固体物理：3.4 长波近似
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第四节 长波近似
本节主要内容: 3.4.1 长声学波 3.4.2 离子晶体的长光学波
§3.4 长波近似
下面以一维双原子链为例讨论。
3.4.1 长声学波
1.对于声学支格波
2 A
mM
m
M
m2
M2
2mM cos2aq
12
q 0,
A
2 aq,
mM
2.对于连续介质
2
vp
a mM
考虑介质中x与(x+dx)间长度为dx的一段，设一维介质的
1 Ω
E
其中为原胞的体积，+ ，- 分别为正负离子的电位移极化
率，
= + + -
则总的极化强度为：
P
P
Pe
1 Ω
e u
u
α Ω
E
将 E E
1
P 代入，得：
3 0
P
1
Ω 1
1
e
u
E
3 0 Ω
再看离子运动方程，我们对一维复式格子的方程
M
d2 x2n dt 2
x2n1 x2n1 2 x2n
线密度为，则这段介质的运动方程为：
dx
d2ux
dt 2
F
(
x
)
F
(
x
dx
)
c
du( x , dx
t
)
du(
x dx dx
,
t
)
,
即: d2u( x ) c d2u( x ) ,
dt 2
dx 2
2u( x ,t 改用偏微商的符号，则有： t 2
)
c
2u( x ,t x 2
)
上式是标准的波动方程，其解为：u( x ,t ) u0eitqx
2
e 2
3 0 Ω 1
3 0 Ω
u
1
Fra Baidu bibliotek
e
3 0 Ω
E,
P
1
Ω 1
1
e
u
E
3 0 Ω
引进位移参量
W u
Ω
mM
mM
则有
W
b11W
b12E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程
( 2)
W
b11W
b12E
P b21W b22E
(1)
( 2)
e 2
其中b11
2
30 Ω 1
3 0 Ω
e
b12
b21
1
1
Ω2
3 0 Ω
b22
Ω
3 0
W
b11W
b12 E
(1)
P b21W b22E (2)
(1)式代表振动方程，右边第一项b11W 为准弹性恢复力，
第二项表示电场E 附加了恢复力。
(2)式代表极化方程，b21W 表示离子位移引起的极化，第
m d2 x2n1
以u
dt 2
代替x2
n
x2n2 x2n 2 x2n1
, x2n2;以u代替x2n1 ,
x2n1
作用在离子上的除了准弹性恢复力以外，还要考虑到有 效电场的作用。
则正负离子的运动方程为：
mMuu
22uu
u u
e E ' eE'
令u
u
u
mMuu
2
2
u
u
e E' e E'
由上式 (a) m (b) M
u 2u e*
得 : E
mMuu
22uu
uueeEE'
'
(a)
(b)
mM
mM
将 E E
1
P
代入，得： 3 0
P
1
Ω 1
1
e
u
E
3 0 Ω
2
e 2
3 0 Ω 1
3 0 Ω
u
1
e
3 0
Ω
E
,
u
二项表示电场 E 附加了极化。
2.LST关系(利戴恩- 萨克斯-特勒关系 Lyddane—Sachs—Teller)
晶体内无自由电荷，得
将电场分成有旋场和无旋场两部分，E EL ET ,
longitudinal
transverse
将黄昆方程 代入得
b21W L
0
b22 E L
0
上式的成立条件是：
代入得： 2 c q 2
由此得弹性波的传播相速度：v弹 q
c
恢复力 F c du dx ,
将上式用于一维复式格子，应变是
du um1 um ,
dx
a
其中um+1和um分别是第m+1个及第m个原子的位移，a为第
m+1个及第m个原子平衡时的间距。
F c um1 um a
F (u m1 - um )
3.4.2 离子晶体的长光学波
1.黄昆方程 由两种不同离子组成的一维复式格子。
光学波
声学波
长光学波，在半波长范围内，正负离子各向相反的方向 运动，电荷不再均匀分布，出现以波长为周期的正负电荷集中
的区域。由于波长很大，使晶体呈现出宏观上的极化，因此长 光学波又称为极化波。
对于立方晶格，洛伦兹提出了求解有效电场的方法，由理
可推知： c a
d2u dr 2
a
对一维复式格子，显然密度为： m M
