江苏省常州市西夏墅中学高三数学《向量数量积》学案
苏教版高中数学必修四第课时向量的数量积导学案
1、已经知道两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把数量叫做向量a与向量b的数量积，记作a·b。
即a·b= 。
a·0= 。
2、两个非零向量a，b夹角θ的范围为。
3、（1）当a，b同向时，θ= ，此时a·b= 。
（2）当a，b反向时，θ= ，此时a·b= 。
（3）当a⊥b时，θ= ，此时a·b= 。
4、a·a= = = 。
5、设向量a，b，c和实数λ，则（1）（λa）·b=a·（）=λ（）=λa·b（2）a·b= ；（3）（a+b）·c= 。
例题剖析例1、已知向量a与向量b的夹角为θ, |a|=2 , |b|=3 , 分别在下列条件下求a·b。
（1）θ=135°（2）a//b（3）a⊥b-，求θ。
变1：若a·b=3变2：若θ=120°，求（4a +b ）（3b －2a ）和|a +b |的值。
变3：若（4a +b ）（3b －2a ）=－5，求θ。
变4：若|a +b |19=，求θ。
巩固练习1、 判断下列各题正确与否，并说明理由。
（1）若=a 0，则对任意向量b ，有a ·b =0； ______________________________ （2）若≠a 0，则对任意向量b ，有a ·b ≠0； -______________________________（3）若≠a 0，a ·b =0，则b =0；______________________________（4）若a ·b =0，则a ，b 中至少有一个为零；______________________________（5）若≠a 0，a ·b =a ·c ，则b =c ； ______________________________ （6）对任意向量a ，有=2a 2||a ；______________________________（7）对任意向量a ，b ，c ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；___________________ （8）非零向量a ，b ，若|a +b |=|a －b |，则a ⊥b ；___________________________ （9）|a ·b |≤|a ||b |。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 第2章 平面向量教案 新人教版必修4
江苏省常州市西夏墅中学高中数学第2章平面向量教案新人教版必修4目标定位：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本章中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面．1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量以及向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握平面向量的加法、减法和向量数乘的运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义．3．了解平面向量基本定理及其意义，理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会向量的数量积与投影间的关系，掌握数量积的坐标表达式，会用平面向量的数量积解决有关角度和垂直的问题．5．经历向量(及其运算)的建构的过程，以及用向量方法解决某些简单的实际问题(几何问题、力学问题等)的过程，了解向量的实际背景，理解向量及其运算的意义，并从中了解到数学和现实世界的深刻联系，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力．教材解读：向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型．是刻画和描绘现实世界的重要数学模型．数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于研究和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题．学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程，即“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”．本章立足于现实生活，根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际背景中抽象出向量的概念(数学模型)，然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的．力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述．本章突出向量的实际背景与应用，这样有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识．向量作为代数对象，可以如同数和字母一样进行运算．运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索．数的运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等都是数学中的基本运算．从数的运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用．本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．“平面向量”的主背景源于前一章“三角函数”，仍然从圆周上一点的表示(r，θ)出发，导出“既要考虑大小(r)，又要考虑方向(θ)”；而自然界广泛地存在着“既要考虑大小，又要考虑方向”的现象，如力、速度．接着提出问题：用什么样的数学模型来刻画力、速度这样的量；这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对向量的数学(分析)研究．另外，本章特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念．本章的章头图中，矫健的银燕连同它身后的航迹，像利箭直插天穹．它使人联想到下面的问题：怎样表示运动物体的位移和速度呢？于是建构向量的思维活动就此展开了．引言(章首语)首先说明了本章的研究课题是前一章“三角函数”研究内容的拓展．三角函数可以看成是圆周上一点P绕圆周运动的数学模型，而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型．这时，只有同时考虑点P的方向和大小才能确定点P的位置．接着引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速度、力等等都是．这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景．在此基础上，引言提出了问题：用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量？这个数学模型有什么性质与应用？这就是本章的中心问题，也是本章的知识增长点．与“函数”、“三角函数”类似，本章也是对一种数学模型的研究．教材是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的．这样的顺序不仅符合向量知识的发展过程，而且可以唤起学生在“函数”、“三角函数”学习中获得的经验，有助于发挥学生在学习中的主动权．本章也起到了承前启后的作用，在延伸“三角函数”的同时，为“三角恒等变换”作好铺垫．例如，教材P81就安排了这样的习题：“设向量a (cos75 ，sin75 )，b (cos15 ，sin15 )，试分别计算a b |a||b|cosθ及a b x1x2 y1y2．比较两次计算的结果，你能发现什么？”在第1章“三角函数”中，我们迈出了对周期现象研究的第一步：建立了一种描述和刻划周期现象的重要的数学模型，并初步探讨了它的性质．而在第3章“三角恒等变换”中，我们又将以向量为工具来进一步探讨三角函数的性质．因此，从整体上看，“平面向量”的学习应该放在对周期性现象的研究这一大背景下进行．这样可以更好地体现向量这工具价值．本章内容的处理，从具体的生活、实践问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”的顺序结构，激发学生开展活动，结合实验、观察、思考、归纳、抽象、概括、运用，力求使学生对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际应用问题)．在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形、与几何、与代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等各不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性．这样，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程．