自动控制工程的数学模型

控制系统微分方程的建立要建立一个控制系统的微分方程，首先必须了解整个系统的组成、工作原理,然后根据支配各组成元件的物理定律，列写出整个系统输出变量与输入变量之间关系的动态关系式，即微分方程。

列写微分方程的一般步骤如下：①分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量(变量)之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量。

②从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理(或化学等)定律，列写动态关系式，一般为一个微分方程组。

③对已建立的原始方程进行数学处理，忽略次要因素，简化原始方程，如对原始方程进行线性化等。

④消除中间变量，写出关于输出、输入变量之间关系的数学表达式，即微分方程。

下面举例说明建立微分方程的方法和步骤。

一、典型元件系统微分方程的建立电学系统电学系统中，所需遵循的是元件约束和网络约束，元件约束指电阻、电容、电感等器件的电压——电流关系遵循广义欧姆定律，网络约束指基尔霍夫电压定律和电流定律。

例2-1 RLC无源网络如图2-1所示，图中R、L、C分别为电阻(Ω)、电感(H)、电容(F)；建立输入电压ur (V)和输出电压uc (V)之间的微分方程。

解：根据电路理论中的基尔霍夫定律，可得(2-1)图2-1 RLC无源网络消去中间变量i(t)，则(2-2)令则上式又可以写成如下形式(2-3)式中称为时间常数，单位为秒，称为阻尼系数，无量纲。

式（2-3）就是所求得RLC网络的微分方程。

机械平移运动古典力学系统的运动规律是由牛顿定律来制约的。

在求取力学系统的运动方程时，要分析是哪一种运动的平衡，如平移运动、旋转运动、动量平衡等。

在分析当中，特别要注意物理单位之间的关系和换算，找到平衡关系，列出平衡方程式。

例2-2 设弹簧一质量—阻尼器系统如图2-2所示，试列出以F（t）为输入，以质量单元的位移x(t)为输出的运动方程。

解: 由加速度定律和力为其中弹性阻力粘滞阻力带入方程有整理(2-4)这是一种机械平移运动的运动方程，它是一个二阶微分方程。

3．机械旋转系统例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。

解：由角加速度方程其中，J——转动惯量，——旋转角速度，∑M——和力矩，得其中，——作用力矩；——阻尼力矩，其大小与转速成正比，负号表示方向与作用力矩方向相反。

整理(2-5) 方程的输入变量是作用力矩，输出变量是旋转角速度，则方程是变量关系为的一阶微分方程。

如果以转角为输出变量，因为代入方程得(2-6) 式（2-6）即为以转角为输出变量的二阶微分方程。

4．齿轮系统例2-4 试列写图2-4所示齿轮系统的运动方程。

图中齿轮1和齿轮2的转速、齿轮数和半径分别用ω1 ，Z1 ，r1 和ω2,Z2,r2 表示，其粘性摩擦系数及转动惯量分别是f1,J1和f2，,J2；齿轮1和齿轮2的原动转矩及负载转矩分别是Mm，,M1和M2，Mc。

解：控制系统的执行元件与负载之间往往通过齿轮系进行运动传递，以便实现减速和增大力矩的目的。

在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同，因此有关系式：（2-7）（2-8）又因为齿数与半径成正比，即：(2-9)于是有：(2-10)(2-11)根据力学中定轴转动的转动定律，可分别写出齿轮1和齿轮2的运动方程：（2-12）（2-13）由上述方程消去ω2 ，M1 ，M2，得(2-14) 令则齿轮系的微分方程为：（2-15）式中,及分别是折合到齿轮1上的等效转动惯量、等效粘性摩擦系数及等效负载转矩。

显然，折算的等效值与齿轮系的速度比有关，速度比ω1/ω2越大，Z1/Z2越小，折算的等效值越小。

如果齿轮系的速度比足够大，则后级齿轮及负载的影响便可以不予考虑。

5．电枢控制的他励直流电动机例2-5 电枢控制的直流电动机如图2-5所示，建立输入电压(V)和输出转角之间的动态关系式。

图2-5 电枢控制的他励直流电动机解：电枢控制的他励直流电动机，激磁电流，保持不变，仅改变加在电枢两端的电压来控制电机的运动方式。

根据电动机的工作原理可列出如下方程:电枢电路方程式中：——输入电压信号(V)；——电枢电流(A)；——电枢电阻(Ω)；——电枢电感(H)；——电动机的反电势(V)；——反电势系数(V／rad〃s-1)；——电动机转角(rad)。

电磁转矩方程(2-17)式中：-—电磁转矩(N〃m)；——力矩系数[(N〃m)／A]。

直流电动机转矩平衡方程(2-18)式中：——电枢转动惯量();——电动机轴上的粘性摩擦系数；——负载力矩将式(2-17)和(2-18)代入式(2-16)中，消除中间变量，(2-19）若考虑到直流电动机中较小，可以忽略不计，式(2-19)可以写成(2-20)令并设, 则(2-21)式中：——电动机时间常数(s)；——电动机传递系数(rad／s〃V)。

由式(2-21)可见，电枢控制他励直流电动机的动态方程是一个二阶线性常微分方程。

如果以转速ω(rad〃s-1)为输出，则为一阶线性常微分方程，即(2-22)式中：.综上所述，列写元件的微分方程的步骤可归纳如下：（1）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；（2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律等，列写相应的微分方程；（3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即得元件时域的数学模型。

一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的一端，与输出量有关的项写在方程的另一端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。

