数列求和汇总例题)
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数列求和汇总答案
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
例1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和.
解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x 由等比数列求和公式得n
n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）
＝x x x n --1)1(＝
2
11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222
123456...99100-+-+-+--+的和。
解：22222222
12345699100-+-+-+--+ ()()()()2222222221436510099=-+-+-++-
()()()()()()()()2121434365651009910099=-++-++-++-+
3711199=+++＋
由等差数列的求和公式得
()
50503199S 50502
＋＝
＝ 二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.
例2求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1
)12(--n x
n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1
-n x
}的通项之积
设n
n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n
前n 项的和.
解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2
1
}的通项之积
设n n n
S 2226242232+⋅⋅⋅+++=
…………………………………① 14322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n
S ………………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n
S （错位相减）
112
2212+---=n n n
∴12
2
4-+-=n n n S
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
例3求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2++⋅⋅⋅+++的值
解：设
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2
++⋅⋅⋅+++=S ………….① 将①式右边反序得
1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）
又因为1cos sin ),90cos(sin 2
2=+-=x x x x
①+②得（反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴S ＝44.52、
求和：2
22
222222222222101109293832921101++++++++++
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例4、求和:⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+
n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 解:原式=()n
x x x x ++++ 32⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++n y y y 1112
=
()
y
y y x
x x n n
1111111-
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-- =n
n n n y
y y x x x --+--++1
111 练习：求数列的前n 项和：231
,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得