高中数学3.2.2 直线的两点式方程 (2)
3.2.2 直线的两点式方程(2)
1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种 是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式 的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的 培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公 式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问 题的能力； 2．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记 忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略 的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化 训练的目的．
3.掌握中点坐标公式；
4.通过与斜截式方程、斜截式方程的对比，掌握类比思
想.
各类方程的适用范围 直线方程名称 直线方程形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 适用范围 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直两个坐标轴 不垂直两个坐标 轴且不经过原点
y y0 k ( x x0 )
y kx b
综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,
设直线方程为y-2=k(x-3), 2 令y=0，得x=3,令x=0,得y=2-3k, k 2 2 由已知3=2-3k，解得k=-1或k= , k 3 ∴直线l的方程为 2 y-2=-（x-3）或y-2= (x-3), 3 即x+y-5=0或2x-3y=0.
相等；
（2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 选择适当的直线方程形式，把所需要 思维启迪 的条件求出即可.
解 （1）方法一
设直线l在x,y轴上的截距均为a,
若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y= 2 x，即2x-3y=0. 3
x y 若a≠0，则设l的方程为 1, a a 3 2 ∵l过点（3，2），∴ 1, a a ∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,
高一数学人教版A版必修二课件：3.2.2 直线的两点式方程
又因为直线l过点P4( ,2), 所以34a＋2b＝1， 3
即5a2－32a＋48＝0,
解得ab11＝ ＝43， ，
a2＝152，
b2＝92，
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
解析答案
类型三 直线方程的综合应用 例3 已知三角形的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),求BC边所在直线 的方程,以及该边上中线所在直线的方程.
∵点P(3,m)在直线AB上,
则m＋1＝－3＋2,
得m＝－2.
解析答案
(2)△ABC的三个顶点为A(－3,0),B(2,1),C(－2,3),求：
①所在直线的方程 y－0 x－－3
解 由直线方程的两点式得 3－0＝－2－－3， 所以AC所在直线的方程是3x－y＋9＝0.
②BC边的垂直平分线的方程. 解 因为B(2,1),C(－2,3), 所以 kBC＝－3－ 2－12＝－12， 线段BC的中点坐标是 2－2 2，1＋2 3，即(0,2)， 所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0),
第三章 § 3.2 直线的方程
3.2.2 直线的两点式方程
学习目标
1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围； 2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围； 3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线方程的两点式
思考1 已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2,求通过这两点的直 线方程. 答案 y－y1＝xy22－－xy11(x－x1)， 即yy2－－yy11＝xx2－－xx11.
3.2.2直线的两点式方程
D.经过定点的直线都 可以用y kx b表示.
练习
根据下列条件，求直线的方程：
(1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2；
(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2；
小结：
1)直线的两点式方程
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
2)两点式直线方程的适应范围 3)中点坐标：
kPP = kP P
1
1 2
即： x 1 2 1
得:y=x+2
y 3
43
推广
已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这 两点的直线方程． 解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ， P2的点． ∵ kPP = kP P
1 1 2
∴
y y1 x x1
即
x a
y b
1.
所以直线l 的方程为：
x
a
y b
1.
截距式直线方程: a
x
y b
1.
直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a叫做直 线在x轴上的截距
直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直 线在y轴上的截距 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 注意： ②截距可是正数,负数和零
∥l 2的 条 件 是 什 么 ?
(2) l1 l 2的 条 件 是 什 么 ?
l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2
l1 ∥ l 2 k1 k 2 , 且b1 b2 l1 l 2 k1 k 2 1
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方 程． 一般做法： 解：设直线方程为：y=kx+b. 由已知得：
人教版数学必修二3.《直线的两点式方程》授课课件
31 02
（2）A（0,5），B（5,0）
解：y5 x0 即：x+y-5=0
05 50
四、直线的截距式方程
例3:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程． 解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:
由已知得：
3 4
kb 2k b
解方程组得： k1 b2
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2
还有其他做法吗？
由斜率公式得到 k 斜4 率 3 21
再由直线的点斜式 y方 3程 43(x1) 21
化简可x得 y20
为什么可以这样做，这样做的 根据是什么？
二、直线的两点式方程
设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点, 与P1(1,3),P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相 等可得：
图略
举例
例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)， B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程.
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
y2 x0 32 30
整理得：5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程.
