(完整版)随机过程习题.doc
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随机过程复习
一、回答： 1 、 什么是宽平稳随机过程？
2 、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？
3 、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？
4 、
什么是白噪声？性质？
二、计算：
1 、随机过程 X (t) Acos t + Bsin t ，其中 是常数， A 、B 是相互独 立统计的高斯变量， 并且 E[A]=E[B]=0 ， A
2 ]=E[ B 2 ]= 2 。求： X (t)
E[ 的数学期望和自相关函数？
2 、判断随机过程 X (t )
A cos( t
) 是否平稳？其中 是常数，A 、 分
别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。
a
f ( )
1
2
；
f A ( a)
a
2
e 2 2
a 0
2
3 、求随机相位正弦函数 X (t)
A cos( 0 t
) 的功率谱密度， 其中 A 、 0
是常数， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量。
4 、求用 X (t ) 自相关函数及功率谱表示的 Y (t ) X (t) cos(
0 t)
的自相关
函数及谱密度。 其中， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量， X (t ) 是与 相互独立的随机过程。
5 、设随机过程 { X (t ) Acos( 0t Y),t} ，其中 0 是常数， A 与 Y
是相互独立的随机变量， Y 服从区间 (0,2 ) 上的均匀分布， A 服从瑞利
分布，其概率密度为
x 2
x
2
e 2 2
x 0
f A (x)
0 x 0
试证明 X (t ) 为宽平稳过程。
解：（ 1） m X (t) E{ Acos(
0 t Y)} E( A)E{cos( 0t Y )}
x 2
x
2
2
e 2 2 dx
y)dy 0 与 t 无关
2 cos( 0t 0
（ 2） X 2 (t)
E{ X 2 (t )}
E{ A cos( 0t Y)}2
E( A 2 ) E{cos 2 ( 0t Y )} E( A 2 )
3
x
2
t
E( A 2
)
x
1 2
t
2
e 2 2
dt ， 2 e 2
2
dx
2
t
t
t
te 2 2
|0
e 2 2 dt
2 2e 2 2
|0 22
所以
X
2
(t )
E{ X 2 (t )}
（3） R X (t 1,t 2 ) E{[ A cos( 0t 1 Y)][ A cos( 0t 2 Y )]}
E[ A 2
] E{cos(
0t
1
Y ) cos( 0t 2 Y)}
2
2 2 1
0t
1
0t 2 y) cos 0 (t 2 t 1)] 1 dy
[cos(
2
2
2
cos 0
(t 2 t 1 )
只与时间间隔有关，所以 X (t ) 为宽平稳过程。
6 、 设随机过程 X (t ) R t C ， t (0, ) ， C 为常数， R 服从 [0,1] 区间
上的均匀分布。
（ 1 ）求
（ 2 ）求 X (t )
X (t )
的一维概率密度和一维分布函数；
的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】
（1 ） F ( x)
x
f (t )dt ，则 f (t ) 为密度函数；
1
（2 ） X (t ) 为 (a,b) 上的均匀分布，概率密度函数
f (x) b a , a x b
，0,其
他
分布函数
0, x a
(b a) 2 F ( x)
x a
, a x b ， E(x)
a b
， D ( x) ；
b a
b 2
12
1, x
（ 3）参数为 的指数分布，概率密度函数 f (x)
e x , x 0 ，分布函
0, x
数
F ( x)
1 e x
, x 0 ， E(x)
1
， D ( x)
1
2
；
0, x 0
（ 4 ） E(x)
, D ( x)
2
的正态分布，概率密度函数
1 ( x
)
2
f ( x)
2 2
,x
，
分 布
函
数
e
2
1
x (t
)
2
2
，若
1时，其为标准正态分布。
F ( x) e 2 dt,
x
0,
2
【解答】
（1）因 R 为 [0,1] 上的均匀分布， R 的取值范围可知， X (t ) 为 [C , C
C 为常数，故 X (t) 亦为均匀分布。由
t] 上的均匀分布， 因此其一维概率密
1
0, x C
t
，一维分布函数 F ( x)
x
C
, C
度 f (x)t
, C x C
X C t ；
0, 其他
t C t
1, x
t C ；
（2 ）根据相关定义，均值函数 m X (t ) EX (t)
1
st
C
( s
2
相关函数 R X ( s, t) E[ X ( s) X (t )]
t) C 2 ；
3
2
st
（当 s
协方差函数 B X (s, t ) E{[ X ( s) m X (s)][ X (t ) m X (t )]}
t 时为方差
12