教学方法与教学建议：向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现．教学中应加强几何直观，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用．要强调向量概念的几何背景，理解向量运算(加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义．在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运算．教学中应强调数学建模．所谓数学模型，是指针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表示出来的一种数学结构．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察，分析和比较，得出抽象的数学模型，从而使数学的学术形态转化为学生易于接收的教育形态．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导现实地解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．在向量概念教学中，应根据学生的生活经验，创设丰富的情境．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程．同时，注重向量模型的运用，引导现实解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的．如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的．特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的．教学中要特别重视向量的运算．运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算．虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母(式)的运算(还有集合的运算)．现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破．要多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识．例如：在定义了运算以后，和数进行类比(对比)，研究向量的运算(加、减、数乘等等)和它们满足的运算律，探讨运算的应用，就都是很自然的了．向量的平行条件可以与直线平行条件的类比，这样可以加深学生对知识的理解．。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修四：2.1 向量的概念及表示
教学目标：1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示．2．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示．教学难点：向量概念的理解．教学方法:自主探究式．教学过程：一、问题情境情境：溱湖湿地公园的湖面上有三个景点O，A，B，如图：一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客从A送至景点B．从景点O到景点A有一个位移，从景点A送至景点B也有一个位移．二、学生活动1．问题（1）在图中标出两个位移．（2）请说出位移和距离的异同．（3）你能否例举一些具有上述两种特征的例子？BOA2．思考：阅读课本59～60页，回答下列问题． （1）什么是向量？ （2）怎么表示向量？ （3）什么是向量的模？ （4）有哪些特殊向量？ 三、建构数学1．向量的概念及表示． （1）向量的定义： （2）向量的表示：思考1 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？ 两者有何区别？ （3）向量的大小及表示: （4）零向量： （5）单位向量：思考2 平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？2．向量的关系． （1）平行向量 （2）相等向量 （3）共线向量 （4）相反向量 问题：（1）实数可以比较大小，向量能吗？（2）ABCD AB DC u u u r u u u rY 中，写出与的关系．（3）DC AB A B C D u u u r u u u r判断：若＝，则，，，四点构成平行四边形,对吗？（4）能找出向量的平行与直线平行的区别吗？ （5）能运用这个区别解决什么问题？ 四、数学运用例1 已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，如图，所标出的向量中：（1）试找出与FE u u u r共线的向量； （2）确定与FE u u u r相等的向量； （3）OA u u u r 与BC uuu r向量相等吗？概念辨析（判断）：（1）模相等的两个平行向量是相等的向量； （ ） （2）若a 和b 都是单位向量，则a ＝b ； （ ） （3）两个相等向量的模相等；（ ） （4）相等向量一定是共线向量； （ ） （5）共线向量一定是相等向量；（ ）（6）任一向量与它的相反向量不相等； （ ）（7）设O 是正ABC 的中心，则向量,,AO BO CO u u u u r u u u r u u u r是模相等向量；（ ） （8）若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线． （ ）例2 如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB u u u r，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB u u u r 相等的向量有多少个？与AB u u u r长度相等的共线向量有多少个（AB u u u r除外）？练习 写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为1）．五、回顾小结A1．向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量． 2．向量的表示方法：常用一条有向线段来表示．AA BC3．两种特殊的向量：零向量单位向量．4．向量间关系：平行向量(共线向量)相等向量相反向量六、作业课本第61～62页习题2.1第 1，3，8题．。
苏教版必修四第二章第四节向量的数量积导学案
向量的数量积（1）班级 姓名一、学习目标：1.从实例理解平面向量数量积的概念；2.通过例题熟悉平面向量数量积计算.二．重点与难点：数量积的概念与数量积的运算三．学习过程问题：前面我们学习了向量的加法，减法和数乘三种运算，那么向量与向量之间能否相乘呢？通过力对物体做功引入向量与向量相乘。
四．构建数学1.向量的数量积2.当0θ=时，a 与b ；当180θ=时，a 与b ；当90θ=时，a 与b .3.当a 与b 同向时，⋅a b = ；当a 与b 反向时，⋅a b = ； 特别地，⋅= ；||=a .4.运算律（1）⋅a b = （2）()λ⋅a b = （3）()+⋅a b c =五、例题分析例1.已知向量a 与向量b 的夹角为θ，||2,||3==a b .分别在下列条件下，求⋅a b ：（1）135θ=； （2）//a b ； （3）⊥a b .例2．已知||2,||3==a b ，a 与b 的夹角为120，求①⋅a b ② ||+a b ③||-a b 的值.五、巩固练习1. 已知,,a b c 是三个非零向量，试判断下列结论正确的是 .=； ⑵若⋅=⋅，则=a b ； ⑶若+=-a b a b ，则⊥a b2. 在四边形ABCD 中，·0BC =，且AB =,则四边形ABCD 是 .3. 已知221,2,()0==-⋅=a b a b a ，则a 与b 的夹角为 .4. 已知3,|4,()()k k ==+⊥-|a |b |a b a b ，那么实数k 的值为 .5. 设向量a 和b 的长分别为6和5，夹角为120°，求+a b 与||-a b 的值.6. 已知4,6==a b ，a 与b 的夹角为60,求：⑴⋅a b ； ⑵()⋅+a a b ；⑶(2)(3)-⋅+a b a b .向量的数量积（二）班级 姓名一、学习目标: 1．掌握两个向量数量积的坐标表示方法；2．掌握两个向量垂直的坐标条件； 3．通过求模来推导平面内两点间的距离公式；4．运用两个向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度和垂直等问题.二、数学建构问题1：若两个向量为1122(,),(,)x y x y ==a b ，如何用,a b 的坐标来表示它们的数量积？1.向量的数量积的坐标表示：若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则⋅a b = . 特别地，设(,),x y =a 则2=a ，=a .两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离公AB = .2.设两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义可得： cos θ= = .特别地，⊥⇔a b三、例题分析例1.已知()()2,1,3,2,=-=-a b )1,2(=c ,求: (1) )(⋅和()⋅的坐标； (2) ()()32--a b a b 与的数量积；(3)()()32--a b a b 与夹角的余弦值。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积导学案 苏教版必修4(2021年最新整理)
