20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.15 利用导数求参数范围(原卷版)

第十四讲 利用导数求参数范围

考向一 利用单调性求参数

【例1】已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )为单调递增函数，求实数a 的取值范围． 【举一反三】

1．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在区间(1，＋∞)内为增函数， 求a 的取值范围． 2.已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围． 3.已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的取值． 4.已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．

【套路总结】

用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性

证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'

()f x ≥（≤）0

（2）用导数求函数的单调区间

求函数的定义域D →求导'

()f x →解不等式'

()f x ＞()<0得解集P →求D

P ,得函数的单调递增

（减）区间。

一般地，函数()f x 在某个区间可导，'

()f x ＞0⇒()f x 在这个区间是增函数

一般地，函数()f x 在某个区间可导，'

()f x ＜0⇒()f x 在这个区间是减函数

（3）单调性的应用（已知函数单调性）

一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是增(减)函数⇒'

()f x ≥()≤0

【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式'

()f x ＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。

【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始

【举一反三】 1．若函数2

1ln(2()2

)x a f x x ++=-

在区间(1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 A ．[1,)-+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(,1]-∞- D ．(1,1)-

2．已知函数3

21()5(0)3

f x ax x a =

-+>在(0,2)上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．01a << B ．102a << C ．1

12

a << D ．1a >

3.已知函数2

()ln f x x x ax =++，a ∈R .若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围.

考向二 利用极值求参数

【例2-1】已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；

(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．

【举一反三】

【套路总结】

函数极值的两类热点问题

(1)求函数f (x )极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；

③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根； ④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号． (2)根据函数极值情况求参数的两个要领

①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性．

②已知函数的增（减）区间，应得到'

()f x ≥（≤）0，必须要带上等号。 ③求函数的单调增（减）区间，要解不等式'

()f x ＞()<0，此处不能带上等号。

④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“

”连接。

1.已知函数f (x )＝x －alnx (a ∈R )．

(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值． 【例2-2】已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.

(1)若f (x )在x ＝1处有极值－1，求b ，c 的值．

(2)在(1)的条件下，若函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝k 的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 【举一反三】

1.已知函数f (x )＝1

3x 3－4x ＋4.试分析方程a ＝f (x )的根的个数．

考向三 利用最值求参数

【例3-1】已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；

(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【例3-2】设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；

(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围．

【举一反三】

1．设f (x )＝ax 3－3ax 2＋b (a ＞0)在区间[－1,1]上的最大值为3，最小值为－1，求a ，b 的值． 2．已知f (x )＝x 3－1

2

x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时f (x )＞a 恒成立，求实数a 的取值范围．

考向四 构造函数

【套路总结】

不等式恒成立问题常用的解题方法

【例4】（1）已知函数()y f x =为定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，'()()xf x f x <-（其中'()f x 是()f x 的导函数），若3(3)a f =，(lg3)(lg3)b f =，2211

(log )(log )44

c f =，则（ ）

A ．c a b >>

B ．c b a >>

C ．a b c >>

D ．a c b >> （2）已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ≠时，有()

()0f x f x x

'+

>，则函数1

()()F x xf x x

=+

的零点个数是______. 【举一反三】

1.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()y f x '=，且满足()()f x f x '>，(0)2f =，则

不等式()2e x

f x <的解集为（ ）

A ．(,0)-∞

B ．(,2)-∞

C ．(0,)+∞

D ．(2,)+∞

2．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()1f x '<，若(1)()12f m f m m -->-，则实数m 的取值范围是__________．

1．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________________．

2.对于定义在R 上的可导函数f (x )，当x ∈(1，＋∞)时，(x －1)f ′(x )－f (x )>0恒成立．已知a ＝f (2)，b ＝1

2

f (3)，c ＝(2＋1)f (2)，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“<”连接) 3.已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln 2)

ln 2，c

＝

f (3)

3

，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“<”连接) 4.已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )<0，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数．若2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，则实数m 的取值范围为________．

5.设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )

x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0

的解集是__________________．

6.若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．

7.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 8.已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．

【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行