工程数学-复变函数 3-6 解析函数的高阶导数

f
( n) ( z0
)
n!
2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
第 高阶导数公式的作用，不是在于通过积分求导，而
三
章 是通过求导而求积分。
复 变
例1 计算下列积分
函 数 的 积
1）
C
e
z z4
1
dz
其中C 为正向圆周：| z | 1
分 解 1） 原式 2i (ez 1)
3!
z0
i ez i
| f (z) | M(z C) |
因此，当 z C 时，有
I
|
1
2
C
|
z
| f (z) z0 |2| z
|| z z0
|
z
ds |
的 积 分
| z z0 | d
| z z0 z |
|
z
z0
|
|
z
|
d 2
所以
|
I
||
z
|
ML d 3
其中 L 为 C 的弧长，令z 0, 则 I 0, 从而
2
i[
ze
z z2
e
z
]
z2
e2i
2
-8-
第六节 解析函数的高阶导数
例2
求
f
(
z
)
|
z| 2
e ( z
)3
d
.
解 令 g( ) e , 则由高阶导数公式知
第 三 章
g(z)
2!
2i
g( ) | z|2 ( z)3
d
,
复 所以
变
函 数
f (z) ig(z)
的 积
i(ez zez )
3 z0 3
-6-
第六节 解析函数的高阶导数
2）
C
(
z
1 2)2
z
dz
其中C 为正向圆周：| z | 4
解 利用复合闭路定理得
第 三
原式
章
|z|1 |z2|1
1
1
复 变 函 数
|z|1
(z
2)2 z
dz
|z2|1 (z
z 2)2
dz
的
积 分
2i[
(z
1 2)2
z0
(1) ] z z2
分
i(zez 2ez )
-9-
lizm10
2i C (
z0 z z) z f(zz0))2zdz
f
(z0 ) 1
2i C
(
z
z0
zf )2 ( z
(z) z0
z
)
dz
f
(z0 )
2!
2i
C
(z
f (z) z0 )3
dz
至此，我们已经导出：解析函数的导数仍是解析函数。
-5-
第六节 解析函数的高阶导数
利用归纳法。类似(3.6.2) 的推导可得：
-4-
第六节 解析函数的高阶导数
f (z0 )
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
第 三
1
2i
C
(z
f (z) z0 )2
dz
(3.6.2)
章 同理，我们可以利用 (3.6.2) 及其 (3.6.2) 的推导方法
复 求极限f (z0 z) f (z0 )
变
函
数
的
积 分
得
f (
z
2iz C z z0 z z z0
第 三
百度文库
1
f (z)
dz
2i C (z z0 )(z z0 z)
章 复 变
1
2i
C
f (z) (z z0 )2
dz
1
2i
C (z
zf z0 )2(z
(z) z0
dz z)
函 数
设
的 积 分
I 1
2i
(
z
z0
f )2
(z (z
)z z0
z
2i[1 1] 0
44
-7-
第六节 解析函数的高阶导数
3）
|z2|1
z(
z
ez
2)2
dz
第 解 由于 f (z) ez 在 | z 2 | 1 上解析，所以
三 章
z
ez
复 变 函
|z2|1
ez z(z
2)2
dz
|z 2|1
(
z
z
2)2dz
数 的 积 分
2i ( e z
z
)
z2
)
dz
则
|
I
|
1
2
C
|
z
| f (z) z0 |2| z
|| z z0
|
z
ds |
-3-
第六节 解析函数的高阶导数
设 d 为 z0 到 C 上的点的最短
距离，选取适当小的
z,使|
z
|
d 2
第 由于 f (z) 在 C 上连续，从而在C
三
章 上有界，即存在正数 M 使得：
C
z0• d
D
复
变 函 数
第六节 解析函数的高阶导数
第六节 解析函数的高阶导数
定理 解析函数的导数仍是解析函数， 它的 n
第 阶导数为：
三 章 复 变
f
(n)(z0 )
n! 2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(3.6.1)
其中 C 为函数 f (z) 的解析域内的环绕 z0 正向简单闭
函
数 的
曲线，且 C 的内部仍在 f (z)的解析域内。
z) z
f (z0 )
复 变
由柯西积分公式
函 数 的 积 分
f
( z0
)
1 2i
C
f (z) z z0
dz
f
( z0
z)
1 2i
C
z
f (z) z0 z
dz
其中 z0 z 在曲线 C 的内部。从而有
-2-
第六节 解析函数的高阶导数
f (z0 z) f (z0 ) 1 [ f (z) f (z) ]dz
积
分 ［证明］ 设 z0 为 f (z) 的解析域 D 内任意一点，C
为D内环绕 z0 的一条正向简单闭曲线，且C 的内部仍
在D 内，我们先证 n 1 情况，即
-1-
第六节 解析函数的高阶导数
f
( z0
)
1 2i
C
(z
f (z) z0 )2
dz
第 根据定义
三 章
f (z0 )
lim
z0
f (z0