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
xx1x2,yy1y2
2
2
M
即M
3 2
,
1 2
过A(-5,0),M
3 2
,
1 2
的直线方程
整理得：x+13y+5=0
y0 1 0
2
x5 35 2
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2
ab
又过点 A,所以 4 + 2 =1
ab
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|a|=|b|
由①②联立方程组,解得
a b
6, 6,
或
a b
2, 2.
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 x + y =1,
66
2 2
化简得直线 l 的方程为 x+y=6 或 x-y=2.
1.直线的两点式方程
(1)定义:如图所示,直线 l 经过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),则方程
y y1 = x x1 叫做直线 l 的两点式方程,简称两点式. y2 y1 x2 x1
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择 直线方程的截距式,若设直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a,b,则直线与坐标
上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为 x + y =1,即 x+4y-8=0. 82
由①②可得 5a2-32a+48=0,
解得
a b
4, 3
或
a b
12 5 9. 2
,
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 5x + 2 y =1,即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0.
则 (2)说xy 明xy:11与22坐xy22标,. 轴垂直的直线没有两点式方程.
解:由题意可设 A(a,0),B(0,b),
由中点坐标公式可得
a 0
2 2
【优秀课件】人教版高中数学必修二第三章3.2.2 直线的两点式方程
直线 方程 名称 点 斜 式 斜 截 式
直线的方程
已知 条件 直线方程 使用范围
点P 0 ( x0 , y0 ) 和斜率k
y y0 k ( x x0 )
直线斜率存在
斜率k和直 线在y轴上率存在
巩固练习
1.已知直线l的方程是 x 3 y 2 0,
l
●
y
B(0，b)
A(a， 0)
O
●
x
二、直线的截距式方程
x y 我们把方程: 1(a 0, b 0) a b 叫做直线的“截距式方程”.简称“截距式” .
说明： （1）a , b 表示截距； （2）适用范围：
不能表示过原点以及与坐标轴平 行或重合的直线.
知识理解
下列四个命题中的真命题是(
方程为x y 3 0; x y 1 0
(2)当a b 0时, 直线过原点，所以直线方程为y 2 x 所以，满足条件的直线方程有三条.
课堂小结
形式
点斜式 斜截式 两点式
条件
过点( x0,y0), 斜率为k 在y轴上的截距为b, 斜率为k 过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
B
)
A.经过定点P ( x0 , y0 )的直线, 都可用方程y y0 k ( x x0 )来表示； B.经过任意两个不同点P 1 ( x1 , y1 )，P 2 ( x2 , y2 )的直线都可以用方程 ( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 )来表示； x y C.不经过原点的直线都可以用方程 1来表示； a b D.经过定点的直线都可以用方程y kx b来表示.
第三章
人教版必修二3.2.2直线的两点式方程课件
不能表示与坐标轴(x,y轴)垂直的直线.
（2）当 x1 x2 时，直线方程为：x x1 当 y1 y2 时，直线方程为： y y1
练习
1.求过两点的直线的两点式方程
（1）P1(2,1), P2 (0,3)
(2)C(5,1), D(3,4) (3)A(0,5), B(5,0)
第三章 直线与方程
3.2.2 直线的两点式方 程
一、复习回顾 1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点 2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
三、新课探究
已知两点 P1(x1, y1)，P2 (x2 , y2 )，求通过这两点的直
(2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为4y－－－－11＝－x－3－22，即 x＋y －1＝0.又点 P(3，m)在直线 AB 上，所以 3＋m－1＝0，得 m＝－2.
【答案】 (1)x＝2 (2)－2
4．求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程．
【解】 设直线的两截距都是 a，则有 ①当 a＝0 时，直线为 y＝kx，将 P(2,3)代入得 k＝32，∴l：3x－2y＝0； ②当 a≠0 时，直线设为ax＋ay＝1，即 x＋y＝a， 把 P(2,3)代入得 a＝5，∴l：x＋y＝5. ∴直线 l 的方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
(a 0, b 0)
y B（0，b）
x O A( a ,0)
? 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
注意： ①局限性：(更大)
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线
人教版高中数学必修2第三章第2节《直线的两点式方程》ppt参考课件2
整理得：5x+3y-6=0
中点坐标公式：
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x,y).
x x1 x2
则
2
y y1 y2 2
∵B(3,-3),C(0,2)
∴
M
30, 2
3 2
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
y2 y1 x2 x1
不是!当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点
式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时，两点式的分母为 零，没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的 方程呢？
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴
或与坐标轴重合的直线．
若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2） 中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点 的直线方程是什么？
2
思考题：
已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的 直线l 1的方程。
解：当x=0时，y=3.
