数学分析1实数集与函数总练习题

第一章 实数集与函数
总练习题
1、设a, b ∈R ，证明：
(1)max{a,b}=12(a +b +|a −b|)；(2)min{a,b}=12(a +b −|a −b|).
证：(1)当a ≥b 时，max{a,b}=a ；12(a +b +|a −b|)=12(a +b +a −b)=a ； 当a ≤b 时，max{a,b}=b ；12(a +b +|a −b|)=12(a +b +b −a)=b ；
∴max{a,b}=12(a +b +|a −b|).
(2)当a ≥b 时，min{a,b}=b ；12(a +b −|a −b|)=12(a +b −a +b)=b ； 当a ≤b 时，min{a,b}=a ；12(a +b −|a −b|)=12(a +b −b +a)=a ；
∴min{a,b}=12(a +b −|a −b|).
2、设f 和g 都是D 上的初等函数，定义
M(x)=max{f(x),g(x)}，m(x)=min{f(x),g(x)}，x ∈D ，
试问M(x)和m(x)是否为初等函数？
解：M(x)=max{f(x),g(x)}= 12(f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|);
m(x)=min{f(x),g(x)} = 12(f (x )+g (x )−|f(x)−g(x)|);
∵f 和g 都是D 上的初等函数，∴M(x)和m(x)都是初等函数。

3、设函数f(x)=1−x 1+x ，求：f(-x)，f(x+1)，f(x)+1，f(1x )，1f(x)，f(x 2)，f(f(x)). 解：f(-x)= 1−(−x)1+(−x)=1+x 1−x ；f(x+1)= 1−(x+1)1+(x+1)=−x x+2；f(x)+1=1−x 1+x +1=
1−x+1+x 1+x =21+x ； f(1x )=
1−1x 1+1x =x−1x x+1x =x−1x+1；1f(x)=1+x 1−x ；f(x 2)= 1−x 21+x 2；f(f(x))=1−1−x 1+x 1+1−x 1+x =1+x−(1−x)1+x+1−x =x.
4、已知f(1x )=x+√1+x 2，求f(x).
解：f(x)=1
x +√1+(1
x
)2=1
x
+ √x2+1
|x|
.
5、利用函数y=[x]求解：
(1)某系各班级推选学生代表，每5人推选1名代表，余额满3人可增选1名，写出可推选代表数y与班级学生数x之间的函数关系(假设每班学生为30-50人)；
(2)正数x经四舍五入后得整数y，写出y与x之间的函数关系.
解：(1)y=[x+2
5
]，x=30,31,…,50. (2)y=[y+0.5]，x>0.
6、已知函数y=f(x)的图象，试作下列各函数的图象：
(1)y= -f(x)；(2)y=f(-x)；(3)y= -f(-x)；(4)y=|f(x)|；(5)y=sgn f(x)；
(6)y=1
2[|f(x)|+f(x)]；(7)y=1
2
[|f(x)|−f(x)].
解：(1)y= -f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称；
(2)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称；
(3)y= -f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称；
(4)当f(x)≥0时，y=|f(x)|与y=f(x)的图象相同；
当f(x)≤0时，y=|f(x)|与y=f(x)的图象关于x轴对称；
(5) 当f(x)> 0时，y=sgnf(x)的图象在直线y=1上；
当f(x)=0时，y=sgnf(x)的图象在直线y=0上；
当f(x)<0时，y=sgnf(x)的图象在直线y= -1上；
(6)当f(x)≥0时，y=1
2
[|f(x)|+f(x)]与y=f(x)的图象相同；
当f(x)≤0时，y=1
2
[|f(x)|+f(x)]的图象在直线y=0上；
(7)当f(x)≥0时，y=1
2
[|f(x)|−f(x)]的图象在直线y=0上；
当f(x)≤0时，y=1
2
[|f(x)|−f(x)]与y=f(x)的图象关于x轴对称. 以f(x)=(x+1)2-1为例，如图：
7、已知函数f和g的图象如图，试作下列函数的图象：
(1)φ(x)=max{f(x),g(x)}；(2) ψ(x)=min{f(x),g(x)}.
解，如图：
8、设f,g和h为增函数，满足f(x)≤g(x)≤h(x)，x∈D，证明f(f(x))≤g(g(x))≤h(h(x)). 证：∵f,g和h都为增函数，且f(x)≤g(x)≤h(x)，x∈D，
∴f(f(x))≤f(g(x))≤g(g(x))≤g(h(x))≤h(h(x))；即f(f(x))≤g(g(x))≤h(h(x)).
9、设f和g为区间(a,b)上的增函数，证明(1)φ(x)=max{f(x),g(x)}；(2) ψ(x)=min{f(x),g(x)}都是(a,b)上的增函数.
