二次函数图象的顶点在原点O
考点11 二次函数的图象性质及相关考点【无答案】
考点11 二次函数的图象性质及其相关考点二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点。
而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
一、二次函数的表达式二、二次函数的图象特征与最值三、二次函数图象与系数的关系四、二次函数与方程、不等式（组）五、二次函数图象上点的坐标特征考向一、二次函数的表达式2.二次函数平移的方法：①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），②“左加右减（x），上加下减（y）”；1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项，一次项系数为，常数项为．2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3C ．y ＝（x ﹣2）2﹣5D ．y ＝（x ﹣2）2﹣63．在平面直角坐标系中，若将抛物线y ＝2x 2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝2（x ﹣3）2+3 B ．y ＝2（x +3）2+3 C ．y ＝2（x ﹣3）2+1D ．y ＝2（x +3）2+24．抛物线y ＝2x 2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（3，0）C ．（0，﹣3）D ．（0，3）5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（6，3）．若抛物线y ＝mx 2+2mx +m +3（m 为常数，m ≠0）向右平移a （a ＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB 上，则a 的取值范围为 ．考向二、二次函数的图象特征与最值1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线a bx 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 开口向上 a ＞ 二次函数有最小值ab ac 442-；开口向下 a ＜ 二次函数有最大值ab ac 442-；2. 图象的增减性问题：抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围；1．已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是平面直角坐标系内两图象的存在性问题，一般先假设简单函数图象成立，再验证复杂函数是否成立， 利用排除法，得到最后答案。
二次函数顶点在原点的表达式
二次函数顶点在原点的表达式
一次函数和二次函数都是多项式函数，即表示为常系数矩阵中的形式。
常见的一次函数形式可以表示为：y=ax+b，二次函数的表达式有许多，其中一种最常见的体现是二次函数顶点在原点的表达式——二次型函数，可表示为：
$$y = ax^2 + bx + c (a\neq 0)$$
其中a、b、c代表的是三个不同的常数。
同样的，此函数的图形也是
具备一定规则的曲线，也就是被称作“二次函数”的曲线。
1. 二次型函数的形式
二次型函数的表达式可表示为：$$y = ax^2 + bx + c (a\neq 0)$$ 其中a、b、c三个常数分别代表二次项、一次项和常数项，a代表抛物线的凹凸性，区分凹抛物线和凸抛物线。
2. 二次函数图像
二次函数的图像总是具有一定的规律，其图像在x轴对称，由于二次
项的系数a可以大于、等于、小于0，所以可以分别得出以下三种图形：
(1) a>0：形成的抛物线是凸的，以原点为顶点，开口朝上。
(2) a=0：形成的图形是一条直线，以原点为中点，做出两段平行线。
(3) a<0：形成的抛物线是凹的，以原点为顶点，开口朝下。
3. 二次函数顶点在原点的表达式
二次函数顶点要求是在原点的表达式，若顶点坐标为(0,0)，便是要求形式为 $$y = ax^2 + bx + c (a\neq 0)$$中的常数c=0，从而简化为一下表达式：
$$y = ax^2 + bx (a\neq 0)$$
特别地，当b=0时，此二次函数顶点在原点的表达式进一步简化为： $$y = ax^2 (a \neq 0) $$。
二次函数顶点式ppt课件
x
y 1 x2 3 3
–2（0,-3） –3 –4精选ppt课件 –5
y 1 x2
3
6
3.左右 平移
如何由
y
1 3
x2
y
的图1象(得x到2y)2的图13(象x。2)、2
y
3
5
x= - 2 4 x= 2
3
2
(-2,0) 1
y 1 x –252–4–3–2–1–O1
3
–2
1
(2,0) 23
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左精选侧pp递t课件减
在对称轴左侧递增 4
在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
复习回顾: 1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y0.5x2
y0.5x21
y0.5x21
y 2x2
y2(x1)2 y2(x1)2
向下
x=0
…
-5.5 -3 -1.5
再描点、连线
-1 0 1 2 …
-1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
(1)抛物线 y1(x1)2 1
2
的开口方向、对称轴、顶点? 抛物线 y1(x1)2 1 的开口向下, 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5
与y = ax2形状相同精选，ppt课位件 置不同。
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如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y3(x1)2 2 4
y3(x3)2 3 4
y3(x5)2 2 4
精选ppt课件
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例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
【中考数学压轴题专题突破02】二次函数中的动点问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBvOC）是方程x2 -10x+16= 0的两个根，且A点坐标为（-6, 0）.（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF // AC交BC 于点F,连接CE,设AE的长为m, △ CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；2.如图是二次函数y= ( x+m) 2+k的图象，其顶点坐标为M (1, -4).(1)求出图象与x轴的交点A, B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S APAB=—S；AMAB?若存在，求出P点的坐标，4若不存在，请说明理由；(3)点C在x轴上一动点，以BC为边作正方形BCDE ,正方形BCDE还有一个顶点(除点B外)在抛物线上，请写出满足条件的点E的坐标；(4)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象至少有三个公共点时，请直接写出b的取值范围是 .即圄2 邺3.如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O,且经过点A (3, 3), 一次函数的图象经过点A和点B (6, 0).(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如果一次函数图象与y轴相交于点C,点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE 与二次函数图象相交于点巳/ CDO = / OED ,求点D的坐标；(3)当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由.4.如图，二次函数y=ax2+bx+c (a^0)的图象与x轴交于A (- 3, 0)、B (1, 0 与y轴相交点C (0,近).(1)求该二次函数解析式；(2)连接AC、BC,点M、N分别是线段AB、BC上的动点，且始终满足BM = 接MN.①将4BMN沿MN翻折，B点能恰好落在AC边上的P处吗？若能，请判断四边形的形状并求出PN的长；若不能，请说明理由.②将^ BMN沿MN翻折，B点能恰好落在此抛物线上吗？若能，请直接写出此时于MN的对称点Q的坐标；若不能，请说明理由.两点,BN,连BMPNB点关5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=』!x2-2F3x-代与x轴交于A、B两点（点3 3（1）判断△ ABC的形状，并说明理由;（2）如图（1）,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点p作Y轴的平行线交X轴于点E.当△ PBC面积的最大值时，点F为线段BC 一点（不与点BC重合），连接EF,动点G从点E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到点F,再沿FC以每秒2工3个单位的速度运动到点C后停止，当点F的坐标| 3是多少时，点G在整个运动过程中用时最少？（3）如图2,将4ACO沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ ACO 为AA l C l O l连接AA1,直线AA1交抛物线与点M,设平移的时间为t秒，当^ AMC 1为等腰三角形时，求t的值.6.如图，二次函数y=—x2+bx- -的图象与x轴交于点A (-3, 0)和点B,以AB为边在2 2x轴上方作正方形ABCD ,点P是x轴上一动点，连接DP ,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)b=;点D的坐标：;(2)线段AO上是否存在点P (点P不与A、。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(线段周长问题)(含简单答案)
(2)点P在直线 下方的抛物线上，连接 交 于点 ，过点 作 轴的垂线 ，垂线 交 于点 ， 垂线 ，求证 ；当 最大时，求点P的坐标及 的最大值；
(3)在(2)的条件下，在 上是否存在点 ，使 是直角三角形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
(3)若直线 与线段 交于点 （不与点 ， 重合），则是否存在这样的直线 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点 是抛物线的对称轴与直线 的交点，点 是抛物线的顶点，求 的长；
(3) 或
13．(1)二次函数的解析式为 ；
(3)点P的坐标为 或 ．
14．(1)
(2) ，或
(3)
15．(1)抛物线的函数关系式为 ；直线 的函数关系式为 ；
(2) 面积的最大值为 ；
(3)点M的坐标为 ．
16．(1) ，
(2)
(3)最大值为4，此时
17．(1) ，
(2)
(3) 或 或
18．(1)
11．已知：抛物线 经过 三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线 上方抛物线上任意一点，连接 ， 交直线 于点E，设 ，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
(3)如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．求 的周长及 的值．
12．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点（点 在 的右边），与 轴交于点 ，连接 ， ．点 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足为点 ， 交 于点 ．
二次函数与几何综合(习题及部分答案)