2a
c v弹 q
c a
mM
2a
v弹
1
2
1
a
m M 2a
2 2 a
m M
vp
2 a
mM
由此可以看出，弹性波的波速与长声学波的波速完全相
等，即长声学波与弹性波完全一样。
长声学波，格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
b122
2 T
0
)E
将上式与 P 0 s 1E 比较得：
b22
b122
2 T0
0 ( s 1)
式中s是离子晶体的相对介电常数。
2）高频电场下的介电极化，如果电场的频率远高于晶格振动频率，则晶格位移跟
不上电场的变化，因此有W=0由黄昆方程(2)式得：
P b22E 0( 1)E,
P b22E 0( 1)E,
EL
b21
0 b22
WL
由黄昆方程得：
W
b11W
b12 E
(1)
P b21W b22E (2)
将上式中的有旋场与无旋场分开得到：
WT
b11WT
b12ET
由麦克斯韦电磁波理论可知，ET EL ，则上式变为
上面两方框中式子均为简谐方程，由此得振动频率
2 T0
b11,
2 L0
b11
论分析得到： 有效电场
'
1
E E
P
3 0
宏观电场
宏观极化强度
离子晶体的极化
离子位移极化 P 电子位移极化 Pe
对于长光学波，在相当大的范围内，同种原子的位移相
同，所以离子位移极化强度为：
P
1 Ω
e
u
u
e*为离子的有效电荷量
一个原胞内正负离子受到有效电场的作用，产生的电子
位移极化强度为：
Pe
b122
0 b22
2 T0
b122
0 b22
为了将系数b22，b21(=b12)和晶体的介电系数联系起来，再 考虑两种极端情况：
W 0 1）对于静电场，
，则由黄昆方程得：WP
b11W b21W
b12E b22E
(1) ( 2)
W
b12
E
b12
E
b11
2 T
0
P
(b22
式中是离子晶体的光频介电常量。
b22 0( 1 )
b22
b122
2 T0
0 ( s
1)
又
2 L0
b11
b122
0 b22
T20
b122
0 b22
2 T
0
2 L0
s
光频介电常量
---著名的LST关系
静电介电常量
(1) s ,Lo To
本节主要内容: 3.4.1 长声学波 3.4.2 离子晶体的长光学波
§3.4 长波近似
下面以一维双原子链为例讨论。
3.4.1 长声学波
1.对于声学支格波
2 A
mM
m
M
m2
M2
2mM cos2aq
12
q 0,
A
2 aq,
mM
2.对于连续介质
2
vp
a mM
考虑介质中x与(x+dx)间长度为dx的一段，设一维介质的
1 Ω
E
其中为原胞的体积，+ ，- 分别为正负离子的电位移极化
率，
= + + -
则总的极化强度为：
P
P
Pe
1 Ω
e u
u
α Ω
E
将 E E
1
P 代入，得：
3 0
P
1
Ω 1
1
e
u
E
3 0 Ω
再看离子运动方程，我们对一维复式格子的方程
M
d2 x2n dt 2
x2n1 x2n1 2 x2n
线密度为，则这段介质的运动方程为：
dx
d2ux
dt 2
F
(
x
)
F
(
x
dx
)
c
du( x , dx
t
)
du(
x dx dx
,
t
)
,
即: d2u( x ) c d2u( x ) ,
dt 2
dx 2
2u( x ,t 改用偏微商的符号，则有： t 2
)
c
2u( x ,t x 2
)
上式是标准的波动方程，其解为：u( x ,t ) u0eitqx
2
e 2
3 0 Ω 1
3 0 Ω
u
1
Fra Baidu bibliotek
e
3 0 Ω
E,
P
1
Ω 1
1
e
u
E
3 0 Ω
引进位移参量
W u
Ω
mM
mM
则有
W
b11W
b12E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程
( 2)
W
b11W
b12E
P b21W b22E
(1)
( 2)
e 2
其中b11
2
30 Ω 1
3 0 Ω
e
b12
b21
1
1
Ω2
3 0 Ω
b22
Ω
3 0
W
b11W
b12 E
(1)
P b21W b22E (2)
(1)式代表振动方程，右边第一项b11W 为准弹性恢复力，
