直线与双曲线的位置关系(我的)

2
4
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三、弦的中点的问题——点差法
练习题:已知双曲线C:2x2-y2 =2与点P1,2. 1求过点P1,2的直线l的斜率k的取值范围,
使l与C有一个交点?两个交点?没有交点?
2是否存在过P的弦AB,使AB的中点为P? 3若Q1,1,试判断以点Q为中点的弦是否存在?
1 k 2 or k 3 ;
2
2
所以直L线的方程为y： 2x1，那么由1）（x1 x2 4，即线A段B
的中点横坐标 2，为纵：坐标y为 2*213,中点（ 2，3）不
在直线y 1 x上，所以这样 a不的存在。 2
本题涉及到直线的斜率 和中点问题，利用点差 法会更简单。
解： A（x1, y1）, B( x2 , y2 )直线 y ax 1与双曲线的两个交点，
1.过点P(1,1)与双曲线
x2 y2 1只有 一个 9 16 Y
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
一、交点——交点个数
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
注:
①相交两点:
△＞0
同侧：x 1 x 2 ＞0
异侧: x 1 x 2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解 不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问题——点差法 四、对称与垂直问题 五、综合问题
一、交点——交点个数
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取
x2 y2
(2009·福建)已知双曲线12－ 4 ＝1
的右焦点为
F，若过点
F
的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围
(
33 )A．(－ 3 ， 3 )
B．(－
3，
3)C.－
33，
33D．[－
3， 3]
x2 y2
又由双曲线方程12－ 4 ＝1，有双曲线的渐近线方程为
y＝±
33x，
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_ _ __， 0 _____1，
x2 y2
3.过原点与双曲线 1 交于两点的直线斜率的
取值范围是
，4233
23，
若不论K为何值，直线 ykx2b与曲线
x2 y2 1总有公共点，则b的取值范围是（ B ）
A . 3 ,3 , B . 3 ,3 , C 2 , 2 , D 2 , 2
Y
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
y = kx+ m
x2 a2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
二、弦长问题
1.经过双x2曲 y2线 1的左焦 F1作 点倾斜3角
的弦 AB。求 AB
设 l的方 y 程 3x为 2 ：
由 y x2 3y x 2 1 2 2x262x70
AB 1k2 x1x224x1x2
4 3 22474 2
练习:
1.过双曲线 x 2 y 2 1 的左焦点 F1 作倾角为
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
∆=0
相交 ∆>0
1) 位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
相交:一个交点
值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点; (1)k＜ 5 或k＞ 5 ；
2
2
(2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ；且k1
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ；
(5)与左支交于两点. - 5 k 1 2
一、交点——交点个数
2
2 y=x+1;
3 no
k3且 k 2 2
k3 2
3 解 :假 设 存 在 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 为 直 线 L 上 的 两 点 ,
且 P Q 的 中 点 为 A , 则 有 :
x
1
2
y12 2
1
Байду номын сангаас
x
2
2
y22 2
1
点差法
两式 （ 2x 1 相 x 2 ） x 1 减 （ x 2 ） （ 得 y 1 y 2 ） ： y 1 （ y 2 ）
∴ y 1-y 2=2 ， 即 k=2 L 方 程 为 : y- 1=2 ( x- 1 ) x 1-x 2
又 x2 ： y 2 21 消y， 去2 得 x24x ： 30 ,0 , y 12 (x 1 )
方程组无解，故满足条件的L不存在。
解 :假 设 存 在 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 为 直 线 L 上 的 两 点 , 且 P Q 的 中 点 为 A , 则 有 :
9 16
4
192
交于 A、B 两点，则|AB|= 7 .
的直线与双曲线
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线x y 3 0
D 所得弦长为 8 3 ，则该双曲线的方程为（ ） 3
(A) x2 y2 1 (B) x2 y2 1 (C)x2 y2 1 (D)x2 y2 1
y1k(x1)
x
2 y 2 2
1
韦达定理
消y得 (2k2)x22k(1k)xk22k30
2k2 0
（ 83-2k）0
x1x2 2
无解，故满足条件的L不存在。
（2）、解：方1法
假设存在这样的a， 实使 数得 A（x1, y1）,B(x2, y2)两点关于直线
y 1 x对称则直y线 ax1与y 1 x垂直，所以a ，2