证：设x1,x2∈(a,b)，且x1<x2. 则f(x1)-f(x2)<0，g(x1)-g(x2)<0
(1)φ(x)=max{f(x),g(x)}=1
2
(f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|)
φ(x1)-φ(x2)
=1 2(f(x1)+g(x1)+|f(x1)−g(x1)|)−1
2
(f(x2)+g(x2)+|f(x2)−g(x2)|)
=1
2
[(f(x1)−f(x2))+(g(x1)−g(x2))+|f(x1)−g(x1)|−|f(x2)−g(x2)|]
≤1
2
[(f(x1)−f(x2))+(g(x1)−g(x2))+|f(x1)−g(x1)−(f(x2)−g(x2))|]
=1
2
[(f(x1)−f(x2))+(g(x1)−g(x2))+|(f(x1)−f(x2))+(g(x2)−g(x1))|]
≤1
2
[(f(x1)−f(x2))+(g(x1)−g(x2))+|f(x1)−f(x2)|+|g(x1)−g(x2)|]=0
∴φ(x)=max{f(x),g(x)}是(a,b)上的增函数.
(1)ψ(x)=min{f(x),g(x)}=1
2
(f(x)+g(x)−|f(x)−g(x)|)ψ(x1)-ψ(x2)
=1 2(f(x1)+g(x1)−|f(x1)−g(x1)|)−1
2
(f(x2)+g(x2)−|f(x2)−g(x2)|)
=1
2
[(f(x1)−f(x2))+(g(x1)−g(x2))+|f(x2)−g(x2)|−|f(x1)−g(x1)|]
≤1
2
[(f(x1)−f(x2))+(g(x1)−g(x2))+|f(x2)−g(x2)−(f(x1)−g(x1))|]
=1
2
[(f(x1)−f(x2))+(g(x1)−g(x2))+|(f(x2)−f(x1))+(g(x1)−g(x2))|]
≤1
2
[(f(x1)−f(x2))+(g(x1)−g(x2))+|f(x1)−f(x2)|+|g(x1)−g(x2)|]=0
∴ψ(x)=min{f(x),g(x)}是(a,b)上的增函数.
10、设f为[-a,a]上的奇(偶)函数，证明：若f在[0,a]上增，则在[-a,0]上增(减). 证：设x1,x2∈[0,a]，且x1<x2. 则-x1, -x2∈[-a,0]，且-x1>-x2.
∵f在[0,a]上增，∴f(x1)<f(x2)；∴-f(x1)>-f(x2).
当f为[-a,a]上的奇函数时，f(-x1)=-f(x1)，f(-x2)=-f(x2)，
∴f(-x1)> f(-x2)；∴f在[-a,0]上增；
当f为[-a,a]上的偶函数时，f(-x1)=f(x1)，f(-x2)=f(x2)，
∴f(-x1)< f(-x2)；∴f在[-a,0]上减.
11、证明：(1)两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；
(2)两个偶函数之和与积都为偶函数；
(3)奇函数与偶函数之积为奇函数.
证：(1)设f,g是D上的奇函数，则f(-x)= -f(x)；g(-x)= -g(x).
令函数F=f+g，函数G=f·g，则对任意x∈D，有
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-F(x).
G(-x)=f(-x)·g(-x)=(-f(x))·(-g(x))=f(x)·g(x)=G(x).
∴两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数.
(2)设f,g是D上的偶函数，则f(-x)=f(x)；g(-x)=g(x).
令函数F=f+g ，函数G=f ·g ，则对任意x ∈D ，有
F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x).
G(-x)=f(-x)·g(-x)=f(x)·g(x)=G(x).
∴两个偶函数之和与积都为偶函数.
(2)设f 是D 上的奇函数，g 是D 上的偶函数，则f(-x)= -f(x)；g(-x)=g(x). 令函数G=f ·g ，则对任意x ∈D ，有G(-x)=f(-x)·g(-x)= -f(x)·g(x)= -G(x). ∴奇函数与偶函数之积为奇函数.
