GS10.3

用莱布尼兹判别法判别下列级数的敛散性: 判别下列级数的敛散性: 例1. 用莱布尼兹 判别下列级数的敛散性
1 1 1 n−1 1 n +1 1 1) 1− + − +L+ (−1) +L n+1 收敛 2 3 4 un+1 n (n +1)! 1 1 +1 n 10 = = n =10 ⋅+1 1 1 1 un n−1 1 1 n n 收敛 2) 1− + − +L+ (−1) +L n 2! 3! 4! n!10 n! 1 2 3 4 n−1 n 3) − + − +L+ (−1) +L 收敛 10 102 103 104 10n
∞
(n +1)2 2 n+1 un+1 1 n +1 1 e lim = lim = lim = <1 2 n→∞ u n→∞ e n n→∞ n e n en ∞ ∞ n2 n n2 绝对收敛. 所 ∑ (−1) n 收敛, 因此 以 (−1)n n e n=1
(2) 令
∑
n=1
1 m 1 1 1 = ∑ − = A2 m → 1 S (m → ∞). 2 k =1 2k − 1 2k 2 2 另外，
B3m −1 = B3m + 1 1 1 1 → S , B3m − 2 = B3m −1 + → S , (m → ∞), 4m 2 4m − 2 2
这说明部分和序列Sn→S/2，即重排后级数收敛于S/2. 作业:习题10.3: 1(1)(3)(5)7),6. 下面讨论任意项级数收敛性的判别方法.为此,常把任意项 级数的通项改写成 un = an bn 的形式, 即考虑级数
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
1 np
p > 1, 绝对收敛; p ≤ 1, 条件收敛.
绝对收敛级数和条件收敛级数的性质有很大的不同,我们下面 要探讨这两种收敛的关系.
定理2.绝对收敛的级数一定收敛 . 绝对收敛的级数一定收敛 证: 设 收敛 , 令
1 vn = ( un + un ) ( n =1, 2 , L) 2 ∞ 显然 vn ≥ 0 , v ≤ u , 根据比较判别法 ∑vn 收敛, 且 n n
收敛，并估计和及余项． 证 这是一个交错级数．因为此级数满足
由莱布尼茨定理，它是收敛的，且其和s<u1=1，余项 特别地,当 p =1时,级数
1 1 (1) un = p > = un +1 , n = 1, 2,L ; p n (n + 1) 1 1 (2) lim un= lim p=0， = 0, n →∞ n →∞ n
∑a b .
n =1 n n
∞
3.狄利克雷(Dirichlet) 判别法与阿贝尔(Abel)判别法 判别级数绝对收敛可以用正项级数的敛散性判别法，而判 别级数条件收敛则需要本段介绍的这两个判别法. Abel 变换（分部求和公式）
给定两组数： α1 ，α 2 ， ， m , 与 β1 , β2 , L, βm ， L α
定理5（Dirichlet 判别法） 考虑级数
∑a b
n =1
∞
n n
若(1)序列 {an } 单调且 lim an = 0 , (2)级数 n →∞
的部分和序列有界，即存在常数 M >0 使
∑b
n=1
∞
n
∑b
则级数
n
∑a b
n= n=1
∞
k =1
k
≤M,
∀
n ≥1,
n n
收敛.
≤ 2M ( an +1 + 2 an + p ). 目的:用柯西原理
由级数的柯西收敛准则,得级数
∑a b
n=1
∞
n n
收敛.定理证毕.
不难看出,莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的一个特例. 事实上,只要把定理中的un 视作an ,而将(－1)n-1看作bn ,便将定理1 归结为狄利克雷定理的特例.
un = 2vn − un
∞ ∞ n=1
n=1
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
注意： 注意：如果级数 ∑ | u n | 发散，我们不能断定级数 ∑ u n 也发散．
n=1 ∞
∞
∑un 也收敛.证毕.
n =1
1 n −1 1 收敛. 例: 调和级数 ∑ 发散, 但 ∑ (−1) n n =1 n n =1
lim
α 1+ α
1+ α
n →∞ 2n
n →∞
2( n +1)
= lim
α −2 n + 1 α
−2 n −1
n →∞
+α
=
1
α
,
α > 1.
