第二章 2.1 第1课时 数列的概念与通项公式 【教师版】
人教版高中数学必修五第二章2.2.1等差数列的概念与通项公式【教案】
2.2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。
教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。
四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识创设问题情景：1.下述数列有什么共同特点？根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗？能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？[来源:学#科#网Z#X#X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始，将自然数从小到大排列，得到的数列？引例3：为了保证考试笔试的秩序，每次放入2个人考试，依次排列下去，已经考试的人员组成一个什么数列？得出等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差(公差d)为同一常数，这样的一组数列，叫做等差数列”。
高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式课件新人教A版必修
解析：(1)该数列的第 10 项 a10＝21× 0＋102＝53. (2)令 an＝194，即n2＋n2＝194，解得 n＝7. 所以194是数列中的项，且是数列的第 7 项．
|素养提升|
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质 (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中 的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复出现． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且 与这些数的排列次序也有关．
跟踪训练 2 根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通项 公式．
(1)2×1 4，3×1 5，4×1 6，5×1 7； (2)－3,7，－15,31； (3)2,6,2,6.
解析：(1)均是分式且分子均为 1，分母均是两因数的积，第 一个因数是项数加上 1，第二个因数比第一个因数大 2，
所以 an＝n＋11n＋3. (2)正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号， 各项的绝对值恰是 2 的整数(项数加 1)次幂减 1，所以 an＝(－ 1)n(2n＋1－1)． (3)此数列为摆动数列，一般求两数的平均数2＋2 6＝4，而 2 ＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．
【课标要求】 1.通过实例，了解数列的概念. 2.掌握数列的两种分类，能对具体数列作出判断. 3.理解数列通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列 的通项公式. 4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫 做这个数列的项．数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…， 简记为{an}．
解析：由
an＝2
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》教案 新人教A版必修5
课题：2.1.1数列的概念与简单表示法（1）【学习目标】1、理解数列的概念；2、认识数列是反映自然规律的基本数学模型；3、初步掌握数列的一种表示方法——通项公式；【学习重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用【学习难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【授课类型】新授课【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法【学习过程】 一、复习引入：师 课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，…师 图2.1-2中的正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1， 无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1， 生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，二、新课学习：折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？ 生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…； 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了 师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数 生 还有一定次序师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列 常数数列：各项相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列， 2.递减数列 ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16↓ ↓ ↓ ↓序号 你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式三、 特例示范1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n =1n n ;(2)a n =(-1)n·n师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式 ［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数)定义域 R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式 y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列 4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41,…③的图象生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关 师 数列1,21 ,31 ,41,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数xy 1的图象有关师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点四、课堂小结本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式六、作业布置:六、课后反思：。
【苏教版】高中数学必修五第1课时：2.1《数列》课时讲义(江苏省启东中学)
【苏教版】高中数学必修五第2章数列§2.1 数列的概念及其通项公式课时讲义【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用。
难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。
【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的7列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这7组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
数列概念及通项公式优秀课件
6.若数列 {an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2),
则当 n≥2 时, {an} 的通项 an=
n! 2.
7 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
23
456
7 8 9 10
．．．．．．．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的
第3 个数为 n 2 n 6 ． 2
an=an-1+(n-1),
所以a2+a3+…+an
=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，
所以an=
(
n
1)n 2
+2=
n
2
n 2
4
.
(方法二)因为an+1-an=n， 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,
解: (1)当 n=1 时, a1=S1=-1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-5, 故 an=4n-5(nN*).
