CIC抽取滤波器的研究和设计

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宁波职业技术学院学报
的，也就是说每一个误差源及滤波器输出寄存器 引用的误差的均值和方差都已经确定了。总共有 个误差源： 前２ ２ Ｎ ＋ １ Ｎ个是对 ２ Ｎ级滤波器输入截 断或舍入导致的误差，最后一个是对输出寄存器 截断或舍入引进的误差。 这些误差源互不关联。 截 个误差源 断和舍入除了在第一个和最后一个这 ２ 不一样外， 在其他 ２ 个误差源的所引入的误差 Ｎ － １ 是一样的。 假设，每一个误差源是一个跟输入及其他误 差源都不相关的白噪声， 则任意第 ｊ 个误差源误差 的同一分布概率， 其概率分布函数为
积分滤波部分 梳状滤波部分
ｆ － ｉ ≤ｆ ｃ，
中犤 是不大于 ｘ 的最大的整数。 ｘ 犦 ４ 犦 ２ ． ２ 寄存器宽度犤
（ ） ８
式中： 为截止频率， ， ， ， ， …， ； 其 ｆ ｆ ≤１ ／ ２ ｉ ＝ １ ２ ３ 犤 Ｒ／ ２ 犦 ｃ
ｆ ｓ
…… ……
ｆ ｓ
ｆ ? Ｒ ｓ
…… ……
第Ｎ 步 ＋ １
ｊ ＝ ２ Ｎ ＋ １
。
（ ） １ ６
， ， …， ｊ ＝ １ ２ ２ Ｎ 结合式（ ） ， 简化式（ ） 可得 ９ １ ６
３ 设计实例
假设抽取 Ｃ 把采样率从 ２ Ｉ Ｃ滤波器的要求为： Ｍ Ｈ ｚ 降到 ５ ， 阻带衰减不低于 ５ ， 通带衰减低 ０ ｋ Ｈ ｚ ０ ｄ Ｂ （ ） １ ７ 于３ ， 混叠衰减大于 ７ 。输入的数据是 １ 位， ｄ Ｂ ０ ｄ Ｂ ４ 滤波器输出数据为 ３ 位， 即Ｂ ， 。现在 ２ ＝ １ ４ Ｂ ＝ ３ ２ ｉ ｎ ｏ ｕ ｔ 就是要找出符合要求的 Ｒ ， Ｍ， Ｎ三个参数。 由条件可知， ，由图 １ 中 Ｒ ＝ ２ Ｍ Ｈ ｚ ／ ５ ０ ｋ Ｈ ｚ ＝ ４ ０
图２ Ｃ Ｉ Ｃ滤波器幅频特性
２ Ｃ Ｉ Ｃ滤波器的设计
２ ． １ 误差分析
由图 ２ 可以看出， 对于 Ｃ 其零点在 Ｉ Ｃ滤波器，
１ 的整数倍上， 所以差分延迟可以作为控制零点 Ｍ
位置的设计参数。由于零点附近的区域叠加入通 带， 对抽取滤波器， 引起混叠误差； 而对插值滤波
３ 犦 器则引起镜像误差。 混叠 ／ 镜像误差的频率区间为 犤
设输入的数据位数为 Ｂ ，以 Ｂ ｉ ｎ ｍ ａ ｘ表示滤波器 ， 则 输出的 Ｍ Ｓ Ｂ （ 。 Ｂ ＝ Ｎｌ ｏ ｇ Ｒ Ｍ） ＋ Ｂ － １ ｍ ａ ｘ ２ ｉ ｎ
频率 ? Ｈ ｚ
（ ） １ １
这里， 滤波器输入寄存器的 Ｌ ， 是不 Ｓ Ｂ为 ０ 犤 ｘ 犦 小 于 ｘ最 小 的 整 数 。 Ｂ ｍ ａ ｘ不 仅 是 滤 波 器 输 出 的 ，同时也是构成 Ｃ Ｍ Ｓ Ｂ Ｉ Ｃ滤 波 器 的 各 级 输 出 的 所以也可以把 Ｂ 但是不 Ｍ Ｓ Ｂ 牞 ｍ ａ ｘ当 作 寄 存 器 宽 度 ， 能把这看作是输出数据的长度。 舍入误差 ２ ． ３ 截断 ／ 对实际应用来说， 一般 Ｂ 使得寄 存 ｍ ａ ｘ都大了， 器的宽度过大， 造成硬件资源的浪费。在实际应用 中， 多采用截断或者舍入来降低寄存器的宽度。虽 然， 降低了寄存器的宽度， 也引入了误差。 滤波器输出总的误差是由截断或者舍入引用