高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.4 向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知｜a ｜=4,｜b |=3,若:（1)a ∥b ；（2）a ⊥b ；（3）a 与b 的夹角为60°，分别求a ·b . 思路分析：本题运用数量积的定义求数量积。
已知|a ｜与|b ｜，a 与b 的夹角,由定义可求a ·b . 解:(1)当a ∥b 时,若a 与b 同向,则它们的夹角θ=0°,a ·b =｜a ｜｜b ｜cos0°=4×3×1=12；若a 与b 反向，则a 与b 的夹角θ=180°，a ·b =｜a ｜|b |cos180°=4×3×（—1)=—12.(2)当a ⊥b 时，a 与b 的夹角为90°,a ·b =｜a ｜·|b ｜cos90°=0，(3)当a 与b 的夹角θ=60°时，a ·b =|a ｜|b ｜cos60°=4×3×21=6. 温馨提示利用定义计算a 与b 的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a ∥b 时,a 与b 的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知|a |=2，|b ｜=3，a 与b 的夹角为45°，求使向量a +λb 与λa +b 的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a +λb 与λa +b 的夹角为θ.则cosθ=||||)()(b a b a b a b a +++•+λλλλ＞0， 即(a +λb )·（λa +b ）＞0,展开得，λa 2+(λ2+1）a ·b +λb 2＞0.∵｜a ｜=2,｜b ｜=3,a ·b =｜a ｜|b |cos45°=3，∴2λ+3(λ2+1）+9λ＞0，即3λ2+11λ+3＞0。
江苏省常州市西夏墅中学高一数学《2.4向量的数量积(1)》学案
江苏省常州市西夏墅中学高一数学《 2.4 向量的数目积（ 1）》教案教课目的：1．理解平面向量数目积的含义及其物理意义，了解数目积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质；2．经过知识发生、发展过程的教课，使学生感觉和意会“数学化”过程及思想；3．经过师生互动，自主研究，沟通与学习，培育学生研究新知识及合作沟通的学习质量．教课要点：向量数目积的含义及其物理意义、几何意义；教课难点：向量数目积的含义、数目积的性质．教课方法：指引发现、合作研究．教课过程：一、问题情境问题 1向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量可否“相乘”呢？二、学生活动F 问题 2物理学中，物体所做的功的计算方法：W | F || S | cos（此中是F与S的夹角）S三、建构数学问题 3求功的运算中能够抽象出什么样的数学运算？1．向量夹角．rr r r（ 0o180o）叫做向量已知两个向量 a 和 b ，作OA= a ，OB= b ，则AOBr ra 与b 的夹角．r r当0o时， a 与 b 同向；r r当180o时， a 与 b 反向；r r r r rr当90o 时， a 与 b 的夹角是 90o ，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab ．2．向量数目积的定义：r rr r cos r r已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为，则数目 | a | | b | 叫做 a 与 b 的数目积，r rr rr r记作 a b ，即 a b | a | | b | cos ．说明：①实数与向量的积与向量数目积的实质差别：两个向量的数目积是一个数目，不是向量，这个数目的大小与两个向量的长度及其夹角相关，符号由 cos 的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；r rr r②两个向量的数目积称为 内积，写成 a b ；此后要学到两个向量的外积a ×b ，书写时要严格划分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不可以省略，也不可以用“×”取代；③零向量与任一直量的数目积是 0 ；r r r r r④在实数中，若 a0，且 a b0 ，则 b 0 ；可是在数目积中，若a 0 ，且 ab = 0 ，rr有可能为 0；不可以推出 b = 0 ，由于此中cos3．数目积的性质：r rr r设 a 、 b 都是非零向量，是 a 与 b 的夹角，则r r rr① cosa brr ；（ | a ||b | ≠0）| a ||b |r r r rr r r r r r r r ②当 a 与 b 同向时， a b| a || b |；当 a 与 b 反向时， a b | a || b |；r r rr r r 特别地： a a | a |2 或 | a |a a ；r r r r ③ | a b | | a || b | ；r r r r r r r r ④ a ba b 0 ；（ a 0 ， b0 ）4．数目积的几何意义． （1）投影的观点：r r如图， OA = a ，过点 B 作 BB 1 垂直于直线 OA ，垂足为 B 1 ，则 OB 1 | b | cos ．BBCBrrrbbr r baaOB 1AB1O AO (B 1)A我们把r|b| cos（│ra │cos）叫做向量r rb 在 a 方向上（r ra 在b 方向上）的投影，当为锐角时射影为正当；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；r当= 0时射影为 |b | ；= 180 时射影为r当| b | ．（2）提出问题：数目积的几何意义是什么？r r r rr r rcos 希望学生回答：数目积 a b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影|b|的乘积．四、数学运用1．例题．例 1判断正误，并简要说明原因．r r r r r r r r r① a · 0 =0；② 0 ·a=0；③ 0 －AB=BA；④ a b=|a|| b |；r r r r r0 ；⑤若 a0 ，则对任一非零 b ，有 a br r r r r⑥ a b =0，则 a 与 b 起码有一个为0 ；r r r r r r r r⑦对随意愿量 a 、 b 、 c 都有( a b )· c = a ·(b c )；r r r r⑧ a 与 b 是两个单位向量，则 a 2= b2r r r r r r 例 2 已知向量a与向量b的夹角为， | a | ＝2， | b | ＝ 3，分别在以下条件下求 a b ：r r r r（ 1）1350；（2）a∥b；（3）a⊥b．r r rr r r r r r 例 3已知正ABC 的边长为 2 ，设BC=a，CA=b，AB=c，求a b b c c a ．r r r r r r r A 变式已知 | a | 3 ， |b | 3 ， | c | 2 3 ，且 a b c 0 ，r r r r r r求 a b b c c a ．2．稳固．B Cr r r r r r r r r r__ ，（ 1）当a与b同向时，a b =___，当 a 与 b 反向时， a b =___，特别地， a · ar___ ；| a |r r______ ， cos（ 2）a⊥b____ ；r r r1r r r（ 3）已知 | a |=10 ，| b |=12 ，且 (3 a ) ·(5b )36 ，则a与b的夹角是_____；r r r r r r r____ ；（ 4）已知 | a |=2，| b |= 2 ，a与b的夹角为 450，要使 b - a 与 a 垂直，r r r r r r r r （ 5）已知 | a |=4， | b |=3，①若 a 与 b 夹角为600，求 ( a +2 b ) ·(a -3 b )；r r r r r r②若 (2 a -3 b ) ·(2 a + b )=61 ，求a与b的夹角．五、回首反省1．相关观点：向量的夹角、投影、向量的数目积；2．向量数目积的几何意义和物理意义；3．向量数目积的六条性质．。
苏教版高中数学必修四新课程第课时向量的数量积导学案
总课题平面向量总课时第25课时分课题向量的数量积（1）分课时第 1 课时教学目标理解平面向量数量积的概念及其几何意义；知道两个向量数量积的性质；了解平面向量数量积的概念及其性质的简单应用。
重点难点平面向量数量积的概念的理解；平面向量数量积的性质的应用。
引入新课1、已经知道两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把数量叫做向量a与向量b的数量积，记作a·b。
