二项分布.
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例1设生男孩的概率为p ,生女孩的概率为q=1-p ,令X 表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.
贝努里概型和二项分布
一、我们来求X 的概率分布.
4,3,2,1,0,)1(}{44=-==-k p p C k X P k k k
X 的概率函数是:男女X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数,生男孩的概率为p .X =0
X =1X =2X =3X =4X 可取值0,1,2,3,4.
例2将一枚均匀骰子抛掷3次,令X 表示3次中出现“4”点的次数
3
,2,1,0,)65()61(}{33===-k C k X P k k k
X 的概率函数是:
不难求得,
掷骰子:“掷出4点”,“未掷出4点”一般地,设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果:A 或,或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.
A 新生儿:“是男孩”,“是女孩”
抽验产品:“是正品”,“是次品”
再设我们重复地进行n次独立试验( “重复”是指这次试验中各次试验条件相同),
每次试验成功的概率都是p,失败的概率都是q=1-p.
这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验,简称贝努里试验或贝努里概型.
用X 表示n 重贝努里试验中事件A (成功)出现的次数,则
n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)
1()( =-==-1
)(0∑===n k k X
P (2)不难验证:0
)(≥=k X P (1)称r.v X 服从参数为n 和p 的二项分布,记作X ~B (n ,p )
当n =1时,
P (X =k )=p k (1-p)1-k ,k =0,1称X 服从两点分布
007125.0)95.0()05.0()2(2
2
3===C X P 例3已知100个产品中有5个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次,因此这3 次试验的条件完全相同且独立,它是贝努里试验.依题意,每次试验取到次品的概率为0.05.设X 为所取的3个中的次品数,
于是,所求概率为:则X ~ B (3, 0.05),
注:若将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,不是贝努里概型,此时,只能用古典概型求解.
古典概型与贝努里概型不同,有何区别?00618.0)2(3100
25195≈==C
C C X P 请思考:
贝努里概型对试验结果没有等可能的要求,但有下述要求:
(1)每次试验条件相同;
二项分布描述的是n 重贝努里试验中出现“成功”次数X 的概率分布.
(2)每次试验只考虑两个互逆结果A 或,
A 且P (A )=p ,
;p A P -=1)((3)各次试验相互独立.
可以简单地说,
例4某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X 为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数. X ~ B (3, 0.8),
把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”
视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8P (X 1) =P (X =0)+P (X =1)≤=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2.0()8.0()(33k
k k C k X P -==3,2,1,0=k
对于固定n及p,当k增加时,概率P(X=k) 先是随
之增加直至达到最大值,
随后单调减少.
当(n+1)p不为整数时,二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值;
( [x] 表示不超过x的最大整数)
...
n=10,p=0.7
k P k
对于固定n 及p ,当k 增加时,概率P (X=k ) 先是随
之增加直至达到最大值, 随后单调减少.当(n +1)p 为整数时,二项概率P (X =k )在k =(n +1)p 和k =(n +1)p -1处达到最大值.
课下请自行证明上述结论.n =13,p =0.5P k
k
0
二、二项分布的泊松近似
当试验次数n很大时,计算二项概率变得很麻烦.
必须寻求近似方法.
我们先来介绍二项分布的泊松近似,后面我们将介绍二项分布的正态近似.
证明见教材.
定理的条件意味着当n 很大时,p n 必定很小.因此,泊松定理表明,当n 很大,p 很小时有以下近似式:
!
)1(k e p p C k k n k k
n λλ--≈-泊松定理设是一个正整数,,则有
n p n λ=
,2,1,0,!)1(lim ==---∞→k k e p p C k
k n n k n k n n λλλ其中np
=λ
≥n 100, np 9 时近似效果就较好.
≤实际计算中,
!)1(k e p p C k k n k k
n λ
λ--≈-其中np
=λ
例5为保证设备正常工作,需要配备适量的维修人员. 设共有300台设备,每台的工作相互独立,发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下,一台设备的故障可由一人来处理. 问至少应配备多少维修人员,才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析: