多米诺骨牌与数学归纳法原理

多米诺骨牌与数学归纳法原理

曾建强

数学实验，是数学课堂教学的一种值得推祟的方法。教材上可见的实验，椭圆的钉线画法，过去有球冠体积大小的实验，不过这些都属于与几何形象有直接关系的问题，通过实验可直接得到结论。抽象的数学原理，也能用数学实验来能印证吗？或者通过实验来加深对数学原理的理解吗？

很多人都推过多米诺骨牌，没推也看过，这一游戏的功能就是逗人寻乐不？它还可挖掘为数学教学所用么？

多米诺骨牌游戏，先首要用力推第一块骨牌，在任何两块骨牌之间有恰当的距离时，第一块倒下，就会使第二块倒下，第二块倒下就会导致第三块倒下......，已致很多很多都会倒下！又，我们在骨牌间抽出几块，使有两块之间存在一个较大的缺口，推倒了第一块骨牌，后面的骨牌就不会都倒下了。如果第一块骨牌我们不推不使它倒下，后面的骨牌也就不会倒下的。

类比一下数学归纳法原理，第一块骨牌倒下，就相当于归纳原理中n取初始值

时验证命题成立。任何两块骨牌之间有恰当的距离时，即满足了原理中的递推关系，也就是说，在假设n=k成立时，存在了n=k+1时的命题成立。第一块倒下，就会使第二块倒下，第二块倒下就会导致第三块倒下......，即有了初值成立和递推的关系，就会导致对初值后的所有自然数n的命题都会成立。多米诺骨牌游戏正好形象地说明了抽象的数学归纳法原理。

这个实验，还说明了数学归纳法的两个不可缺的条件。如果第一块骨牌我们不推不使它倒下，后面的骨牌也就不会倒下的，说明不验证初值的成立，即便是具有了递推的条件也不能说明命题会成立（即后面的骨牌也就不会倒下）。有两块之间存在一个较大的缺口，推倒了第一块骨牌，后面的骨牌就不会都倒下了，同样说明了如果不存在递推的关系，就不能得到对初值后的所有自然数n命题都会成立的结论。可见，在假设n=k成立时，证明n=k+1时的命题成立是数学归纳法证明中多么关键的一步。

利用多米诺骨牌游戏这一实验来说明、理解数学归纳法原理，是多么的形象生动。如果这节课我们是这样来引入讲授的话，学生不但会感到兴趣昂然，能完整正确地理解原理，而且无论他们以后是做什么工作，终生都不会忘记数学归纳法原理，会觉得数学是多么的神奇美妙！

老师们，让我们多思考，多做些实验，化抽象的数学为形象的问题，培养学生的想象能力和创新能力吧！