即a·b= 。
a·0= 。
2、两个非零向量a，b夹角θ的范围为。
3、（1）当a，b同向时，θ= ，此时a·b= 。
（2）当a，b反向时，θ= ，此时a·b= 。
（3）当a⊥b时，θ= ，此时a·b= 。
4、a·a= = = 。
5、设向量a，b，c和实数λ，则（1）（λa）·b=a·（）=λ（）=λa·b（2）a·b= ；（3）（a+b）·c= 。
例题剖析例1、已知向量a与向量b的夹角为θ, |a|=2 , |b|=3 , 分别在下列条件下求a·b。
（1）θ=135°（2）a//b（3）a⊥b变1：若a·b=3-，求θ。
变2：若θ=120°，求（4a+b）（3b－2a）和|a+b|的值。
变3：若（4a +b ）（3b －2a ）=－5，求θ。
变4：若|a +b |19=，求θ。
巩固练习1、 判断下列各题正确与否，并说明理由。
（1）若=a 0，则对任意向量b ，有a ·b =0； ______________________________ （2）若≠a 0，则对任意向量b ，有a ·b ≠0； ______________________________ （3）若≠a 0，a ·b =0，则b =0；______________________________ （4）若a ·b =0，则a ，b 中至少有一个为零； ______________________________ （5）若≠a 0，a ·b =a ·c ，则b =c ； ______________________________ （6）对任意向量a ，有=2a 2||a ；______________________________（7）对任意向量a ，b ，c ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；___________________ （8）非零向量a ，b ，若|a +b |=|a －b |，则a ⊥b ；___________________________ （9）|a ·b |≤|a ||b |。
苏教版高中数学必修四向量的数量积教案
2.4 向量的数量积（1）一、课题：向量的数量积（1）二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；4．掌握向量数量积的性质。
三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
四、教学过程：（一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法：||||cos W F s θ=u r r （其中θ是F u r 与s r 的夹角）．（二）新课讲解：1．向量的夹角：已知两个向量a r 和b r （如图2），作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则 AOB θ∠=（0180θ≤≤o o ）叫做向量a r 与b r 的夹角。
当0θ=o 时，a r 与b r 同向； 当180θ=o 时，a r 与b r 反向； 当90θ=o 时，a r 与b r 的夹角是90o ，我们说a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r ．2．向量数量积的定义： 已知两个非零向量a r 和b r ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅r r 叫做a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ⋅r r ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r ．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0．3．数量积的几何意义：（1）投影的概念： 如图，OA a =u u u r r ，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=r ．||cos b θr 叫做向量b r 在a r 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它 是一负值；当90θ=o 时，它是0；当0θ=o 时，它是||b r ；当180θ=o 时，它是||b -r ． （2）a b ⋅r r 的几何意义：数量积a b ⋅r r 等于a r 的长度||a r 与b r 在a r 的方向上的投影||cos b θr）111的乘积。
高中数学 2.4 第1课时 向量的数量积导学案 苏教版必修
2.4 向量的数量积第1课时 向量的数量积学习目标 重点难点1．能记住向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．2．能说出平面向量的数量积的含义及几何意义． 3．能记住平面向量的数量积与投影的关系． 4．会运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.重点：平面向量数量积的含义及其几何意义． 难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题.1．向量的数量积(1)向量的数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a 与b 同向，a ·b ＝|a ||b |；当θ＝180°时，a 与b 反向，a ·b ＝－|a ||b |；当θ＝90°时，称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .预习交流1(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于__________． (2)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝__________. (3)已知|a |＝5，|b |＝4，a ·b ＝－102，则a 与b 的夹角θ＝__________.提示：(1)|2a －b |＝2a －b 2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8＝2 2. (2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4cos 120°＝－10.(3)由公式得cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1025×4＝－22，所以θ＝135°.2．向量数量积的性质及其运算律(1)向量数量积的性质：①a ·a 可简写为a 2，所以a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a ·a ；②a⊥b ⇔a ·b ＝0；③a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |；④|a ·b |≤|a ||b |.(2)向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ. ①a ·b ＝b ·a ；②(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b ； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 预习交流2对于向量a ，b ，c ，等式(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )一定成立吗？提示：不一定成立，因为若(a ·b )·c ≠0，其方向与c 相同或相反，而a ·(b ·c )≠0时其方向与a 相同或相反，而a 与c 方向不一定相同，故该等式不一定成立．3．向量数量积的几何意义(1)向量b 在a 方向上的投影：设a ，b 是两个非零向量，|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，它是数量．当θ为锐角时，投影为正值．当θ为钝角时，投影为负值；当θ＝90°时，投影为0.(2)数量积a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cosθ的乘积．预习交流3下列说法正确的是__________． ①a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0；②a ∥b ⇒a 在b 上的投影为|a |；③a ⊥b ⇒a ·b ＝(a ·b )2；④a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b . 提示：③一、平面向量的数量积及几何意义已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的投影．思路分析：已知向量a ，b 的模及其夹角，求a ·b 及a 在b 上的投影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．