北京邮电大学概率论与随机过程2016-2017期末
2017年北京邮电大学模式识别期末考试试题
北京邮电大学2016——2017学年第二学期《模式识别》期末考试试题（A卷）①写出后验概率的表达式，描述它和先验概率的区别。
②写出线性判别函数的表达式，画图指出参数的物理意义，描述它和神经元模型的联系。
③为什么说SVM是最优线性分类器，它相比感知器算法的优点是?④Logistic Regression的优化表达式，它的功能与SVM的作用有什么区别?⑤单层神经网络有什么局限性?如何将其扩展处理复杂的非线性分类问题?⑥多层神经网络的主流参数学习算法是什么?试用个公式说明参数学习的原理。
⑦针对图像处理和识别设计的神经网络是什么?为什么它的参数数量远小于全连接网络?⑧主成分分析获得的特征有什么特点?主成分投影基向量与博里叶变换基函数有什么区别?⑨当误差数值的符合什么分布时，我们常用的均方误差是理论最优的?为什么?⑩当需要衡量两个分布的误差时，一般采用什么物理量作为损失函数?试写出该函数形式。
二、技术应用速答题(每题答案不超过10字，1分*10):①根据用户画像(上网特征)预测用户购买某类商品的概准，用什么方法?②为了获得两类分类任务中最靠谱的投影特征，用什么方法?③两类特征的类条件密度函数未知，对测试样本分类并求出后验概率，用什么方法?④在训练样本数量较少的两类分类任务中，一般认为什么方法是最靠谱的?⑤在高维数据分析任务中，什么方法是最常用的数据进行降维方法?⑥系统要对多类样本进行分类，而手上的分类器只能处理两类，如何扩展?⑦当采用线性SVM分类器的分类效果较差，应该首先试验什么改进分类器?⑧我们常用的正态分布的均值和方差公式，是用什么算法估计出来的?.⑨得到一批无标记(类别标签的)数据，用什么算法可以对其进行自动“分类”⑩深度学习或者深度神经网络中的“深度”是指三、综合设计题:假设您是Facebook的系统架构师，需求是使用模式识别技术设计一个根据用户上传图片预测出TA当前年龄的系统，请您描述主要设计步骤和技术流程框图(设计步骤应包含一般模式识别系统的设计过程，技术流程应包含候选的算法和目标函数，不能加页，10分)。
随机过程2016期末考试及答案
Stochastic Processes
Final Exam: Gauss Award - Page 3 of 9
26/12/16
2. (15 points) When three fair six-sided dice are rolled, what is the probability that the sum of the total numbers will be 12?
Stochastic Processes
Final Exam: Gauss Award - Page 6 of 9
26/12/16
5. (20 points) A Yule process starts at time 0 with one organism. This organism splits into two organisms after a time Y1 with the density fY1 (y ) = λe−λy , y ≥ 0. Each of these two organisms splits into two more organisms after independent exponentially distributed delays, each with the same density λe−λy . In general, each old and new organism continues to split forever after a delay y with the same density λe−λy . (a) (5 points) Let T1 be the time at which the first organism splits, and for each i > 1, let Ti be the interval from (i − 1)st splitting until the ith. Show that Ti is exponential with parameter iλ and explain why the Ti are independent. (b) (5 points) For each n ≥ 1, let the continuous random variable Sn be the time at which the n th splitting occurs, i.e. Sn = T1 + . . . + Tn . Find a simple expression for the distribution function of Sn . (c) (5 points) Let X (t) be the number of organisms at time t > 0. Express the distribution function of X (t) for each t > 0 in terms of Sn for each n. Show that X (t) is a random variable for each t > 0 (i.e., show that X (t) is finite with probability 1). (d) (5 points) Find E [X (t)] for each t > 0.
北京邮电大学工程数学概率部分复习
1 5 5 P{恰好出现两次 6 点}= C 6 6 72
2 3
所以选 D． 例：设 A、B 为两个互不相容事件，且 P ( B ) 0 ，则 P ( A B ) _________． 解：因为 A、B 为两个互不相容，即 AB ，所以
P( A B)
） ．
解： P ( A B ) P ( AB ) P ( A) P ( B ) [1 P ( A)][1 P( B)]
0.4 0.3 0.12
所以选 D．
二、随机变量及其分布
1．随机变量及其分布函数：了解随机变量及其分布函数的概念、性质；掌握分布函数与随 机变量取值概率的关系． 2．离散型随机变量：掌握离散型随机变量分布律的性质；掌握分布律的求法；掌握离散型 随机变量分布函数的求法． 3．连续型随机变量：掌握连续型随机变量概率密度的性质；掌握概率密度与分布函数的关 系． 4．几个重要分布：掌握以下常用随机变量的分布．
Y X -1 0 1 1 0 1/3 0 2 1/2 0 1/6
（4） P X Y 1 P X 1, Y 2 P X 0, Y 1 例：设随机变量 X 的分布列为： X P -1 1/2 0 1/4
2
1 1 5 2 3 6
1 1/4
求（1）X 的分布函数 F ( x) ； （2）Y X 的分布列； （3）二维随机变量（X，Y）的分布列； （4） P X Y 0 ． 解： （1）当 x 1 时， F ( x) P{ X x} P( ) 0 当 1 x 0 时， F ( x) P{ X x} P{x 1}
（3） P X xi , Y y j PX xi P Y y j X xi
北邮概率论与随机过程—学学期期末A卷
北京邮电大学2010——2011学年第2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（A ）一． 填空题.1 设随机事件,A B 满足()( )P AB P A B =, 且()P A p =, 则()P B = 1-p2. 设每次实验中事件A 出现的概率为p ,在三次独立重复试验中, A 至少出现一次的概率为1927, 则p = 1/3 3. 随机变量X 服从参数为1的泊松分布(1)π,则2(())P X E X ==112e - 4. 设随机变量X 服从正态分布2(10,0.02)N ，记22()u xx du -Φ=⎰，且已知(2.5)0.9938Φ=，则((9.95,10.05))P x ∈= ０．９８７６5. 已知随机变量X 服从均匀分布(1,6)U ，则矩阵20001010A X⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值全为实根的概率为 ４／５6. 已知随机变量X 的密度函数为||1(),2x f x e x -=-∞<<+∞，则(01)P X <<= 11(1)2e -- 7. 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则0y >时，2ln(())Y F X =-的概率密度函数()Y f y ＝ 212y e - 8. 已知随机变量X 服从均值为１的指数分布，则min{,2}Y X =的分布函数()F y ＝0,0,1,02,1, 2.xx e x x -≤⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩9. 已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,2,1,2,0.5)，则21Z X Y =++的概率密度函数()f z 2(5)x --10. 设,X Y 的联合概率密度为(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，, 则概率(1,2)P X Y ><=14(1)e e --- 11. 设随机过程2()X t X Yt Zt =++, 其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量, 且均值都为零, 方差都为1, 则相关函数(,)X R s t = 221st s t ++12. 