12、设f,g 为D 上的有界函数，证明：
(1) inf x∈D {f (x )+g (x )}≤inf x∈D f (x )+sup x∈D
g(x)； (2) sup x∈D f (x )+inf x∈D g (x )≤sup x∈D
{f (x )+g (x )}. 证：(1)对任意x ∈D ，inf x∈D f (x )≤f (x )，inf x∈D
g (x )≤g (x )， ∴inf x∈D f (x )+inf x∈D g (x )≤f (x )+g(x)；∴inf x∈D f (x )+inf x∈D g (x )≤inf x∈D {f (x )+g (x )} 又inf x∈D
{f (x )+g (x )}+inf x∈D {−g (x )}≤inf x∈D {f (x )+g (x )−g(x)}=inf x∈D f (x )， ∴inf x∈D {f (x )+g (x )}≤inf x∈D f (x )−inf x∈D {−g (x )}=inf x∈D f (x )+sup x∈D
g(x) (2)对任意x ∈D ，sup x∈D f (x )≥f (x )，sup x∈D
g (x )≥g (x )， ∴sup x∈D f (x )+sup x∈D g (x )≥f (x )+g(x)；∴sup x∈D f (x )+sup x∈D g (x )≥sup x∈D {f (x )+g (x )}， 又sup x∈D
{f (x )+g (x )}+sup x∈D {−g (x )}≥sup x∈D {f (x )+g (x )−g (x )}=sup x∈D f (x )， ∴sup x∈D
{f (x )+g (x )}≥sup x∈D f (x )−sup x∈D {−g (x )}=sup x∈D f (x )+inf x∈D g (x )， 即sup x∈D f (x )+inf x∈D g (x )≤sup x∈D
{f (x )+g (x )}.
13、设f,g 为D 上的非负有界函数，证明：
(1) inf x∈D f (x )·inf x∈D g (x )≤inf x∈D {f (x )g (x )}；(2)sup x∈D {f (x )g (x )}≤sup x∈D f (x )·sup x∈D g (x ). 证：(1)依题意，对任意x ∈D ，0≤inf x∈D f (x )≤f(x)，0≤inf x∈D g (x )≤g(x)， ∴inf x∈D f (x )·inf x∈D g (x )≤f (x )g (x )；∴inf x∈D f (x )·inf x∈D g (x )≤inf x∈D
{f (x )g (x )}.
(2)依题意，对任意x∈D，0≤f(x)≤sup
x∈D f(x)，0≤g(x)≤sup
x∈D
g(x)，
∴f(x)g(x)≤sup
x∈D f(x)·sup
x∈D
g(x)；∴sup
x∈D
{f(x)g(x)}≤sup
x∈D
f(x)·sup
x∈D
g(x).
14、将定义在[0,+∞)上的函数f延拓到R上，使延拓后的函数为
(i)奇函数，(ii)偶函数. 设
(1)f(x)=sinx+1；(2)f(x)={1−√1−x2, 0≤x≤1 x3, x>1
解：设f0, f e是f延拓到R上后的函数，且为f0奇函数，f e为偶函数. (1)当x=0时，f0(x)=0，f e(x)=f(x)=sinx+1；
当x>0时，f0(x)=f(x)=sinx+1，f e(x)=f(x)=sinx+1；
当x<0时，f0(x)= -f(-x)= -[sin(-x)+1]=sinx-1，f e(x)=f(-x)=sin(-x)+1=1-sinx.
∴f0(x)={sinx+1, x>0
0, x=0
sinx−1, x<0
f e(x)={
sinx+1, x≥0
1−sinx, x<0
(2)当0≤x≤1时，f0(x)= f e(x)=f(x)= 1−√1−x2；
当x>1时，f0(x)= f e(x)=f(x)=x3；
当-1≤x<0时，f0(x)= -f(-x)=−[1−√1−(−x)2]=√1−x2−1，f e(x)=f(-x)= 1−√1−(−x)2=1−√1−x2；
当x<-1时，f0(x)= -f(-x)= -(-x)3=x3，f e(x)=f(-x)=(-x)3=-x3；
∴f0(x)=
{x3, x>1
1−√1−x2, 0≤x≤1
√1−x2−1, −1≤x<1
x3, x<−1
f e(x)={
x3, x>1
1−√1−x2, −1≤x≤1
−x3, x<−1
15、设f是定义在R上的以h为周期的函数，a为实数.
证明：若f在[a,a+h]上有界，则f在R上有界.
证：∵f在[a,a+h]上有界，∴对任意的x0∈[a,a+h]，存在M>0，使|f(x0)|≤M，对任意的x∈R，一定存在整数k，使x=kh+x0，于是|f(x)|=|f(kh+x0)|=|f(x0)|≤M，∴f在R上有界.
16、设f在区间D上有界，记M=sup
x∈D f(x)，m=inf
x∈D
f(x).
证明：sup
a,b∈D
|f(a)−f(b)|=M-m.
证：对任意a,b∈D，有|f(a)−f(b)|≤M-m，
任意的ε>0，∵M=sup
x∈D
f(x)，所以有a0∈D，使f(a0)>M-ε；
又m=inf
x∈D
f(x)，所以有b0∈D，使f(b0)<m+ε.
∴|f(a0)-f(b0)|> (M-ε)-(m+ε)=M-m-2ε，即sup
a,b∈D
|f(a)−f(b)|=M-m.。