二次函数与几何综合（习题）➢例题示范例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，且OA=OC，连接AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．yA OB xC第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，可以求解A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)可知A(-3，0)，B(1，0)，∵OA=OC，∴C(0，-3)，将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，解得，a=1，∴y=x2+2x-3．1第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S△ACP的最大值，分析A，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即-3＜x P＜0；（2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S△ACP．第三问：平行四边形的存在性【思路分析】分析不变特征：以A，B，E，F 为顶点的四边形中，A，B 为定点，E，F 为动点，定点A，B 连接成为定线段AB．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB 既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定EF 和AB 之间应满足的条yA Q OB xPC23件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB 作为边时，依据平行四边形的判定，需满足 EF ∥AB 且 EF =AB ，要找 EF ，可借助平移．点 E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段 AB 拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点 E 在对称轴上，来找抛物线上的点 F ．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上 E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上 F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足 AB ， EF 互相平分，先找到定线段 AB 的中点，在旋转过程中找到 EF 恰好被 AB 中点平分的位置，因为 E 和 AB 中点都在抛物线对称轴上，说明 EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为 F 点坐标．画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形． 【过程示范】（3）①当 AB 为边时，AB ∥EF 且 AB =EF ， 如图所示，设 E 点坐标为(-1，m )， 当四边形是□ABFE 时，由 A (-3，0)，B (1，0)可知，F 1(3，m )， 代入抛物线解析式，可得，m =12， ∴F 1(3，12)；当四边形是□ABEF 时，由 A (-3，0)，B (1，0)可知，F 2(-5，m )， 代入抛物线解析式，可得，m =12， ∴F 2(-5，12)．②当 AB 为对角线时，AB 与 EF 互相平分， AB 的中点 D (-1，0)，设 E (-1，m )，则 F (-1，-m )， 代入抛物线解析式，可得，m =4， ∴F 3(-1，-4)．综上：F 1(3，12)，F 2(-5，12)，F 3(-1，-4)．结果验证：➢巩固练习1.如图，直线y =-1x 与抛物线y =-1x2 + 6 交于A，B 两点，2 4C 是抛物线的顶点．（1）在直线AB 上方的抛物线上有一动点P，当△ABP 的面积最大时，点P 的坐标为．（2）若点M 在抛物线上，且以点M，A，B 以及另一点N 为顶点的平行四边形ABNM 的面积为240，则M，N 两点的坐标为．yCBO xAyCBO xA42.已知抛物线y=-mx2+4x+2m 与x 轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且1+1=-2 ．抛物线的对称轴为直线l，与y 轴的交点为点αβC，顶点为点D，点C 关于l 的对称点为点E．（1）抛物线的解析式为．（2）连接CD，在直线CD 下方的抛物线上有一动点G，当S△CDG=3，点G 的坐标为．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，点Q 的坐标为．53.已知抛物线y=ax2-4ax+b 的对称轴为直线x=2，顶点为P，与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q，使△BCQ 与△BCP 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E 是抛物线上一动点，点F 是x 轴上一动点，是否存在以B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．64.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y=ax2-ax-b 与y 轴交于点D，且经过点C，连接AD，可得AB=AD．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点P 是抛物线上一动点，点Q 是抛物线对称轴l 上一动点，是否存在点P，使以P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．75．如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO＝∠OED，求点D的坐标；（3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．6．已知关于二次函数y＝x2﹣（4k+2）x+4k2+3k的图象与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）若二次函数与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0），并满足（a﹣b）2＝2，求k的值，并写出二次函数的表达式；（3）如图所示，由（2）所得的抛物线与一次函数y＝﹣3x +的图象相交于点C、点D，求三角形CDP的面积．7．如图1，二次函数y＝a（x2﹣x﹣6）（a≠0）的图象过点C（1，﹣），与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴上），且A，C两点关于正比例函数y＝kx（k≠0）的图8象对称．（1）求二次函数与正比例函数的解析式；（2）如图2，过点B作BD⊥x轴交正比例函数图象于点D，连接AC，交正比例函数的图象于点E，连接AD，CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连接PQ，QE，PE，设运动时间为t秒，是否存在某一刻，使PE，QE分别平分∠APQ和∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE＝∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．9．小明在学习时遇到这样一个问题：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，9b，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函2数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；（3）已知函数y ＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函1数y ＝﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C （0，4）（1）求抛物线的解析式．（2）点P为抛物线上一动点，满足S△PBC ＝S△ABC，求P点的坐标．（3）点D为抛物线对称轴上一点，若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标n的取值范围．1012．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x ＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（4）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．13．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为．（2）如图1，点P为直线y＝﹣2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y＝3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，11①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y＝ax2+2ax﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a 的取值范围．14．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（n，1）（n＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、A′、C′三点．（1）求此抛物线的解析式（a、b、c可用含n的式子表示）；（2）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点D （x1，y1）、E（x2、y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点D和E 的坐标；（3）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q 关于直线CM对称，连接MQ′、PQ′，当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的时，求平行四边形APQM的面积．1215．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x2﹣x﹣2分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D．（1）判定△ABC的形状；（2）在线段BC下方的抛物线上有一点P，当△BCP面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值；（3）如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤90°），∠DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当△KET为等腰三角形时，求此时KT的值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一13点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；（3）在（2）中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM 平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B 1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】1415。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数的性质二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴直线x=-a b 2，二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小；x＞-a b 2时，y 随x 的增大而增大；x=-a b 2时，y 取得最小值a b ac 442-，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-a b 2时，y 随x 的增大而增大；x＞-a b 2时，y 随x 的增大而减小；x=-a b 2时，y 取得最大值a b ac 442-，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax 2的图象向右或向左平移a b 2个单位，再向上或向下平移ab ac 442-个单位得到的．二次函数上点坐标的特征二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-a b 2，ab ac 442-）.①抛物线是关于对称轴x=-a b 2成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值．③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0），（x 2，0），则其对称轴为x=221x x +【例1】已知()()212232m x m x m m y m m +-+-=--是关于x 的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．