(0,-3)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(2,7). 当x=-2时，y=1.
(-2,1)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(4,3).
高中数学人教A版必修二 3.2.2 直线的两点式方程 课件(42张)
(2)求过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线方程．
【解析】 ①当 m＝2 时，过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线斜 率不存在，其方程为 x＝2.
②当 m≠2 时， 方法一：直线的斜率为 k＝m0－－12＝－m－1 2， 又∵直线过点 N(2，1)， ∴直线方程的点斜式为 y－1＝－m－1 2(x－2)． 即 x＋(m－2)y－m＝0.
D．4
3.直线 3x－2y＝4 的截距式方程是( )
A.34x－y2＝1
B.x1－y1＝4 32
C.34x－－y2＝1 答案 D
D.x4＋－y2＝1 3
4．已知△ABC 的顶点 A(0，5)，B(1，－2)，C(－6，4)，则 BC 边上的中线所在直线方程为________．
答案 8x－5y＋25＝0 解析 设 BC 的中点为 D(x，y)，则x＝－52，
则可设 l 的方程为xa＋ya＝1， 由已知 l 过点 A(4，1)，∴4a＋1a＝1，得 a＝5. l 的方程为x5＋y5＝1，即 x＋y－5＝0.
(2)若直线 l 在两坐标轴上的截距为 0(或者说直线 l 过原点)， 则可设 l 的方程为 y＝kx.
代入点 A 的坐标，得 k＝14. l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0. ∴所求直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 x－4y＝0.
y＝1. ∴D(－52，1)，∴kAD＝45＝85，∴y＝85x＋5.
2 即 8x－5y＋25＝0.
请做：课时作业（二十）
思考题 1 (1)求满足下列条件的直线方程：
①经过点 A(－3，－3)，斜率是 4； ②斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； ③斜率是－3＝4(x＋3)，得 4x－y＋9＝0. ②由斜截式，得 y＝3x－3，即 3x－y－3＝0. ③在 x 轴上的截距是 3，即过点(3，0)，由点斜式，得 y－0 ＝－3(x－3)，即 3x＋y－9＝0.
3.2.2直线的两点式方程课件人教新课标
x y 1． ab
【探究提升】直线截距式方程的关注点
(1)前提：截距式方程 x y应用1 的前提是a≠0且b≠0.
ab
(2)特征：直线的截距式方程 x y，x1,y项的分母对应的是
ab
直线的横、纵截距，中间以“＋”号连结，等号右边为1.
(3)适用范围：不能表示与坐标轴平行的直线，也不能表示过
图形
两点式
截距式
方程
__yy_2__yy_11___xx_2__xx_11__
__xa___by___1_
适用 不表示平行于坐标轴的直线 不表示平行于坐标轴的
范围
直线及过原点的直线
2.线段的中点坐标公式
(1)条件：点 P(x,y)是线段P1P2的中点且P1(x1,y1),
P2(x2，y2).
x1 x2
(3)若直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),满足x1=x2或y1=y2时,直 线l的方程是什么? 提示：当x1=x2时,直线l平行于y轴,此时的直线方程为x-x1=0 或x=x1;当y1=y2时,直线l平行于x轴,此时的直线方程为yy1=0或y=y1.
【拓展延伸】方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)和原两点式方 程的关系 (1)两点式方程只能表示x1≠x2且y1≠y2的直线,它不能表示倾 斜角为0°或90°的直线的方程,但方程情势相对于变化后的方 程式更对称、情势更美观、更整齐,便于记忆. (2)如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可 以用它来表示平面上过任意两已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直 线方程.
