工程数学-复变函数 3-6 解析函数的高阶导数
合集下载
解析函数的高阶导数 ppt课件
1)2
dz
C 1 (z2e z1)2dzC 2 (z2e z1)2dz
ez
ez
C1 (z2 1)2 dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
• •
(221i)!(zezi)2
(1 i)ei 2
,
zi
C1 i
o
C 2 i
C
x
同理可 C2 (得 z2ez1)2dz
(1i)ei 2
,
于是 C
z00在 z1内 , n1,
ez cosz
z 1 z2 dz
2i(ezcozs)
1!
z0
2 i[ e zcz o e s zsiz]n2i. z 0
例3 求积分 z1eznzdz. (n为整)数
解
(1)n0,
ez zn
在z
1上解,析
由柯西－古萨基本定理得
z
1
ez zn
dz
0;
(2)n1, 由柯西积分公式得
(51)!
z1
5i ; 12
(2)函(数 z2ez1)2在 C内z的 i处不, 解析 在C内以 i为中心作一个C 正 1, 向圆周
以i为中心作一个正 C2,向圆y 周
则函数ez (z21)2
在由 C,C1,C2
围成的区域, 内解析
• •
C1 i
o
C 2 i
C
x
根据复合闭路定理
C
ez (z2
二、主要定理
定理3.9
设函数 f (z)在简单闭曲 C所线围成的区 D内域
解析在 ，DDC连续，则函数 f (z)的各阶导函数
在区域 D内解析对， D内任意一z,有 点
解析函数的高阶导数
第五节 解析函数的高阶导数
• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
-复变函数的导数与解析函数
v bx ay 2 x 1 y 而 lim
1 x 2 y
(x) (y )
2 2
x 0 y 0
0, lim
2 x 1 y
(x) (y )
2 2
x 0 y 0
0
u( x, y), v( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 处可微
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
z (1 ki ) x 0
lim
lim
z 0
f z f 0 z
k f z f 0 lim z 1 ki x 0 (1 ki) x k (x) 2
当z沿虚轴趋于零，即 x 0, z iy 0时，有
u x0 , y 0 y 0 iv x0 , y 0 y 0 u x0 , y 0 iv x0 , y 0 lim iy y 0 v u i y y
z iy 0
需要注意的是，复变函 数的导数定义与一元实 函数的 导数定义，虽然形式上 一样，但在本质上有很 大的不 同。因为一元实函数导 数定义中的极限是一元 实函数 的极限，而复变函数导 数定义中的极限对应于 二元实 函数的极限。
设 f ( z ) 在 z0 可导，即极限 f z0 z f z0 w lim 存在. lim z z 0 z z 0 f z0 z f z0 z
u x x u y y o( (x) (y) ) i[v x x v y y o( (x) (y) )]
2 2 2 2
x iy
u x x u y y o( (x) 2 (y) 2 ) i[v x x v y y o( (x) 2 (y) 2 )] x iy
1 x 2 y
(x) (y )
2 2
x 0 y 0
0, lim
2 x 1 y
(x) (y )
2 2
x 0 y 0
0
u( x, y), v( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 处可微
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
z (1 ki ) x 0
lim
lim
z 0
f z f 0 z
k f z f 0 lim z 1 ki x 0 (1 ki) x k (x) 2
当z沿虚轴趋于零，即 x 0, z iy 0时，有
u x0 , y 0 y 0 iv x0 , y 0 y 0 u x0 , y 0 iv x0 , y 0 lim iy y 0 v u i y y
z iy 0
需要注意的是，复变函 数的导数定义与一元实 函数的 导数定义，虽然形式上 一样，但在本质上有很 大的不 同。因为一元实函数导 数定义中的极限是一元 实函数 的极限，而复变函数导 数定义中的极限对应于 二元实 函数的极限。
设 f ( z ) 在 z0 可导，即极限 f z0 z f z0 w lim 存在. lim z z 0 z z 0 f z0 z f z0 z
u x x u y y o( (x) (y) ) i[v x x v y y o( (x) (y) )]
2 2 2 2
x iy
u x x u y y o( (x) 2 (y) 2 ) i[v x x v y y o( (x) 2 (y) 2 )] x iy
复变函数的积分
f ( z ) |z 1i f (1 i) 2πi[6(1 i) 7]= 12π 2πi
工程数学---------复变函数
目录 上页 下页 返回 结束
2. 解析函数的高阶导数
n阶导数为: 定理2 解析函数 f (z)的导数仍为解析函数它的 ,
f
(n)
n! f ( z) ( z0 ) dz n 1 2 i C ( z z0 )
1 z i 2
1 z ( z 1)
2
dz.