【例2】下列各式中，一定是二次函数的有（）①y=2x 2﹣4xz +3；②y=4﹣3x +7x 2；③y=（2x ﹣3）（3x ﹣2）﹣6x 2；④y=21x﹣3x +5；⑤y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）；⑥y=（m 2+1）x 2﹣2x ﹣3（m 为常数）；⑦y=m 2x 2+4x ﹣3（m 为常数）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】（2017•东莞市一模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+b 与二次函数y=bx 2+a 的图象可能是（）A．B．C．D．【例4】（2017•辽阳）如图，抛物线y=x 2﹣2x﹣3与y 轴交于点C，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（）A．1+2B．1﹣2C．2﹣1D．1﹣2或1+2【例5】（2017•唐河县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=31x 2经过平移得到抛物线y=ax 2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为38，则a、b 的值分别为（）A．31，34B．31，﹣38C．31，﹣34D．﹣31，34【例6】（2016•北仑区一模）如图，抛物线y=﹣x 2+5x﹣4，点D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD 的面积的最大值是多少？1、（2011秋•无锡期末）下列函数中，（1）y ﹣x 2=0，（2）y=（x +2）（x ﹣2）﹣（x ﹣1）2，（3）x x y 12+=，（4）322-+=x x y ，其中是二次函数的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、（2015秋•五指山校级月考）函数y=（m ﹣n ）x 2+mx +n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 是常数，且m ≠0B ．m 、n 是常数，且m ≠nC ．m 、n 是常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3、（2014•葫芦岛二模）在同一直角坐标系中，函数y=mx +m 和函数y=mx 2+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（）A ．B ．CD ．4、（2017•扬州）如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x 2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是（）A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣25、（2012秋•高安市期末）把抛物线y=﹣2x 2﹣4x﹣6经过平移得到y=﹣2x 2﹣1，平移方法是（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位6、（2017•泸州）已知抛物线y=41x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（3，3），P 是抛物线y=41x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67、（2016•陕西校级模拟）如图，已知点A（8，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=6时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．358C．10D．528、（2010秋•西城区校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（1，0），则下列结论：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0，其中正确的是．9、（2017•孝感模拟）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有（填序号）．10、（2016•黄冈校级自主招生）方程2x﹣x 2=x 2的正实数根有个．11、（2011•路南区一模）已知二次函数y=（x﹣3a）2﹣（3a+2）（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．图中分别是当a=﹣1，a=﹣31，a=1时二次函数的图象．则它们的顶点所满足的函数关系式为．12、（2015•泗洪县校级模拟）若直线y=m （m 为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是．13、（2017春•昌江区校级期中）记实数x 1，x 2中的最小值为min{x 1，x 2}，例如min{0，﹣1}=﹣1，当x 取任意实数时，则min{﹣x 2+4，3x}的最大值为．14、（2016•锡山区一模）二次函数y=﹣x 2﹣2x 图象x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=21x+b 与该新图象有两个公共点，则b 的取值范围为．15、（2017春•平南县月考）抛物线238942++-=x x y 与y 轴交于点A，顶点为B．点P 是x 轴上的一个动点，当点P 的坐标是时，|PA﹣PB|取得最小值．16、（2014•上城区二模）已知当x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=6（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于．17、（2017•港南区二模）二次函数y=（a﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1的图象经过原点，则a 的值为．18、（2017•西华县二模）已知y=﹣41x 2﹣3x+4（﹣10≤x≤0）的图象上有一动点P，点P 的纵坐标为整数值时，记为“好点”，则有多个“好点”，其“好点”的个数为．19、（2017•鄂州）已知正方形ABCD 中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m 个单位（m＞0）与正方形ABCD 的边（包括四个顶点）有交点，则m 的取值范围是．20、作出下列函数的图象：（1）y=x 2﹣4x +3；（2）y=x 2﹣4|x |+3；（3）y=|x 2﹣4|x |+3|．21、（2017•海安县一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣41x+n 经过点A（﹣4，2），分别与x，y 轴交于点B，C，抛物线y=x 2﹣2mx+m 2﹣n 的顶点为D．（1）求点B，C 的坐标；（2）①直接写出抛物线顶点D 的坐标（用含m 的式子表示）；②若抛物线y=x 2﹣2mx+m 2﹣n 与线段BC 有公共点，求m 的取值范围．22、（2011•泰州）已知二次函数y=x 2+bx ﹣3的图象经过点P （﹣2，5）（1）求b 的值并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；（2）设P 1（m ，y 1）、P 2（m +1，y 2）、P 3（m +2，y 3）在这个二次函数的图象上，①当m=4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．23、（2017•邵阳县模拟）（1）已知函数y=2x+1，﹣1≤x≤1，求函数值的最大值．（2）已知关于x的函数y=（m≠0），试求1≤x≤10时函数值的最小值．（3）己知直线m：y=2kx﹣2和抛物线y=（k2﹣1）x2﹣1在y轴左边交于A、B两点，直线l 过点P（﹣2、0）和线段AB的中点M，求直线1与y轴的交点纵坐标b的取值范围．24、（2015秋•长兴县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，点E在CB边上，以每秒1个单位的速度从点C向点B运动，运动时间为t（s），过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S．（1）当点F恰好落在AB边上时，求t的值；（2）当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？。
人教版九年级上册第二十二章二次函数动点问题训练
人教版九年级上册第二十二章二次函数动点问题专练（1）线段和差最值——将军饮马1．如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y=2x -+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．4．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.5．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D 为抛物线的顶点，连接DA 、DB ，试判断△ABD 的形状，并说明理由； （3）设P 为对称轴上一动点，要使PC ﹣PB 的值最大，求出P 点的坐标．6．如图1，已知二次函数y=mx 2+3mx ﹣274m 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点D 和点B 关于过点A 的直线l ：y= （1）求A 、B 两点的坐标及二次函数解析式；（2）如图2，作直线AD ，过点B 作AD 的平行线交直线1于点E ，若点P 是直线AD 上的一动点，点Q 是直线AE 上的一动点．连接DQ 、QP 、PE ，试求DQ+QP+PE 的最小值；若不存在，请说明理由：（3）将二次函数图象向右平移32个单位，再向上平移象上存在一点M ，其横坐标为3，在y 轴上是否存在点F ，使得∠MAF=45°？若存在，请求出点F 坐标；若不存在，请说明理由．（2）线段最值问题1．如图，抛物线25y ax bx =++与x 轴交于()1,0A -、()5,0B 两点，直线334y x =-+与y轴交于点C ，与x 轴交于点D ．点P 是抛物线上一动点，过点P 作直线PF x ⊥轴于点F ，交直线CD 于点E ．设点P 的横坐标为m ．()1求抛物线的解析式；()2若点P 在x 轴上方的抛物线上，当5PE EF =时，求点F 的坐标；()3若点E ’是点E 关于直线PC 的对称点，当点E ’落在y 轴上时，请直接写出m 的值．2．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<分别交x 轴、y 轴于点(2,0)A 、(0,4)B ，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交抛物线于点D ． （1）若0a b +=． ①求抛物线的解析式；②当线段PD 的长度最大时，求点P 的坐标；（2）当点P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以,,B P D 为顶点的三角形与AOB ∆相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．3．如图，一次函数1y=x+22分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．4．已知抛物线（是常数）经过点.（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P(m，t)为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为.①当点落在该抛物线上时，求的值；②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值.（3）三角形面积最值1．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣1x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y2x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．＝﹣12(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S△DCB＝S△ABC时，求点D坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，直线132y x =--与x 轴，y 轴分别交于点,A C ，经过点,A C 的抛物线23y ax bx =+-与x 轴的另一个交点为点()2,0B ，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE x⊥轴于点E ，连接,AD DC ，设点D 的横坐标为m .