二、控制系统微分方程的建立了解了典型元件的微分方程，就可以求整个控制系统的微分方程了。

首先，找到控制系统的总输入量和最终的输出量，明确系统中各元件的联结方式和各自的工作原理，分别列写出各典型元件的微分方程，组成方程组，消去所有中间变量，得到系统最终输入量和输出量的关系式即为控制系统的微分方程。

例2-6 已知直流电动机，定子与转子的电磁关系如图2-6所示，机电系统原理如图2-7所示。

试写出其运动方程。

图2-6 电动机定、转子电磁关系示意图图2-7直流电动机系统解：直流电动机的运动是一复合系统的运动。

它由两个子系统构成，一个是电网络系统，由电网络得到电能，产生电磁转矩。

另一个是机械运动系统，输出机械能带动负载转动。

在图2-6的电机结构示意图中，设主磁通为恒定磁通，也就是说在励磁电压为常数时，产生常数值的励磁电流，从而主磁通也为常数。

忽略旋转粘滞系数，则可以写出各平衡方程如下。

(有关直流电动机的详细内容，可以参阅电力拖动有关书籍。

)1.电网络平衡方程(2-23)方程中，——电动机的电枢电压(V)；——电动机的电枢电流(A)；——电枢绕组的电阻(Ω)；——电枢绕组的电感(H)；——电枢绕组的感应电动势(V)。

2．电动势平衡方程(2-24)方程中，——电枢旋转角速度(rad/s)；——电动势常数，由电动机的结构参数确定(V〃s/rad)。

3．机械平衡方程(2-25)方程中，——电动机转子的转动惯量(N〃m〃s2/rad)；——电动机的电磁转矩(N〃m)；——折合阻力矩(N〃m)。

4．转矩平衡方程(2-26)方程中，——电磁转矩常数，由电动机的结构参数确定(N〃m／A)。

将上述四项方程联立，因为空载下的阻力力矩很小，略去，得方程组如下(2-27)消去中间变量、、，得到输入为电枢电压，输出为转轴角速度的二阶微分方程(2-28)这是一个二阶线性微分方程。

因为电枢绕组的电感一般都很小，如果略去电枢绕组的电感，则可以得到一阶线性微分方程(2-29)由上可见，线性系统微分方程的一般形式是高阶微分方程：(2-30)§2-2 非线性微分方程的线性化上一节在推导元件或系统的微分方程时，假定它们都是线性的，所得到的微分方程是线性的微分方程。

但是，在工程实际问题中，纯粹的线性系统几乎是不存在的，因为组成系统的元件都存在程度不同的非线性特性。

在控制理论中，按特性的非线性程度不同把它们分成两类。

第一类是非线性特性在工作点附近不存在饱和、继电、死区、间隙等，我们把这种非线性特性叫做“非本质非线性”特性；第二类是非线性特性在工作点附近存在饱和、继电、死区、间隙等，这种非线性特性叫做“本质非线性”特性，见图2-8所示。

如果系统所含非线性特性是本质非线性特性，这种系统要用非线性系统的理论来研究。

如果系统所含的非线性特性是“非本质”的，把它线性化后，仍可用线性系统理论进行研究。

所谓线性化就是在工作点附近的小范围内，把非线性特性用线性特性来代替。

线性化的基本条件是非线性特性必须是非本质的。

其次，系统各变量对于工作点仅有微小的偏离。

这一点对控制系统来说是能够满足的，因为实际系统大多工作在小偏差的情况下。

非线性系统线性化的步骤如下：(1)首先确定系统输入一输出之间的函数关系；(2)在工作点邻域将展开为泰勒级数(2-31)（3）当很小时，可略去二阶以上高次项得到(2-32)(4) 很小时，有很小，写出增量式为令即在工作点邻域，将曲线斜率视为常数。

写为增量方程(2-33)(5)将增量以普通变量来表示，就得到了线性化方程(2-34)例2-7 三相全桥整流调速装置如图2-9所示，输入量为控制角，输出量为整流电压，试建立其线性化模型。

解：由电子技术可知，整流电压与控制角之间的关系为(2-35)其中，——理想空载整流电压值（V）。

特性曲线如图2-10所示，很显然是非线性关系。

设调速系统的工作点为（）写出增量式为由于线性化增量方程为以普通变量来表示增量，写成线性化方程为(2-36)例2-8 已知单摆系统的运动如图2-11所示。

(1)写出运动方程，(2)求取线性化方程。

解：(1)列写运动方程摆球质量为，摆长为；设摆角为，则运动弧长为；摆球运动时的媒质(空气或者某种液体)阻力为，由牛顿定律写出(2-37)媒质阻力的大小与运动速度成正比(2-38)式中，——媒质的阻力系数；——运动微弧长的速度，负号表示媒质阻力总是与运动速度方向相反。

将(2-38)式代入(2-37)式，得到单摆系统的运动方程为(2-39)这是一个二阶微分方程，但是方程中的零阶导数项是非线性项，因此式(2-39)所示的方程是一个二阶非线性微分方程。

由于该方程是一个齐次方程，即作用力为零，当给定初始条件和，则该系统的运动就唯一确定。

(2)求取单摆系统的线性化方程方程(2-39)所示的方程中的零阶导数项是一个正弦性质的非线性项，即(2-40)在邻域其泰勒级数展开式为(2-41)忽略二阶以上高阶项，其线性关系为(2-42)则其线性化系数k为1。

进而,代入方程(2-39)，得到线性化方程为(2-43)其线性化关系如图2-12所示，由图可见，在原点附近,用来代替，其近似程度是令人满意的。

在不同的工作点邻域，可以得到不同的线性化方程。