1 1 1 1 1 dz 1 z 2 z i 2 z i z i
2
1 1 1 z dz 2
z i 2
z i
1 2
1 1 dz z i 2
z i
( n 1, 2, )
其中 C 为在 f (z) 的解析区域D内围绕 z0 的任何一条正向
K
D
z0
R
f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) dz dz K z z0 z z0
K
C
2 if ( z0 )
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0
目录 上页 下页 返回 结束
工程数学---------复变函数
而
0
1 2
1 dz z i
工程数学---------复变函数
目录 上页
下页
返回
结束
1 2
z i
1 2
1 dz z i
1 2 i i. 2
工程数学---------复变函数
目录 上页
3-5解析函数的高阶导数 共11页
2! f(z)
2iC(zz0)3
dz
至此，我们已经导出：解析函数的导数仍是解析函数。
利用归纳法，类似 (3.5.2) 的推导可得：
f
(n)(z0)2n!i
f (z) C(zz0)n1
d
z.
说明：高阶导数公式的作用，不是在于通过积分求导，
而是通过求导而求积分。
例1 计算下列积分
ez 1
dz
|z2|1 ( z
z
2)2
dz
2i[
(z
1 2)2
z0
(1 ) ] z z2
2i[11]0
44
3）
|z2|1
ez z(z
2)2
dz
解 由于 f ( z) e z 在 |z2|1上解析，所以
z
ez
|z2|1
ez z(z
2)2
为D内环绕 z 0 的一条正向简单闭曲线，且C的内部仍 在D内，我们先证 n1情况，即
f(z0)21iC(zf(zz0))2dz
根据定义 f(z0) lz i0m f(z0 zz )f(z0)
由柯西积分公式
f(z0)21iCzf(zz)0dz f(z0z)21 iCzfz0 (z )zdz
1）
C
z4
dz
其中C为正向圆周：| z|1
解 1） 原式 2i(ez1)
3!
z0
i ez i
3 z0 3
2）
C
(z
1 2)2
z
dz
其中C为正向圆周：| z|4
解 利用复合闭路定理得
原式
|z|1 |z2|1
1
3-6解析函数的高阶导数
z
zi
2i
e z z i e z 2z i
2
z i 4
2i e z i dz C f z dz C 2 2 2 1 ! z i z i z i 2 4 4i i e z z i e z 2z i 2 i e 2i 1 i ie i 4 4 2 z i 2 zi i i 2 f z dz 1 i e ie 1 i cos 1 i sin 1 i cos 1 i sin1 C
1 2 i
C
积分变量一样，积分路径一样，可合并。
f z z dz z z0 z z0 z C
z z z z
2
f z z z0 z z
2 i C z z0
则
1
f z
2
dz
2 i C z z0 z z0 z
§6 解析函数的高阶导数
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为：
f
n
n! f z z0 dz n 1,2, C n1 2 i z z0
其中C为在函数f(z)的解析区域D内 围绕z0的任何一条正向简单闭曲线， 而且它的内部全含于D. [证 ] 主要证明n=1的情形，即
1 2
B
C2
z
z0
C1
因此积分 C1 f ( z)dz C2 f ( z)dz
Z
Z0
f d
的值与连接z0和z的路线无关,而它定义了一个z的单值函数：
F z f d
zi
2i
e z z i e z 2z i
2
z i 4
2i e z i dz C f z dz C 2 2 2 1 ! z i z i z i 2 4 4i i e z z i e z 2z i 2 i e 2i 1 i ie i 4 4 2 z i 2 zi i i 2 f z dz 1 i e ie 1 i cos 1 i sin 1 i cos 1 i sin1 C
1 2 i
C
积分变量一样，积分路径一样，可合并。
f z z dz z z0 z z0 z C
z z z z
2
f z z z0 z z
2 i C z z0
则
1
f z
2
dz
2 i C z z0 z z0 z
§6 解析函数的高阶导数
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为：
f
n
n! f z z0 dz n 1,2, C n1 2 i z z0
其中C为在函数f(z)的解析区域D内 围绕z0的任何一条正向简单闭曲线， 而且它的内部全含于D. [证 ] 主要证明n=1的情形，即
1 2
B
C2
z
z0
C1
因此积分 C1 f ( z)dz C2 f ( z)dz
Z
Z0
f d
的值与连接z0和z的路线无关,而它定义了一个z的单值函数：
F z f d
工程数学复变函数西安交通大学出版社§3.5-3.6-new
故 f (z) 2i(6z 7), 而 1 i 在 C 内,
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12
例5 求积分 ez dz, 并证明 π ecos cos(sin )d π .
