三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩

函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()

ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

1

到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象．

先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

x

y sin =)

3sin(π

+=x y )

3

2sin(π

+=x y )

3

2sin(3π

+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍

得sin y A x =的图象(01)(1)

1

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)

ϕϕϕω

><−−−−−−−→向左或向右平移

个单位

得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ωϕ=++的图象．

例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象；②将所得

图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得

π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐

标缩小到原来的

12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的

图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

)

3

2sin(3π

+=x y x

y sin =x

y 2sin =)

3

2sin(π

+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位

横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍

说明：无论哪种变换都是针对字母x而言的．由sin2

y x

=的图象向左平移π

8

个单位长度得到的函数图象

的解析式是

π

sin2

8

y x

⎛⎫

=+

⎪

⎝⎭

而不是

π

sin2

8

y x

⎛⎫

=+

⎪

⎝⎭

，把

π

sin

4

y x

⎛⎫

=+

⎪

⎝⎭

的图象的横坐标缩小到原来的

1

2

，得到

的函数图象的解析式是

π

sin2

4

y x

⎛⎫

=+

⎪

⎝⎭

而不是

π

sin2

4

y x

⎛⎫

=+

⎪

⎝⎭

．

对于复杂的变换，可引进参数求解．

例2将sin2

y x

=的图象怎样变换得到函数

π

cos2

4

y x

⎛⎫

=-

⎪

⎝⎭

的图象．

分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．

解：

ππsin2cos2cos2

22

y x x x

⎛⎫⎛⎫

==-=-

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，

在

π

cos2

2

y x

⎛⎫

=-

⎪

⎝⎭

中以x a

-代x，有

ππ

cos2()cos22

22

y x a x a

⎡⎤⎛⎫

=--=--

⎪

⎢⎥

⎣⎦⎝⎭

．

根据题意，有

ππ

222

24

x a x

--=-，得

π

8

a=-．

所以将sin2

y x

=的图象向左平移π

8

个单位长度可得到函数

π

cos2

4

y x

⎛⎫

=-

⎪

⎝⎭

的图象．