ｋ个 系 数 的 误 差 均 值 和 方 差 分 别 是
２ ｊ
（ ） 和 Ｈ ｋ ｊ
） ， 第ｊ 个误差就是所有脉冲响应系数的误 Ｈ（ ｋ 差之和。 ， 这里 （ ） １ ５ ， （ ） ２ ４
式中： ， ， …， 。结合上述各式就可计算出各 ｊ ＝ １ ２ ２ Ｎ 级滤波输出的截断或舍入所导致的误差均值与方 差。
中图分类号：Ｔ Ｎ７ １ ３
文献标识码：Ａ
（ ） 文章编号：１ ６ ７ １ － ２ １ ５ ３ ２ ０ ０ ９ ０ ２ － ０ ０ １ ２ － ０ ４
０ 引 言
在信号处理领域，许多算法都是把采样频率
数为 。 （ ） １
Ｆ ｓ看作固定值，即在一个数字系统中只有一个采
样频率。但在实际系统中， 经常遇到采样频率转换 的问题，即要求一个数字系统能工作在多采样率 状态。在数字系统越来越普及的情况下， 各个数字 系统都有自己的标准，它们之间的衔接也遇到这 （ ） 样的问题。 此时， 无论是 Ｆ Ｉ Ｒ Ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅＩ ｍ ｐ ｕ ｌ ｓ ｅＲ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ 还是 Ｉ （ ） 滤波器都无法 Ｉ Ｒ Ｉ ｎ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅＩ ｍ ｐ ｕ ｌ ｓ ｅＲ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ 解决这一问题。 本文就这一问题研究 Ｃ （ Ｉ Ｃ Ｃ ａ ｓ ｃ ａ ｄ ｅ ｄＩ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ － ） 滤波器的原理及其设计并分析其误差。 Ｃ ｏ ｍ ｂ
２ 犦 以表示为 犤
其中， 是相对于低采样率 ｆ ｆ ? Ｒ的相对频率。由式 ｓ （ ） 可以看出， ５ Ｃ Ｉ Ｃ滤波器也是一个线性相位滤波器。 当 Ｒ足 够 大 的 时 ， Ｃ Ｉ Ｃ抽 取 滤 波 器 的 幅 频 特 性 可 以简化为
狖
式中： （ ） ｈ ｋ ＝ ｊ
， ， …， ｊ ＝ Ｎ ＋ １ Ｎ ＋ ２ ２ Ｎ
， ＝ １ ３ ． ４ ６ Ｎ ，混叠衰
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杨保香等： Ｃ Ｉ Ｃ抽取滤波器的研究和设计
减Ａ ＝ － ２ ０ Ｎｌ ｏ ｇ １ ０ ａ
， ｆ ｃ为截止 频
和Ｂ ， 利用式（ ） 计算出滤波器 波器的 Ｂ ＝ ４ ０ ＝ ９ ２ ３ ｍ ａ ｘ ２ Ｎ ＋ １ 前２ ， ， ， ， Ｎ级寄存器舍弃各级的 Ｌ Ｓ Ｂ大小为 ０ ０ ０ ０ ， ， ， ， ， ； 相对地， 利用式（ ） 和式（ ） 得出输 １ ３ ４ ５ ６ ６ １ ８ ２ ２ 出寄存器舍弃 Ｌ Ｓ Ｂ总的误差均值和标准差分别为 ， ＝ ０ ． ５ ０ ０ ０ 。本 例 中 ， 因为抽取 ＝ ０ ． １ ７ ６ ９ 位， 所以除了第一级积分器， 其 滤波器的硬件是 ５ 余截断后寄存器长度的取值都是最接近于 ５ 的整 数倍的值
犤 ２ 犦
