中南大学工程力学、材料力学第11章(弯曲应力)

dA (y, z) y
截面对z轴的静矩
∫ Sz = A ydA = yC A
S y = zC A zC = 0
S y = zC A = 0
Sy = 0 zC = 0
y z
C ( yC , zC )
O
截截面面对对形形心心轴轴的的静静矩矩恒恒等等于于零零；；截截面面对对某某轴轴的的静静矩矩为为零零，， 则则该该轴轴过过截截面面形形心心。。
iz =
D2 + d2 4
D y
O d
五、组合截面的惯性矩和惯性积
∫ Iz =
y2dA
A
∫=
y2dA
A1+A2+⋅⋅⋅+ An
∫ ∫ ∫ = y2dA + y2dA + ⋅ ⋅ ⋅ + y2dA
A1
A2
An
= Iz1 + Iz2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Izn
截截面面对对轴轴的的惯惯性性矩矩或或惯惯性性积积等等于于该该截截面面各各部部分分对对同同 一一轴轴的的惯惯性性矩矩或或惯惯性性积积代代数数和和。。
2
横截面离中性轴最远距离
ymax
=
δ
2
=
2 × 10−3 2
= 1.0× 10−3 m
∴
σ max
=
E
ymax
ρ
=
200× 109 × 1× 10−3 0.701
=
285MPa
1= M
ρ EIz
∴ M = EIz = 200 ×109 × 6× 23 ×10−12 = 1.414N ⋅ m
ρ
12× 0.701
ab
dθ
ρ
O1′
O2′ y
a′
b′
ε = (ρ + y)dθ − ρdθ = y
ρdθ
ρ
ε= y ρ
纵纵向向纤纤维维线线应应变变与与该该纤纤维维 到到中中性性层层的的距距离离成成正正比比
横横截截面面上上点点的的正正应应变变与与该该 点点到到中中性性轴轴的的距距离离成成正正比比
dθ
ρ
dx → 0
O1′
n
n
∑ ∑ S y = S yi = Ai zCi
i =1
i =1
n
n
∑ ∑ Sz = Szi = Ai yCi
i =1
i =1
组组合合截截面面的的静静矩矩等等于于截截面面各各部部分分对对同同一一轴轴静静矩矩的的代代数数和和。。
例：计算图示三角形截面对其底边重合的y 轴的静矩。
解：
∫ Sy =
zdA
一、矩形截面梁的弯曲切应力
假假设设横横截截面面上上各各点点切切应应力力方方向向平平行行于于剪剪力力，，切切 应应力力沿沿截截面面宽宽度度均均匀匀分分布布。。
hy
z
τ ( y)
y b
z
y
dx b
σ右
dA y
∫ ∫ ∫ FN1 =
A* σ 右dA =
(M + dM ) y dA = (M + dM )
未未知知
3.静力关系
横横截截面面上上无无轴轴力力
∫Aσ dA = 0
σ=E y ρ
∫ ∫ E ydA = E
Aρ
ρ
A
ydA
=
E
ρ
Sz
=
0
z
C
x
z
dA σ
Sz = 0
x
中中性性轴轴必必过过截截面面形形心心
y
y
横横截截面面上上有有弯弯矩矩MM
∫Aσ dA⋅ y = M
σ=E y ρ
∫ ∫ A
E
ρ
ydA ⋅
Sz*
=
FS
S
* z
bdx dx bIz bIz
τ = FS Sz*
bI z
b
最最外外缘缘处处切切应应力力等等于于零零
h
中中性性轴轴处处切切应应力力最最大大
2
C
h
z
τ max
y
τ max
=
3 2
FS bh
=
3 2
FS A
2 y
切切应应力力沿沿截截面面高高度度抛抛物物 线线分分布布
τ
=
FS
S
* z
bI z
y
=
E
ρ
A
y2dA
=
E
ρ
Iz
=
M
z x
y
z
dA σ
(y, z) y
1= M
ρ EIz
x
EEIIzz ：：抗抗弯弯刚刚 度度，，构构件件抵抵抗抗弯弯曲曲 变变形形的的能能力力。。
纯弯正应力公式
σ
=
E
y
ρ
1= M
ρ EIz
z
σ=M y
Iz
压
拉
x
M
M
σ
+
−
(y, z)
拉
压
y
二、横力弯曲时的正应力
h l
最最大大切切应应力力在在中中性性轴轴上上
τ max
=
FS
S
* z max
dI z
腹腹板板内内切切应应力力沿沿高高度度抛抛 物物线线分分布布
b d
C
y
腹腹板板厚厚度度远远小小于于翼翼
τmin 缘缘宽宽度度时时，，可可认认为为腹腹板板
z
τmax 上上的的切切应应力力均均匀匀分分布布
τ min
τ = FS
τy
=
FS Sz* bI z
R
O
z
y
y τy
τ min
R
