函数12

()4325x x f x -

=-⋅+的值域.（换元法）

6.求函数3y x =.

7.已知函数)(x f 的值域为34,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域。

8.求函数23y x =-的值域.（单调性）

9.求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。

10.求函数22

585

1

x x y x ++=+的值域.（判别式）

11.求函数221

2

+++=x x x y 的值域.

12.求函数1

e 1

e y x x +-=的值域。（反解法）

13.求函数5

x 2x

1y +-=的值域。（分离常量）

14.求函数13y x x =-+-的值域.（数形结合或分类讨论）

15.求函数31y x x =--+的值域。（分类讨论）