矩阵的概念
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注 若方阵A，B满足AB=E，则A，B互为逆矩阵。
要解决的两个问题：
1. 方阵满足什么条件时可逆？ 2. 方阵可逆时，逆矩阵如何求？
三、伴随矩阵
代数余子式的性质：设 Aij 是 Ann的行列式 | A |中元素 aij 的代数与子式，则有
ai1Aj1 ai2 Aj2 a1i A1 j a2i A2 j
例：用定义求
A
a c
b d
的逆。
(ad
bc
0)
解：A1
|
1 A
|
A*
ad
1
bc
d c
ab .
记住规律：主对角线 元素互换，次对角线 元素加负号
推论 ห้องสมุดไป่ตู้ A, B 均为n阶方阵，若 AB E，则 A, B 均可逆，且
A1 B, B1 A .
四、可逆矩阵的性质
(1) 设A,B为可逆矩阵，则有如下性质： 1) A1可逆，且 ( A1)1 A ； 2) k 0时，kA 可逆，且 (kA)1 1 A1； k 3) AT 可逆，且 ( AT )1 ( A1)T ； 4) 关于 A 的消去律成立。
(2) AB可逆，且 ( AB)1 B1A1。 (3) A diag(1, 2,, n )可逆 i 0(i 1,2,, n)
此时，
A1 diag(11, 21,, n1)
(2)证明 AB B1A1 A BB1 A1
AEA1 AA1 E,
AB1 B1 A1.
推广 A1 A2 Am 1 Am1 A21 A1.1
其他证明请自己证明一下。
ain Ajn ani Anj
|
A |,i j, 0,i j.
这启发我们定义伴随矩阵 A* 为
A11 A21 An1
A*
A12
A1n
A22 An2
A2n
Ann
关于的 A*公式
A* A AA* | A | E,
第四节 分块矩阵及其运算
使得
AA1 A1 A E ,
则矩阵 A1称为 A的可逆矩阵或逆阵。
二、逆矩阵的概念
定义 设 A 是 n 阶方阵，若存在 n阶方阵 B ，
使得
AB BA E,
则称 A 为可逆矩阵，B 为 A的一个逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1.
注意：逆矩阵存在的两个条件： (1)逆矩阵是 针对方阵而言，不是方阵的矩阵没有逆矩阵的
若矩阵 A 的阶数比较高，在运算时，我们经常进
行矩阵的分块工作，将大矩阵的运算化成小矩阵的 运算。
个矩阵在分A成的若行干或小列块之，间被加这上种一方些法横分线成和若纵干线小，块把的这
矩阵称为一个分块矩阵。 每一小块也称为子矩阵或 子块。
第四节
分块矩阵 及a11 其a运12 算a13 a14 a15
例如：对于矩阵
A
a21
a22
a23
a24
a25
的一种
分块形式（I）： a31 a32 a33 a34 a35
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31 a32 a33 a34 a35
设
A11
概念；(2)满足上面定义中的恒等式。
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
可得 | A | 0 。
| A1 || A |1
"" 由| A| 0 以及 A* A AA* | A | E,
( 1 A*) A A( 1 A*) E,
| A|
| A|
A1 1 A*. | A|
A满秩(r( A) n) A非奇异(| A | 0) A可逆 以A为系数矩阵的其次线性 方程组只有零解 .
方阵的运算与行列式之间的关系总结：
1. | AB || A || B | ； 2. | kA| k n | A |； 3. | AT || A | ； 4. | A1 || A |1 。
注： 对于矩阵加法，没有相关的公式。
3.3 矩阵的分块
• 一、概念的引入 • 二、分块矩阵的定义 • 三、分块矩阵的运算 • 四、特殊的分块矩阵
此时，我们可以解答前面提出的第一个问 题。即我们有下述定理
定理 n阶方阵 A (aij )nn 可逆，当且仅当 | A | 0 ， 且当 A 可逆时，
A1 1 A*. | A|
牢记这个定理！
证明：
"" 由 A可逆知 AA1 E，两边取行列式得
| AA1 || A || A1 | 1,
a11 a21
a12 a22
,
A12
a13
a23
a14 a24
a15 a25
,
A21
a31
a32 , A22 a33
a34
a35
则该分法的分块矩阵可简记为：
A
A11 A21
A12
A22
即A是以子块Aij (i 1, 2; j 1, 2)为元素的分块矩阵。
一、概念的引入
由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文 件无法上传的情况，如何解决？
这时我们可以借助WINRAR把文件压缩，依次上 传。
在大数据科学中，大型结构化数据的存储与操作、并 行计算。
两个问题： 1、什么是矩阵分块法？ 2、为什么提出矩阵分块法？
第四节 分块矩阵及其运算
二、分块矩阵的定义
第三章 矩阵
3.2 可逆矩阵 3.3 矩阵的分块
3.2 可逆矩阵
• 一、概念的引入 • 二、逆矩阵的概念 • 三、伴随矩阵 • 四、逆矩阵的性质
一、概念的引入
在数的运算中，当数a 0 时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵A1,
要解决的两个问题：
1. 方阵满足什么条件时可逆？ 2. 方阵可逆时，逆矩阵如何求？
三、伴随矩阵
代数余子式的性质：设 Aij 是 Ann的行列式 | A |中元素 aij 的代数与子式，则有
ai1Aj1 ai2 Aj2 a1i A1 j a2i A2 j
例：用定义求
A
a c
b d
的逆。
(ad
bc
0)
解：A1
|
1 A
|
A*
ad
1
bc
d c
ab .