()1求抛物线的解析式；()2当点D 在第三象限，设DAC △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；()3连接BC ，若EAD OBC ∠=∠,请直接写出此时点D 的坐标.6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ，已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．7．如图，已知抛物线y=－x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=－32x+3交于C、D两点．连接BD、AD．（1）求m的值．（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．（4）几何图形中的动点问题1．如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P 从点A出发，沿A→D方向以2 cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC 上)，设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)．(1)经过几秒钟后，S1＝S2?(2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值．3．如图，在ABC 中，B 90∠=，AB 12cm =，BC 24cm =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动（不与点C 重合）．若P 、Q 两点同时移动()t s ； 1（）当移动几秒时，BPQ 的面积为232cm ．2（）设四边形APQC 的面积为()2S cm ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为2108cm ？4．如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一直线上，开始时点与点重合，让以每秒厘米的速度向左运动，最终点与点重合，则重叠部分面积（厘米）与时间（秒）之间的函数关系式为________．（5）四边形面积最值1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．2．已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A 在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB,（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA⊥NA，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．4．如图，二次函数2y ax bx =+的图象经过点()2,4A 与()6,0B ． ()1求a ，b 的值；()2点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为(26)x x <<，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．（6）其它几何问题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A ，且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数212y x bx c =-++的表达式． （2）连接AB ，求AB 的长．（3）连接AC ，M 是线段AC 得中点，将点B 绕点M 旋转180︒得到点N ，连接AN ，CN ，判断四边形ABCN 的性状，并证明你的结论．2．二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，14）；点F （0，1）在y 轴上．直线y=﹣1与y 轴交于点H ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y=﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．。
初中数学二次函数经典练习题
二次函数的概念、图像与性质【知识梳理】考点1：二次函数以及二次函数的定义域、值域等有关概念 考核要求：（1）知道二次函及其定义域、值域等概念； （2）判断函数解析式是否是二次函数的解析式；（3）会根据已知条件判断函数解析式中字母的值或取值范围． 考点2：用待定系数法求二次函数的解析式 考核要求：（1）掌握求函数解析式的方法；（2）在求函数解析式中熟练运用待定系数法.（3）求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原．【例题剖析】例1、若函数()22214m m y m m x−−=++是二次函数，求m 的取值范围．例2、某产品每千克成本为20元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为50元时，它的日销售量为100千克，如果每千克售价每降低(或增加)1元，日销售量就增加(或减少)10千克，设该产品每千克售价为x 元．（1）日销售利润为为y 元，写出y 关于x 的函数解析式及函数的定义域． （2）如果日销售量为300千克，那么日销售利润为多少元？例3、已知抛物线2y ax =与直线23y x =+交于点()1,A b 与点B ，直线与y 轴交于点P ．求：（1）求抛物线2y ax =的解析式，并求顶点的坐标和对称轴； （2）判断点()1,4C −是否在此抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标； （4）求ABO S ．笔记 思考【经典习题】（A ）组1．二次函数223y x x =++的定义域为（ ）A ．x ＞0B ．x 为一切实数C ．y ＞2D ．y 为一切实数 2．若函数241y x =+的函数值为5，则自变量x 的值应为（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D3．抛物线2y ax = （a ＜0）的图象一定经过（ ）A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限 4．在同一坐标系中，抛物线22214414y x y x y x ===−，，的共同特点是（ ） A ．关于y 轴对称，开口向上 B ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小 D ．关于y 轴对称，顶点是原点 5．不透明的布袋里装有4个白球和1个黑球，除颜色外其它都相同，从中任意取出2个球，那么取到1个白球和1个黑球的概率为 ． 6．在函数①2y ax bx c ++，②()221y x x −−=，③2255x y x =−，④22y x =−+中，y 关于x 的二次函数是 ．（填写序号） 7．如果()221mmym x −=−是二次函数，则m= ．8．关于x 的函数()()211y m x m x m =++−+，当0m =时，它是 函数；当1m =− 时，它是 函数． 9．观察二次函数2y x =的图象，并填空．图象与x 轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ．当x ＜0时，随着x 值的增大，y 的值 ；当x ＞0时，随着x 值的增大，y 的值 ． 10．把图中图象的号码，填在它的函数式后面： （1）y=3x 2的图象是 ； （2）y=x 2的图象是 ； （3）y=﹣x 2的图象是 ； （4）y=x 2的图象是 （填序号①，②等）．笔记 思考11．函数y=﹣a（x+a）与y=﹣ax2（a≠0）在同一坐标系上的图象是（）A．B．C．D．点，F是BC上一点，且BF=2BE．设BE=x，△DEF的面积为S，则S关于x的函数关系式为．13．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5m、长18m 的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm．（不考虑墙的厚度）（1）若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？（2）求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？14．如图，一条抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形ABCD有公共点．（1）求a的取值范围；（2）若a为整数，求函数的表达式．15．有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米；（1）在如图的坐标系中，求抛物线的表达式．（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2米的速度上升）16．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．笔记思考二次函数的图像与性质【知识梳理】1.二次函数的概念2.二次函数解析式3.二次函数图像特征4.二次函数的性质与图像【例题剖析】例1．已知二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且过点A（﹣2，﹣）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点B（2，﹣2）在这个函数图象上吗？（3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案．例2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过x轴上点A（1，0）和点B（3，0），且与y轴相交于点C．（1）求此二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）求∠CPB的正弦值．例3．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如图所示）．（1）请你直接写出O、A、M三点的坐标；（2）一艘小船平放着一些长3米、宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面同一平面）？【经典习题】（A ）组1．若在同一直角坐标系中，作y =x 2，y =x 2+2，y =﹣2x 2+1的图象，则它们（ ）A ．都关于y 轴对称B ．开口方向相同C ．都经过原点D ．互相可以通过平移得到2．抛物线y =2x 2﹣4的顶点在（ ）A ．x 轴上B ．y 轴上C ．第三象限D ．第四象限3．抛物线y =2（x +3）2﹣4的顶点坐标是（ ）A ．（3，4）B ．（3，﹣4）C ．（﹣3，4）D ．（﹣3，﹣4）4．对于二次函数y =（x +1）2﹣3，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口方向向下B ．图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）C ．图象的顶点坐标为（1，﹣3）D ．抛物线在x ＞﹣1的部分是上升的 5．一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．6．如图，OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线y =ax 2（a ＜0）的图象上，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．7．如图，抛物线m ：y =ax 2+b （a ＜0，b ＞0）与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180°，得到新的抛物线n ，它的顶点为C 1，与x 轴的另一个交点为A 1．若四边形AC 1A 1C 为矩形，则a ，b 应满足的关系式为（ ）A ．ab =﹣2B ．ab =﹣3C ．ab =﹣4D ．ab =﹣58．抛物线y =2（x ﹣3）2+4的在对称轴的 侧的部分上升．（填“左”或“右”） 9．如果点A （2，﹣4）与点B （6，﹣4）在抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）上，那么该抛物线的对称轴为直线 ．笔记 思考10．抛物线y =mx 2+2mx +5的对称轴是直线 ．11．如果抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线 ．12．如果二次函数y =x 2﹣8x +m ﹣1的顶点在x 轴上，那么m = ． 13．