2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(31)

与题设矛盾．因此，对一切k＝1，2，…，1987，dk＝1．所以x＝1，即黑板上最后留下的数是1．
x＋y＝1996 (2′)
相加得4x＋a＝1042．从而a＝1042－4x为整数且a≡2(mod 4)．因
最大值189548．
3、在黑板上写下从1到1988的所有自然数．对这些数依次反复施行运算A和B：先是A后是B，接着再是A，然后再是B，如此继续下去．运算A是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算A，减数可以不相同)．运算B是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数．运算A和B如此顺次施行，直至某次运算B后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？
≥2A1C·B1C－A1C·B1C
＝A1C·Байду номын сангаас1C
同理，B1C12≥B1A·C1A，C1A12≥C1B·A1B．
由塞瓦定理得＝1
所以A1B1·B1C1·C1A1
≥
＝A1B·B1C·C1A·
＝A1B·B1C·C1A
2.设实数x1，x2，…，x1997满足条件
【题说】1997年中国数学奥林匹克题1．
即3x－y＋a＝－954 (1′)
【题说】第十四届(1988年)全俄数学奥林匹克十年级题3．
【解】施行运算A和B各一次后，黑板上的数就少了一个．所以运算A和B各施行1987次后，黑板上就留下一个数．
设施行第k次运算A时，减数为自然数dk，k＝1，2，…，1987．经第k次的运算A后，写在黑板上的数的和少了(1989－k)dk；而经运算B后，这个和数是不变的．所以运算A和B各施行1987次后，黑板上写的数是
x＝(1＋2＋…＋1988)－1988d1－1987d2－…－2d1987
＝1988(1－d1)＋1987(1－d2)＋…＋
(1989－k)(1－dk)＋…＋2(1－d1987)＋1
显然(1989－k)(1－dk)≤0，并且若对某个k，有dk≥2，则
(1989－k)(dk－1)≥2
故x≤(1989－k)(1－dk)＋1≤－1
加试模拟训练题（31）
1、设△ABC是等边三角形，P是其内部一点，线段AP、BP、CP依次交三边BC、CA、AB于A1、B1、C1三点．
证明：A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A．
【题说】第三十七届(1996年)IMO预选题．
【证】由余弦定理
A1B12＝A1C2＋B1C2－A1C·B1C
加试模拟训练题（31）（附详细答案）
1、设△ABC是等边三角形，P是其内部一点，线段AP、BP、CP依次交三边BC、CA、AB于A1、B1、C1三点．证明：A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A．
2.设实数x1，x2，…，x1997满足条件
3、在黑板上写下从1到1988的所有自然数．对这些数依次反复施行运算A和B：先是A后是B，接着再是A，然后再是B，如此继续下去．运算A是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算A，减数可以不相同)．运算B是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数．运算A和B如此顺次施行，直至某次运算B后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？