2016高考数学常见题型(第四辑)：一元二次方程根的分布

Δ＝b2－4ac≥0， x1<0，x2<0⇔x1＋x2＝－ba<0， x1x2＝ac>0.
Δ＝b2－4ac≥0，
推论：x1<0，x2<0⇔
a>0， f0＝c>0，
或
b>0
Δ＝b2－4ac≥0， a<0， f0＝c<0， b<0.
由二次函数图像易知它的正确性． 【定理3】 x1<0<x2⇔ac<0.
一元二次方程根的分布
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1．一元二次方程的根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于 零的关系．比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指 这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两 个根分布在零的两侧． 设 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的 两 个 实 根 为 x1 ， x2，且x1≤x2.
2．一元二次方程的根的非零分布——k分布
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2， 且x1≤x2.k为常数．则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k 的位置)有以下若干定理．
【定理1】
Δ＝b2－4ac≥0， k<x1≤x2⇔afk>0，
－2ba>k.
【定理2】
Δ＝b2－4ac≥0， x1≤x2<k⇔－af2kba><0k， .
【解析】 由已知k－3＝0，∴k＝3，代入原方程得3x2＋ 5x＝0，另一根为负．
【答案】 负根
例2 (1)已知方程x2－11x＋m－2＝0的两实根都大于1， 求m的取值范围．
【答案】 12<m≤1249
(2)若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的两个实根都大 于－1，求m的取值范围．
【答案】 m<－百度文库或m≥5＋2 6
(3)若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的两实根都小于 2，求m的取值范围．
【答案】 m<－12或m≥5＋2 6 (4)已知方程x2＋2mx＋2m2－3＝0有一根大于2，另一根 比2小，求m的取值范围．
【答案】
－1－
22<m<－1＋
2 2
(5)已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0有一实根在0和1之 间，求m的取值范围．
a<0， 或ffkk12<>00， ，
fp1>0， fp2<0.
此定理可直接由定理4推出，请读者自证．
【定理6】 k1<x1≤x2<k2⇔
Δ＝b2－4ac≥0， a>0， fk1>0， fk2>0， k1<－2ba<k2
Δ＝b2－4ac≥0， a<0， 或fk1<0， fk2<0， k1<－2ba<k2.
【定理3】 x1<k<x2⇔af(k)<0.
推论1 x1<0<x2⇔ac<0. 推论2 x1<1<x2⇔a(a＋b＋c)<0.
【定理4】 有且仅有k1<x1(或x2)<k2⇔f(k1)f(k2)<0.
【定理5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2⇔
a>0， ffkk12><00， ， fp1<0， fp2>0
例题讲解
例1 (1)若一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0有两 个正根，求m的取值范围．
【解析】
Δ＝4m＋12＋4mm－1≥0， 依题意有－2mm－＋11>0，
m－－m1>0，
解得0<m<1.
【答案】 (0,1)
(2)若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根都是负数， 求k的取值范围．
【定理1】 x1>0，x2>0(两个正根)⇔
Δ＝b2－4ac≥0， x1＋x2＝－ba>0， x1x2＝ac>0.
Δ＝b2－4ac≥0，
推
论
：
x1>0
，
x2>0
⇔
a>0， f0＝c>0，
或
b<0
Δ＝b2－4ac≥0， a<0， f0＝c<0， b>0.
上述推论结合二次函数图象不难得到．
【定理2】
【答案】
12 2<m<3
(6)已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0的较大实根在0和1之 间，求m的取值范围．
变式：改为较小实根．
【答案】 不可能；12<m<23
(7) 若 方 程 x2 ＋ (k ＋ 2)x － k ＝ 0 的 两 实 根 均 在 区 间 ( － 1,1) 内，求k的取值范围．
【答案】 －4＋2 3≤k<－12
(8)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1
之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
【答案】
12 2<k<3
(9)已知关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m2＋m－6＝0的两根 为α，β且0<α<1<β，求m的取值范围．
【答案】 －3<m<－ 7或2<m< 7
【解析】
Δ≥0， 依题意可知k－k 3>0，
解得k≤－152或k>3.
【答案】 (－∞，－152]∪(3，＋∞)
(3)k在何范围内取值，一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0有 一个正根和一个负根？
【解析】 依题意有k－k 3<0⇒0<k<3. 【答案】 (0,3)
(4)若一元二次方程kx2＋(2k－1)x＋k－3＝0有一根为零， 则另一根是正根还是负根？