小迪同学以二次函数y =2x 2+8的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB =4，DE =3，则杯子的高CE 为 ．14．如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m 时，拱顶离水面4m ，当水面下降3m 时，水面的宽为 m ．（B ）组15．用配方法把二次函数y =﹣2x 2+6x +4化为y =a （x +m ）2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．16．已知抛物线y =（x ﹣2）2的顶点为C ，直线y =2x +4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC ．1．已知二次函数y =﹣x 2+（m ﹣2）x +m +1．（1）试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点． （2）当m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）当m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？笔记 思考（C）组笔记思考17．为了参加市科技节展览，同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架．在画设计图时，如果在直角坐标系中，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+c，正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5：1，求：（1）抛物线解析式中常数c的值；（2）正方形MNPQ的边长．18．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1.5），求QP+PF的最小值．笔记思考二次函数的图像与性质综合【知识梳理】5.二次函数的概念6.二次函数解析式7.二次函数图像特征8.二次函数的性质与图像【例题剖析】例1．根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）；（2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）；（3）抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）；（4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点；（5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5；（6）当x=2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2．例2．如图是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为y=﹣x2+x+（单位：米），其中A点为出手点，C点为铅球运行中的最高点，B点铅球落地点．求：（1）出手点A离地面的高度；（2）最高点C离地面的高度；（3）该运动员的成绩是多少米？例3．如图，抛物线y =ax 2+2ax +3与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 和点B 分别在x 轴的正、负半轴上），cot ∠OCA =3． （1）求抛物线的解析式；（2）平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点E 、F （点F 在点E 的左边），如果四边形OBFE 是平行四边形，求点E 的坐标．【经典习题】（A ）组1．函数y =x 2+2x ﹣2写成y =a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ）A ．y =（x ﹣1）2+2B ．y =（x ﹣1）2+1C ．y =（x +1）2﹣3D ．y =（x +2）2﹣12．在同一坐标系下，抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x 2+4x ＞2x 的解集是（ ）A ．x ＜0B ．0＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜0或 x ＞2第2题 第7题 第12题 第13题3．已知点P 为抛物线y =x 2+2x ﹣3在第一象限内的一个动点，且P 关于原点的对称点P ′恰好也落在该抛物线上，则点P ′的坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣2，﹣）C ．（﹣，﹣2﹣1） D ．（﹣，﹣2）4．若A （﹣4，y 1），B （﹣3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y =x 2﹣4x +m 的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 25．二次函数y =﹣x 2﹣2x +c 在﹣3≤x ≤2的范围内有最小值﹣5，则c 的值是（ ） A ．﹣6 B ．﹣2 C ．2D ．3笔记 思考6．将抛物线y=x2+2x﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得笔记思考到的抛物线的解析式是（）A．y=（x﹣1）2﹣1 B．y=（x+3）2﹣1C．y=（x﹣1）2﹣7 D．y=（x+3）2﹣77．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．若抛物线的顶点为（﹣2，3），且经过点（﹣1，5），则其表达式为．9．对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为．10．设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线y=2x2+4x﹣2上的点，坐标系原点O位于线段AB的中点处，则AB的长为．11．如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为．12．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是．13．二次函数的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是．（B）组14．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．15．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点M从点A开始沿AB边向点笔记思考B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动．若M，N分别从A，B点同时出发，设移动时间为t（0＜t＜6），△DMN的面积为S．（1）求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；（2）当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积．（C）组16．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？17．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣6，0）、B（2，0），笔记思考与y轴交于点C（0，﹣6）．（1）求此抛物线的函数表达式，写出它的对称轴；（2）若在抛物线的对称轴上存在一点M，使△MBC的周长最小，求点M的坐标；（3）若点P（0，k）为线段OC上的一个不与端点重合的动点，过点P作PD∥CM交x于点D，连接MD、MP，设△MPD的面积为S，求当点P运动到何处时S的值最大？。
二次函数-桥洞问题
3 1 －1 －1
y x 4 4
提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
（2）卡车可以通过.
－3
O
1 3
提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4.
－3
课堂练习
1、某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大 门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m, 现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地 面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通 过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能, 请简要说明理由.
a 0.5
0 a ( 2 )2 2
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5( x 2 )2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
x1 2 6 , x 2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x 2 x1 2 6 m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
1 0.5( x 2 )2 2
探究2：如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长 方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 1 2 表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧 道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡 车是否可以通过？
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系. ∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax 2 4.4
4a 4.4 0 a 1.1
∵抛物线过A(-2,0)
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1 x 2 4.4
二次函数综合(动点)问题——三角形存在问题培优教案(一)(横版)
教学过程一、课堂导入1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，4）、B（-4，4），试在x轴上找出点P，使△APB为直角三角形，请直接写出所有符合条件的P点的坐标2、在平面直角坐标系中找出所有的点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，且C点的横坐标与纵坐标为自然数．画出C点的位置并写出C点的坐标．问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得三角形是等腰三角形（等边三角形、直角三角形等）并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习根据实际问题列二次函数关系式：1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．2、常见题目类型(1)几何类(三角形、四边形、圆等)一般问题是求图形的面积，首先可以根据特殊图形的面积公式来求解，这时关键是表示出公式里各个部分的代数式；其次，如果不是特殊的图形，可以通过特殊图形的面积相加减来表示；最后，还可以通过构造特殊图形来进行表示求解；总之，要根据题目给的条件实际运用。
(2)桥梁问题这类题型是出现较多的类型，首先应该建立适当的直角坐标系，将桥梁的拱形转化为二次函数来进行求解，强调的是特殊点的表示与运用。
(3)销售问题这类题型会在考试中频繁出现，解题的方法就是：围绕总利润=（售价-进价）×数量这个公式去进行，难度大一点的就是会涉及提价跟降价两种情况，关键是要根据题意分别表示出降价或者提价后商品的售价、数量（进价一般不变），然后再通过公式将各个部分组合在一起就可以了。
九下数学(北师版)课件-二次函数y=ax2的图象与性质
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
3．对于函数 y＝4x2，下列说法正确的是( B )
A．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
B．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
C．y 随 x 的增大而减小
D．y 随 x 的增大而增大
4．(德州中考)给出下列函数：①y＝－3x＋2；②y＝x3；③y＝2x2；④y＝3x，
最小值是 0 .