当Ｎ 率 。根 据 条 件 ， 当Ｎ ＝ ４时 ， ｆ ≤ １； ＝ ５时 ， ｆ ≤ ｃ ｃ
８
１。取 Ｍ＝ ， ， 则Ａ ， ， １ ｆ ＝１ ， Ｎ ＝ ５ ＝ ２ ． ０ ｄ Ｂ Ａ ＝ ７ １ ． ９ ｄ Ｂ ｃ ｐ ａ ６ ６
!１ "#$%&'()*+ $%,-./01 "2 ． 4"56789:;<=>1 4" ?@ ２ ． 3 ７ ０ ０ ０ ８ ９ A ７ ２ １ ０ ０ ６
摘
研究了滤波器的原理， 重点分析了设计过程中滤波器的误差。 要： 介绍了一种多采样率 Ｃ Ｉ Ｃ抽取滤波器。
在此基础上， 用一个滤波器的设计实例验 证 了 滤 波 器 的 误 差 理 论 ， 并验证了 Ｃ Ｉ Ｃ抽 取 滤 波 器 通 过 采 样 速 率 变 利用软件控制 Ｒ可实现多采样率。 换因子 Ｒ可降低滤波器的工作频率。结果表明， ） ；最高有效位（ ） 关键词：Ｃ Ｉ Ｃ滤波器； Ｆ Ｉ Ｒ滤波器； Ｉ 源自文库 Ｒ滤波器；最低有效位（ Ｌ Ｓ Ｂ Ｍ Ｓ Ｂ
１ ． ２ 频率特性 Ｃ Ｉ Ｃ抽取滤波器是一个窄带低通滤波器。当
ｊ ２ｆ ? Ｒ 时， 其频率响应通过式（ ） 得到 ｚ ＝ ｅ ３
（ ） ｊＮ ｆ Ｍ － １ ? Ｒ ｅ ） ， （ ５
变， 这明显不合理。为了避免数据溢出， 寄存器必 须有一个合理的长度。 从第 ｊ 级起到 最 后 一 级 滤 波 器 的 系 统 函 数 可
２００９年 ４月 第１ 卷第 ２ 期 ３
宁波职业技术学院学报 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｎ ｉ ｎ ｇ ｂ ｏＰ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ 宁波职业技术学院学报
，２ Ａ ｐ ｒ ０ ０ ９ Ｖ ｏ ｌ ． １ ３Ｎ ｏ ． ２
Ｃ Ｉ Ｃ抽取滤波器的研究和设计
杨保香 １ ，张志云 ２ ，宋育红 １
的表达式为 其中 Ｆ ｊ ， ， …， ｊ ＝ １ ２ ２ Ｎ 。 （ ） ２ ０
ｊ ＝ ２ Ｎ ＋ １
） 以及傅立叶基的正交性， 又可写成 利用式（ ９ Ｆ ｊ
２ Ｆ ＝ ｊ
狖
ｊ ｅ
ｊ ｅ ｄ
， ， …， ， ， ， …， ｊ ＝ １ ２ ２ Ｎ ｍ ＝ １ ２ ２ Ｎ ， （ ） ２ １
１ ｊ ＝ ２ Ｎ ＋ １
（ ） ９
， ， …， ｊ ＝ １ ２ Ｎ ， （ ） ６
其幅频特性如图 ２ 所示。Ｃ Ｉ Ｃ滤波器相对衰减为 。 （ ） ７
狖
， ， …， ｊ ＝ Ｎ ＋ １ Ｎ ＋ ２ ２ Ｎ （ ） １ ０ ， ， …， ｊ ＝ １ ２ Ｎ
最大的寄存器增长量 Ｇ ｍ ａ ｘ则可以写成
幅值? ｄ Ｂ
。
Ｎ （ Ｒ Ｍ）
２ 犦 大小 犤
Ｅ ｊ＝
狖
０ ２
Ｂ ｊ
没有截断或舍入 其他
） （ ２ ２
为第 ｊ 个误差源舍弃的 Ｌ 其中 Ｂ Ｓ Ｂ数。误差的均 ｊ 值为
＝
方差为
狖
１Ｅ ｊ ２
截断 ， 其他 （ ） １ ３
０
。
结合式（ ） ， 第ｊ 个误差源引入的误差可 以 分 配 到 ９ （ ） 的脉冲响应系数对应的独立随机过程上。 第 Ｈ ｚ ｊ