z 1 z
0
解 根据柯西积分公式知,
ez dz 2i ez 2i;
z 1 z
z0
令 z rei , (π π ) z r 1,
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
11
例４ 设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f (z)
C
3
2 7 z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
(2) 不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的 一种方法, 而且给出解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0
R ei )d .
7
三、典型例题
K z z0
K
R K
ds
2π .
f (z) f (z0 ) ds z z0
则
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
2
根据闭路变形原理知, 上式成立与 R 无关, 故有
f
( z0
)
1 2i
f (z) dz C z z0
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12
例5 求积分 ez dz, 并证明 π ecos cos(sin )d π .
z 1 z
0
解 根据柯西积分公式知,
ez dz 2i ez 2i;
z 1 z
z0
令 z rei , (π π ) z r 1,
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
11
例４ 设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f (z)
C
3
2 7 z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
(2) 不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的 一种方法, 而且给出解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0
R ei )d .
7
三、典型例题
K z z0
K
R K
ds
2π .
f (z) f (z0 ) ds z z0
则
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
2
根据闭路变形原理知, 上式成立与 R 无关, 故有
f
( z0
)
1 2i
f (z) dz C z z0
通信工程专业函授(业余)本科教学大纲
（二）参考书目
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。
工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大
⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1
C
f z dz
n
k 1 C
k
f z dz 0
C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解 据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz
C
4
ux t , yt xt vx t , yt yt dt
i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是 连 续 函 数 而C 是 光 滑 曲 线 时, ⑵
C C C
C
f z 第二型曲线积分 dz一 定 存 在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。
第六节 高阶导数 复变函数与积分变换新版课件
根据复合闭路定理和高阶导数公式,
C
(z
1 2)2
z3
dz
C 1(z1 2)2z3dzC 2(z1 2)2z3dz
17
1
1
C1(zz32)2dzC2(zz32)2dz
22!i(z12)2
21!iz13
z0
z2
3i 3i 0. 88
18
例5 设函f数 (z)在单连B通 内域 连,且 续对于
(1i)ei 2
,
于是 C
(z2ez1)2dz
(1 i)ei 2
(1i)ei 2
(1i)(ei iei) 2
(1i)2(c1 osi1n ) 2
i 2sin14.
• •
y
C1 i
o
C2 i
C
x
10
例2 求积 (1 z 2()z z 分 3 1 1 )4d z; (2 )z 1e zz c 2 o zd zs .
(1)z32,
仅包含z奇 2点 ,取
f
( z)
1 z3
,
1
C
(z
1 2)2
z3
dz
C
(z
z
3
2
)2
dz
2i 1!