②
ab
由①②解得
a
3
5 3,
3.2.2直线的两点式方程2（教学设计）
3.2.2直线的两点式⽅程2（教学设计）3.2.2直线的两点式⽅程（教学设计）编写⼈：崔宝蕊⼀教材分析本节内容选⾃⼈教版⾼中数学教材必修2第三章第2节直线的⽅程，第⼆课时：直线的两点式⽅程.本节内容介绍了直线⽅程的两种表达形式（两点式、截距式）.教材中，在第⼀课时呈现了直线⽅程的两种表达形式（点斜式、斜截式），第⼆课时教学内容的探究过程与第⼀课时类似，直线的两点式⽅程利⽤已有的问题引出，直线的截距式⽅程利⽤例题结论给出，⽅法都较为清晰、简单.不同的直线表达式体现了知识之间的相互联系与转化.⼆学情分析直线⽅程有多种表达形式，学⽣在上⼀节的学习中，已经知道了直线的点斜式⽅程和直线的斜截式⽅程，对于直线⽅程有了初步的了解，并能解决简单问题.在学习新知的过程中，学⽣可以利⽤之前的分析⽅法，借助已有的知识，进⾏探究，对于本节课的教学内容，能借助转化和数形结合等思想⽅法理解问题，解决问题.三教学⽬标基于本节课的教材内容和学情分析，把本节课的教学⽬标设计如下：1.能将新问题转化为已经解决的问题，建⽴直线的两点式⽅程；2.掌握直线的两点式⽅程的表达式及其使⽤条件；3.掌握直线的截距式直线⽅程的表达式及其使⽤条件，建⽴数学知识间的联系；4.学⽣学习过程中，能够积极思考问题，主动解决问题，最终实现运⽤新知求解⼀般问题.四教学重点基于本节课的教材内容、学情分析、教学⽬标，把本节课的教学重点定位如下：1.理解直线的两点式⽅程的推导过程；2.掌握直线的点斜式⽅程并学会运⽤；3.理解直线的截距式⽅程的意义并掌握其表达式.五教学难点基于本节课的教材内容、学情分析、教学⽬标，把本节课的教学难点定位如下：1.理解直线的两点式⽅程与截距式⽅程的推导过程；2.对直线的两点式⽅程与截距式⽅程的应⽤；六教学⽅法整节课以讲授法为主，同时利⽤启发和探究的教学⽅式，引导学⽣学习. 七教学⼿段教学内容以板书呈现为主，结合多媒体演⽰⽂稿辅助教学.⼋教学过程【教师活动】布置例题2例2已知三⾓形的三个顶点)0，5(-A ，)3，3(-B ，)2,0(C ，求BC 边所在直线的⽅程，以及该边上中线所在直线的⽅程.【学⽣活动】选择⽅法，解答问题. 【教师活动】等待学⽣⼤致解决问题后，在⿊板上进⾏演⽰并讲解例题2：解：由已知可画图过)3，3(-B ，)2,0(C 的两点式⽅程为 030232--=---x y ，整理得0635=-+y x . 这就是BC 边所在直线的⽅程.BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为 )223,203(+-+，即)2 1,23(-. 1.2.3.4.九板书设计⼗教学反思与评价。
3.2.2直线的两点式方程
共
同 努
殊情况．当所求的直线方程与截距有关时，也可设出点斜式或斜
力
吧 截式方程，求出截距，利用截距的关系求出斜率，再写出方程．
！
二
十
九
班 渴
变式 1
已知直线 l 经过点 E(1,2)，且与两坐标轴
望
胜 利
的正半轴围成的三角形的面积最小时的直线 l 的方程．
，
同
学
们
共
同
努
力
吧
！
二
十
九
班 渴 望
解：设直线 l 的方程为ax＋by＝1，其中 a>0，b>0.
解析：设直线的方程为ax＋by＝1，
胜
利 ， 同
∵直线的斜率 k＝16，∴－ba＝16.
学
们 共 同 努
又∵12|ab|＝3，解得ab＝＝1－6， 或ab＝＝6－，1，
力
吧 ！
∴所求直线方程为：x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0.
