(整理)第七节方向导数与梯度讲课稿

(整理)第七节方向导

数与梯度

第七节 方向导数与梯度

要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。 重点：方向导数与梯度的计算。

难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。 作业：习题8－7（60P ）2,4,6,8,10

一．方向导数

问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．

1．方向导数定义

设函数),(y x f z =在点(,)P x y 的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ，

x 轴正向与直线L 夹角为ϕ，在L 上任取一点'(,)P x x y y +∆+∆，若'P 沿着L 趋

近于P 时，即当0)()(22→∆+∆=y x ρ时，极限 ρ

ρ)

,(),(lim

y x f y y x x f -∆+∆+→ 存在

则称此极限值为函数在点P 沿着L 方向的方向导数．记作

ρ

ρ),(),(lim 0y x f y y x x f L f -∆+∆+=∂∂→． 说明

（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0>ϕ，顺时针方向旋转生成的角是负角0<ϕ；

2．方向导数的计算

定理 若函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，那么函数),(y x f z =在点

(,)P x y 沿任一方向L 的方向导数都存在，且有计算公式

ϕϕsin cos y f

x f L f ∂∂+∂∂=∂∂{},cos ,sin ,f f f f e x y x y ϕϕ⎧⎫⎧⎫∂∂∂∂=⋅=⋅⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭⎩⎭

r ． 其中ϕ为x 轴到方向L 的转角，e r

是与L 同方向的单位向量．

证明：因为函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，所以有 ()f f

f x y o x y

ρ∂∂∆=

∆+∆+∂∂， 上式两边同除以ρ，得

()()

cos sin f f x f y o f f o x y x y ρρϕϕρ

ρρρρ

∆∂∆∂∆∂∂=

++=++∂∂∂∂，则

0lim cos sin f f f f L x y

ρϕϕρ→∂∆∂∂==+∂∂∂ 例1．求函数y xe z 2=在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数．

解 这里方向L 即向量{}1,1PQ =-u u u r 的方向，因此x 轴到L 方向的转角4πϕ=,

又因为y e x z 2=∂∂，y xe y z 22=∂∂，所以在点)0,1(处，1=∂∂x

z ，2=∂∂y z ，

于是方向导数为

2

2)4sin(2)4cos(1-=-+-⋅=∂∂ππL z ． 另一方法．

例2. 设由原点到点),(y x 的向径为r ϖ，x 轴到r ϖ

的转角为θ，x 轴到射线L 的转角为ϕ，求L

r ∂∂，其中22y x r r +==ϖ

)0(≠r ． 解 因为θcos 2

2==

+=∂∂r x y x x x

r ，θsin 2

2==

+=∂∂r

y

y x y y

r 所以

)cos(sin sin cos cos ϕθϕθϕθ-=+=∂∂L

r

， 讨论：当θϕ=时，1=∂∂L r

,即沿着向径本身方向的方向导数为1,

当2πθϕ±=时，0=∂∂L

r

,即沿着与向径垂直的方向导数为零．

3．三元函数的方向导数

三元函数),,(z y x f u =在空间一点(,,)P x y z 沿方向L (设方向L 的方向角为

γβα,,)的方向导数，同样定义为

ρ

ρ)

,,(),,(lim 0z y x f z z y y x x f L f -∆+∆+∆+=∂∂→． 其中222)()()(z y x ∆+∆+∆=ρ，γρβραρcos ,cos ,cos =∆=∆=∆z y x ．

若函数),,(z y x f 在点(,,)P x y z 可微分，则在该点方向导数计算公式为

cos cos cos {,,}{cos ,cos ,cos }f f f f f f f

L x y z x y z

αβγαβγ∂∂∂∂∂∂∂=++=⋅∂∂∂∂∂∂∂ {,,}f f f e x y z

∂∂∂=⋅∂∂∂r

． 其中{cos ,cos ,cos }e αβγ=r

是与L 同方向的单位向量．

例3．求函数u xyz =在点(5,1,2)P 处沿从点(5,1,2)P 到点(9,4,14)Q 的方向的方向导数．

解 因为

u yz x ∂=∂，,u u xz xy y z ∂∂==∂∂，所以2,

10,

5P

P

P

u u

u x

y

z

∂∂∂===∂∂∂，

而且{95,41,142}{4,3,12}PQ =---=u u u r

，||13PQ ==u u u r

，于是

4312

cos ,cos ,cos 131313

αβγ===，从而

431298cos cos cos 210513131313

f f f f L x y z αβγ∂∂∂∂=++=⨯+⨯+⨯=∂∂∂∂． 二．梯度 1．梯度定义

设函数),(y x f z =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点

(,)P x y D ∈都可确定出一个向量j y

f i x f ϖ

ϖ∂∂+

∂∂，这个向量称为函数),(y x f z =在点(,)P x y D ∈的梯度，记作

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=

x f x f j y f i x f y x gradf ,),(ϖϖ． 2．梯度与方向导数关系

设

cos sin e i j ϕϕ=+v v v

是与L 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得

{}cos sin ,cos ,sin f f f

f f L x y x y ϕϕϕϕ⎧⎫∂∂∂∂∂=+=⋅⎨⎬∂∂∂∂∂⎩⎭

(,)(,)cos(^)gradf x y e gradf x y e gradf e =⋅=⋅v v v ),(y x gradf prj L =． 可见，方向导数

L

f

∂∂就是梯度在方向L 上的投影． 当L 方向与梯度方向一致时，有1)^cos(=e gradf ϖ

，从而方向导数

(,)f

gradf x y L

∂=∂有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数),(y x f 在这点增长最快的方向．

结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即

(,)max(

)f gradf x y L

∂=∂