设{(),0}W t t ≤<+∞是参数为2σ的维纳过程, 则[((3)(1))((4)(1))]E W W W W --=22σ13. 设平稳高斯过程{().0}X t t ≥的均值为零, 相关函数为2||1()4X R e ττ-=, 则对任意固定的0t , 0()X t 的概率密度函数()f x 22x - 14. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}n X 的状态空间是{0,1,2},平稳分布为111,,244π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 若000111(0),(1),(2)244P X P X P X ======, 则方差100()D X = 11/1615. 设}),({+∞<<-∞t t X 为平稳随机过程，功率谱密度为212)(ωω+=X S , 则其平均功率为 1二. （１5分）设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布(40,100)U , 且顾 客的消费相互独立. 求:(1) 该餐厅的日营业额的期望和方差; (2) 平均每天有多少位顾客消费额超过50元;(3) 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率. 解. (1) 设,1,2,...,300i X i =是第i 位顾客的消费额, 则由题意,1,40100,()600,ix X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它， 设X表示该餐厅的日消费额, 则3001.ii X X ==∑ 因为 ()70i E X =, 则21300300(60/12)90000.DY DX =⨯==21000EX =(5’) (2 ) 设Y 是消费额超过50元的顾客数. 则1(300,(50))(300,5/6)YB P X B >=, 所以300(5/6)250.EY =⨯= (5’)(3) 由中心极限定理得12300(...21750)1(2.5)0.0062.P X X X P +++>⎛⎫=>=-Φ= (5’) 三．（１5分）设二维随机变量(,)X Y 具有概率密度(1), 0,0,(,)3x y k ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨求(1)系数k ; (2)边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并问,X Y 是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y . 解.(1) 0,01(,)3x Y f x y dxdy k >>=⇒=⎰⎰(3’)(2) (1)0,0,()(,)0,0,x y x X xedy e x f x f x y dy x +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰(1)201,0,(1)()(,)0,0,x y Y xe dx y y f y f x y dx y +∞-++∞-∞⎧=>⎪+==⎨⎪≤⎩⎰⎰(6’)由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以不独立.(3) 当0x >时, (1)|(,)(|)()x y xy Y X xX f x y xe f y x xe f x e-+--===, 当0y >时, (1)2(1)|2(,)(|)(1)1()(1)x y x y X Y Y f x y xe f x y y xe f y y -+-+===++ (6’)四．（１5分）设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间为}2,1,0{=E ，一步转移概率矩阵为110221102211022P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 初始分布为0001{0}{1}{2}3P X P X P X ====== (1) 求124 {1,1,2}P X X X ===;(2) 求02,X X 的相关系数02X X ρ;(3) 证明马氏链}0,{≥n X n 具有遍历性，并求其极限分布．解 (1) 2111244111(2)424111442P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,124 {1,1,2}P X X X ====20111120()(2)0i i P X i p p p ===∑ (5’)(2) 2X 的分布率(2)(0)(2)(1/3,1/3,1/3)p p P ==02,X X 的联合分布率02021,2/3EX EX DX DX ==== 027/6EX X =1/4ρ== (5’)(3) 由P(2)知马氏链遍历,由01210,0,1,2,iP i ππππππ=⎧⎪++=⎨⎪≥=⎩得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5’) 五．（１0分）设某线性系统的脉冲响应函数为22,0()0,0t e t h t t -⎧≥=⎨<⎩，将平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t X 输入到该系统后, 输出平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t Y 的谱密度为424()1336Y S ωωω=++，求：(1)输入平稳过程的{})()(∞+-∞∈，，t t X 的谱密度)(ωX S ； (2)自相关函数)(τX R ； (3)输入与输出的互谱密度)(ωXY S ．解： 2222,024()(),|()|240,0t e t h t H H i t ωωωω-⎧≥=↔==⎨++<⎩，(1) 22()1(),|()|(9)Y X S S H ωωωω==+ (4分) (2) 3||11()(),26i X X R S e d e ωτττωωπ+∞--∞==⎰ (3分) (3) 22()()()(2)(9)X Y X S H S i ωωωωω==++． (3分)。
北邮概率论与随机过程试题参考-3学分
3学时《概率论与随机过程》试题参考考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效。
一． 简答（40分，每题4分）1.设A,B 为相互独立的随机事件,P(A)=0.2,P(B)=0.6,求P(A ⋃B).2.设X ～B(1,0.5)，Y ～B(1,0.5)，且X 与Y 相互独立，求P{X +Y =2}.3.已知随机变量X 的分布率为X−１012p k0.20.10.50.2 设Ｙ＝3X 2，求P {Y =3}.4.设随机变量ξ,η和X,Y 满足ξ=−2X +1,η=−3Y +2，已知X 与Y 的相关系数为ρXY =0.5，求ξ与η的相关系数为ρξη.5.已知随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，且二次方程y 2+4y +X =0无实根的概率为1/2,求μ.6. 设随机变量X 的概率密度函数为f(x)={1−|x |,−1<x <1,0,其他求随机变量Y =X 2+1的概率密度函数f Y (y)7.设随机变量X 1,X 2,…,X 100是相互独立的服从均值为10的指数分布，记Y =∑X i 100i=1，利用中心极限定理近似计算P(Y ≥1000)8.设{N(t),t ≥0}是强度为λ的泊松过程，求P (N (2)=2,N (3)=3|N (1)=1)= .在此处键入公式。
9.设平稳过程{X(t),t ≥0}的功率谱密度S X (ω)=11+ ω2，求其平均功率.10.设马氏链{X n ,n ≥0}的状态空间E ={0,1}, 转移矩阵为(14341323), 求lim n→∞p 11(n)一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率．三．（１5分）设随机变量X与Y相互独立，X在（0,1）上服从均匀分布，Y的密度函数为f Y(y)={12e−y2 , y>0 0,其它，（1）求X和Y的联合分布密度函数；（2）设关于a的二次方程为a2+2aX+Y=0，试求此方程有实根的概率（用标准正态分布的分布函数表出结果）。
2014-2015北邮概率论与随机过程期末