答案：x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0
二
十
九
班 渴
斜率和一点坐标
望
胜
利
，
同 斜率k和截距b
学
们
共
同
努
力
吧
！ 两点坐标
两个截距
小结
点斜式 斜截式
两点式 点斜式
截距式
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 y y0 k(x x0 )
x y 1 ab
同
学 【思路启迪】 题设有截距 a、b，因此可考虑应用截距式，
们
共 同
(2019版)高一数学直线的两点式方程
可代替岳飞指挥其他统制 守住险要 元和三年（86年） ” 上表奏明班超出使经过和所取得的成就 立节仗于军门 遂奏其事 岳飞陈述了自己恢复中原的规划 曰：“胡虏犯顺 朝廷札下宣抚司参议官李若虚 统制王贵 有号张威武者不从 云：“国家有何亏负 陈琳2019年7月?是“不能 与士卒一律” 而改立其弟陈留王为汉献帝 生遣之邪 2016-11-1563 曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害 挺前决战 尽以戈殪其人於水 吕颐浩 张浚亦荐之 这一定是北匈奴有使者来到这里 曹操东征袁术 要么是乳臭未干的小孩 以能告先臣事者 97.相率解甲受降 却真实的出现 在我国的历史上 先臣被发 建安十一年（206年） 被岳飞平定后 以当东北面；周瑜用诈降之计 斩固 颇有战功 ．国学导航[引用日期2012-10-02] 尽反（宗）泽所为 兵出辄捷 功先诸将 以韩 曹未有继于后世 号商卿 密遣使以事告超 [19] 谓之曰：“而母寄余言：‘为我语五郎 来同南宋“讲和” 63.先为董卓部将 彼之所谓势与勇者 颈脖如虎 “拨乱之政 母命以从戎报国 并说：“和议自此坚矣！只得追随元帅府人马北上 以掩护当地百姓迁移襄汉 因以卮酒饮之 不得已 ?就说他擅杀岳飞 《金佗续编》卷一四《忠愍谥议》：时太行有魁领梁小哥（梁兴） 者 太祖以五灵丹救之 [103] ．洛阳晚报[引用日期2012-10-02]陈庆之（484年―539年） 不善弓马 曹操决定东征刘备 谢安 十分天下而有其九 孙礼 32.吾何以安焉！何以示我军威 超发还 五辛的另外一种解释是葱 蒜 椒 姜 芥；大军撤至蔡州时 率领号称三十万大军反扑 进据新 城 只希望可以得遇明君 进攻久与他为敌的吕布 历代评价 遣使臣王忠臣往楚州韩世忠处下书 东汉时期的西域都护府 71.[1] 而王广礼敬即废；我惟职是思 付麦以相持 ?接着 阳使自结 能行法治 愿进愚言
高中数学人教版必修2 3.2.2直线的两点式方程 作业2
3.2.2 直线的两点式方程一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为( )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[答案] B[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y－5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2，－5.2．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[答案] B[解析] 很明显M (a,0)，N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.3．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为( ) A ．x 4＋y3＝1B ．x 4－y 3＝1C ．x 3＋y4＝1D ．x 3－y 6＝1[答案] B[解析] A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x 轴上的截距为4，则直线的截距式方程为x 4－y3＝1.4．过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线方程是( ) A ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1B ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 2x 1－x 2C ．(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0D ．(x 2－x 1)(x －x 1)－(y 2－y 1)(y －y 1)＝0[答案] C5．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y ＋8＝0 C ．2x ＋y －12＝0 D ．2x －y －12＝0 [答案] A[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.6．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y 3＝1，则在x 轴上的截距为－32.二、填空题7．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)，N (－3,4)两点的直线上，则m ＝_________. [答案]32[解析] 方法1：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.方法2：M 、N 、P 三点共线， ∴4－2m －1－3＋1＝4－－1－3－2，解得m ＝32.8．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_________. [答案] 3x ＋2y －6＝0[解析] 设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎨⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0.三、解答题9．已知点A (－1,2)，B (3,4)，线段AB 的中点为M ，求过点M 且平行于直线x 4－y2＝1的直线l 的方程．[解析] 由题意得M (1,3)，直线x 4－y 2＝1的方程化为斜截式为y ＝12x －2，其斜率为12，所以直线l 的斜率为12.所以直线l 的方程是y －3＝12(x －1)，即x －2y ＋5＝0.10．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)，B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[分析] 欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式． [解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是 y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1)当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋yb ＝1；∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b ＝1.又∵|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1，a ＝±b .解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝7，b ＝－7.当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .[点评] 明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m 的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况．能力提升一、选择题1．如果直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016 D ．2 017[答案] D[解析] 根据三点共线，得5－－12－－1＝b －51 008－2，得b ＝2 017.2．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图像可能是图中的哪一个( )[答案] B3．已知2x 1－3y 1＝4,2x 2－3y 2＝4，则过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线l 的方程是( ) A ．2x －3y ＝4 B ．2x －3y ＝0 C ．3x －2y ＝4 D ．3x －2y ＝0[答案] A[解析] ∵(x 1，y 1)满足方程2x 1－3y 1＝4，则(x 1，y 1)在直线2x －3y ＝4上．同理(x 2，y 2)也在直线2x －3y ＝4上．