最最大大切切应应力力在在中中性性轴轴上上
O C
τ
=
FS
S
* z
bI z
b = 2R
Iz
=
π
R4 4
Sz*
=
π R2
2
4R
3π
y
τ max
=
4 FS
3 π R2
=
4 3
FS A
z 4R
τ max 3π
四、薄壁环形截面梁的弯曲切应力
假假设设横横截截面面上上切切应应力力的的 大大小小沿沿壁壁厚厚无无变变化化。。方方向向与与 圆圆周周相相切切
惯性矩与极惯性矩的关系
∫ IP =
ρ 2dA
A
ρ2 = z2 + y2
∫ ∫ ∫ IP =
(z2 + y2 )dA =
A
z2dA +
A
y2dA
A
Ip = Iz + I y
2.惯性半径 截面对y、z轴的惯性半径
iy =
Iy A
iz =
Iz A
z
dA
ρ (y, z)
y O
三、惯性积
截面对y、z轴的惯性积
∫ I yz =
yzdA
A
z
z
dA (y, z) y
O
dA dA (−y, z) (y, z)
O
yyБайду номын сангаас、zz轴轴之之一一为为截截面面对对 称称轴轴，，则则 IIyyzz== 00 。。
y
四、常见截面的惯性矩和惯性半径
1.矩形截面
∫ ∫ Iz =
y2dA =
A
h
2 −h
y2 (bdy)
=
bh3 12
S
* z
=
h b(
2
−
y)(
y
+
h 4
−
y )
2
=
bh2 8
(1 −
4 y2 h2
)
τ
=
3 2
FS (1 − bh
4 y2 h2
)
二、工字形截面梁的弯曲切应力
1.腹板的切应力
b
d
C
z
y
y
τ
=
FS
S
* z
δ Iz
τ min τ max
τ min
最最小小切切应应力力在在腹腹板板与与翼翼 缘缘的的交交界界处处
一、纯弯曲时的正应力
1.变形几何关系
纵变纵变向形向形线前线前弯原弯原成为成为弧平弧平线面线面，的，的且横且横上截上截半面半面部变部变分形分形缩后缩后短仍短仍，保，保下持下持半为半为部平部平分面分面 伸，伸，长垂长垂直直于于变变形形后后的的纵纵向向线线，，绕绕截截面面的的某某一一轴轴旋旋转转一一 个个角角度度
n
∑ I y = I yi i =1
n
∑ Iz = Izi i =1
n
∑ I yz = I yzi i =1
六、惯性矩的平行移轴定理
z
zC
∫ I y =
z 2dA
A
∫= A (zC + a)2 dA
∫ ∫ ∫ =
A zC2dA + 2a A zCdA + a2
dA
A
= I yC + a2 A
O
dA
A
∫=
h (h − z)b
z
dz
0
h
= bh2 6
S y = AzC
= bh × h 23
= bh2 6
二、极惯性矩
截面对O点的极惯性矩
∫ IP =
ρ 2dA
A
三、惯性矩和惯性半径
1.惯性矩
截面对y轴的惯性矩
∫ I y =
z 2dA
A
截面对z轴的惯性矩
∫ Iz =
y2dA
A
z
dA
ρ (y, z)
y O
横横向向线线保保持持为为直直线线，，相相对对旋旋转转一一个个角角度度，，垂垂直直 于于变变形形后后的的纵纵向向线线
纵向纤维缩短
中中性性轴轴
纵向纤维长度不变
纵向纤维伸长 中中性性层层
中中性性轴轴垂垂直直于于横横截截面面纵纵向向对对称称轴轴
y O1
O2
a
b
dx
ab = O1O2 = Oq 1′O2′ = ρdθ ap′b′ = (ρ + y)dθ ε = ap′b′ − ab
解：截面的弯矩
M = 20kN ⋅ m 查型钢表
Iz = 1.660 × 10−5 m4 Wz = 1.85 × 10−4 m3
梁内的最大弯曲正应力
σ max
=
M Wz
=
20 ×103 1.85 × 10−4
= 108.1MPa
梁轴的曲率半径
ρ
=
EI z M
=
200×109 ×1.660× 10−5 20 ×103
2
iz =
Iz = A
bh3 / 12 = h bh 2 3
h
Iz
=
bh3 12
iz
=
h 23
b
z O
y dy y
2.圆形截面
z
Ip
=
π D4
32
Ip = Iz + I y
Iz
=
Iy
=
π D4
64
D O
y
Iz = Iy
iz
=
iy
=
D 4
z
3.圆环截面
Iz
=
π (D4 −
64
d4)
=
π D4
64
(1 − α 4 )
∫τ A
dA
=
FS
∫Aσ dA⋅ y = M
z dA
σ τ
y
梁梁的的变变形形对对称称 于于纵纵向向对对称称面面
+