北京邮电大学2014—2015学年第2学期3学时《概率论与随机过程》期末考试试题（A ）答案考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效一、 填空题（45分，每空3分）1. 设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2P AB =,1()3P C =，则 (|)P AB C = . 34 2. 设随机变量X 的分布函数0 01() 01,21 1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎩则(1)P X == . 112e -- 3. 设(,)X Y 的概率密度为1,01,(,)10, otherwise,x y f x y x ⎧<<<⎪=-⎨⎪⎩ 则对任意给定的(01)x x <<，()X f x = . 14. 设随机变量X 的概率分布为()(0,1,2,...)!C P X k k k ===，则()D X = . 1 5. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则(())P XE X >= . 1e -6. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为6 01(,)0 x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩，其他 则(1)P X Y +≤= . 14 7. 设随机变量,X Y 相互独立，且~(3,4), ~(10,0.3)X N Y b ，则()E X Y += . 68. 设X 和Y 相互独立，X ～)2,1(N ，Y 的分布律为则=≤<}1,1{Y X P . 0.49. 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ，则2()E XY = . 22()μμσ+10. 将长度为1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为ρ= . -111. 已知随机过程(),(,)X t At B t =+∈-∞+∞，其中A ,B 独立同分布，且A ~N (0，1)，则X (t )的一维概率密度(,)f x t =.22(1)(,),x t f x t x -+=-∞<<+∞12.设{(),0}W t t ≥是参数为2σ(0σ>)的维纳过程，则(2)(1)W W 与的相关系数为. 213.设{(),0}N t t ≥是参数为0λ>的泊松过程，则{(2)2,(4)3|(1)1}P N N N ==== . 232e λλ-14. 设{,0,1,2,}n X n =是齐次马氏链，{1, 2, 3}I =，一步转移概率矩阵为00.50.50.500.50.50.50P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则11lim ()n P n →∞= . 13 15. 设平稳过程{(),0}X t t ≥的功率谱密度21()1X S ωω=+，则其自相关函数()X R τ= . ||12e τ-二、 （15分）某保险公司多年的统计表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。
2013-2014-北邮概率论研究生概率论-答案
北京邮电大学2013——2014学年第1学期《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。
在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一、 填空题：（每空3分，共30分）1．给定集合A ⊂Ω，则定义在Ω上的包含A 的最小σ-代数是 .{,,,}A A ΩΦ2．若12A ,A 是Ω上的两个非空集合类，i ν是i A (1,2)i =上的测度，若满足：（1） ;（2）112,()()A A A νν∀∈=有A ，则称2ν是1ν在2A 上的扩张。
12⊂A A3．某集代数包含了所有的左开右闭区间（实数集上的）. 该集代数上有一个测度P ，对于任意可测集(,]a b ，其中a b <，均有()(,]P a b b a =-.将该测度扩张到某σ-代数上记为μ.对单点集{}1，{}()1μ= . 04．设概率测度空间(),,F P Ω，,,A F B F AB ∈∈=Φ，()()11,23P A P B ==，两个简单函数()()()2A A f ωχωχω=+，()()()2B B g ωχωχω=+，则[]E f = ，[]E fg = .37,235． 设X 为定义某概率空间上的随机变量，若X 的分布函数为()F x ，则数学期望EX 的L-S 积分形式为 .()xdF x +∞-∞⎰6． 设三维随机变量(,,)X Y Z 服从正态分布(,)N a B ，其中()1,2,3a =，211121112B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则[[|]]E E X YZ =17．设随机过程{(),}t t X -∞<<+∞为平稳二阶矩过程，且均方连续.设该过程的均值函数为1μ=，相关函数(,)2t sR s t e --=，均方积分220()X t dt π⎰记为随机变量ξ. 则()E ξ= .π8．设()N t 为泊松过程,则条件概率((2)2|(3)3)P N N === .499. 设()W t 为参数为2σ的维纳过程,(0)0W =,则()cov (1),(2)W W = .2σ二.（8分）设A 是λ系，证明A 是单调类；若A 也是π系，证明A 是σ-代数。
概率统计随机过程-期末试卷-参考答案
7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15
D S 2 2 15
2
得 D S
2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二 参考答案 一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}
随机过程期末试题及答案(2)
课程所在学院： 理学院 姓名
成绩
1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 4 页，共 四 大部分，请勿漏答； 2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间； 3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 4. 本试卷全部答案写在试卷上； 5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场； 6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！ 一．填空题（每空 2 分，共 20 分） 1．设随机变量 X 服从参数为
4
1 (sin(ω t+1)-sinω t) 。 2 1
λ
的同一指数分布。
4．设 {Wn ,n ≥ 1}是与泊松过程 {X(t),t ≥ 0} 对应的一个等待时间序列，则 Wn 服从 Γ 分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t
⎧ t ⎪ , 对 应 随 机 变 量 X (t ) = ⎨ 3 t ⎪ ⎩e ,
（2）一维分布函数 F(x;0),F(x;1) 。 求（1） {X(t),t ∈ ( −∞, +∞)} 的样本函数集合； 解： （1）样本函数集合为 {cosπ t,t}, t ∈ (-∞,+∞) ； （2）当 t=0 时， P {X(0)=0} = P {X(0)=1} =
1 ， 2
⎧0 ⎧0 x<0 x<-1 ⎪ ⎪ ⎪1 ⎪1 故 F(x;0)= ⎨ 0 ≤ x<1 ；同理 F(x;1)= ⎨ −1 ≤ x<1 ⎪2 x ≥ 1 ⎪2 x ≥ 1 1 ⎪ ⎪1 ⎩ ⎩
(n)
{
}
⎧ ⎩
= ∑ P {X(n)=j,X(l)=k X(0)=i} X(l)=k X(0)=i ⎬ ⎭
北京邮电大学2016—2017学年第一学期《信息论》期末考试试题及答案
北京邮电大学2016—2017学年第一学期《信息论》期末考试试题及答案一、判断题（10分）1、事件的自信息是其概率的单调递减函数。
（√） 2、连续信源和离散信源的平均互信息都具有非负性。
（√）3、对于遍历的有限状态马氏链，如果初始状态概率分布不是平稳分布，当转移步数足够大时，状态概率分布一定趋于平稳分布。
（√） 4、离散信道的容量是关于输入符号概率分布的上凸函数。
（×） 5、码长满足Kraft 不等式的码一定是异前置码。
（×）6、平均功率受限的随机变量，当均匀分布时有最大的熵。
（×） 7、随着信源序列长度的增加，非典型序列出现的概率趋近于零。
（√）8、对于任意的二元对称信道，最小汉明距离准则等价于最大似然准则。
（×） 9、对任意的加性噪声信道，当信源是高斯分布时达到信道容量。
（×） 10、如果信息传输速率小于信道容量，信息传输差错任意小。
（×）二、填空题（20分）1. 已知某离散无记忆信源X 的数学模型为312413161414a a a a X P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其三次扩展源的熵()3H X = 。
（5.877比特/扩展符号）2. 已知X 是均值为0、方差为1的高斯信源，Z 是均值为0、方差为2的高斯信源，X, Z 独立且Y =3X +2Z ，则h (Y )= , h (YZ )= 。
（1log(34)2e π，221log(72)2e π）3. 某信源S 共有32个信源符号，其实际的熵值为4.1=∞H 比特/信源符号，则该信源的剩余度为________。
（72.032log 4.112=-）4. 在一个离散时间平稳无记忆加性高斯噪声信道中进行信息传输，信道输入X 的方差为2x σ，零均值噪声方差为2z σ，进行可靠传输的速率上限是________。
（221log(1)2xzσσ+）5. AWGN信道下实现可靠通信的信噪比下界为-1.59 dB，此时对应的系统带宽为。
北京邮电大学概率论与随机过程 期末
北京邮电大学2016——2017学年第2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试 (A)考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效。