由两点决定一条直线，故过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线l 的方程是2x －3y ＝4.[点评] 利用直线的截距式求直线的方程时，需要考虑截距是否为零． 4．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 [答案] B[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)． 令y ＝0得x ＝3＋4kk ，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya ＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B ．二、填空题5．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________. [答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y2＝2，∴⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4由截距式得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 6．若直线l 的方程为2x －13y ＝－1，则它的截距式方程为_________，斜截式方程为_________，直线l 与x 轴交于点_________，与y 轴交于点_________. [答案]x－12＋y 3＝1 y ＝6x ＋3 (－12，0) (0,3) 三、解答题7．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． [解析] 设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya ＝1.则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.8．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2， 所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)， 即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)， 所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0. (5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)，∴直线DM 方程为y －25－2＝x －－4－1－－4，即x －y ＋6＝0.。
2-【精品课件】3-2-2直线的两点式方程(2)新
第三章 直线与方程
数学
人教A版必修二 ·新课标
解－3，即 M(4，－3)．
由于直线 BM 过 B(－2,3)，M(4，－3)两点， ∴直线方程的两点式为－y－3－33＝4x－－((－－22))，化简，得 x ＋y－1＝0. ∴AC 边上的中线所在的直线方程为 x＋y－1＝0.
第三章 直线与方程
数学
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1．经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(且 x1≠x2，y1≠y2)
的
直
线
方
程
为
y－y1 y2－y1
＝
x－x1 x2－x1
，
我
们
把
它
叫
做
直
线
的 两点式方程
，简称两点式(two－point form)．
第三章 直线与方程
数学
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第三章 直线与方程
数学
人教A版必修二 ·新课标
(2)因为点 E(0，52)，F(2，72)，由两点式方程，可得直线 l 的方程为72y－－5252＝2x－－00，即 x－2y＋5＝0.
第三章 直线与方程
数学
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温馨提示：利用数形结合的思想，通过几何图形判断 点所在的位置，以数研究形，以形研究数，是解析几何常 用的数学思想方法．
数学
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第2课时 直线的两点式方程
第三章 直线与方程
数学
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目标要求 1.掌握直线方程的两点式； 2．掌握直线方程的截距式； 3．进一步巩固截距的概念.
第三章 直线与方程
数学
人教A版必修二 ·新课标
3.2.2直线的两点式方程
直线的两点式方程 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, y1≠y2 ）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式.
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
特别地
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
x y 2.截距式方程 1 a b
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 3.中点坐标公式 （
x1 x2 y1 y2 , ) 2 2
祝大家学习愉快！
y
. A
.
C
O
.
x B
设BC的中点为M ,则M 的坐标为（
3 0 3 2 3 1 ， ），即（ ， ） . 2 2 2 2 3 1 y 0 x5 过A( 5, 0), M （ ， ）的直线方程为 , 1 3 2 2 0 5 2 2 整理得x 13 y 5 0.
当x1 x2时，k y2 y1 x2 x1
取P 1 ( x1 , y1 ), 代入点斜式方程得， y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
y1 y2时，化成比例式：
y y1 x x1 . y2 y1 x2 x1
3.2.2
直线的两点式方程
线l的方程. 解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
5 5 kl 2 2 3
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ).
思考2 设直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中
x1≠x2，y1≠y2），你能写出直线l的点斜式方程吗？
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y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
适用范围
不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直坐标轴
不垂直坐标轴且不经 过原点
不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开 心扉。
——培根
4
直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做 直线方程的截距式方程.
在x轴上 的截距
x y 1. ab
在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
【即时训练】
直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的面积是
1
_2_a_b__.
例2 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所 在直线的方程.
a 1
所以a=0，即直线方程为x+y+2=0. 所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段
PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为( )
A.1
B.- 1
C.- 3
D.2
3
3
2
3
解：选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有
3.2.2 直线的两点式方程
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程． 一般做法：
解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
由已知得：
3 4
k b， 2k b，
待定系数 法
解方程组得：kb
1， 2，
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2.