解：(1)∵|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 120°＝5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－10. (2)由数量积的几何意义可知，a 在b 上的投影为|a |cos θ＝5×cos 120°＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52.1．已知|a |＝3，|b |＝5，且其夹角θ＝45°，则向量a 在向量b 上的投影为__________．答案：322解析：向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ，应用公式时要分清|a |与|b |，不能套错公式，由已知|a |＝3，|b |＝5，cos θ＝cos 45°＝22，则向量a 在向量b 上的投影为|a |cosθ＝3×22＝322. 2．已知a ，b ，c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为__________． ①|a ·b |＝|a |·|b |⇔a ∥b ；②a ，b 反向⇔a ·b ＝－|a |·|b |； ③a ⊥b ⇔|a ＋b |＝|a －b |； ④|a |＝|b |⇔|a ·c |＝|b ·c |. 答案：3解析：①∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴由|a ·b |＝|a ||b |及a ，b 为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或π.∴a ∥b ，且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②若a ，b 反向，则a ，b 的夹角为π，∴a ·b ＝|a ||b |cos π＝－|a ||b |，且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③当a ⊥b 时，将向量a ，b 的起点确定在同一点，以向量a ，b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a ＋b |＝|a －b |.反过来，若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的四边形为矩形，故有a ⊥b ，因此命题③是真命题．④当|a |＝|b |，但a 与c 的夹角和b 与c 的夹角不等时，就有|a ·c |≠|b ·c |，反过来由|a ·c |＝|b ·c |也推不出|a |＝|b |，故命题④是假命题．1．数量积的符号同夹角的关系：(1)若a ·b ＞0⇔θ为锐角或零角；(2)若a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；(3)若a ·b ＜0⇔θ为钝角或平角． 2．平面向量数量积的求法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .二、平面向量数量积的运算已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 夹角为60°，求值：(1)a 2－b 2；(2)(2a ＋3b )·(3a －2b )．思路分析：充分利用条件及数量积的定义性质即可求解．解：(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝42－52＝－9；(2)(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6a 2＋5a ·b －6b 2＝6|a |2＋5|a ||b |cos 60°－6|b |2＝6×42＋5×4×5×12－6×52＝－4.1．已知正△ABC 的边长为2，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .解：如图，a 与b ，b 与c ，a 与c 夹角均为120°，∴原式＝|a ||b |cos 120°＋|b ||c |cos 120°＋|a ||c |cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×3＝－6.2．已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b )． 解：(a ＋2b )·(a －3b )＝a ·a －a ·b －6b ·b＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72.1．利用定义求向量的数量积时，要注意a 与b 的夹角大小．若|a ||b |是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0°变化到180°时，两向量的数量积从k 减到－k ，其图象是从0到π的半个周期内的余弦函数图象．2．求平面向量的数量积的一般步骤：(1)运用数量积的运算律展开、化简；(2)确定向量的模和夹角；(3)根据定义求出数量积．三、求向量的夹角问题设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 思路分析：n 和m 是两个单位向量且夹角已知，可求其数量积，又向量a ，b 均有向量n 和m 线性表示，待求向量a ，b 的夹角，求解时可先利用|a |＝|2m ＋n |，|b |＝|2n －3m |求模，再利用a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )求数量积，最后代入cos α＝a ·b|a ||b |求α.解：|m |＝1，|n |＝1，由夹角为60°，得m ·n ＝12，则有|a |＝|2m ＋n |＝2m ＋n 2＝4m 2＋4m ·n ＋n 2＝7，|b |＝|2n －3m |＝2n －3m 2＝4n 2－12n ·m ＋9m 2＝7.∴a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝－72.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴a ，b 夹角为120°.1．向量m 和n 满足|m |＝1，|n |＝2，且m ⊥(m －n )，求m 与n 的夹角． 解：∵|m |＝1，|n |＝ 2. 又m ⊥(m －n )，∴m ·(m －n )＝m 2－m ·n ＝0. 设m 与n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝m 2|m ||n |＝|m ||n |＝22.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝45°.2．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2.又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴a ·b ＝12|a |2.∴|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2. ∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |3|a |＝32.∴θ＝30°.1．求向量a ，b 夹角的流程图求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b|a ||b |→结合θ∈[0，π]，求解θ2．由于|a |，|b |及a ·b 都是实数，因此在涉及有关|a |，|b |及a ·b 的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝__________. 答案：－12 2解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×cos 135°＝－12 2.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是23，则a ·b 为__________．答案：2解析：∵a 在b 方向的投影为|a |cos θ，∴a ·b ＝|b |·|a |cos θ＝3×23＝2.3．已知a 与b 是相反向量，且|a |＝2，则a ·b ＝__________.答案：－4解析：∵a 与b 互为相反向量， ∴|a |＝|b |且两向量夹角为180°. ∴a ·b ＝2×2×cos 180°＝－4.4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为__________．答案：π3解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.5．已知|a |＝3，|b |＝6，当(1)a ∥b ，(2)a ⊥b ，(3)a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝3×6×1＝18； 若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； (2)当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°， ∴a ·b ＝0；(3)当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×12＝9.。
