传输原理例题

q dx 0 (1 t ) dt
0 t1
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x
tx
q dx 0 (1 t） dt
x tx

t2
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得： qx 0 [t1 t x

2
2 2 (t1 tx )]
q ( x ) 0 [t x t 2

2
解法一 （1）. q的相对大小
t
由
dt q1 1 dx x1 dt q2 1 dx x2
0 x1
q1
1 x2
q2 2
q3
x x3
10
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由图可知 dt dt dx x2 dx x1
2 2 (t x t2 )]
∵q为常数，联立解得： 2 2 x 2 2 t1 t x (t1 t x ) [t x t2 (t x t2 )] 2 x 2 将t1=217℃,tx=127℃,t2=67℃,β=0.00406，代入 上式得： x=77.56 cm 即排管应装在离热表面77.56cm的地方。
(1)ql，q2及q3的相对大小； (2) 1和2的相对大小。
t
q1 1 0
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q2 2
q3
x1
x
x2 x3
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例5.分析 热传导理论的基础是傅里叶定律及能 量守恒定律。因此分析任何导热问题都应从这 两定律出发。本题所给出的主要条件是平壁内 温度分布(包括温度梯度)，这也就是提示应利 用傅里叶定律求解。
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例15.什么是“半无限大”物体?半无限大物体 的非稳态导热存在正规状况阶段吗? 答： 所谓“半无限大”物体，是指平面一侧 空间无限延伸的物体。 因为物体向纵深无限延伸，初始温度的影响 就远不会消除，所以半无限大物体的非稳态导热 不存在正规状况阶段。
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对流换热过程微分方程式 - ( 式 - (
t ) w, x hx (t w t f ) x 与导热过程的第三类边界条件表达 y
t ) s h(t s t f ) ，分析二者间的异同? n
解：对于第三类边界条件，如果 y 为法线方向，则 ( 式是一致的。
t t ，可见两者的表达形 )s ( )w ， n n
t
q1 1 0
q2
q3
所以q2>q1 又 dt q 2 2 dx x2
dt q3 2 dx x3
2
x x2 x3
x1
而
dt dt dx x2 dx x3
所以 q3＝q2>q1
传输原理例题
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例1一维无内热源、平壁稳态导热的温度场如图 所示。试说明它的导热系数是随温度增加而增 加还是随温度增加而减小? 解 : 由傅里叶定律
dt ( x) q ( x ) Const dx
图中 随x增加而减小， 因而(x)随x增加而增加，而 温度t随x增加而降低，所以导热系数随温度增加 而减小。
故1 2tw2 1 2 3故源自1＝2tw11 2
dt dt 情形 2： , 故1 >2 dx 1 dx 2
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例4. 厚度为的单层平壁，两侧温度分别维持 在t1及t2，（ t1>t2 ）,平板材料导热系数呈直线 变化，即：＝a+bt(其中a，b为常数)，试就b ＞0，b＝0，b＜0画出平板中的温度分布曲线 ，并写出平板某处当地热流的表达式。假定无 内热源。 解： 由题意，沿平板厚度方向(x方向)，热流 量为常数，即：
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2 如图所示，一平壁由三层材料组成。第一层 是耐火砖，导热系数λ1=1.7w/(m℃),允许的最高 使用温度为1450℃，第二层是绝热砖，导热系 数λ2=0.35w/(m℃),允许的最高使用温度1100℃， 第三层是铁板，厚度δ3=6mm,λ3=40.7w/(m℃), 炉壁内表面温度t1=1350℃,外表面温度t4=220℃, 在稳定状态下，q=4652w/㎡,试问各层壁应该多 厚才能使壁的总厚度为最小？
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(2) 的相对大小 通过界面x2上的热流密度为：
dt dt q2 1 2 dx x2 dx x3 由图可知： t dt dt dx x2 dx x3
q1
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例10．发生在一个短圆柱中的导热问题，在哪 些情形下可以按一维问题来处理? 答： ①两端面绝热，圆周方向换热条件相同 时，可以认为温度场只在半径方向发生变化； ②圆周面绝热，两端面上温度均匀，可以认为 温度场只在轴向发生变化。
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例11.如果园筒壁外表向温度t0比内表面温度ti高 ，请定性绘制出壁内的温度分布曲线。
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由此可得 q2>q1 在平壁（x2，x3）内温度分布为直线，表明
d 2t 2 0 dx
即 0 亦即无内热源，所以q2＝q3 (2)解法同解法一。
说明： 比较较解法一和解法二，从解法二过程看 出，仅有在(x1，x2)内．温度曲线上凸的条件还不 够，还必须参考热流方向。而导热微分方程又不能
q
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铁板
绝 热 砖
220℃
2 3 2 3
即 : 4652
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例3 、如附图所示的双层平壁中，导热系数 1， 2为 定值，假定过程为稳态，试分析图中三条温度分布曲 线所对应的 1和 2的相对大小。 解： 由于过程是稳态的，因此在三种情况下，热流量 分别为常数，即
dt A Const dx dt dt 对情形1： , dx 1 dx 2 dt dt 情形 2： ＝ , dx 1 dx 2
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同理，b=0，b<0时的温度分布曲线如图（b） 、（c）所示。 x处热流密度表达式为：