7．不画图象，说出抛物线 y＝－43x2 的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高 (低)点坐标． 解：抛物线 y＝－34x2 的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0,0)．∵a＝－43＜0，∴ 开口方向向下，最高点坐标是(0,0)．
8．二次函数 y＝x2 与一次函数 y＝－x－1 的图象在同一直角坐标系中(如图)， 大致应为( D )
自我诊断 1.若二次函数 y＝ax2 的图象经过点 P(－2,4)，则该图象必经过点
(A )
A．(2,4)
B．(－2，－4)
C．(－4,2)
D．(4，－2)
易错点：忘记由图象特征对所求的值进行判断取舍．
自我诊断 2.若二次函数 y＝(a－3)x2＋a2－2a－3 的图象如
图所示，试求 a 的值．
解：由题意可知：a2－2a－3＝0，a1＝－1，a2＝3，∵a－3＜0，∴a＝－1.
O 顺时针旋转 90°，得到△OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐
标为 ( 2，2) .
13．一个二次函数，它的图象的对称轴是 y 轴，顶点是原点，且经过点(－1， 13)． (1)求出这个二次函数的解析式； (2)画出这个二次函数的图象； (3)抛物线在对称轴左侧部分，y 随 x 的增大怎样变化？这个函数有最大值还是 最小值？ 解：(1)由题意可设抛物线解析式为 y＝ax2，将点(－1，13)代入得，a＝13，∴y ＝31x2； (2)略； (3)在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，这个函数有最 小值．
22.1.3二次函数的图像和性质(1)
(3)顶点是(0,k).
5
4
(4)增减性：与y=ax2
3
的增减性相同 。
2 1
(5)最大（小）值：当a>0时， -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y有最小值k；当a<0时,y有最大值k。
（6）抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向
下平移|k|得到.（只要ax2项的系数a相同，抛物线的
小结二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点
k>0
k<0
开口向上
k>0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
k<0
关于y轴 （x=0）对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性
在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
当x=
时0 ，函数y的值最大，最大值是 ,它
是由抛3 物线y= −2x2
向上平得移到3个的单（位怎么平
移）.
（ 2）抛物线 y= x²-5 的顶点坐标是（_0_，__-5），对称 轴是_y_轴__,在对称轴的左侧，y随着x的 增大而减小 ； 在对称轴的右侧，y随着x的 增大而增大 ，当x=_0___ 时，函数y函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
第2章 二次函数知识点
第二章 二次函数第1节 二次函数所描述的关系1、二次函数的定义:一般地，形如的二次函数。
的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 2、列函数关系式（重点）:因变量&自变量第2节 结识抛物线1、 二次函数=y 2ax 的图象的画法（重点）：描点法：列表——描点——连线2、 二次函数=y 2ax 的图象的性质（难点）对称图形，对称轴是y 轴，顶点是原点（0，0）——顶点是指对称轴与抛物线的交点。
当a >0时，开口向上，在y 轴左边，下降趋势；在y 轴右边，上升趋势。
顶点处取得最小值0。
当a <0时，开口向下，在y 轴左边，上升趋势；在y 轴右边，下降趋势。
顶点处取得最大值0。
第3节 刹车距离与二次函数1、二次函数2ax y =中的a 的作用：（1）a 的符号决定抛物线的开口方向（2）a 的值决定抛物线的形状和开口大小2、比较)0()0(22≠+=≠=a c ax y a ax y 与的图象的异同（难点）二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，c ）。
对于)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象，形状相同，只是位置不同。
)0(2≠+=a c ax y 可以看做是把)0(2≠=a ax y 的图象向上（c>0）或向下（c<0）平移|c|个单位长度得到的。
第4节 二次函数c bx ax y ++=2的图象1、二次函数c bx ax y ++=2的图象的平移（1）二次函数k ax y +=2的图象可由抛物线2ax y =向上（或向下）平移而得到。
（2）二次函数2)(h x a y -=的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移而得到。
（3）二次函数k h x a y +-=2)(的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移再向上（或向下）平移|k|个单位而得到。
运用“设而不求”求解中考数学压轴题
运用“设而不求”求解中考数学压轴题1、（2011株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得22OA OB ==（如图1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．2.二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，14）；点F （0，1）在y 轴上．直线y =﹣1与y 轴交于点H ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的 垂线与直线y =﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ； （3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．y xBAO图1F Ey xBAO图23、（2009株洲）如图，已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．4、（2010株洲）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O ，且与x 轴交于另一点A ，其顶点为B ．孔明同学用一把宽为3cm 带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： ① 量得3OA cm =；② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C 的刻度读数为4.5． 请完成下列问题：（1）写出抛物线的对称轴； （2）求抛物线的解析式；（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A 的右边（如图2），直尺的两边交x 轴于点H 、G ，交抛物线于点E 、F ．求证：21(9)6EFGH S EF =-梯形．图1图2· B5、（2016株洲）已知二次函数y=x 2﹣（2k+1）x+k 2+k （k ＞0） （1）当k=时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+k=0有两个不相等的实数根； （3）如图，该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．6、已知抛物线1C ：21112y x x =-+，点F (1，1)． （Ⅰ）求抛物线1C 的顶点坐标；（Ⅱ）①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF +=；②抛物线1C 上任意一点P （P P x y ，）（01P x <<），连接PF ，并延长交抛物线1C 于点Q （Q Q x y ，），试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由；7、（2015株洲）已知抛物线的表达式为26y x x c =-++ （1）若抛物线与x 轴有交点，求c 的取值范围；（2）设抛物线与x 轴两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，若221226x x +=，求c 的值；（3）若P 、Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA 、QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A 、B ，且△OPA 与△OQB 全等，求证：214c >- 8、已知点、在抛物线上求抛物线的解析式； 如图，点的坐标为，直线交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，垂足为．设抛物线与轴的正半轴交于点，连接、，求证：；如图，直线分别交轴、轴于、两点．点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点从原点出发，沿轴正方向匀速运动，速度为每秒个单位长度．点是直线与抛物线的一个交点，当运动到秒时，，直接写出的值yxxABOQP答案：1、（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，22OA OB==，90AOB∠=︒，∴2AC OC BC===，∴B(2，2-) ……… 2分将B(2，2-)代入抛物线2(0)y ax a=<得，12a=-. ……… 3分（2）解法一：过点A作AE x⊥轴于点E，点B的横坐标为1，∴B (1，12-)，……… 4分∴12BF=. 又90AOB∠=︒，易知AOE OBF∠=∠，又90AEO OFB∠=∠=︒，∴△AEO∽△OFB，∴1212AE OFOE BF===∴2AE OE=……… 5分设点A（m-，212m-）（0m>），则OE m=，212AE m=∴2122m m=∴4m=，即点A的横坐标为4-. ……… 6分解法二：过点A作AE x⊥轴于点E，点B的横坐标为1，∴B (1，12-)，……… 4分∴1tan212OFOBFBF∠===90AOB∠=︒，易知AOE OBF∠=∠，∴tan tan2AEAOE OBFOE=∠=∠=，∴2AE OE=……… 5分设点A（-m，212m-）（0m>），则OE m=，212AE m=，∴2122m m=FEyxBAO∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分解法三：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，点B 的横坐标为1，∴B (1，12-)， ……… 4分设A （-m ，212m -）（0m >），则222151()24OB =+=，22414OA m m =+，222211(1)()22AB m m =++-+，90AOB ∠=︒∴222AB OA OB =+，∴2222221111(1)()(1)()2222m m m m ++-+=++-+，解得：4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分（3）解法一：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >），设直线AB 的解析式为：y kx b =+， 则221 (1) 21 (2) 2mk b m nk b n ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，……… 7分(1)(2)n m ⨯+⨯得，2211()()()22m n b m n mn mn m n +=-+=-+， ∴12b mn=- ……… 8分又易知△AEO ∽△OFB ，∴AE OEOF BF =，∴220.50.5m m nn =，∴4mn =……… 9分 ∴1422b =-⨯=-.