一． 填空题（45分，每空3分）1. 设A ,B 为两个随机事件，()0.2P A =，(|)(|)0.5P A B P B A ==，则()P A B = . 0.92. 设~(,)X U a b ,则=2+5Y X 的概率密度函数()Y f y = .1, 2525,2()()0, Y a y b b a f y ⎧+<<+⎪-=⎨⎪⎩其他.3. 设X 的密度函数为2(1)()()x f x ae x --=-∞<<+∞，则a = _,()E X = ，()D X = .1，1/24. 设随机变量,X Y 独立，均服从参数为1的指数分布，则min(,)Z X Y =的密度函数()Z f z = .2()2, 0zZ f z e z -=>5. 设随机变量,X Y 独立，9~(18,), ~(2,2)2X N Y N , 则11632P X Y ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭. ()(1)0.8143, (2)=0.9772Φ=Φ 0.81436. 设,X Y 相互独立，分别服从参数为1和2的泊松分布，则X Y +的分布律为 .33(),0,1,2,...!k P X Y k e k k -+===7. 设~(1,0.5)X b ,Y 服从期望为13的指数分布，0.4XY ρ=，则(-3+2)D X Y = .0.858.计算器的舍入误差是(0.5,0.5)-上的均匀分布，若将120个误差数值相加，则总误 差的绝对值超过10的概率近似为 . ()(1)0.8143, (2)=0.9772Φ=Φ 0.3714 9. 设()sin cos ,X t U t V t ωω=+其中ω为常数，22(,)~(,,,,0)U V N μμσσ, 则{()}X t 的一维概率密度函数(;)f x t =.22(sin cos )2,x t t x μωμωσ----∞<<∞10. 设{(),0}W t t ≥是参数为2的维纳过程,定义()(3)X t W t =, 则相关函数(2,7)X R = .1211. 设{(),0}N t t ≥是参数为1的泊松过程，则(3)N 与(5)N 的相关系数为 ，((1)1,(2)3)P N N ===.5, 212e- 12. 设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间{12}E =，,一步概率转移矩阵为14551122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则 lim (2)n n P X →∞== . 8/13二．(12分)设随机变量X 和Y 独立，=+Z X Y ，~(0,1)X U ，即(0,1)区间上的均匀分布，Y 为离散型随机变量，分布律为(1)=0.4, (2)=0.6P Y P Y ==，求解下列问题： (1) (), ()E Z D Z ；(2) 随机变量Z 的分布函数()Z F z 和密度函数()Z f z .解：（1）() 2.1()97/300E Z D Z ==（2分）（2分）（2）()()(1)(1)(2)(2)0.4(1)0.6(2)Z F z P X Y z P X z P Y P X z P Y P X z P X z =+≤=+≤=++≤==≤-+≤-（2分）0, 1;0.40.4, 12; ()0.60.8, 23;1, 3.Z z z z F z z z z <⎧⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪≥⎩故 （2分）（3）()'()Z Z f z F z = （2分）0, 13; ()0.4, 12;0.6, 2 3.Z z z f z z z <>⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩或故 （2分）三．(15分)设二维随机变量(,)X Y 的分布为单位圆上的均匀分布，求解下列问题： (1) 边缘概率密度(), ()X Y f x f y ；(2) 判断,X Y 是否相互独立，是否不相关，并给出理由； (3) 条件概率密度|(|)Y X f y x . 解：（1）111()(,)d d =,11 ()= (2)0 X X x f x f x y y y x f x π∞-∞-<<==-<<⎪⎩⎰当时，，故分，其他.111()(,)d d 11 ()= (2)0 Y Y y f y f x y x x y f y ∞-∞-<<==-<<⎪⎩⎰当时，，故分，其他.（2）(,)()(), X Y f x y f x f y X Y ≠因为 所以和不独立. (3分)(,)(,)d d 000 Cov X Y EXY EXEY xyf x y x y X Y =-=-=⎰⎰因为故和的相关系数为，不相关. (3分)（3）||11(,)(|)=)() (|)=)0 .Y X X Y X x f x y f y x y f x y f y x -<<=<<<<⎩当时，分故分，其他四．（15分）设齐次马氏链{, 0}n X n ≥的状态空间为{,,}E a b c =，转移概率矩阵为0 3/4 1/41/2 0 1/21/3 1/3 1/3P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，初始分布为0() 1.P X a ==(1) 求2()P X b =；(2) 求134452(,,), (,|)P X b X c X a P X a X b X c ======； (3) 证明马氏链{, 0}n X n ≥具有遍历性，并求其极限分布. 解：（1）211/24 1/12 11/24(2) 1/6 13/24 7/24 (3)5/18 13/36 13/36P P ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭分22000,,()(|)()=()(2)1/12. (2)ab i a b cP X b P X b X i P X i P X a p ========∑分（2）134131434524254(,,)()(|)(|)3717(2)**. (3)4244128(,|)=(|)(|)535(2)*. (2)18424ab bc ca ca ab P X b X c X a P X b P X c X b P X a X c p p p P X a X b X c P X a X c P X b X a p p ======================分分（3）2P 因为马氏链的状态有限，且没有零元素，故该马氏链遍历. (2分) ,,= (2)1i i a b c P πππ=⎧⎪⎨=⎪⎩∑极限分布满足方程分121415=. (1)414141π⎛⎫ ⎪⎝⎭解得分五．（13分）设平稳随机过程1()X t 和2()X t 相互独立，且1()0X t μ=. (1) 证明随机过程12()()+()X t X t X t =是平稳过程； (2) 设1()X t 和2()X t 功率谱密度为1224()()4S S ωωω==+，求随机过程()X t 的平均功率.(1) 证明：222()(())(), ()()()X X X X t E X t t X t t t μμμμ==因为是平稳过程，所以是常数，故是常数. (4分)1212(,)(()())(,)(,), ()()(,)()X X X X R t t E X t X t R t t R t t X t X t R t t X t ττττττ+=+=++++因为和是平稳过程，所以只与有关. (4分)故是平稳过程.(2) 解：12-2||-2||()()=e ()2e . (3)X X X R R R τττττ==因为，故分2=(())(0) 2. (2)X E X t R ==故平均功率分。
11-12随机过程期末试题A卷答案
一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X 服从两点分布，则X 的特征函数为__it pe q +______。
2．设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，α为常数，则X(t)的相关函数=)4,2(X R _∂∂4cos 2cos 31 ____。
3．强度为λ的泊松过程{}X(t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T (n=1,2,)独立同分布，密度函数为_t e λλ-_______________。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则1W 的分布函数为__teλ--1____________。
5．设随机过程 X(t)只有两条样本曲线，1X(t,)=acost,ω2X(t,)=-acost,ω其中常数a>0，且12P()=3ω，21P()=3ω，则随机过程的期望=)(t EX ___t a cos 31______。
6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n)P(X =j)=，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系式为__)()(n p p n p ij i Ii j ∑∈=______。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，用其表示{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i ==__n n i i i i i p p p 1100- __。