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理3. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 定理3. ( P230 定理3 ) 定理4. *定理4. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 则对所有乘积 也绝对收敛, 其和为 与 都绝对收敛, 其和分别为 按任意顺序排列得到的级数
e
例4：讨论如下级数的敛散性.
sin( nα ) （1） ∑ ; n n =1 (ln10)
∞
αn (2) ∑ 1 + α 2n n =1
∞
(α 均为常数）
解
sin( nα ) 1 1 ≤ = n , 而级数 (ln 10) n (ln e 2 ) n 2
n 2n
∑
∞
n =1
1 2n
收敛，
故由比较判别法级数（1）绝对收敛.
由假定, lim an = 0, 知∀ε > 0, ∃N > 0, 使得当n > N时, 有 an < 于是, ∀n > N 及自然数p,
2ε ε ak bk ≤ 2M ( an +1 + 2 an + p ) < 2M + ∑1 6M 6M k =n+
n+ p
ε
6M
.
= ε,
∞ n =1
n =1 ∞
定理 6（莱布尼茨定理） 如果交错级数 ∑ (−1) n −1 u n 满足
（1）un≥un+1 (n=1，2，3，· · ·)；
（2） lim u n = 0 ，
n →∞
则级数收敛，且其余项rn的绝对值|rn |≤ un+1．
证:
因为S2n = (u1 −u2 ) + (u3 −u4 ) +L+ (u2n−1 −u2n )
1 1 1 1 1 1 1 1 1− − + − − +L + − − +L 2 4 3 6 8 2 k − 1 4 k − 2 4k
分别用 An , Bn 记这两个级数的部分和，则 m m 1 1 = 1 −1⋅ 1 −1⋅ 1 1 B3m = ∑ − − ∑ 2k − 1 2 2k − 1 2 2k 4k − 2 4k k =1 k =1 2k − 1
1. 交错级数及其审敛法
交错级数：各项是正负交错的级数,即可写成下列形式:
u1 − u2 + u3 − u4 + L = ∑ (−1) n −1 un ,
其中 un＞0 (n = 1,2,…）.
∞
或 -u1 + u2 − u3 + u4 − L = ∑ (−1) n un (un > 0).
n =1
上式又称为分部求和公式.利用它可得到 阿贝尔引理： 阿贝尔引理： 若数组 {α k } (k = 1, 2,L , m) 单调，
而数组 {β k } ( k = 1, 2, L , m ) 的部分和 { Bn } 满足
Bn =
∑β
k =1
n
k
≤M ,
∀
k
n = 1, 2, L , m , ( M > 0为常数）
则有不等式：
∑α
k =1 m
m
βk ≤ M
(α
1
+ 2 αm
).
证明： 由Abel 变换式及引理条件
∑α
k =1
m
k
β k ≤ M ∑ α k − α k +1 + M α m
=M
∑ [α
k=1
k=1 m
k
− α k +1 ] + M α m
≤ M ( α1 − αm ) + M αm ≤ M ( α1 + 2 αm ) .
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ∑ ; n=1 n
发散
∞
1 2) ∑ ; n=1 n!
收敛
∞
n 3) ∑ n . n=110
收敛
∞
例2. 证明级数
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
1 1 1 1 n −1 1 = p − p + p − L + (−1) +L p p 1 2 3 n n
i =1 i i =1
n +l
n
i
≤ 2M ,
而数组 {α i } 仍然单调, 故 {α i } , {βi } 满足阿贝尔引理的条件, 故
k = n +1
∑ab
n →∞
n+ p
k k
=
∑α β
i =1 i
p
i
≤ 2M ( α1 + 2 α p ) = 2 M ( an +1 + 2 an + p ).