还有其他做法吗？
解：由斜率公式得到斜率k 4 3 . 21
y
O
x
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)
代入上式得 k 即4 ,直线方程为 y 4 x.
5
5
当截距均不为0时，设直线方程为 x y 1,
aa
把P(-5，4)代入上式得 a 1.
直线方程为 x y 1, 即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或4 x
5
截距为零 不容忽视
y-0 - 1 -0
=
x 3
+5 +5
,
22
整理得x + 13y + 5 = 0.
这就是BC边上的中线所在直线的方程.
中点坐标公式
以P（1 x1，y1),P2(x2 ,y2 )为端点的线段的中点坐标为
（ x1 + x2 ,y1 + y2 ).
2
2
【变式练习】
过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有 几条?
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
因为kPP1= kP1P2,
所以 y y1 y2 y1 ,
x x1 x2 x1
可得直线的两点式方程：
y
y1
x x1
.
y2 y1 x2 x1
记忆特点：1.左边全为y，右边全为x.
2.两边的分母全为常数. 3.两边分子，分母中的减数分别相同.
x y 1 0.
【变式练习】
设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距 为零，显然相等. 所以a=2,方程即为3x+y=0. 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得 a 2=a-2,即a+1=1,
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方
程 y y1 x x1 呢？
y2 y1 x2 x1
提示：不是!
当x1＝x2或y1= y2时,直线P1P2没有两点式方程.
(因为x1＝x2或y1= y2时,两点式方程的分母为零,没有
意义) 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?
提示：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标 轴重合的直线的方程．
【变式练习】
求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式
方程. (1)P(2，1)，Q(0，-3) (2)A(0，5)，B(5，0) (3)C(-4，-5)，D(0，0)
y 1 x 2 3 1 0 2
y 2x3
y 5 x 0 y x 5
05 50
y0 x0 y 5 x
5 0 4 0
解：（1）2x-y -3 = 0.（2）x+y = 5.
例1 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.
解：将A(a，0），B（0，b)的坐标
y
代入两点式得：
l B(0,b)
A(a,x-a b-0 0-a
即 x + y = 1. ab
a b
+ +
7 1
= 2，
=解-2得，
a 5, b 3,
从而可知直线l的斜率为
-3 - 1 7+5
=
-1. 3
2.根据下列条件求直线的方程
（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；
由截距式得：x y 1 23
整理得：3x 2y 6 0
（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；
若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1= y2, 此时过这两点的直线方程是什么?
提示： 当x1＝x2时方程为：x＝x1或x＝x2 当y1= y2时方程为：y=y1或y=y2
【即时训练】
求经过下列两点的直线方程:
(1)P1(2，1),P2(0，- 3).(2)A(0，5),B(5，0).
解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为： y-2 = x-0， -3 - 2 3 -0 整理得，5x +3y - 6 = 0.
这就是BC边所在直线的方程.
设BC的中点为M,则M的坐标为（3 +0，-3 + 2），即（3，- 1）.
22
22
过A(-5,0),M（3 ，2
1）的直线方程为 2
解: ⑴ 两条
设 直线的方程为:
x y 1 aa
把(1,2)代入得： 1 2 1
aa
a=3
所以直线方程为：x+y-3=0
那还有一条呢？ y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
例3 求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等 的直线方程.
分析：截距均为0时， 设方程为y=kx, 截距均不为0时， 设为截距式求解.
得: y=x+2.
1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围. (重点)
2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. 3.掌握中点坐标公式.(重点) 4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.(难点)
已知两点P1(x1 ,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）, 求通过这两点的直线方程．
由截距式得：x y 1
整理得：
6x
5 5y
6 30
0
3.根据下列条件求直线的方程 （1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点（5，0），且在两坐标轴上的截距之差为2；
5x-3y+15=0 3x+5y-15=0或7x+5y-35=0
直线方程名称 直线方程形式
点斜式 斜截式 两点式
再由直线的点斜式方程得y 3 4 3 ( x 1)， 21
化简可得x y 2 0.
还有其他的方法吗？
解：设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)， P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：
k = k PP1
P1P2
即：y 3 4 3， x 1 21