两角和与差的正切公式

复习回顾
已经学了两角和与两角差的正弦、余弦公 式，今天继续推导两角和与两角差的正切
公式
1
探索新知一
用任意角的 , 正切表示 tan( )及 tan( ) 的公式的推导:
sin 由 tan , cos
tan( )
sin( + ) cos( + )
tan17° ＋ tan28° (2)∵tan(17° ＋ 28° )＝ ， 1－ tan17° tan28° ∴tan17° ＋ tan28° ＝ tan(17° ＋ 28° )(1－ tan17° tan28° ) ＝ 1－ tan17° tan28° . ∴tan17° ＋ tan28° ＋ tan17° tan28° ＝ 1. tan70° － tan10° (3)∵tan60° ＝ tan(70° － 10° )＝ ， 1＋ tan70° tan10° ∴tan70° － tan10° ＝ 3＋ 3tan10° tan70° . ∴tan70° － tan10° － 3tan10° tan70° ＝ 3.
sin( ) sin cos cos sin
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ
2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角 函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用公式.
类型二
公式的变形应用
例 2：求下列各式的值： 1＋tan75° (1) ； 1－tan75° (2)tan17° ＋tan28° ＋tan17° tan28° ； (3)tan70° －tan10° － 3tan70° tan10° .
tan45° ＋ tan75° 解：(1)解法 1：原式＝ 1－ tan45° tan75° ＝ tan(45° ＋ 75° )＝ tan120° ＝－ 3. tan45° ＋ tan30° 解法 2： ∵tan75° ＝ tan(45° ＋ 30° )＝ 1－ tan45° tan30° 3 1＋ 3 3＋ 3 12＋ 6 3 ＝ ＝ ＝ ＝ 2＋ 3， 6 3 3－ 3 1－ 3 1＋ tan75° 1＋ 2＋ 3 3＋ 3 ∴ ＝ ＝ ＝－ 3. 1－ tan75° 1－ 2＋ 3 － 1－ 3
3 探究、已知 cosα－2cosβ＝－2， 1 sinα－2sinβ＝3，求 cos(α－β)的值．
• 规律技巧：两式平方相加的方法，是解决具有 本题特征的题目的有效途径．
类型三
1 例 3：已知 α、β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝ ， 2
1 tanβ＝－ ，求 tan(2α－β)的值,及此时 2α－β 的值． 7
tan tan tan 1 tan tan
类型一 公式应用
1 例1 已知tan 2, tan ， 其中0 ,0 3 2 2 (1)求 tan( ); (2)求 的值
1 解 (1)因为tan 2, tan 3 1 2 tan tan 3 7 所以 tan( ) 1 tan tan 1 2 3
规律技巧：本题从公式逆向变换思想出发，灵活地运用了 正切和角公式的变形式 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)· (1－tanαtanβ)． 由此可解决一类求值问题： tanα＋tanβ＋tan(α＋β)tanαtanβ＝tan(α＋β)． 例如 tan17° ＋tan43° ＋ 3tan17° · tan43° ＝ 3.
分析：变化角 α ＝(α －β )＋β ，2α －β ＝(α －β )＋α ， 这样由已知可求得tanα 的值，再进一步求 tan(2α －β )的值，确定角时要注意范围．
1 1 解：∵ tan(α－ β)＝ ， tanβ＝－ ， 2 7 1 1 ＋ － 2 tanα－ β＋ tanβ 1 7 ∴ tanα＝ tan[(α－ β)＋ β]＝ ＝ ＝ <1. 3 1 1 1－ tanα－ βtanβ 1－ ×－ 2 7 π π ∵ α∈ (0， π)，∴ 0<α< ， 0<2α< . 4 2 1 ， 0 ， π 又 tanβ＝－ <0， β∈ 7 π ∴ <β<π，∴－ π<2α－ β<0. 2
1 5 解：(1)tanα＝－ ， cosβ＝ ， β∈ (0， π)， 3 5 2 5 ∴ sinβ＝ ，∴ tanβ＝ 2. 5 1 － ＋2 tanα＋ tanβ 3 ∴ tan(α＋ β)＝ ＝ ＝ 1. 1 1－ tanαtanβ 1－ － ×2 3
1 (2)∵ tanα＝－ ， α∈ (0， π)， 3 1 3 ∴ sinα＝ ， cosα＝－ . 10 10 ∴ f(x)＝ 2(sinx cosα－ cosx sinα)＋ cosx cosβ－ sinxsinβ 3 1 5 2 5 ＝－ sinx－ cosx＋ cosx－ sinx 5 5 5 5 ＝－ 5sinx.
探求新知
cos cos
分子分母同 除以
方法二：
tan
tan[ ( )]
探求新知
tan tan( ) 1 tan tan( ) tan tan 1 tan tan
归纳对比
正切、余切和、差角公式
tan tan tan 1 tan tan
2 2 5 解：由条件得 cosα＝ ， cosβ＝ . 10 5 7 2 ∵ α， β 为锐角，∴ sinα＝ 1－ cos α＝ ， 10
2
5 sinβ＝ 1－ cos β＝ . 5
2
1 因此 tanα＝ 7， tanβ＝ . 2 tanα＋ tanβ (1)tan(α＋ β)＝ ＝ ＝－ 3. 1 1－ tanα· tanβ 1－ 7× 2 1 7＋ 2
(2)∵ tan( α＋ 2β)＝ tan[(α＋ β)＋ β] tanα＋ β＋ tanβ ＝ ＝ 1－ tanα＋ βtanβ 又∵ α， β 为锐角， 3π 3π ∴ 0<α＋ 2β< ，∴ α＋ 2β＝ . 2 4 1 － 3＋ 2
＝－ 1. 1 1－ － 3× 2
1 5 例 5、已知 tanα＝－ ，cosβ＝ ，α、β∈(0，π)． 3 Hale Waihona Puke Baidu (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求函数 f(x)＝ 2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
1 2 tan tan 3 1 (2)因为 tan( ) 1 tan tan 1 2 3 又因为0 ,0 2 2 3 所以 2 2 3 5 在 与 之间， 只有 的正切值等于1 2 2 4 5 所以 4
∴f(x)的最大值为 5
小结
1
、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、推导及应用;
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos cos cos
sin( ) sin cos cos sin
又 tan(2α－β)＝tan[(α－ β)＋ α] 1 1 ＋ tanα－ β＋tanα 2 3 ＝ ＝ ＝ 1， 1 1 1－ tanα－ βtanα 1－ × 2 3 3π ∴ 2α－β＝－ . 4
规律技巧：求角“三步曲”：定范围，求函数值，确 定角．尤其是范围问题，宁肯小一点，勿过大，过大会增 解．
小结：
角的变换是使用两角和与差的三角公式求值中常见的
方法，要掌握一些角的变换技巧，
学会把要求的角用已知的一个或两个角表示出来
如α＝(α＋β)－β，
α＋2β＝(α＋β)＋β，
2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
例 4、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为 始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆交于 A、 2 2 5 B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 、 . 10 5 (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 α＋2β 的值．
tan - tan tan( - )= 1+ tan tan
注意：
记T( - )
1、必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存 在就不能使用这个公式。 2、注意公式的结构，尤其是符号。
弦1 切2
方法一：
tan
sin( ) cos( ) sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1 tan tan
sin cos + cos sin cos cos - sin sin
分子分母同时除以cos cos 当cos cos 0时，
tan + tan tan( + )= 1- tan tan
记：T( + )
探索新知二
那
tan(－ ) ?