= (α1 −α2 )B1 + (α2 −α3 )B2 +L+ (αm−1 −αm )Bm−1 +αmBm
= ∑ (α k − α k +1 ) Bk + α m Bm
k =1 m −1
我们得到了著名的阿贝尔变换式 阿贝尔变换式
∑α β = ∑ (α
k =1 k k k =1
m
m −1
k
− α k +1 ) Bk + α m Bm
∞
S,σ ,
n
∑w
n=1
Sσ . (P231 定理4)
说明: 说明: 证明参考 P231～P233, 这里从略. 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. 例如，已知级数
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
1 1 1 1 n −1 1 = 1 − + − + L + (−1) +L n n 2 3 4
条件收敛，以后可证其和为 S = ln 2. 考虑重排后的级数
1 rn < un +1 = . p (n + 1)
∑ (−1)
收敛.
n =1
∞
n −1
1 1 1 n −1 1 = 1 − + − L + (−1) +L n 2 3 n
三、绝对收敛与条件收敛： 绝对收敛与条件收敛：
绝对收敛与条件收敛： 若级数 ∑ | u n | 收敛 ，则称级数 ∑ u n 绝对收敛．
α 1+α u n +1 α 令 un = , 则 lim = lim 2n n →∞ u n →∞ 1 + α 2( n +1) 1+α n
故 α ≠ 1 时级数（2）绝对收敛.
α , α <1 = 1 , α >1 α
α ＝1 时， lim un ≠ 0 , 即 α ＝1 时级数（2）发散.
n =1 n =1 ∞ ∞
若级数 ∑ u n 收敛，而级数 ∑ | u n | 发散，则称级 ∑ u n 条件收 敛．
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
如 例 10 级数 ∑ (−1) n −1
n =1
∞
∞ 1 1 是绝对收敛的， ，而级数 ∑ (−1) n −1 n2 n n =1
是条件收敛的． 一般地,交错级数
S2n = u1 − (u2 −u3 ) − (u4 −u5 ) −L− (u2n−2 −u2n−1)
− u2n
是单调递增有界数列, 故 又
lim S2n+1 = lim( S2n + u2n+1)
n→∞ n→∞
故级数收敛于S, 且
S ≤ u1,
= ±(un+1 − un+2 +L)
于 是 rn = un+1 −un+2 +L ≤ un+1
§10 . 3 任意项级数
一、交错级数及其敛散性的判别法
交错级数、莱布尼茨定理
二、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛、定理7
三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
阿贝尔变换式 狄利克雷判别法、阿贝尔判别法 阿贝尔判别法
§10.3 任意项级数
所谓任意项级数,就是既有无穷多个正项,又有无穷多个 负项的级数.
证明 先证对任意自然数n和 p, 有
k = n +1
∑ab
l
n+ p
k k
为此,记 α i = an +i , βi = bn +i , i = 1, 2,L , p. 则对任意l=1,2,…, p,
∑β
i =1
l
i
=
∑b
i =1
n +i
=
∑b − ∑b
i =1 i i =1
n +l
n
i
≤
∑b + ∑b
∞
n =1
例3. 证明下列级数绝对收敛 :
n2 (1) ∑ 4 ; (2) ∑(−1)n n . e n=1 n n=1 ∞ 1 sin nα 1 而 证: (1) 因为 ≤ 4 , ∑ 4 收敛 , n=1 n n4 n
∞
sin nα
∞
所以 ∑
n=1
∞
sin nα n4
sin nα 收敛, 因此 ∑ 4 绝对收敛 . n=1 n
令 B1 = β1 , B2 = β1 + β 2 , L , Bm = β1 + β 2 + L + β m ,
∑α
k =1
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则 有 β 1 = B1 , β 2 = B2 − B1 , L , β m = Bm − Bm −1 .
k
β k = α 1 B1 + α 2 ( B2 − B1 ) + L + α m ( Bm − Bm −1 )