高中数学3.2.2 直线的两点式方程 (2)

截距式
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
适用范围
不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直坐标轴
不垂直坐标轴且不经 过原点
不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开 心扉。
——培根
4
直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做 直线方程的截距式方程.
在x轴上 的截距
x y 1. ab
在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
【即时训练】
直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的面积是
1
_2_a_b__.
例2 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所 在直线的方程.
a 1
所以a=0，即直线方程为x+y+2=0. 所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段
PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为( )
A.1
B.- 1
C.- 3
D.2
3
3
2
3
解：选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有
3.2.2 直线的两点式方程
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程． 一般做法：
解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
由已知得：
3 4
k b， 2k b，
待定系数 法
解方程组得：kb
1， 2，
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2.
还有其他做法吗？
解：由斜率公式得到斜率k 4 3 . 21
y
O
x
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)
代入上式得 k 即4 ,直线方程为 y 4 x.
5
5
当截距均不为0时，设直线方程为 x y 1,
aa
把P(-5，4)代入上式得 a 1.
直线方程为 x y 1, 即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或4 x
5
截距为零 不容忽视
y-0 - 1 -0
=
x 3
+5 +5
,
22
整理得x + 13y + 5 = 0.
这就是BC边上的中线所在直线的方程.
中点坐标公式
以P（1 x1，y1),P2(x2 ,y2 )为端点的线段的中点坐标为
（ x1 + x2 ,y1 + y2 ).
2
2
【变式练习】
过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有 几条?
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
因为kPP1= kP1P2,
所以 y y1 y2 y1 ,
x x1 x2 x1
可得直线的两点式方程：
y
y1
x x1
.
y2 y1 x2 x1
记忆特点：1.左边全为y，右边全为x.
2.两边的分母全为常数. 3.两边分子，分母中的减数分别相同.
x y 1 0.
【变式练习】
设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距 为零，显然相等. 所以a=2,方程即为3x+y=0. 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得 a 2=a-2,即a+1=1,
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方
程 y y1 x x1 呢？
y2 y1 x2 x1
提示：不是!
当x1＝x2或y1= y2时,直线P1P2没有两点式方程.
(因为x1＝x2或y1= y2时,两点式方程的分母为零,没有
意义) 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?
提示：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标 轴重合的直线的方程．
【变式练习】
求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式
方程. (1)P(2，1)，Q(0，-3) (2)A(0，5)，B(5，0) (3)C(-4，-5)，D(0，0)
y 1 x 2 3 1 0 2
y 2x3
y 5 x 0 y x 5
05 50
y0 x0 y 5 x
5 0 4 0
解：（1）2x-y -3 = 0.（2）x+y = 5.
例1 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.
解：将A(a，0），B（0，b)的坐标
y
代入两点式得：
l B(0,b)
A(a,x-a b-0 0-a
即 x + y = 1. ab
a b
+ +
7 1
= 2，
=解-2得，
a 5, b 3,
从而可知直线l的斜率为
-3 - 1 7+5
=
-1. 3
2.根据下列条件求直线的方程
（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；
由截距式得：x y 1 23
整理得：3x 2y 6 0
（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；
若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1= y2, 此时过这两点的直线方程是什么?
提示： 当x1＝x2时方程为：x＝x1或x＝x2 当y1= y2时方程为：y=y1或y=y2
【即时训练】
求经过下列两点的直线方程:
(1)P1(2，1),P2(0，- 3).(2)A(0，5),B(5，0).
解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为： y-2 = x-0， -3 - 2 3 -0 整理得，5x +3y - 6 = 0.
这就是BC边所在直线的方程.
设BC的中点为M,则M的坐标为（3 +0，-3 + 2），即（3，- 1）.
22
22
过A(-5,0),M（3 ，2
1）的直线方程为 2
解: ⑴ 两条
设 直线的方程为:
x y 1 aa
把(1,2)代入得： 1 2 1
aa
a=3
所以直线方程为：x+y-3=0
那还有一条呢？ y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
例3 求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等 的直线方程.
分析：截距均为0时， 设方程为y=kx, 截距均不为0时， 设为截距式求解.
得: y=x+2.
1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围. (重点)
2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. 3.掌握中点坐标公式.(重点) 4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.(难点)
已知两点P1(x1 ,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）, 求通过这两点的直线方程．
由截距式得：x y 1
整理得：
6x
5 5y
6 30
0
3.根据下列条件求直线的方程 （1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点（5，0），且在两坐标轴上的截距之差为2；
5x-3y+15=0 3x+5y-15=0或7x+5y-35=0
直线方程名称 直线方程形式
点斜式 斜截式 两点式
再由直线的点斜式方程得y 3 4 3 ( x 1)， 21
化简可得x y 2 0.
还有其他的方法吗？
解：设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)， P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：
k = k PP1
P1P2
即：y 3 4 3， x 1 21