苏教版高中数学必修四向量的数量积一教案
第 9 课时：§2.4 向量的数量积（一）【三维目标】：一、知识与技能1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系；3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的共线及垂直的充要条件3．掌握数量积的运算性质，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
二、过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积；为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了例题，通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.三、情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神. 【教学重点与难点】：重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义； 难点：向量数量积的含义、数量积的运算性质； 【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？ 二、研探新知1.平面向量数量积的物理背景及其含义物理学中，物体所做的功的计算方法：||||→→=S F W （其中θ是→F 与→S 的夹角）2.向量夹角已知两个向量a r 和b r ，作−→−OA =a r ，−→−OB =b r ，则AOB θ∠=（0180θ≤≤o o）叫做向量a r 与b r的夹角。
苏教版高中数学必修四常州西夏墅向量的加法学案
江苏省常州市西夏墅中学高一数学2.2.1《向量的加法》学案教学目标：1．理解向量的加法含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量运算．2．学生在经历向量加法法则的探究和应用过程中，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识．教学重点：向量加法的两个法则及其应用．教学难点：对向量加法定义的理解．教学方法:“问题探究”式．教学过程：一、问题情境1．向量的概念及表示．2．实数可进行加法运算并有哪些运算律？对向量是否成立？3．情境：2003年春节探亲时，由于台湾和祖国大陆之间没有直达航班，某先生只好从台北（O点）经过香港（A点），再抵达北京（B）．二、学生活动1．在图中画出两次位移。
这两次位移之和是什么？2．用向量分别表示三个位移，你能用怎样的数学式子来表示他们的关系？B（北京）A(香港)台北)（OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r ）3．还能发现其他关系？是否有不等关系？（引导得出长度关系）三、建构数学1．引导学生抽象概括出向量加法的定义[例1 已知向量a ，b （如图），求作向量a +b ．2．总结上面求向量和的方法名称和特点(三角形法则，首尾连接)．3．类比实数的加法运算律，你能得到向量加法满足怎样的运算律？（交换律、结合律）4．你能运用图形来验证你的结论吗？教师适当提示如何验证交换律（让学生在同一图中作出a +b 与b +a ）．5．从上图中你能发现向量加法的另外一种法则？这个法则是怎样描述的？用它有限制吗？（平行四边形法则，共起点，不共线的非零向量）6．请你仿照验证交换律来验证结合律． 并运用它们（1）化简()AB MB BO OM +++u u u r u u u r u u u r u u u u r ． （2）解决例2．例2 （教材第60页例1）如图，O 为正六边形的中心，作出下列向量：（1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE7．如何求平面内n （n ＞3）个向量的和向量？（112231n n OA A A A A A A -++++u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r L n OA =u u u u r ）思考：如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一个封闭折线，那这n 个向量的和是什a b a b a b ab CF么？(零向量)8．你能用向量语言来表示情境中的不等关系？能推广到任意两个向量吗？(||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |)9．规定：a+0=0+a=a ．四、数学运用例3 （教材第60页例2）在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡船的速度为h km /25，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？课例演练1．船以h km /25的速度按垂直于河岸的航向航行，江水以h km /5.12的速度向东流，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？2．一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度．3．一艘船以5h km /的速度在行驶，同时河水的流速为2h km /，则船的实际航行速度大小最大是h km /，最小是h km /．解决课后练习2，3，4五、回顾小结1．向量加法的概念及向量加法的几何意义；2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则、三角形法则和向量加法运算律．六、作业教材第66页习题2．2第 1．2．3．10（1）题．。
苏教版高中数学必修四常州西夏墅向量的数乘学案
江苏省常州市西夏墅中学高一数学2.2.3《向量的数乘》学案教学目标：1．理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；2．培养学生在学习向量数乘的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：向量数乘的定义及几何意义.教学难点：向量数乘的几何意义的理解.教学方法：问题探究学习.教学过程：一、情境引入一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁从O点向东方向一秒钟的位移对应的向量为a.aO A二、学生活动问题1 在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量，你能式子表示吗？问题2 学生讨论3a是何种运算？3a是数量还是向量？（初步理解数与向量积的定义）λ的大小和方向又如何确问题 3 蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？那a定？（学生继续探求向量数乘的含义，并能结合图形来继续对数乘进行探究）三、建构数学1．表述给出实数与向量的积的定义：λ，它的长度与方向规定如下：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作a（1）|λa |||λ=|a |；（2）当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当0λ= 时，λa ＝0．实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘.向量的加法、减法、数乘向量的综合运算叫向量的线性运算.2．对向量数乘理解的深入.问题4 当0λ= 时，λa ＝0；若a ＝0，0λ≠会有λa ＝0吗？问题5 实数有哪些运算律？能不能结合实数的运算律去探求向量数乘的运算律. （当给出几个实数的运算律之后，可以类比到向量进行以下运算律的验证）.（1）(λμa ）＝()λμa ；（2）()λμ+a= λa+μa ；（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．四、数学运用1. 例题．例1 已知向量a 和向量b ，求作向量-2.5a 和向量2a -3b . 例2 计算： （1）3(a -b )-2(a +2b )；（2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c ).课本思考：向量数乘与实数数乘有哪些相同点和不同点？2.练习．（1）计算：①3(-4a ＋5b )；② 6(2a -4b )-(3a -2b ).（2）如图，已知向量a ，b ，求作向量：①-2a ； ②-a ＋b ；③2a -b.baa b（3）已知向量a=e 1+2e 2，b=3e 1-5e 2，求4a -3b （用e 1，e 2表示）.（4）已知OA u u u r 和OB u u u r 是不共线的向量，()AP t AB t R =∈u u u r u u u r ,试用OA u u u r 和OB u u u r 表示OP u u u r .（5）已知非零向量a ，求向量1 |a |a 的模. 五、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1．实数与向量积的定义；。
