二项分布.

例1设生男孩的概率为p ,生女孩的概率为q=1-p ，令X 表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.
贝努里概型和二项分布
一、我们来求X 的概率分布.
4,3,2,1,0,)1(}{44=-==-k p p C k X P k k k
X 的概率函数是：男女X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p .X =0
X =1X =2X =3X =4X 可取值0,1,2,3,4.
例2将一枚均匀骰子抛掷3次，令X 表示3次中出现“4”点的次数
3
,2,1,0,)65()61(}{33===-k C k X P k k k
X 的概率函数是：
不难求得，
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A 或，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.
A 新生儿：“是男孩”，“是女孩”
抽验产品：“是正品”，“是次品”
再设我们重复地进行n次独立试验( “重复”是指这次试验中各次试验条件相同)，
每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p.
这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.
用X 表示n 重贝努里试验中事件A （成功）出现的次数，则
n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)
1()( =-==-1
)(0∑===n k k X
P （2）不难验证：0
)(≥=k X P （1）称r.v X 服从参数为n 和p 的二项分布，记作X ~B (n ,p )
当n =1时，
P (X =k )=p k (1-p)1-k ,k =0,1称X 服从两点分布
007125.0)95.0()05.0()2(2
2
3===C X P 例3已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X 为所取的3个中的次品数，
于是，所求概率为：则X ~ B (3, 0.05)，
注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解.
古典概型与贝努里概型不同，有何区别？00618.0)2(3100
25195≈==C
C C X P 请思考：
贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：
（1）每次试验条件相同；
二项分布描述的是n 重贝努里试验中出现“成功”次数X 的概率分布.
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A 或，
A 且P (A )=p ，
；p A P -=1)(（3）各次试验相互独立.
可以简单地说，
例4某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X 为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数. X ~ B (3, 0.8)，
把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”
视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8P (X 1) =P (X =0)+P (X =1)≤=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2.0()8.0()(33k
k k C k X P -==3,2,1,0=k
对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k) 先是随
之增加直至达到最大值,
随后单调减少.
当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；
( [x] 表示不超过x的最大整数)
...
n=10,p=0.7
k P k
对于固定n 及p ，当k 增加时,概率P (X=k ) 先是随
之增加直至达到最大值, 随后单调减少.当(n +1)p 为整数时，二项概率P (X =k )在k =(n +1)p 和k =(n +1)p -1处达到最大值.
课下请自行证明上述结论.n =13,p =0.5P k
k
0
二、二项分布的泊松近似
当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦.
必须寻求近似方法.
我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面我们将介绍二项分布的正态近似.
证明见教材.
定理的条件意味着当n 很大时，p n 必定很小.因此，泊松定理表明，当n 很大，p 很小时有以下近似式：
!
)1(k e p p C k k n k k
n λλ--≈-泊松定理设是一个正整数，，则有
n p n λ=
,2,1,0,!)1(lim ==---∞→k k e p p C k
k n n k n k n n λλλ其中np
=λ
≥n 100, np 9 时近似效果就较好.
≤实际计算中，
!)1(k e p p C k k n k k
n λ
λ--≈-其中np
=λ
例5为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员. 设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理. 问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
0.01. 一台设备故障一人来处理.
问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
设X为300台设备同时发生故障的台数，
300台设备，独立工作，每台出故障概率
p=0.01 . 可看作n=300的贝努里概型.
可见，
X~B(n,p)，n=300, p=0.01
0.01 . 一台设备故障一人来处理.
问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X 为300台设备同时发生故障的台数，
X ~B (n ,p )，n =300,p =0.01
设需配备N 个维修人员，所求的是满足P (X >N ) < 0.01 或P (X N ) 0.99 ≥≤的最小的N .
解：设X 为300台设备同时发生故障的台数，
X ~B (n ,p )，n =300, p =0.01
设需配备N 个维修人员，所求的是满足P (X >N ) < 0.01的最小的N .
P (X >N ) k
k N k k C -+=∑=3003001300)
99.0()01.0(∑+=-≈30013!
3N k k k e n 大,p 小,np =3,用=np =3的泊松近似λ下面给出正式求解过程：
∑∞+=-≈13!3N k k k e
即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得
N +1 9,≥即N 8
≥我们求满足∑∞+=-<13
01.0!3N k k k e 的最小的N .,0038.0!39
3∑∞=-≈k k k e ,012.0!383∑∞=-≈k k k e
我们介绍了二项分布.
二项分布是实际中最常见的离散型分布之一.
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.
在解应用题时需要注意判断问题是否为贝努里概型，可否用二项分布求解.
我们介绍了二项分布的泊松近似，
使用时应注意条件.。