1
z
3
z2
3i ; 8
16
(2) z13
两个 z 2 和 奇 z 0 都 点 C 含 内 , 在
作简单 C 1和 C 闭 2分曲 别 0和 线 包 2, 含 C1和C2 互不包含且互不 , 相交
所以 F(z)是B内一个解析 , 函数 因为解析函数的导数仍为解析函数, 故f(z)为解析函 . 数
20
Morera定理和柯西-古萨定理合在一起就是：
【工程数学】复变函数复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x >arg arctan y z x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z eθθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
2022年自考27391工程数学(线性代数-复变函数)复习资料
2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料线性代数部分本课程考试采纳教材：《工程数学——线性代数》〔附大纲〕，申亚男、卢刚主编，外语教学与讨论出版社，2022年版。
考试的重点内容第一章行列式1.行列式的定义了解行列式的定义，掌控行列式的余子式与代数余子式，牢记上〔下〕三角行列式的计算公式，掌控用行列式定义计算含0特别多或结构非常的行列式。
2.行列式的性质理解行列式的性质，会用行列式性质化简行列式。
3.行列式按一行〔或一列〕开展娴熟掌控行列式按一行〔或一列〕开展的方法计算行列式。
第二章矩阵1.矩阵的概念理解矩阵的概念，掌控非常的方阵：上〔下〕三角形矩阵、对角矩阵和单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵。
2.矩阵的运算娴熟掌控矩阵的线性运算〔加法及数乘〕、乘法、方阵的方幂、转置等运算。
3.可逆矩阵4.矩阵的初等变换与初等矩阵娴熟掌控矩阵的初等变换，理解初等矩阵和初等变换的关系，会用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵。
5.矩阵的秩知道矩阵的秩的定义，会用初等行变换求矩阵的秩。
第三章向量空间1.维向量空间2.向量间的线性关系会判断向量组的线性相关或线性无关，将给定的向量由向量组线性表出。
3.向量组的极大线性无关组掌控用矩阵的初等行变换求向量组的极大线性无关组。
4.向量组的秩与矩阵的秩掌控用矩阵的初等行变换求向量组的秩或矩阵的秩。
第四章线性方程组1.齐次线性方程组会判断齐次线性方程组是否有非零解，娴熟掌控用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系及其通解。
2.非齐次线性方程组会判断非齐次线性方程组解的状况〔无解、有唯一解、有无穷解〕，娴熟掌控用初等行变换求非齐次线性方程组的通解。
第五章矩阵的相像对角化1.特征值与特征向量理解特征值与特征向量的定义，掌控求特征值与特征向量的方法。
2.相像矩阵与矩阵对角化理解矩阵相像的概念，掌控将矩阵化为相像对角矩阵的方法。
复变函数3.3高阶导数公式
§3.3 高阶导数公式)(,ζf D D Γ+=在闭域D 上解析。
ΓD计算⎰Γ-ζζζd z f 0)(作圆周ρζρ=-|:|0z C 位于D 内，则⎰⎰-=-ΓρζζζζζζC d z f d z f 00)()( （复闭路定理）⎰⎰-=-→ΓρζζζζζζρC d z f d z f 000)(lim )( （假设lim 与⎰可换）⎰-=→ρζζζρC d z f 00)(lim（由于)(ζf 于D 内连续）⎰-=ρζζC d z z f 00)( )(21)(000z if d z z f C πζζρ=-=⎰推测 ⎰Γ=-)(2)(00z if d z f πζζζ定理（柯西积分公式）D 是以简单闭路或复闭路Γ为边界的有界区域，)(ζf 在D 上解析，则,0D z ∈∀有)(2)(00z if d z f πζζζ=-⎰Γ证：因,0,0)(>∃>∀εδεζ内连续，故在D f 只要εδρζ<=-||0z 时，有πεζ2|)()(|0<-z f f 由于 |)(2)(|||000⎰=---ρζπζζζz z if d z f|)()(||)()(|||00||||000000⎰⎰⎰=-=-=---=---=ρζρζρζζζζζζζζζz z z d z z f f d z z f d z f επρπρεζρπεζζζρζρζ=⋅=⋅<--≤⎰⎰=-=-22||12|||||)()(|||||0000z z d d z z f f 即⎰=-→=-ρζρπζζζ||0000)(2)(lim z z if d z f )(2)(lim )(0||0000z if d z f d z f z πζζζζζζρζρ=-=-⎰⎰=-→Γ 当z 在D 内变动时，(*))()(21z f d z f i =-⎰Γζζζπ当为圆周R z =-||0ζ时，参数方程为)20(,Re 0πθζθ≤≤+=i z ，代入（*）得⎰+=πθθπ2000)Re (21)(d z f z f i 若用此公式来求解，则计算量太大。
