中山大学概率统第1章习题解

习题一

1. 用以样本点为元素的集合的形式写出下列试验的样本空间及事件A ,B .

1) 投掷一颗骰子,记录出现的点数.A =“出现奇数点”.

2) 投掷一颗骰子两次,记录出现点数.A =“两次点数之和为10”,B =“第一次的点数比第二次的点数大2”.

3) 一个口袋中有5只编号分别为1,2,3,4,5的球,从中同时取出3只球,观察其结果.A =“球的最小号码为1”.

4) 将a ,b 两个球随机地放到甲,乙,丙三个盒子中去,观察放球情况.A =“甲盒中至少有一球”.

5) 记录在一段时间内通过某桥的汽车流量,A =“通过汽车不足5辆”,B =“通过的汽车不少于3辆”.

2. 设,,A B C 都是事件,试通过对,,,,,A B C A B C 中的一些事件的交及并的运算式表示下列事件:

1) ,,A B C 中仅有A 发生.

2) ,,A B C 中至少有两个发生.

3) ,,A B C 中至多两个发生.

4) ,,A B C 中恰有两个发生.

5) ,,A B C 中至多有一个发生.

3. 袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率:

A =“三次都是红的”,

B =“三次颜色全同”,

C =“三次颜色全不同”,

D =“三次颜色不全同”,

E =“三次中无红”,

F =“三次中无红或无黄”. 解 每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有3464=种可能，因此样本空间含有64个样本点。

每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有328=种可能，因此事件A 含有8个样本点。

3次抽球都抽到紅球共有328=种可能，3次抽球都抽到黄球共有311=种可能，3次抽球都抽到白球共有311=种可能，因此事件B 含有81110++=个样本点。

3种颜色的排列有333!6A ==种，对应于每一种排列，抽到的球有2112⨯⨯=种可能，

因此事件C 含有6212⨯=个样本点。

因为事件B 含有10个样本点，故事件D B =含有641054-=个样本点。

每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有2种可能，3次抽球都抽不到紅球共有328=种可能，因此事件E 含有8个样本点。

3次都抽不到红球有8种可能，3次都抽不到黄球有3327=中可能，3次都抽不到红球和黄球有311=中可能，因此事件F 含有827134+-=个样本点。

由上可得

()8/641/8P A ==， ()10/645/32P B ==， ()12/643/16P C ==，

()54/6427/32P D ==， ()8/641/8P E == ()34/6417/32P F ==。

4. 5个人依次抽5条签,取后不放回.

1) 如果5条签中有1条上签,求第3人抽中上签的概率.

2) 如果5条签中有1条上签,求前3人中有一人抽中上签的概率.

3) 如果5条签中有两条上签,求后两个人都抽不到上签的概率.

解 5个人依次抽5条签,有55

5!120A ==种结果，故样本点总数为120。 1） 第3人抽到上签,其余的人抽到余下的签,有44

4!A =种结果,故所求的概率为 4!/5!1/5=。

2) 类似1),前3人中每人抽中上签都有44

4!A =种结果,故共有34!⨯种结果,所求的概率为

(4!3)/1203/5⨯=。

3) 从这5条签中取出两条上签和1条非上签有3种可能，前3人抽取这3条取出的签有3!6=种可能，后2人抽取余下的两条签有2种可能，故共有36236⨯⨯=种结果，所求的概率为

36/1203/10=。

5. 袋中有10个球,其中有5个红球,3个黄球和2个白球.现从这10个球任取5个.

1) 求这5个球中恰有3个红球的概率.

2) 求这5个球中恰有3个红球,1个黄球和1个白球的概率.

解 不考虑取球的次序，从10个球中选取5个有510252C =种可能，故样本点总数为252。

1） 从5个红球中取出3个红球，有35

10C =种可能，从剩下的5个球中取出2个球，有25

10C =种可能，故样本点数为1010100⨯=，所求得概率为 100/25225/63=。

2） 从5个红球中取出3个红球，有35

10C =种可能，从剩下的5个球中取出1个

黄球和1个白球，有11

32326

C C=⨯=种可能，故样本点数为10660

⨯=，所求得概率为

60/2525/21

=。

6.在5对夫妻中任选4人,求至少有一对夫妻被选中的概率.

解1考虑选出的人的次序。

在5对夫妻10个人中选出4人有109875040

⨯⨯⨯=种可能，样本点总数为5040。

先求事件A“至少有一对夫妻被选中”的对立事件A“没有一对夫妻被选中”含的样本点数。第1人可以在5对夫妻10人中任选，第2人可以在余下的4对夫妻8人中任选，第3人可以在余下的3对夫妻6人中任选，第4人可以在余下的3对夫妻4人中任选，故事件A含有108641920

⨯⨯⨯=个样本点。由上知A含有504019203120

-=个样本点，事件A的概率是

3120/504013/21

=。

解2考虑选出的人的次序。

在5对夫妻10个人中选出4人有4

1010!/6!5040

A==种可能，样本点总数为5040。先求事件A“至少有一对夫妻被选中”的对立事件A“没有一对夫妻被选中”含的

样本点数。在5对夫妻中先选出4对排列，有4

55!/1!120

A==种选法，在选中的这4对中每对各选一人，有4216

=种选法，故事件A含有120161920

⨯=个样本点。因而A含有504019203120

-=个样本点，事件A的概率是

3120/504013/21

=。

解3不考虑选出的人的次序。在5对夫妻10个人中选出4人有4

10210

C=种可能，样本点总数为210。先求事件A“至少有一对夫妻被选中”的对立事件A“没有一对夫妻

被选中”含的样本点数。在5对夫妻中先选出4对，有4

55

C=种选法，在选中的这4对中每对各选一人，有4216

=种选法，故事件A含有51680

⨯=个样本点。由上知A含有21080130

-=个样本点，事件A的概率是

130/21013/21

=。

7.有9个学生,其中有3个女生,把他们任意地分到3个小组,每组3人.求每组都有一个女生的概率.

解不考虑分到各组的人的次序。在9个学生中选出3个人分到第1组有3

984

C=种可

能，在余下的6个学生中选出3个人分到第2组有3

620

C=种可能，把最后的3个学生