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，若1<ii f ，称状态i 为__非常返________。
北邮概率论研究生试题答案定稿
北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程试卷》期末考试试卷答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试卷答题纸上，做在试卷纸上一律无效。
在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是.A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A 。
（B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A 。
（C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈A 。
（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃,则1n n A ∞=∈A .2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是.c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑.3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为1000()k A k f kI ω==∑，其中1000,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=，则fdP Ω=⎰；若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰. 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他， 则[[|]]E E X Y =.2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x =；（2）20(())E X t dt π=⎰.,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞=；（2）()33n n p ∞==∑.1/2,2 二. 概率题（共30分）1.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得|,,u x v y v ⎧⎪=⎨⎪⎩≤=所以雅可比行列式220J u v ==-, 故2221||,(,)(,)||20,u e v u g u v f x y J σπσ-⎧≤⎪==⎨⎪⎩其他.……5分 （2）对0u >，2221(,))2(u u U ug u e gu v d d v v σπσ-∞-∞-==⎰⎰22222222u u u e e u u σσπσσ---==⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他.……4分 （1）101{1}|10111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。
北邮研究生概率论与随机过程-试题及标准答案
北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。
在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈U A ;（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1n n A ∞=∈I A .2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==I ；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ； （D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑U .3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为1000()k A k f kI ω==∑，其中100,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω=⎰ ；4若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他， 则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；（2）20(())E X t dt π=⎰ .,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞= ；（2）()33n n p ∞==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）51.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201u uJ u v u v u vv±==±---m, 故222221,||,(,)(,)||20,u u e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他. ……5分（2）对0u >，222221(,))2(u u U uu g u e g u v d d u vv v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰22222222212u uu ue dv e u v u u σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度6,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他. ……4分（1）101{1}|1111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。
北京邮电大学-2002-2003学-年第一学期期末试卷附答案
一. 填空北京邮电大学2002-2003学年第一学期期末试卷1.一离散信源输出二进制符号，在条件下，每个二进制符号携带1 比特信息量；在条件下，每个二进制符号携带的信息量小于1 比特。
2.若要使确定信号不失真地通过线性系统，则此系统要满足条件。
3.可用和统计特性来描述宽带白噪。
4.在实际的黑白广播电视传送系统中，图像信号的调制采用调制方式，伴音的调制采用调制方式。
5.设数字基带传输系统是频带为1KHz 的32 进制PAM 系统，则此系统无码间干扰传输的最高码元速率为波特，此时的系统最高频带利用率为bit/s/Hz。
6.在数字通信系统中，当信道特性不理想时，采用均衡器的目的是。
7.产生已抽样信号频谱混叠的原因是，若要求从已抽样信号ms(t )中正确恢复模拟基带信号m (t )，则其抽样速率f s 应满足条件。
8.在数字通信系统中，采用差错控制编码的目的是。
9.在限带数字通信系统中，系统的传递函数应符合升余弦滤波特性的目的是。
二. 一个由字母ABCD组成的字，对于传输的每个字母用两个二进制符号编码，以00 表示A，01 表示B，10 表示C，11 表示D，二进制比特间隔为0.5ms；若每个字母出现概率分别为：P A = 1/ 8, P B = 1/ 4, P C = 1/ 4, P D = 1/ 8 ，试计算每秒传输的平均信息量。
三. 下图中的X (t )是均值为零的平稳遍历随机过程，已知其自相关函数是R X (τ)。
(1)求X (t )、Y (t )的平均功率P及P Y ；(2)写出X (t )、Y (t )的双边功率谱密度P X (f )及P Y(f )的计算公式；X(3)若X (t )是白高斯噪声通过理想低通滤波器（限带于f m ）后的随机过程，证明以奈奎斯特速率对X (t )采样得到的样值是两两独立的。
四．立体声调频发送端方框图如下所示，其中XL(t )和XR(t )分别表示来自左边和右边传声器发送来的电信号。
北邮1.概率论与随机过程_预备知识
集合的基本概念
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作。
定理：空集是任意集合的子集。
幂集：设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A 的幂集，记作P(A)。
若A中有n个元素，则P(A)有2n个元素。
全集：在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某 个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E。
庄伯金 bjzhuang@
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| A1 A2 ... An || S | | Ai |
i 1 1i j k n
n
1i j n
| Ai A j |
| Ai A j Ak | ... (1) n | A1 ... An |
庄伯金 bjzhuang@
A∪=A A∩E=A A∪E=E A∩= A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)
9
零律
分配律
庄伯金 bjzhuang@
集合的运算律
吸收律