高校工程数学第5节复变函数教学课件
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
4、反函数定义
假定函数w = f ( z ) 的定义集合为G，函数值集合为 G*，那么G*中的每一个点必将对应着G中的一个 或几个点。 按照函数的定义，在G*上就确定了某一个函数 z=φ(w)，它称为函数w=f(z)的反函数，也称为映射 w=f(z)的逆映射。
u
w1 2 3i
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
（ 1）
映射
z1 w2
o
如果把z平面和w平面重叠在一起，不 难看出，函数是关于实轴的一个对称 映射，且是全同图形。 一般地，通过映射，z平面上的任一图 形的映象是关于实轴对称的一个全同
图形。
A
§1.5 复变函数
1、复变函数的定义 2、映射的概念 3、典型例题 4、小结与思考
一、复变函数的定义
1、复变函数的定义[定义] 设 Nhomakorabea是一个复数z=x+iy的集合，如果有一个 确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中 的每一个复数z，就有一个或几个相应的复数 w=u+iv随着而定（与之对应），那么称复变数w 是复变数z的函数（简称复变函数)，记作 w=f(z)
u=u(x,y)，v=v(x,y)
它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数。反之，
如果给定了两个二元实变函数u=u(x,y)和v=v(x,y)，那
么w=u(x,y)+iv(x,y)就构成了z=x+iy的一个复变函数 w=f(z)。
复变函数和实变函数的关系
例如，函数w=z2。令z=x+iy，w=u+iv，那么
复变函数(3.4.1)--柯西积分公式与高阶导数公式
dz
,
f
( z )
2 2p
1 i
C(zf
(z ) z)3
Hale Waihona Puke dz,LLL
f
(n)(z)
n! 2p i
C
(z
f (z ) z)n+1
dz
.
(1) 解析函数是否存在各阶导数 ? (2) 导数运算可否在积分号下进 行?
数学学院
定理 3.11 （高阶导数公式） 解析函数 f (z) 的导 数仍为解析函数，它的 n 阶导数可表示为
go
x
F
(
z)
C
3z
3 + 7z 2 (z z)2
+
1
dz
,求
F ( 1+
i)
.
8
数学学院
例 7 求积分 例 8 求积分
z
1
e
z
cos z2
z
dz
.
z
2
z3 + 1 (z + 1)4
dz.
例 9 计算下列积分 , 其中 C 是正向圆z r > 1 :
周
( ) � � (1)
2
4 1
dz
其中
C:
（z1+ 1）
1 2
;
（
2
）z 1
1 2
.
（ 3 ）z 2
数学学院
4.2 高阶导数与解析函数的无限可微性
如
果各阶导数
f (z)
存在
,
1 2p i
并
且Czf导(z z)数dz运.
工程数学-复变函数 3-6 解析函数的高阶导数
1
2i
C
(z
zf z0 )2(z
(z) z0
dz z)
函 数
设
的 积 分
I 1
2i
(
z
z0
f )2
(z)z (z z0
z)
dz
则
|
I
|
1
2
C
|
z
| f (z) z0 |2| z
|| z z0
|
z
ds |
-3-
第六节 解析函数的高阶导数
设 d 为 z0 到 C 上的点的最短 距离，选取适当小的 z,使| z | d
数 的 积 分
2i ( e z
z
)
z2
2
i[
ze
z z2
e
z
]
z2
e2i
2
-8-
第六节 解析函数的高阶导数
例2
求
f
(
z
)
|
z|2
e ( z)3
d
.
解 令 g( ) e , 则由高阶导数公式知
第 三 章
g(z)
2!
