二维随机变量及独立性--教学设计

概率论与数理统计教学设计

即

(,)(,),,

F x y P X x Y y x y

=≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞

．

3．联合分布函数的性质

(1) 0(,)1

F x y

≤≤；

(2 ) (,)

F x y是变量x(固定y)或y(固定x)

的非减函数；

(3)

(,)0,(,)0

lim

lim

x y

F x y F x y

→-∞→-∞

==

，

(,)0,(,)1

lim

lim

x x

y y

F x y F x y

→-∞→+∞

→-∞→+∞

==

；

(4) (,)

F x y是变量x(固定y)或y(固定x)

的右连续函数；

(5)

121222211211

(,)(,)(,)(,)(,)

P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+

．

例题：设二维随机变量(,)

X Y的联合分布函数为(,)(arctan)(arctan)

F x y A B x C y

=++

上。

M M L M L M

i x

1i p

L

ij p

L

ij

j

p

∑

M

M

L

M

L

()

j P Y y =

1

i i

p

∑ L

ij

i

p

∑

L

1

5.二维连续型随机变量及联合概率密度

（1）对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有

111

1

224

OAB

S=⨯⨯=

V

所以由均匀分布的定义可得，（X,Y）的联合密度函

数为：

4,(,)

(,)

0,

x y D

f x y

∈

⎧

=⎨

⎩其他

下面来求（X,Y）的分布函数，

(,)(,),(,)

x y

F x y f s t dtds x y

-∞-∞

=-∞<<+∞-∞<<+∞

⎰⎰

（1）当

1

2

x y

<-<

或时，(,)=0

F x y

（2）当

1

0,021

2

x y x

-≤<≤<+时

2

1

2

(,)=442

y x

y

F x y dt ds xy y y

-

=+-

⎰⎰

（3）当

1

0,21

2

x y x

-≤<≥+时

212

1

2

(,)4441

x x

F x y ds dy x x

+

-

==++

⎰⎰

（4）当0,01

x y

≥≤<时

02

1

2

(,)=42

y

y

F x y dt ds y y

-

=-

⎰⎰

（5）当0,1

x y

≥≥时

021

1

2

(,)=41

x

F x y ds dt

+

-

=

⎰⎰

综上所述，

2

2

2

42

(,)=

441

2

1

xy y y

F x y

x x

y y

⎧

⎪

⎪

⎪-+

⎪

⎪

⎨

++

⎪

⎪

⎪

-

⎪

⎪

⎩

1

2

1

0,021

2

1

0,21

2

0,01

0,1

x y

x y x

x y x

x y

x y

<-<

-≤<≤<+

-≤<≥+

≥≤<

≥≥

或

6.二维随机变量的边缘分布

设(,)

F x y为二维随机变量(,)

X Y的联合分布函数，称

x y F y

(,)(,)