记住规律：主对角线 元素互换，次对角线 元素加负号
推论 ห้องสมุดไป่ตู้ A, B 均为n阶方阵，若 AB E，则 A, B 均可逆，且
A1 B, B1 A .
四、可逆矩阵的性质
(1) 设A,B为可逆矩阵，则有如下性质： 1) A1可逆，且 ( A1)1 A ； 2) k 0时，kA 可逆，且 (kA)1 1 A1； k 3) AT 可逆，且 ( AT )1 ( A1)T ； 4) 关于 A 的消去律成立。
(2) AB可逆，且 ( AB)1 B1A1。 (3) A diag(1, 2,, n )可逆 i 0(i 1,2,, n)
此时，
A1 diag(11, 21,, n1)
(2)证明 AB B1A1 A BB1 A1
AEA1 AA1 E,
AB1 B1 A1.
推广 A1 A2 Am 1 Am1 A21 A1.1
其他证明请自己证明一下。
ain Ajn ani Anj
|
A |,i j, 0,i j.
这启发我们定义伴随矩阵 A* 为
A11 A21 An1
A*
A12
A1n
A22 An2
A2n
Ann
关于的 A*公式
A* A AA* | A | E,
第四节 分块矩阵及其运算
使得
AA1 A1 A E ,
则矩阵 A1称为 A的可逆矩阵或逆阵。
二、逆矩阵的概念
定义 设 A 是 n 阶方阵，若存在 n阶方阵 B ，
使得
AB BA E,
则称 A 为可逆矩阵，B 为 A的一个逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1.
注意：逆矩阵存在的两个条件： (1)逆矩阵是 针对方阵而言，不是方阵的矩阵没有逆矩阵的
若矩阵 A 的阶数比较高，在运算时，我们经常进
行矩阵的分块工作，将大矩阵的运算化成小矩阵的 运算。
个矩阵在分A成的若行干或小列块之，间被加这上种一方些法横分线成和若纵干线小，块把的这
矩阵称为一个分块矩阵。 每一小块也称为子矩阵或 子块。
第四节
分块矩阵 及a11 其a运12 算a13 a14 a15
例如：对于矩阵
A
a21
a22
a23
a24
a25
的一种
分块形式（I）： a31 a32 a33 a34 a35
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31 a32 a33 a34 a35
设
A11
概念；(2)满足上面定义中的恒等式。
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
可得 | A | 0 。
| A1 || A |1
"" 由| A| 0 以及 A* A AA* | A | E,
( 1 A*) A A( 1 A*) E,
| A|
| A|
A1 1 A*. | A|
A满秩(r( A) n) A非奇异(| A | 0) A可逆 以A为系数矩阵的其次线性 方程组只有零解 .
方阵的运算与行列式之间的关系总结：
1. | AB || A || B | ； 2. | kA| k n | A |； 3. | AT || A | ； 4. | A1 || A |1 。
注： 对于矩阵加法，没有相关的公式。
3.3 矩阵的分块
• 一、概念的引入 • 二、分块矩阵的定义 • 三、分块矩阵的运算 • 四、特殊的分块矩阵
此时，我们可以解答前面提出的第一个问 题。即我们有下述定理
定理 n阶方阵 A (aij )nn 可逆，当且仅当 | A | 0 ， 且当 A 可逆时，
A1 1 A*. | A|
牢记这个定理！
证明：
"" 由 A可逆知 AA1 E，两边取行列式得
| AA1 || A || A1 | 1,
a11 a21
a12 a22
,
A12
a13
a23
a14 a24
a15 a25
,
A21
a31
a32 , A22 a33
a34
a35
则该分法的分块矩阵可简记为：
A
A11 A21
A12
A22
即A是以子块Aij (i 1, 2; j 1, 2)为元素的分块矩阵。
一、概念的引入
由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文 件无法上传的情况，如何解决？
这时我们可以借助WINRAR把文件压缩，依次上 传。
在大数据科学中，大型结构化数据的存储与操作、并 行计算。
两个问题： 1、什么是矩阵分块法？ 2、为什么提出矩阵分块法？
第四节 分块矩阵及其运算
二、分块矩阵的定义
第三章 矩阵
3.2 可逆矩阵 3.3 矩阵的分块
3.2 可逆矩阵
• 一、概念的引入 • 二、逆矩阵的概念 • 三、伴随矩阵 • 四、逆矩阵的性质
一、概念的引入
在数的运算中，当数a 0 时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵A1,