2i
| z|2
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
复 变
由柯西积分公式
函 数 的 积 分
f
( z0
)
1 2i
C
f (z) z z0
dz
f
( z0
z)
1 2i
C
z
《工程数学》课程十二-复变函数
解：由于函数 在 内只有一个奇点 在 内解析，由柯西公式可 得
6 解析函数的高阶导数
定理：设区域D的边界为围线 c ， 在 上解析，则函数 的 n 阶导数存在，且
讨论：1)该定理说明，解析函数的任意阶导数都存在，换句话说，在某个区域上，复变函数只要处处都有一阶导数，也就有任意阶的导数.
讨论：
柯西公式表明，对于某有界闭区域上解析的函数，它在区域内任一点的值用它在边界上的值表示出来. 或者说解析函数在边界上的值完全决定了它在区域内部各点的值.
2)对于复连通区域内的解析函数 ，只要将积分路径c 理解为该区域的全部边界(都取正方向)，则柯西积分公式仍然成立，例如：由 组成的复连通区域D ，( 的正方向如图3.9所示)， 则： 有 3)利用柯西积分公式可以计算某些复 变函数沿闭曲线的积分. 例7：设c 为圆周 ，求
工程数学 复变函数
辅导课程十二
主讲教师:冉扬强
汇报人姓名
第二篇 复变函数
CLICK TO ADD TITLE
第三章 复变函数的积分 §5 柯西积分公式
5 柯西积分公式
定理(柯西积分公式)：设 c 为区域D 的边界，
在 上解析，则对于区域D内任一点 ，有
第四章 级 数
01.
主要内容
02.
复数项级数的基本概念和性质
03.
幂级数的收敛性，幂级数在收敛圆内的性质
04.
解析函数的泰勒展式
05.
双边幂级数，解析函数的罗朗展式
重点：幂级数的收敛性，收敛半径；解析函数的泰勒展式和罗朗展式
难点：解析函数的泰勒展开和罗朗展开
重点和难点
第四章 级数
幂级数的收敛性
2 幂 级 数
各项均为幂函数的复变项级数 其中 ，都是复常数，这样的级数叫做以 z0 为中心的幂级数。
3-6解析函数的高阶导数
I
I
1 2
zf (z) C (z z0 )2(z z0 z) dz
1 2
C
z f (z) z z0 2 z z0 z ds
因为 f (z) 在 C 上解析, 所以在 C 上连续,
5
故 f (z) 在 C 上有界,于是 M 0, 使得 f (z) M,
B内任何一条简单闭曲线C 都有 f (z)dz 0,
C
证明 f (z) 在 B内解析. (Morera定理)
证 在 B内取定一点 z0 , z 为 B内任意一点,
依题意可知
z z0
f
(
)d
的值与连接
z0
和
z 的路线无关,
定义了一个单值函数
z
F (z) z0
f ( )d
,
21
)
2! 2i
C
(
z
f (z) z0 )3
dz.
7
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数.
依次类推, 利用数学归纳法可证
f
(n)(z0 )
n! 2i
f (z) C (z z0 )n1 dz.
[证毕]
高阶导数公式的作用:
不在于通过积分来求导, 而在于通过求导
来求积分.
8
在
z
1 上解析,
由柯西－古萨基本定理得
z
1
ez zn
dz
0;
(2) n 1, 由柯西积分公式得
ez
z 1 zn
dz
2i (ez ) z0
2i;
15
(3) n 1,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分
i(zez 2ez )
-9-
第六节 解析函数的高阶导数
第六节 解析函数的高阶导数
定理 解析函数的导数仍是解析函数， 它的 n
第 阶导数为：
三 章 复 变
f
(n)(z0 )
n! 2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(3.6.1)
其中 C 为函数 f (z) 的解析域内的环绕 z0 正向简单闭
函
数 的
曲线，且 C 的内部仍在 f (z)的解析域内。
f
( n) ( z0
)
n!