第二项表示电场E 附加了恢复力。
(2)式代表极化方程，b21W 表示离子位移引起的极化，第
m d2 x2n1
以u
dt 2
代替x2
n
x2n2 x2n 2 x2n1
, x2n2;以u代替x2n1 ,
x2n1
作用在离子上的除了准弹性恢复力以外，还要考虑到有 效电场的作用。
则正负离子的运动方程为：
mMuu
22uu
u u
e E ' eE'
令u
u
u
mMuu
2
2
u
u
e E' e E'
由上式 (a) m (b) M
u 2u e*
得 : E
mMuu
22uu
uueeEE'
'
(a)
(b)
mM
mM
将 E E
1
P
代入，得： 3 0
P
1
Ω 1
1
e
u
E
3 0 Ω
2
e 2
3 0 Ω 1
3 0 Ω
u
1
e
3 0
Ω
E
,
u
二项表示电场 E 附加了极化。
2.LST关系(利戴恩- 萨克斯-特勒关系 Lyddane—Sachs—Teller)
晶体内无自由电荷，得
将电场分成有旋场和无旋场两部分，E EL ET ,
longitudinal
transverse
将黄昆方程 代入得
b21W L
0
b22 E L
0
上式的成立条件是：
代入得： 2 c q 2
由此得弹性波的传播相速度：v弹 q
c
恢复力 F c du dx ,
将上式用于一维复式格子，应变是
du um1 um ,
dx
a
其中um+1和um分别是第m+1个及第m个原子的位移，a为第
m+1个及第m个原子平衡时的间距。
F c um1 um a
F (u m1 - um )
3.4.2 离子晶体的长光学波
1.黄昆方程 由两种不同离子组成的一维复式格子。
光学波
声学波
长光学波，在半波长范围内，正负离子各向相反的方向 运动，电荷不再均匀分布，出现以波长为周期的正负电荷集中
的区域。由于波长很大，使晶体呈现出宏观上的极化，因此长 光学波又称为极化波。
对于立方晶格，洛伦兹提出了求解有效电场的方法，由理
可推知： c a
d2u dr 2
a
对一维复式格子，显然密度为： m M
2a
c v弹 q
c a
mM
2a
v弹
1
2
1
a
m M 2a
2 2 a
m M
vp
2 a
mM
由此可以看出，弹性波的波速与长声学波的波速完全相
等，即长声学波与弹性波完全一样。
长声学波，格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
b122
2 T
0
)E
将上式与 P 0 s 1E 比较得：
b22
b122
2 T0
0 ( s 1)
式中s是离子晶体的相对介电常数。
2）高频电场下的介电极化，如果电场的频率远高于晶格振动频率，则晶格位移跟
不上电场的变化，因此有W=0由黄昆方程(2)式得：
P b22E 0( 1)E,
P b22E 0( 1)E,
EL
b21
0 b22
WL
由黄昆方程得：
W
b11W
b12 E
(1)
P b21W b22E (2)
将上式中的有旋场与无旋场分开得到：
WT
b11WT
b12ET
由麦克斯韦电磁波理论可知，ET EL ，则上式变为
上面两方框中式子均为简谐方程，由此得振动频率
2 T0
b11,
2 L0
b11
论分析得到： 有效电场
'
1
E E
P
3 0
宏观电场
宏观极化强度
离子晶体的极化
离子位移极化 P 电子位移极化 Pe
对于长光学波，在相当大的范围内，同种原子的位移相
同，所以离子位移极化强度为：
P
1 Ω
e
u
u
e*为离子的有效电荷量
一个原胞内正负离子受到有效电场的作用，产生的电子
位移极化强度为：
Pe
b122
0 b22
2 T0
b122
0 b22
为了将系数b22，b21(=b12)和晶体的介电系数联系起来，再 考虑两种极端情况：
W 0 1）对于静电场，
，则由黄昆方程得：WP
b11W b21W
b12E b22E
(1) ( 2)
W
b12
E
b12
E
b11
2 T
0
P
(b22
式中是离子晶体的光频介电常量。
b22 0( 1 )
b22
b122
2 T0
0 ( s
1)
又
2 L0
b11
b122
0 b22
T20
b122
0 b22
2 T
0
2 L0
s
光频介电常量
---著名的LST关系
静电介电常量
(1) s ,Lo To