由此可知不论k 为何值，直线AB 恒过点（0，2-）………10分 解法二：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >），直线AB 与y 轴的交点为C ，根据0AOB AOE B F AOC BOCABFE S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=+梯形，可得2222111111111()()222222222n m m n m m n n OC m OC n ⋅++-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，化简，得12OC mn=. ……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ，∴AE OEOF BF =，∴220.50.5m m nn =，∴4mn =……… 9分∴2OC =为固定值.故直线AB 恒过其与y 轴的交点C （0,2-）……… 10分说明：mn 的值也可以通过以下方法求得.由前可知，22414OA m m =+，22414OB n n =+，2222211()()22AB m n m n =++-+， 由222OA OB AB +=，得：242422221111()()()()4422m m n n m n m n +++=++-+，化简，得4mn =.2、（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O ， ∴设二次函数的解析式为y =ax 2，将点A （1，14）代入y =ax 2得：a =14， ∴二次函数的解析式为y =14x 2；（2）证明：∵点P 在抛物线y =14x 2上，∴可设点P 的坐标为（x ，14x 2），过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，则BF =14x 2﹣1，PB =x ，∴Rt △BPF 中，PF ==14x 2+1， ∵PM ⊥直线y =﹣1， ∴PM =14x 2+1， ∴PF =PM ，∴∠PFM =∠PMF ， 又∵PM ∥x 轴， ∴∠MFH =∠PMF ， ∴∠PFM =∠MFH ， ∴FM 平分∠OFP ；（3）解：当△FPM 是等边三角形时，∠PMF =60°， ∴∠FMH =30°，在Rt △MFH 中，MF =2FH =2×2=4， ∵PF =PM =FM ， ∴14x 2+1=4， 解得：x =±2，∴14x 2=14×12=3， ∴满足条件的点P 的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．3.（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. ………………… 3分（2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒ ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）. 又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ ………7分 （3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PMEC PC =即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =- ∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC =即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC = ∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++ 即()FC AC EC +为定值8. ……………………12分4、（1）32x = ……… 2分 （2）设抛物线的解析式为：(3)y ax x =-，当32x =时，94y a =-，即39(,)24B a -；当92x =时，274y a =，即927(,)24C a ，依题意得：279() 4.544a a --=，解得：12a =．∴抛物线的解析式为：21322y x x =-． ……… 6分（3）方法一：过点E 作ED FG ⊥，垂足为D ，设23(,)122m E m m -， 23(,)122n F n n -，得：22221313131()()()(3)222()(22)22n n m m n m n m n m n DF m =------=-+=-①2222131()31(3()()2222)22E n n m m n G nF m m H --+-+=++= ②又3n m -=，得3n m =+，分别代入①、②得：3DF m =，2EH m FG +=∴2222223(399)m F DE m E DF =+=+=+得：222113(9)9662EF m m -=⨯=又2133()22EFGH S EH FG m =⨯⋅+=梯形∴21(9)6EFGH S EF =-梯形 ………10分 方法二：过点E 作ED FG ⊥，垂足为D ，设23(,)122x E x x -，则2132(3,)2F x x x ++，得：22222222133[()()132222]99x x x EF DE DF x x +=+==+-+-22213132333()[()()]222222EFGH S EH x x G x x F x -+=+=⋅+=梯形∵222113(9)9662EF x x -=⨯=∴21(9)6EFGH S EF =-梯形 ………10分 5、（1）将k=代入二次函数可求得， y=x 2+2x+ =（x+1）2﹣，故抛物线的顶点坐标为：（1，﹣）；（2）∵一元次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+k=0，∴△=b 2﹣4ac=[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+k ）=1＞0，∴关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（3）由题意可得：点P的坐标为（0，-1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，y BC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为运用距离公式得：AQ2=（）2+（）2=，则OA2=k2，AB2=1，故+=+1==，则．6、解（I）∵，∴抛物线的顶点坐标为（）；（II）①根据题意，可得点A（0，1），∵F（1，1），∴AB∥x轴，得AF=BF=1，；②成立， 理由如下：如图，过点P （ ）作PM ⊥AB 于点M ，则FM= ，PM = （ ） ∴Rt △PM F 中，由勾股定理，得又点P （ ）在抛物线 上， 得 ，即 ∴ 即 ，过点Q （ ）作QN ⊥B ，与AB 的延长线交于点N ，同理可得 ，图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP =∠NFQ ，∴△PMF ∽△QNF 有 这里 ， ∴ 即7、（1）∵26y x x c =-++与x 轴有交点∴260x x c -++=有实数根∴△＝240b ac -≥即：264(1)0c -⨯-⨯≥解之得：9c ≥-（2）∵260x x c -++=有解，且221226x x +=∴9c ≥-，21212()226x x x x +-= 即：26()22611c --⨯=-- 解之得：5c =- （3）设P 的坐标为(,)m n ，则Q 点坐标为(,)n m ，且0,0m n >>，m n ≠ 将这两个点的坐标代入方程得：226162m m c n n n c m⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩（）（） （1）－（2）得：227()0()(7)0n m m n m n m n -+-=-+-=故可得：7m n +=故可得7n m =-代入方程（2）得： 27(7)0m m c -++-=因为存在这样的点，所以上方程有解，所以判别式240b ac -≥即274(1)(7)0c -⨯-⨯-≥ 故：214c ≥-而当214c =-时，72m =，此时72n = 故214c >-8、解：（1）将点A （-1，1）、B （4，6）代入y=ax 2+bx 中， ⎩⎨⎧=+=-64161b a b a解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2121b a∴抛物线的解析式为x x y 21212-=．（2）证明：设直线AF 的解析式为y=kx+m ，将点A （-1，1）代入y=kx+m 中，即-k+m=1，∴k=m-1，∴直线AF 的解析式为y=（m-1）x+m ．联立直线AF 和抛物线解析式成方程组，⎪⎩⎪⎨⎧-=x x y 2121m+x ）1-m （=y 2，解得：⎩⎨⎧=-=1111y x ，⎩⎨⎧-==m m y mx 22222∴点G 的坐标为（2m ，2m 2-m ）．∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为（2m ，0）．∴tan ∠FHO=212=m m∵抛物线的解析式为x x y 21212-=∴点E 的坐标为（1，0）．∴tan ∠AEO=21．∴∠FHO=∠AEO∴FH ∥AE ．（3）设直线AB 的解析式为y=k 0x+b 0，将A （-1，1）、B （4，6）代入y=k 0x+b 0中，⎩⎨⎧=+=+-6410000b k b k 解得：⎩⎨⎧==2100b k ∴直线AB 的解析式为y=x+2．当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为（t-2，t ）， 点Q 的坐标为（t ，0）．当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP ′⊥x 轴于点P ′，过点M 作MM ′⊥x 轴于点M ′，则△PQP ′∽△MQM ′，如图2所示． ∵QM=2PM ，∴32=''=''P P M M P Q M Q ∴QM ′=34，MM ′=t 32， ∴点M 的坐标为（34-t ，t 32）． 又∵点M 在抛物线x x y 21212-=上， ∴)34(21)34(21322---=t t t 解得：t=611315±； 当点M 在线段QP 的延长线上时，同理可得出点M 的坐标为（t-4，2t ），∵点M 在抛物线x x y 21212-=上， ∴)4(21)4(2122---=t t t 解得：t=28913±． 综上所述：当运动时间为611315±秒或28913±秒时，QM=2PM ．。