2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
第 高阶导数公式的作用，不是在于通过积分求导，而
三
章 是通过求导而求积分。
复 变
例1 计算下列积分
函 数 的 积
1）
C
e
z z4
1
dz
其中C 为正向圆周：| z | 1
分 解 1） 原式 2i (ez 1)
3!
z0
i ez i
3 z0 3
-6-
第六节 解析函数的高阶导数
2）
C
(
z
1 2)2
z
dz
其中C 为正向圆周：| z | 4
解 利用复合闭路定理得
第 三
原式
章
|z|1 |z2|1
1
1
复 变 函 数
|z|1
(z
2)2 z
dz
|z2|1 (z
z 2)2
dz
的
积 分
2i[
(z
1 2)2
z0
(1) ] z z2
-4-
第六节 解析函数的高阶导数
f (z0 )
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
第 三
1
2i
C
(z
f (z) z0 )2
dz
(3.6.2)
章 同理，我们可以利用 (3.6.2) 及其 (3.6.2) 的推导方法
复 求极限f (z0 z) f (z0 )
变
函
数
的
积 分
得
f (
积
分 ［证明］ 设 z0 为 f (z) 的解析域 D 内任意一点，C
为D内环绕 z0 的一条正向简单闭曲线，且C 的内部仍
在D 内，我们先证 n 1 情况，即
-1-
第六节 解析函数的高阶导数
f
( z0
)
1 2i
C
(z
f (z) z0 )2
dz
第 根据定义
三 章
f (z0 )
lim
z0
f (z0
| f (z) | M(z C) |
因此，当 z C 时，有
I
|
1
2
C
|
z
| f (z) z0 |2| z
|| z z0
|
z
ds |
的 积 分
| z z0 | d
| z z0 z |
|
z
z0
|
|
z
|
d 2
所以
|
I
||
z
|
ML d 3
其中 L 为 C 的弧长，令z 0, 则 I 0, 从而
2
i[
ze
z z2
e
z
]
z2
e2i
2
-8-
第六节 解析函数的高阶导数
例2
求
f
(
z
)
|
z| 2
e ( z
)3
d
.
解 令 g( ) e , 则由高阶导数公式知
第 三 章
g(z)
2!
2i
g( ) | z|2 ( z)3
d
,
复 所以
变
函 数
f (z) ig(z)
的 积
i(ez zez )
2i[1 1] 0
44
-7-
第六节 解析函数的高阶导数
3）
|z2|1
z(
z
ez
2)2
dz
第 解 由于 f (z) ez 在 | z 2 | 1 上解析，所以
三 章
z
ez
复 变 函
|z2|1
ez z(z
2)2
dz
|z 2|1
(
z
z
2)2dz
数 的 积 分
2i ( e z
z
)
z2
)
dz
则
|
I
|
1
2
C
|
z
| f (z) z0 |2| z
|| z z0
|
z
ds |
-3-
第六节 解析函数的高阶导数
设 d 为 z0 到 C 上的点的最短
距离，选取适当小的
z,使|
z
|
d 2
第 由于 f (z) 在 C 上连续，从而在C
三
章 上有界，即存在正数 M 使得：
C
z0• d
D
复
变 函 数
z) z
f (z0 )
复 变
由柯西积分公式
函 数 的 积 分
f
( z0
)
1 2i
C
f (z) z z0
dz
f
( z0
z)
1 2i
C
z
f (z) z0 z
dz
其中 z0 z 在曲线 C 的内部。从而有
-2-
第六节 解析函数的高阶导数
f (z0 z) f (z0 ) 1 [ f (z) f (z) ]dz
z
2iz C z z0 z z z0
第 三
1
f (z)
dz
2i C (z z0 )(z z0 z)
章 复 变
1
2i
C
f (z) (z z0 )2
dz
1
2i
C (z
zf z0 )2(z
(z) z0
dz z)
函 数
设
的 积 分
I 1
2i
(
z
z0
f )2
(z (z
)z z0
z
lizm10
2i C (
z0 z z) z f(zz0i C
(
z
z0
zf )2 ( z
(z) z0
z
)
dz
f
(z0 )
2!
2i
C
(z
f (z) z0 )3
dz
至此，我们已经导出：解析函数的导数仍是解析函数。
-5-
第六节 解析函数的高阶导数
利用归纳法。类似(3.6.2) 的推导可得：