FS 图
对对称称弯弯曲曲 纯纯弯弯曲曲
对对称称纯纯弯弯曲曲
−
M图
+
z
一、截面的静矩与形心
截面对y轴的静矩
∫ Sy =
zdA
A
∫ zdA
zC =
A
A
O
∫ S y = A zdA = zC A
例：单臂液压机机架的横截面尺寸如图，计算该截面对形心 轴yC的惯性矩。
解：确定形心轴的位置，坐标系如图
zC
=
(0.86×1.4)× 0.7 + (−0.828×1.334)× (0.86×1.4) + (−0.828×1.334)
0.717
= 0.51m
截面对形心轴yC的惯性矩
I yC = I yC 1 + I yC 2 = [ 1 × 0.86×1.43 + 0.192 × 0.86×1.4] + 12 [−( 1 × 0.828×1.3343 + 0.2072 × 0.828×1.334)] 12 = 0.029m4
解：确定形心轴的位置，坐标系如图
zC
=
(0.14× 0.02)× 0.08 + (0.1× 0.02)× 0 (0.14× 0.02) + (0.1× 0.02)
= 0.0467m
截面对形心轴yC的惯性矩
I yC = I yC 1 + I yC 2 = [ 1 × 0.02× 0.143 + (0.08 − 0.0467)2 × 0.02× 0.14]+ 12 [ 1 × 0.1× 0.023 + 0.04672 × 0.02× 0.1] 12 = 12.12 × 10−6 m4
A*
Iz
Iz
ydA
A*
=
(M
+
dM
)
S
* z
Iz
dx b
FN1
=
(M
+ dM )Sz* Iz
∫ FN2 =
A* σ 左dA =
MS
* z
Iz
z
y
σ右
dA y
dFS′ =
FN2
− FN1
=
Sz*dM Iz
dx b
dFS′
=
Sz*dM Iz
AS = bdx
z
y
τ′ τ
σ右
dA y
τ ′ = dFS′ = dM
最最大大切切应应力力在在中中性性轴轴上上
τ = FS Sz*
(y, z)
C ( yC , zC ) (b, a)
yC
(0, 0)
y
I y = I yC + a2 A
截截面面对对任任一一坐坐标标轴轴的的惯惯性性矩矩，，等等于于对对其其平平行行形形心心轴轴 的的惯惯性性矩矩加加上上截截面面面面积积与与两两轴轴间间距距离离平平方方之之乘乘积积。。
例：计算图示T 形截面对其形心轴yC 的惯性矩。
O2′ y
a′
b′
y
b′
2.物理关系
σ = Eε
ε
=
y
ρ
σ=E y ρ
σ cmax
σ tmax
横横截截面面上上点点的的正正应应 力力与与该该点点到到中中性性轴轴的的距距 离离成成正正比比
问题:
中中性性轴轴与与横横截截面面纵纵 向向对对称称轴轴垂垂直直，，但但位位置置 无无法法确确定定
中中性性层层曲曲率率半半径径ρρ
σ = M(x) y
Iz
横横力力弯弯曲曲
三、最大弯曲正应力
σ max
=
M Iz
ymax
Wz
=
Iz ymax
σ max
=
M Wz
WWzz：：抗抗弯弯截截面面系系数数，，反反映映构构件件 抵抵抗抗弯弯曲曲破破坏坏的的能能力力。。
σ cmax σ tmax
矩形截面
Iz
=
bh3 12
ymax
=
h 2
Wz
=
bh2 6
实心圆截面
Iz
=
π D4
64
ymax
=
D 2
Wz
=
πd3
32
空心圆截面
Iz
=
π
D4 (1 − α 4 )
64
ymax
=
D 2
Wz
=
π D3
32
(1 − α 4 )
例：图所示悬臂梁，承受的集中力偶M = 20kN·m作用。梁 采用No18工字钢，钢的弹性模量E = 200GPa。计算梁内的最大 弯曲正应力与梁轴的曲率半径。
= 166m
例：宽度b = 6mm、δ= 2mm厚度的钢带环绕在直径D =
1400mm的带轮上，已知钢带的弹性模量为E = 200GPa。试求 钢带内的最大弯曲正应力与钢带承受的弯矩。
解：钢带的应力状态同弯曲，其轴线的曲率半径
ρ = D + δ = 1.4 + 2×10−3 = 0.701m
22 2
A
2.翼缘的切应力
翼翼缘缘部部分分切切应应力力复复杂杂且且很很小小，，一一般般不不作作计计算算，，认认 为为翼翼缘缘承承受受截截面面弯弯矩矩。。
三、圆形截面梁的弯曲切应力
截截面面边边缘缘点点的的切切应应力力 与与圆圆周周相相切切
假假设设AABB弦弦上上各各点点切切 应应力力作作用用线线通通过过一一点点，，且且 垂垂直直分分量量相相等等