江苏省常州市西夏墅中学高三数学《向量的应用》学案
江苏省常州市西夏墅中学高三数学《向量的应用》学案一、学习目标：1．在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题。
2．能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型。
3．能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解。
二、课前热身：1．力f 1，f 2共同作用在某质点上，已知|f 1|＝5N ，|f 2|＝12N ，且f 1与f 2互相垂直，则质点所受合力的大小为 （ ）A ．7NB ．17NC ．13ND ．10N2．一艘船以4km/h 的速度，沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h ，该船若航行6km ，所需时间为 （ ）A B ．23h C ．3h D ．2h3．已知三个力f 1＝（1，3），f 2＝（－2，1），f 3＝（x ，y ）某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力f 3＝____________。
4．设某人向东走3km 后，又改变方向向北偏东30°走3km ，该人行走的路程是________，他的位移是____________。
5．一条东西方向的河流，水流速度为2km/h ，方向正东。
一般从南岸出发，沿垂直于河岸的方向向北岸横渡，船速为4km/h ，试求船的实际航行速度，并画出图形（角度可用反三角函数表示）。
三、范例透析：例1 a =（k ，1），b =(21,k m k) （1）若m=1，k ≥4，求a ·b 最小值。
（2）若a ·b ≥2k，在k ≥2时恒成立，求m 的取值范围。
例2 已知O 为原点，A （2，0），B （0，2），C （cos α，sin α）（0<α<π）（1）若|OA OC +u u u r u u u r ，求OB OC u u u r u u u r 与的夹角。
（2）若AC OC ⊥u u u r u u u r ，求cos2α。
江苏省常州市西夏墅中学高一数学《2.4向量的数量积(1)》学案
江苏省常州市西夏墅中学高一数学《2.4向量的数量积（1）》学案 教学目标：1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解数量积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质；2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及思想；3．通过师生互动，自主探究，交流与学习，培养学生探求新知识及合作交流的学习品质．教学重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；教学难点：向量数量积的含义、数量积的性质．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、问题情境问题1 向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？二、学生活动问题2 物理学中，物体所做的功的计算方法： θcos ||||→→=S F W （其中θ是→F 与→S 的夹角） 三、建构数学问题3 求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算？1．向量夹角． 已知两个向量a 和b ，作−→−OA =a ，−→−OB =b ，则A O B θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角．当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos θ的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；②两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅；今后要学到两个向量的外积a ×b ，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； ③零向量与任一向量的数量积是0；④在实数中，若a ≠0，且0=⋅b a ，则0=b ；但是在数量积中，若a ≠0，且a b ⋅=0，不能推出b =0，因为其中cos θ有可能为0；3．数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a b a b θ⋅=；（|a ||b |≠0） ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅； ③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；（a ≠0，b ≠0）4．数量积的几何意义．（1）投影的概念：如图，−→−OA =a ，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．C B b1B O 1 1()B我们把||cos b θ（│a │cos θ）叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影， 当θ为锐角时射影为正值；当θ为钝角时射影为负值；当θ为直角时射影为0；当θ = 0︒时射影为||b ；当θ= 180︒时射影为||b -．（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积a b ⋅等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |αcos 的乘积．四、数学运用1．例题．例1 判断正误，并简要说明理由．①a ·0=0； ②0·a =0； ③0－−→−AB =−→−BA ； ④a b ⋅=|a ||b |； ⑤若a ≠0，则对任一非零b ，有a b ⋅≠0；⑥a b ⋅=0，则a 与b 至少有一个为0；⑦对任意向量a 、b 、c 都有(a b ⋅)·c =a ·(b ⋅c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2=b 2例 2 已知向量a 与向量b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3，分别在下列条件下求a b ⋅：（1）0135=θ；（2）a ∥b ；（3）a ⊥b ．例3 已知正ABC ∆的边长为2，设−→−BC =a ，−→−CA =b ，−→−AB =c ，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅． 变式 已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．2．巩固． （1）当a 与b 同向时，a b ⋅=___，当a 与b 反向时，a b ⋅=___，特别地，a ·a __=，|a |___=； （2）a ⊥b ______⇔，____cos =θ； A B C（3）已知|a |=10，|b |=12，且(3a )·(51b )36-=，则a 与b 的夹角是_____； （4）已知|a |=2，|b |=2，a 与b 的夹角为045，要使λb -a 与a 垂直，____=λ；（5）已知|a |=4，|b |=3，①若a 与b 夹角为060，求(a +2b )·(a -3b )； ②若(2a -3b )·(2a +b )=61，求a 与b 的夹角θ．五、回顾反思1．有关概念：向量的夹角、投影、向量的数量积；2．向量数量积的几何意义和物理意义；3．向量数量积的六条性质．。
江苏省常州市西夏墅中学高三数学《向量数量积》学案
江苏省常州市西夏墅中学高三数学《向量数量积》学案一、学习目标：1．掌握平面向量的数量积及其几何意义。
2．掌握平面向量的数量积的性质与运算律。
3．了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
二、知识回顾：1、两个向量的数量积：2、两个向量的夹角：3、向量的数量积的运算性质：三、课前热身：1．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于（） A．150°B． 120°C．60°D．30°2．若a＝（－2，1），b＝（1，3），则2a2－a·b＝（） A．15 B．11 C．9 D．63．在△ABC中，若·<0，则△ABC的形状一定是_________三角形。
4．已知a＝（1，2），b＝（1，1），c＝b－ka，且c⊥a，则C点的坐标为___________。
5．已知e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，求a·b。
四、范例透析：例1已知平面内a，b，c三向量两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，试求a+b+c 的长度以及与已知向量的夹角。