2020--2021学年北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题综合练习(无答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数复习压轴题综合练习1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM+MC的最小值；2、二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．3、已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A （2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B ．（1）求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；（2）点M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m ，联结AM ，用含m 的代数式表示∠AMB 的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C 在x 轴上．原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q ，如果OP=OQ ，求点Q 的坐标．4、已知某二次函数的图象与x 轴分别相交于点()30A -，和点()10B ，，与y 轴相交于点()()030C m m ->，，顶点为点D 。
⑴求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；⑵如图①，当2∆的面m=时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；⑶如图②，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC∆相似？5、在直角坐标系xoy中，(0,2)B-，将ABOA、(1,0)∆经过旋转、平移变化后得到如图所示的BCD∆.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将∆的面积分成1:3两部分，求此时点P的坐标；ABC（3）现将ABO∆分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运∆、BCD动过程中ABO∆重叠部分面积的最大值.∆与BCD6、如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x 轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．7、如图，矩形的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（10，8），沿直线OD 折叠矩形，使点A 正好落在BC 上的E 处，E 点坐标为（6，8），抛物线y=ax 2+bx+c 经过O 、A 、E 三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD 的长；（3）点P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD 的周长最小时，求点P 的坐标．8、如图，抛物线252++=bx ax y 与直线AB 交于点A （－1，0），B （4，25）．点D 是抛物线A ，B 两点间部分上的一个动点（不与点A ，B 重合），直线CD 与y 轴平行，交直线AB 于点C ，连接AD ，BD ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D 的横坐标为m ，△ADB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C 的坐标；9、如图，抛物线y＝－x2+x－4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交于点Ｍ。
2023年中考高频数学专题练习--二次函数与一次函数的综合
2023年中考高频数学专题练习--二次函数与一次函数的综合1．平面直角坐标系 xOy 中， O 是坐标原点。
已知A(0, 52 )，B(1,0)，C （6, 52），有一抛物线恰好经过这三点.（1）求该抛物线解析式；（2）若抛物线交 x 轴的另一交点为D ，那么抛物线上是否存在一点P ，使得POB CBD ∠=∠ ,若存在，求出P 的坐标，若不存在，请说明理由。
2．如图， 21y ax bx =+ 的图像交x 轴于O 点和A 点，将此抛物线绕原点旋转180°得图像y 2，y 2与x 轴交于O 点和B 点.（1）若y 1=2x 2-3x ，则y 2= .（2）设 y 1 的顶点为C ，则当△ABC 为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的 y 1 的表达式 .3．如图，抛物线 28(0)y ax bx a =++≠ 与x 轴交于点 (2,0)A - 和点 (8,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当35PBC ABCS S∆∆=时，求点P的坐标．4．已知：如图，抛物线y=ax2+4x+c经过原点O(0，0)和点A (3，3)，P为拋物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m，0)，并与直线OA交于点C。
（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值。
5．如图所示，已知抛物线y= 13x2+bx+c经过点A(-1,0),B(5,0).（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积.6．如图，已知二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB＝△ABC，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.（1）求抛物线的解析式（2）求△MCB的面积S△MCB.9．如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C(3，4)，交x轴于点A，B(点B在点A的右侧)，点P在第一象限，且在抛物线AC 部分上，PD△PC 交x 轴于点D 。
二次函数图象的顶点在原点
二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，1/4）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．1）y=x2；（2）证明见解析；（3）（，3）或（﹣，3）．【解析】试题分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式.（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论.（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．试题解析：【解析】（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2.将点A（1，）代入y=ax2得：a=，∴二次函数的解析式为y=x2.（2）证明：∵点P在抛物线y=x2上，∴可设点P的坐标为（x，x2），如答图。
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=x2﹣1，PB=x，∴Rt△BPF中，.∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=x2+1.∴PF=PM. ∴∠PFM=∠PMF.又∵PM⊥x轴，即PM∥y轴，∴∠MFH=∠PMF. ∴∠PFM=∠MFH.∴FM平分∠OFP.（3）∵当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°.在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4.∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±.∴x2=×12=3.∴满足条件的点P的坐标为（，3）或（﹣，3）．．。
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二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，1/4）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H
二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM
平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
1）y=x2；（2）证明见解析；（3）（，3）或（﹣，3）．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式.
（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论.
（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．
试题解析：【解析】
（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2.将点A（1，）代入y=ax2得：a=，
∴二次函数的解析式为y=x2.
（2）证明：∵点P在抛物线y=x2上，
∴可设点P的坐标为（x，x2），
如答图。
过点P作PB⊥y轴于点B，
则BF=x2﹣1，PB=x，
∴Rt△BPF中，.
∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=x2+1.
∴PF=PM. ∴∠PFM=∠PMF.
又∵PM⊥x轴，即PM∥y轴，∴∠MFH=∠PMF. ∴∠PFM=∠MFH.
∴FM平分∠OFP.
（3）∵当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°.在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4.
∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±.∴x2=×12=3.∴满足条件的点P的坐标为（，3）或（﹣，3）．
．。