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A (B)=B
双重否定律
乘法原理与加法原理
乘法原理：做一件事需要通过n个步骤依次完成，其中完成每 个步骤分别有ti种方法，则完成这件事总共有t1 ×t2 ×…×tn 种方法。
加法原理：做一件事分别有n类方法完成，其中每类方法分别 有ti种方法，则完成这件事总共有t1 +t2 +…+tn种方法。
庄伯金 bjzhuang@
A = E-A = {x|x∈E∧xA} = {x|xA}。
2011-2012学年北京交通大学第一学期随机过程期末考试试卷答案
北 京 交 通 大 学2011~2012学年第一学期随机过程期末考试试卷（A 卷）答案一．（本题满分30分）写出以下概念的定义（共6道小题，每道小题满分5分） (1) 函数()x g 在区间[]b a ,上关于()x F 的Riemann-Stieltjes 积分；(2) 计数过程(){}0≥t t N ，是强度函数为()0>t λ()0≥t 的非齐次Poisson 过程； (3) 计数过程(){}0≥t t N ：为更新过程； (4) 更新方程；(5) Markov 链中的状态i 是零常返状态；(6) 随机变量T 是关于随机变量序列{}0≥n X n ，的停时． 解：(1) 设()x g 与()x F 都是有限区间[]b a ,上的实值函数，b x x x a n =<<<= 10为区间[]b a ,上的一个分割，令()()()1--=∆i i i x F x F x F ，[]i i i x x ,1-∈ξ，()n i ≤≤1，()11max -≤≤-=i i ni x x λ，如果当0→λ时，极限()()∑=→∆ni i i x F g 10lim ξλ存在，而且其极限值与区间[]b a ,上的分割以及[]i i i x x ,1-∈ξ的取法无关，则称该极限值为函数()x g 关于()x F 在区间[]b a ,上的Riemann-Stieltjes 积分，记为()()()()∑⎰=→∆=ni iibax F g x dF x g 1lim ξλ． (2) 计数过程(){}0≥t t N ，称作强度函数为()0>t λ()0≥t 的非齐次Poisson 过程，如果 ⑴ ()00=N ； ⑵ 过程有独立增量；⑶ 对任意的实数0≥t ，0≥s ，()()t N s t N -+为具有参数()()()⎰+=-+st tdu u t m s t m λ的Poisson 过程．(3) 设{} ,2,1=n X n ：是一串独立同分布的非负随机变量，分布函数为()x F ，令∑==ni i n X T 1，()1≥n ，00=T ．我们把由(){}t T n t N n ≤=：sup定义的计数过程称为更新过程．(4) 称如下形式的积分方程为更新方程：()()()()⎰-+=ts dF s t K t H t K 0，其中()t H ，()t F 为已知，且当0<t 时，()t H ，()t F 均为0．(5) 设i 是Markov 链{}n X 中的一个状态，以()n ij f 记从i 出发，经过n 步后首次到达j 的概率，()∑∞==1n n ij ij f f ，如果1=jj f ，称状态j 为常返状态．对于常返状态i ，记()∑∞==1n n ii i nf μ，若+∞=i μ，则称i 为零常返状态．(6) 设{}0≥n X n ：是一个随机变量序列，T 是一个随机变量，如果T 的取值范围是{}∞+,,2,1,0 ， 而且对于每一个0≥n ，{}()n X X X n T ,,,10 σ∈=．二．（本题满分10分）已知随机过程(){}T t t X ∈：的均值函数()t X μ和协方差函数()21,t t X γ，再设()t ϕ是一个非随机的函数，试求随机过程()()(){}t t X t Y ϕ+=的均值函数和协方差函数． 解：三．（本题满分10分）设(){}t N 是参数为λ的Poisson 过程，再设10<<i p ，()2,1=i ，且121=+p p ．当每次事件发生时，甲、乙两人分别以概率1p 与2p 独立地进行记录，并且每一事件发生与被记录之间也相互独立．令()t N 1表示到t 时刻甲记录的事件数目，()t N 2表示到t 时刻乙记录的事件数目．证明：(){}t N 1与(){}t N 2是相互独立的参数分别是1p λ与2p λ的Poisson 过程． 证明：四．（本题满分10分）设(){}0≥t t N ，是一个更新过程，{}1≥n X n ，是其更新间隔，{}1≥n T n ，是其更新时刻，1X 的分布函数为()x F ，更新函数为()t M ，证明：(){}()()()⎰-+=≤st N y dM y t F t F s T P 0，其中(){}t X P t F >=1． 证明：()t N T 表示t 时刻之前最后一次更新的时刻，因此对任意的0≥≥s t ，有 (){}(){}()(){}∑∞==≤==≤0n t N t N n t N s T P n t N P s T P()(){}∑∞==<=0,n t N n t N s T P{}(){}∑∞=+><+>≤=1110,,n n t N t T s T P t T s T P {}(){}∑∞=+><+>=111,n n t N t T s T P t X P(){}()∑⎰∞=+∞+=><+=101,n n n n n y dF y T t T s T P t F(){}()∑⎰∞=+∞+->-<+=101,n n n n n y dF y t T T s T P t F(){}()∑⎰∞=->+=101n sn y dF y t X P t F()()()∑⎰∞=-+=10n sn y dF y t F t F()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑⎰∞=10n n sy F d y t F t F()()()y dM y t F t F s⎰-+=0．五．（本题满分10分）设(){}0≥t t N ：是一个更新过程，{}1≥n X n ，是其更新间隔，{}1≥n T n ，是其更新时刻，1X 的分布函数为()x F ，()+∞<=μ1X E ．再令()()t T t r t N -=+1，⑴ 解释()t r 的意义；⑵ 求极限分布(){}y t r P t >+∞→lim ．解：设：()(){}y t r P t R y >=，对第一次更新时刻1X 取条件，则有(){}()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤<+>==>t x x t R y t x t yt x x X y t r P y0011 ．由全概率公式，得 ()(){}y t r P t R y >=(){}()⎰+∞=>=01x dF x X y t r P(){}()(){}()(){}()⎰⎰⎰+∞++=>+=>+=>=yt yt t t x dF x X yt r P x dF x X yt r P x dF x X y t r P 1101()()()()⎰⎰⎰+∞++⋅+⋅+-=yt yt tty x dF x dF x dF x t R 100()()()⎰-++-=ty x dF x t R y t F 01这是一个更新方程．它的解为()()()()()⎰-+-++-=ty x dM x y t F y t F t R 011．由假设，()+∞<=1X E μ，得()()()⎰⎰+∞+∞-==1dx x F x xdF μ，所以有，()()()()+∞<-=+-⎰⎰+∞+∞ydz z F dt y t F 110，因此()y t F +-1满足关键更新定理的条件．于是 (){}()()()⎰+∞+∞→+∞→-==>yy t t dz z F t R y t r P 11lim lim μ．六．（本题满分10分）设i 与j 是Markov 链中的两个状态，而且j i ↔，则i 与j 同为常返状态或非常返状态． 解：因为j i ↔，所以存在正整数m 与n ，使得()0>m ij p 及()0>n ji p成立．所以，对任何自然数l ，由C-K 方程，得()()()()n ji l jj m ij n l m ii p p p p ≥++， ()()()()m ij l ii n ji m l n jj p p p p ≥++，上面两个式子分别对l 求和，有()()()()()()()∑∑∑∞=∞=∞=++=≥000l ljjn jim ij l n ji l jj m ij l n l m iip p p p p p p，()()()()()()()∑∑∑∞=∞=∞=++=≥00l l ii m ijn ji l m ij l ii n ji l m l n jjp p p p p p p ，上式表明级数()∑∞=0l l jj p 与()∑∞=0l l ii p 相互控制，因此级数()∑∞=0l l jj p 与()∑∞=0l l ii p 同为无穷或者有限．而状态i 为常返状态的充分必要条件是级数()+∞=∑∞=0l l jj p ，因此状态i 与j 同为常返状态或者同为非常返状态．七．（本题满分10分）设一Markov 链的转移矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03.01.06.02.03.04.01.04.04.02.005.0005.0P ，试求该Markov 链的不变分布． 解：八．（本题满分10分）设{}n X 是一独立的随机变量序列，而且对每一个n ，()0=n X E ．再设00=S ，∑==nk k n X S 1，证明：{}n S 是关于{}n X 的鞅． 解：。
北邮通原 期末考试答案