q dt dt (a bt ) dx dx
注意：利用博里叶定律表达式来判断温度分布 曲线凹向是一种很重要的方法．应很好掌握。
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例5.如图所示，两层平壁内为一维稳态导热， 温度分布如图所示，导热系数1，2均为常数 试确定：
差别：对流换热过程微分方程式中的 hx 是局部值，在方程中是未知量；
(
t ) w, x 和(tw t f ) x 因边界条件不同而异，由温度场确定； y
在第三类边界条件中，h 为平均值，是已知量；且 t f 亦为已知量， - (
t )s 与t s 为 n
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未知量，仍需由温度场确定。
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q2 2
q3
所以
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1 2
0 x1
1 x2
x
x3
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t
解法二
(1)根据导热微分方程
d 2t 2 dx
0 x1
q1 1 x2
q2 2
q3
x x3
在平壁x1、x2内，温度 曲线上凸，表明
d 2t 2 0 dx
可得 0 说明有内热源，又因温度沿x方向递减，由能量方 程可得 q1 A ( x2 x1 )A q2 A
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确定热流方向．故解题中又用到了温度沿x向递减 的条件。 在解法一中直接利用在x1及x2处的傅里叶定律 及这两个面的温度梯度，并未直接利用解法二 中所利用的条件。因此本解法既不要求“(x1， x2)内．温度曲线上凸”．也不要求“温度在(x1 ，x2)内递减”，并且从这个解法可推断在(x1， x2)内所有热源之和应大于零。 解法二则又不同，由于该解法用足了题中的条 件．故从该解法实际可推断出：在(x1，x2)内热 流密度q是递增的。
dt A Const dx
由于A不变故
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dt Const dx
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由于t1>t2，当b>0时，显然（t1）>（t2），所 以 dt dt
dx
x 0
dx
x
故温度分布如图a所示。 同理，当b=0；b<0时的温度如图b、c所示
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解：为了使总厚度最 1350℃ 小应该把导热系数最 小的材料在其允许的 耐 火 使用范围内作的最厚， 砖 因为绝热砖的导热系 数最小，其最高使用 温度为1100℃，故将 耐火砖和绝热砖的界 面温度设为t2=1100℃. 由单层平壁的公式： q=(λ1/1) (t1-t2) ∴ 1=(t1-t2) λ1/q =0.091m=91mm 又据多层平壁的公式： t2 t4
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dt ( x) dx
例2 如图所示的几何形状，假定图中阴影部分 所示的导热体没有内热 源，物性为常数，且过程处 于稳态。中心圆管内部表面 温度保持q不变，而正方形 外边界处于绝热。有人分别 用不锈钢和铜作为该导热体 的材料并进行实验测定。实验前他预测两种不同 材料的导热体中的温度分布不一样。你认为对吗? 解 : 判断物体中的温度分布是否一样，关键在于该
所以，温度分布曲线为单增曲线，且为上凸曲 线。
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例14.什么叫非稳态导热的正规状况阶段，这一 阶段有什么特点? 答: 非稳态导热过程进行到一定程度，初始 温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍随 时间变化，但各点过余温度的比值已与时间无 关，亦即无量纲过余温度分布不变，这一阶段 称为正规状况阶段或允分发展阶段。这一阶段 的数学处理十分便利，温度分布和计算只需取 无穷级数的首项进行计算。
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例8. 用套管温度计测量容器内的流体温度，为 了减小测温误差．套管材料选用铜还是不锈钢 ？ 解 由于套管温度计的套管可以视为一维等截 面直肋，要减小测温误差(即使套管顶部温度tH 尽量接近流体温度tf)，应尽量减小沿套管长度 流向容器壁面的热量，即增大该方向的热阻。 所以，从套管材料上说应采用导热系数更小的 不锈钢。
计算题 1 厚度δ为1.2m的平壁，两表面温度分别为 t1=217℃，t2=67℃，导热系λ=1.3（1+0.00406t)。 现要把一排水管嵌入壁内温度为127℃的地方， 试问排管应装在离热表面多远的地方？ 解：将λ写成t的一般线性函数形式： λ= λ0（1+βt) 据付立叶定律 q =-λdt/dx=- λ0（1+βt) dt/dx 分离变量，并分别从0到x和从x到δ积分得：
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物体中的导热控制方程和边界条件是否一样。描 述该问题的控制方程为：
2t 2t 2 0 2 x y
相应的边界条件： 内部圆形表面：t＝t1 外部正方形表面：t/ n＝0 显然．不论对不锈钢还是铜，方程和边界条件中 不含有与导热系数有关的量，因此两种材料做成 的导热体中温度分布应该一样。该说法不对。
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例9.不同温度的等温面(线)不能相交，热流线能 相交吗?热流线为什么与等温线垂直? 答： 热流线也不能相交，这是因为与热流线 垂直方间没有热流分量。如热流线不垂直于等 温线，则等温线上必有一热流分量。而等温线 上无温差 ，q＝0，只有热流线垂直于等温线才 能使等温线上的分热流为零。
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例7.两种几何尺寸完全相同的等截面直肋，在 完全相同的对流环境(即表面传热系数和流体温 度均相同)下，沿肋高方向温度分布曲线如图所 示。请判断两种材料导热系数的大小和肋效率 的高低? 解 对一维肋片，导热系数越高时，沿肋高方向 热阻越小，因而沿肋高方向的温度变化(降落或 上升)越小。因此曲线1对应的是导热系数大的 材料，曲线2对应导热系数小的材料。而且，由 肋效率的定义知，曲线1的肋效率高于曲线2。