滤波器总的误差方值为 。 ， （ ） １ ２ 上述可以看出，只有方差才在所有误差源上 受截断或舍入的影响；而均值只在第一个和最后 一个才受其影响。 假设滤波器输出寄存器实际保留的宽度， 也 就是滤波器实际输出数据的长度为 Ｂ ， 则输出寄 ｏ ｕ ｔ 存器舍弃的 Ｌ Ｓ Ｂ的大小为 。 Ｂ ＝ Ｂ － Ｂ ＋ １ ２ Ｎ ＋ １ ｍ ａ ｘ ｏ ｕ ｔ ） （ １ ４ （ ） ２ ３ 在实际应用中， 一般都使得前 ２ Ｎ误差源的误 差方值不大于最后一个误差源的误差方值，而且 把前 ２ Ｎ个误差源的误差均分到 ２ Ｎ个 误 差 源 上 。 根据这一设计理念，可以得出各级舍弃的 Ｌ Ｓ Ｂ的
采 Ｃ Ｉ Ｃ滤波器的梳状部分工作在低采样率上， 样率为 ｆ ， 为整数。这一部 ? Ｒ Ｒ是采样率变换因子， ｓ 分由 Ｎ个差分延迟为 Ｍ 的梳状滤波器级联而成。 在滤波器设计中，差分延迟是一个控制滤波器频 率响应的设计参数。梳状滤波器的系统函数为 。 ） （ ２
在这两部分之间是一个采样速率变换器， 通 过它， 最后一个积分滤波器的采样率由 ｆ 。 ? Ｒ ｓ降为 ｆ ｓ
由式（ ） 可知， 实际上就是 ４ Ｃ Ｉ Ｃ滤波器无极点，
Ｎ阶的 Ｃ Ｉ Ｃ滤波器，积分部分由 Ｎ个理想的数字
滤波器级联组成， 这些滤波器的采样率是 ｆ 。每一 ｓ 级都是反馈系数相同的单极点滤波器，其系统函
收稿日期：２ ０ ０ ８ － ０ ９ － ０ ３
Ｎ个 Ｆ Ｉ Ｒ滤波器的级联。但是与 Ｆ Ｉ Ｒ滤波器相比，
没有乘法器， 也不必存储滤波系数， 同时采样速率 可变， 而且结构很有规律， 易于硬件实现， 设计参
） ， 女， 山西应县人， 助教， 从事专业课教学及理论教学研究。 作者简介： 杨保香（ １ ９ ７ ９ －
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杨保香等： Ｃ Ｉ Ｃ抽取滤波器的研究和设计
数也少于 Ｆ Ｉ Ｒ滤波器的设计参数。
ｆ ? Ｒ ｓ
在积分过程中， 设输入的数据 ｘ （ ） 是ｌ 位的 ｎ 数据， 经过积分后， 第一级输出为 ， ， 依次类
第一步
经过再积分， 第二级输出为
第２ Ｎ步
第 Ｎ步
图１ Ｃ Ｉ Ｃ抽取滤波器
Ｌ 推下去， 假设寄存器为 Ｌ 位， 如果 ｙ （ ） ， 则输出 ｎ ≥２ ｉ Ｌ 不 数据必然溢出。 采用饱和措施， 则输出将是 ２ － １
ｊ ＝ １
， ， …２ ｊ ＝ ２ ３ Ｎ ， ｊ ＝ ２ Ｎ ＋ １ 滤波器总的误差均值则为 。 同理， 第ｊ 个误差源的方差为 ， （ ） １ ９ （ ） １ ８
可以看出， 当ｆ 阻带衰减为 Ａ ， 代入式（ ） ， 得 ＝３ 时， ７ ｓ
２ Ｍ
Ａ ＝ － ２ ０ Ｎｌ ｏ ｇ １ ０ ｓ
通带衰减 Ａ ＝ － ２ ０ Ｎｌ ｏ ｇ １ ０ ｐ
１ 犦 整个 Ｃ Ｉ Ｃ滤波器的系统函数为犤
１ 原理
１ ． １ Ｃ Ｉ Ｃ抽取滤波器
１ 犦 图 １为一个基本的 Ｃ 。 Ｉ Ｃ抽取滤波器的结构 犤
， （ ） ３ 对式（ ） 作一变通， 得 ３ 。 （ ） ４
由 图 １可 知 ， Ｃ Ｉ Ｃ抽 取 滤 波 器 由 积 分 滤 波 部 分 （ ） 和 梳状滤波（ ） 两部分构成。一个 ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｃ ｏ ｍ ｂ