一．选择填空空格号 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) (10) 答案 B B D C B A C C B C 空格号 (11)(12)(13)(14) (15)(16)(17)(18)(19) (20) 答案 C D D B A C D A C D 空格号 (21)(22)(23)(24) (25)(26)(27)(28)(29) (30) 答案C BD C B D C B B C1. 设8PSK 的数据速率是3b/s ，平均每比特能量是E b =1/3焦耳，则平均每符号能量是(1)焦耳，平均发送功率是(2)瓦。
(1) (2) (A) 1/3(B) 1(C) 2(D) 3注：每个符号携带3个比特，故每个符号的能量是E s =3E b 。
功率是单位时间（1s ）内的能量，1s 内有三个比特，故功率的数值是3E b 。
2. 设数据速率是10kb/s 。
若基带采用矩形脉冲，OOK 信号的主瓣带宽是(3)；若基带采用滚降因子为0.5的根号升余弦滚降，OOK 信号的带宽是(4)。
(3) (4) (A) 5kHz(B) 10kHz(C) 15kHz(D) 20kHz注：OOK 是一种DSB 信号，其奈奎斯特极限带宽等于符号速率，为10kHz 。
滚降系数0.5表示带宽还要增加50%，故为15kHz 。
基带采用矩形脉冲时的主瓣带宽等于基带采用滚降因子=1的升余弦滚降的带宽。
3. 设数据速率是10kb/s 。
正交2FSK 的两个频率之差最小是(5)kHz 。
正交4FSK 相邻频率之差最小是(6)kHz 。
(5) (6) (A) 2.5kHz (B) 5kHz(C) 10kHz(D) 20kHz注：最小频差是，是符号速率的一半。
M 增大时，符号速率减小。
4. 假设OQPSK 的比特间隔是Tb ，复包络是。
这两个随机过程的关系是(7)。
(7)(A)(B) 是的希尔伯特变换(C)不相关 (D) 是解析信号注：I 、Q 两路传输的是独立等概数据，故这两个随机过程不相关。
北邮研究生概率论与随机过程-试题及标准答案
北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案———————————————————————————————————————————————————————————————— 作者：作者： ———————————————————————————————————————————————————————————————— 日期：日期：北京邮电大学20122012——————20132013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。
在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1. 1.设设A 是定义在非空集合Ω上的集代数上的集代数,,则下面正确的是则下面正确的是 .A （（A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （（B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ;（（C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈U A ; （（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1n n A ∞=∈I A .2.2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是确的是 .c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==I ；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ；（D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑U .3.3.设设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100()k A k f kI ω==，其中100,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω= ；若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他，则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；（2）20(())E X t dt π=⎰.,0,(;1)01,x cos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t =，则相关函数2(1,(1,2)2)2X R σ=.7. 7. 设齐次马氏链的状态空间为设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞= ；（2）()33n n p ∞==∑. 1/2,2二. 概率题（共30分）1.(10分) ) 设设(,)X Y 的概率密度为的概率密度为22122221(,)2x x f x y eσπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201u uJ u vu v u vv±==±---m, 故222221,||,(,)(,)||20,uu e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他其他..……5分（（2）对0u >，222221(,))2(u u Uuu g u eg u v d d u v v v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰22222222212u u uuedv eu v uu σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.2.（（10分）设(,)U V 的概率密度的概率密度,0,0,(,)0,ue u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I>=，其中{1}{1,(}),10V V Iωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U . 解 U 的边缘概率密度为的边缘概率密度为0,0,,0,()(,)0,,0,,u u uu U e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u u g g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他其他.. ……4分（1）101{1}|1111()(1|10).102|10(|10)V V UE I P V U U v u gdv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。
北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案
第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验与随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A=；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为：.(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为：.(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为：.(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为：. (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为：.(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为：. 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1)=)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃=.2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P =.§1 .4古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
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f
(x,
y)dx
1 y2
dx=
,
故
fY
(
y)=
2
1 y2 ，1 y 1，
(2分)
0，
其他.
（2）
因为 f (x, y) fX (x) fY ( y), 所以X和Y不独立. (3分)
因为 Cov( X ,Y ) EXY EXEY
xyf (x, y)dxdy 0 0
P
1 3
X
1 2
Y
6
. (1) 0.8143, (2)=0.9772 0.8143
6. 设 X ,Y 相互独立，分别服从参数为 1 和 2 的泊松分布，则 X Y 的分布律为 .
P( X Y k) 3k e3 , k 0,1, 2,... k!
(3) 证明马氏链{Xn, n 0}具有遍历性，并求其极限分布. 解：（1）
-4-
11/ 24 1/12 11/ 24
P(2)
P2
1/ 6
13 / 24
7
/
24
(3分)
5 /18 13 / 36 13 / 36
P( X 2 b) P( X 2 b | X0 i)P(X0 i)=P(X0 a) pab (2) 1/12. (2分) ia,b,c
解：（1）
-2-
E(Z ) 2 . 1 （2分） D(Z ) 9 7 / 3 0（0 2分）
（2）
FZ (z) P( X Y z) P(X 1 z)P(Y 1) P(X 2 z)P(Y 2)
0.4P(X z 1) 0.6P(X z 2)
0.6, 2 z 3.
（2 分）
三．(15 分)
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布为单位圆上的均匀分布，求解下列问题：
(1) 边缘概率密度 fX (x), fY ( y) ； (2) 判断 X ,Y 是否相互独立，是否不相关，并给出理由；
(3) 条件概率密度 fY|X ( y | x) .
-5-
RX (t,t ) E( X (t) X (t )) RX1 (t,t ) RX2 (t,t ), 因为X1(t)和X 2 (t)是平稳过程，所以RX (t,t )只与 有关. (4分) 故X (t)是平稳过程. (2) 解： 因为RX1 ( ) RX2 ( )=e-2||，故RX ( ) 2e-2||. (3分) 故平均功率=E( X 2 (t)) RX (0) 2. (2分)
，
D(X )
.1/ ，1，1/2
4. 设随机变量 X ,Y 独立，均服从参数为 1 的指数分布，则 Z min(X ,Y ) 的密度函
数 fZ (z)
. fZ (z) 2e2z , z 0
5. 设随机变量 X ,Y 独立， X ~ N (18, 9), Y ~ N (2, 2) , 则 2
2. 设 X ~ U (a,b) ,则Y =2X +5的概率密度函数 fY ( y)
.
fY
(
y)
1 2(b
a)
,
2a 5 y 2b 5,
0,
其他.
3. 设 X 的密度函数为 f (x) ae(x1)2 ( x ) ，则 a
_, E( X )
5 1
5
,
1
2 2
则
lim
n
P( X n
2)
. 8/13
二．(12 分)
设随机变量 X 和Y 独立，Z =X +Y ， X ~ U (0,1) ，即(0,1)区间上的均匀分布，Y 为离 散型随机变量，分布律为 P(Y 1)=0.4, P(Y 2)=0.6 ，求解下列问题： (1) E(Z ), D(Z ) ； (2) 随机变量 Z 的分布函数 FZ (z) 和密度函数 fZ (z) .
pca (2) pab
Байду номын сангаас
5* 18
3 4
5. 24
(2分)
（3）
因为马氏链的状态有限，且P2没有零元素，故该马氏链遍历. (2分)
极限分布满足方程
= ia,b,c
P i
1
(2分)
解得
=
12 41
14 41
15 41
.
(1分)
五．（13 分）
设平稳随机过程 X1(t) 和 X2 (t) 相互独立，且 X1 (t) 0 .
北京邮电大学 2016——2017 学年第 2 学期 3 学时《概率论与随机过程》期末考试 (A)
考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效。
一． 填空题（45 分，每空 3 分）
1. 设 A , B 为两个随机事件，P(A) 0.2 ，P( A|B) P(B|A) 0.5 ，则 P( A B) . 0.9
9. 设 X (t) U sin t V cost, 其中 为常数，(U,V ) ~ N(, , 2, 2,0) , 则{X (t)}
的一维概率密度函数 f (x;t)
.
1
e
(
x
sin
t 2 2
cost
)2
,
x
2
10. 设 {W (t),t 0} 是 参 数 为 2 的 维 纳 过 程 , 定 义 X ( t) W ( 3t ,) 则 相 关 函 数
（2）
P( X1 b, X3 c, X 4 a) P( X1 b)P( X 3 c | X1 b)P( X 4 a | X 3 c)
371 7
pab
pbc (2)
pca
* 4
24
*
4
. 128
(3分)
P( X 4 a, X5 b | X 2 c)=P( X 4 a | X 2 c)P( X5 b | X 4 a)
7.
设X
~
b(1,
0.5)
,
Y
服从期望为
1 3
的指数分布，XY
0.4 ，则 D(X -3Y +2)
.
0.85
-1-
8.计算器的舍入误差是 (0.5, 0.5) 上的均匀分布，若将 120 个误差数值相加，则总误
差的绝对值超过 10 的概率近似为
. (1) 0.8143, (2)=0.9772 0.3714
故 X 和Y的相关系数为0，不相关. (3分)
（3）当 1 x 1时，
fY|X ( y | x)=
f (x, y)
fX (x) 2
1 ,
1 x2
1 x2 y
1 x2 .(3分)
故
fY
|X
(
y
|
x)=
2
1, 1 x2
0，
1 x2 y 1 x2 (2分)
(1) 证明随机过程 X (t) X1(t)+X2(t) 是平稳过程；
(2)
设
X1(t)
和
X2
(t)
功率谱密度为
S1()
S2
()
4 2
4
，求随机过程
X
(t
)
的平均功
率.
(1) 证明： X (t) E( X (t)) X2 (t), 因为X2(t)是平稳过程， 所以X2 (t)是常数，故X (t)是常数. (4分)
RX ( 2 , 7)
.12
11. 设{N (t),t 0}是参数为 1 的泊松过程，则 N (3) 与 N (5) 的相关系数为
，
P(N (1) 1, N (2) 3)
1 e2 . 15 / 5 , 2
1 4
12.
设齐次马氏链 {X n , n
0}
的状态空间
E
{1，2} ,一步概 率转 移矩阵为
-6-
解：（1） 当 1 x 1时，
1 1 x2
2 1 x2
fX
(x)
f
(x,
y)dy
1 x2
dy=
,
故
fX
(x)=
2
1 x2 ，1 x 1，
(2分)
0，
其他.
-3-
当 1 y 1时，
1 1 y2
2 1 y2
fY ( y)
（2 分）
0,
z 1;
故
FZ
(
z
)
0.4 0.6
z z
0.4, 0.8,
1 z 2; 2 z 3;
1,
z 3.
（2 分）
（3）
fZ (z) F 'Z (z) （2 分）
0, z 1或z 3; 故 fZ (z) 0.4, 1 z 2;
其他.
四．（15 分）
设齐次马氏链{Xn, n 0}的状态空间为 E {a,b, c}，转移概率矩阵为
0 3/4 1/4 P 1/2 0 1/2 ，初始分布为 P(X0 a) 1.
1/3 1/3 1/3