例2已知a =1-），b =1(,22（1）求证：a ⊥b 。
（2）如果存在不等于0的实数k 和t ，使x=a +(t 2-3)b ，y=-k a +t b 且x ⊥y ，试确定k 与t 的关系。
（3）根据（2），确定k=f(t)的单调区间。
例3已知a =(cos 32x ，sin 32x )，b =(cos 2x ，—sin 2x )，且x ∈[0，2π]， （1）求a ·b 及|a +b |； （2）若f(x)=a ·b -2λ|a +b |的最小值是-32，求λ的值。
五、练习反馈1、a =（4，3），b =（3，-4），则a 在b 方向上的投影为______________2、正三角形ABC ，边长为1，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =_________3、a =（x ，3），b =（2，-1），若a 与b 的夹角为锐角，则x 的取值范围为__________4、平面内|a |=1，|b |a +b |=2，则|a -b |=__________5、平面内a 与b 为两个非零向量，如果(a +3b )⊥(7a -5b )且(a -4b )⊥(7a -2b)，a 与b 的夹角为___________6、(2,0),(2,2),)OB OC CA αα===u u u r u u u r u u u r ，则OA OB u u u r u u u r 与的夹角取值范围为__________六、课堂小结：七、课后巩固：（一）达标演练1．已知|a |＝5，a 与b 的夹角的正切值为34，a ·b ＝12，则b 的模为__________。
35045_《向量的数量积》学案1(第2课时)
课题：向量的数量积（2） 教学目的：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、情境:复习引入：(1)两个非零向量夹角的概念:(2)平面向量数量积（内积）的定义：(3)“投影”的概念：(4)向量的数量积的几何意义：(5)两个向量的数量积的性质：二、讲解新课：（一）知识建构: 设向量,,和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:（1）；（2）；（3）.思考:向量的数量积满足结合律吗?（二）知识应用：例1.已知、都是非零向量，且b 3+与b 57-垂直，b 4-与b 27-垂直，求与的夹角.例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.例3.四边形ABCD 中，a AB =，b BC =，c CD =，d DA =，且a d d c cb b a ⋅=⋅=⋅=⋅，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.三、课堂练习：1．已知6||=a ,4||=b ,与的夹角为060，则)2(a + ·)3(a - =；2．3||=a ,4||=b ,向量b a 43+ 与b a 43- 的位置关系为（） （A ）平行（B ）（C ）夹角为3π（D ）不平行也不垂直3．已知3||=a ,4||=b ,且与的夹角为0150，则2)(b a + ＝；四、小结：通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的性质解决相关问题.五、作业1.已知1||=a ,2||=b ,且)(b a -与a 垂直，则b a ⋅的夹角是；2．已知2||=a ,1||=b ,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量b a m 4-= 的模为；3.已知向量、的夹角为3π，||=2,||=1,则|+|·|-|=4.已知||=1,||=2,(1)若∥,求·；(2)若、的夹角为060，求|+|(3)若-与垂直，求与的夹角.5.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为060，求向量n m a +=2与m n b32-=的夹角.6.对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.。
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江苏省常州市西夏墅中学高三数学《向量数量积》学案
一、学习目标：
1．掌握平面向量的数量积及其几何意义。
2．掌握平面向量的数量积的性质与运算律。
3．了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
二、知识回顾：
1、两个向量的数量积：
2、两个向量的夹角：
3、向量的数量积的运算性质：
三、课前热身：
1．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于（） A．150°B． 120°C．60°D．30°
2．若a＝（－2，1），b＝（1，3），则2a2－a·b＝（） A．15 B．11 C．9 D．6
3．在△ABC中，若·<0，则△ABC的形状一定是_________三角形。
4．已知a＝（1，2），b＝（1，1），c＝b－ka，且c⊥a，则C点的坐标为___________。
5．已知e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，求a·b。
四、范例透析：
例1已知平面内a，b，c三向量两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，试求a+b+c 的长度以及与已知向量的夹角。
例2已知a =1-），b =1(,
22
（1）求证：a ⊥b 。
（2）如果存在不等于0的实数k 和t ，使x=a +(t 2-3)b ，y=-k a +t b 且x ⊥y ，试确定k 与t 的关系。
（3）根据（2），确定k=f(t)的单调区间。
例3已知a =(cos 32x ，sin 32x )，b =(cos 2x ，—sin 2x )，且x ∈[0，2
π]， （1）求a ·b 及|a +b |； （2）若f(x)=a ·b -2λ|a +b |的最小值是-
32，求λ的值。
五、练习反馈
1、a =（4，3），b =（3，-4），则a 在b 方向上的投影为______________
2、正三角形ABC ，边长为1，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=_________
3、a =（x ，3），b =（2，-1），若a 与b 的夹角为锐角，则x 的取值范围为__________
4、平面内|a |=1，|b |a +b |=2，则|a -b |=__________
5、平面内a 与b 为两个非零向量，如果(a +3b )⊥(7a -5b )且(a -4b )⊥(7a -2b)，a 与b 的夹角为___________
6、(2,0),(2,2),(2cos )OB OC CA αα===，则OA OB 与的夹角取值范围为__________
六、课堂小结：
七、课后巩固：
（一）达标演练
1．已知|a |＝5，a 与b 的夹角的正切值为34
，a ·b ＝12，则b 的模为__________。
2．已知|a |＝2，向量a 在单位向量e a 与向量e 的夹角为__________。
3．已知点A （－2，－3），B （19，4），C （－1，－6），则△ABC 是__________。
4的正三角形ABC 中，设＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于__________。
5．已知向量a ，b 的夹角为60°，且（a ＋3b ）⊥（7a ―5b ），求证：（a ―4b ）·（7a ―2b ）＝0。
6．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2。
如果向量a ＋k b 与5a ＋b 垂直，求实数k 的值。
（二）能力突破
1、△ABC 中，(2,3),(1,)AB AC k ==且△ABC 为直角三角形，则k=__________
2、△ABC 中，,,AB c BC a CA b ===，且a ·b =b ·c =c ·a ，则△ABC 为__________
3、a=（0，-1），b=（2cos θ，2sin θ），θ∈（,2π
π），则a 与b 的夹角为__________
4．已知m ＝（－5，3），n ＝（－1，2），当（λm ＋n ）⊥（2n ＋m ）时，实数λ的值为______。
5．已知|a |＝|b |＝1，且（2a ―b ）·（3a ―2b ）＝8，则a 与b 的夹角为___________。
6．已知A 、B 、C 、D 是平面上给定的四个点，则·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝___________。
7．已知a ＋b ＝（2，―8），a ―b ＝（－8，16），则a 与b 夹角的余弦值为___________。
8．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围。
9.a =（k ，1），b =(21,k m k
) （1）若m=1，k ≥4，求a ·b 最小值。
（2）若a ·b ≥
2k
，在k ≥2时恒成立，求m 的取值范围。
八．学生自我反思：。