(2)当 n=1 时, a1=S1=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n-2,
人教版必修5第二章数列第一节 数列的概念及通项公式
S
n
f (n), Sn
f (an ), an
f
(Sn )
注意： n 1 是一定要单独计算；有时求出的结果可以合并，有时只能分开。
【例】①已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 2n2 3n ，则其通项公式 an =_______________
②数列{an}的前 n 项的和满足 Sn 4an 1，则其通项公式 an =______________
的最小值为________
6、已知数列{an}的首项 a1 2, 且 (n 1)an nan1 ，则 an ________
7、数列{an}满足 a1 2, an 4an1 3(n 2) ，则此数列的通项公式 an ________
8、已知数列{an}满足 a1
1,
an1
an an
2
, bn1
(n
)( 1 an
1), b1
（1）求证：数列{ 1 1} 是等比数列。 an
（2）若数列{bn} 是递增数列，求实数 的取值范围。
9．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．
10、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1，则 an＝________；
【例】①已知 a1 2, an1 an 2n ，则 an =______________ ②数列{an}中， a1 1, an an1 3n1(n 2) ，求 an 。
第1页共6页
20 ：叠乘法（又称累乘法）适用 an1 an f (n) ，类似等比数列。
【例】已知数列 {an } 中，
4、特殊数列求通项公式（学完等比与等差后掌握）
（1）观察法 【例】求 1 , 4 , 9 , 16 的通项公式 2 5 10 17
高中数学课件：第二章 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式
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[研一题] [例 1] 项公式： 4 1 4 2 (1)5，2，11，7，…； 1 9 25 (2)2，2，2，8， 2 ，…； (3)7,77,777，…； 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通
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(4)0,3,8,15,24，…； 1 3 7 15 31 (5)2，4，8，16，32，…； 2 10 17 26 37 (6)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，….
＋
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[悟一法] 1．根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一 般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与序 号的关系和相邻项间的关系．具体地可参考以下几个思路
(1)统一项的结构，如都化成分数、根式等．
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(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变 化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如例1.(1) 中可把分子、分母分别处理． (3)对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以 (－1)n(n∈N*)处理符号，如例1.(6)．
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[巧思] 求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键．由
a1·2·3·…·an＝n2可得a1·2·3·…·an－1＝(n－1)2，故可求an. a a a a
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[妙解]
∵a1·2·3· an＝n2(n∈N*)，① a a …·
∴当 n≥2 时，a1·2·3· an－1＝(n－1)2.② a a …· ① n2 由 ，得 an＝ 2(n≥2) ② n－1 n2 9 25 61 (1)∵an＝ (n≥2)，∴a3＋a5＝4＋16＝16. n－12
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(4)数列 2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n； (5)数列 1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n 1； (6)数列 1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2； 1 1 1 1 1 (7)数列1，2，3，4，…的通项公式是 an＝n.
高中数学人教新课标A版：数列的概念及通项公式 课件
值为72. 答案：D
2．(函数与方程)若数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，则
10－3 是此数列的
第________项．
解析：an＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－ n n＋1＋ n n＋1－
＝ n
n＋1－
n，∵
10－
3＝ 10－ 9，∴ 10－3 是该数列的第 9 项．
答案：9
四、“基本活动经验”不可少 某种生物细胞在实验室的培养过程中，每小时分裂一 次(一个分裂为两个)，经过 6 h，由 1 个这种细胞可以 繁殖成多少个细胞？ 解：设经过 n h，这种细胞由 1 个可繁殖成 an 个，细胞的个数形成一个 数列{an}． 由题意，细胞每小时分裂一次，得 an＋1＝2an(n≥1)． 由 a1＝2，并根据 an＋1＝2an 得 a2＝4， 依此类推，a3＝23，…，a6＝26＝64. 因此经过 6 h，这种细胞由 1 个可繁殖成 64 个．
第一节 数列的概念及通项公式 课标要求1.了解数列的概念和表示方法列表、图象、通项公式. 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
一、“基础知识”掌握牢 1．数列的概念
(1)数列的定义：按照 一定顺序 排列的一列数叫做数列，数列中的 每一个数 叫
做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N *(或它的有
[典例] (1)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，Sann＋＋11＝Sn，则 S10＝________.
(2)已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则 an＝________. [解析] (1)由Sann＋＋11＝Sn，得 an＋1＝SnSn＋1. 又 an＋1＝Sn＋1－Sn，所以 Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn， 即Sn1＋1－S1n＝－1，所以数列S1n是以S11＝a11＝－1 为首项，－1 为公差的等 差数列， 所以S1n＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n， 所以S110＝－10，所以 S10＝－110.
教学设计4：2.2.1 等差数列 第1课时 等差数列的概念及通项公式
2.2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式[教材·要点]1．等差数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这样的数列称为等差数列．这个常数叫作数列的公差，常用字母d 表示．2．等差中项如果b ＝a ＋c 2，那么数b 称为a 和c 的等差中项． 3．等差数列的递推公式与通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，填表： 递推公式通项公式 a n －a n －1＝d (n ≥2)a n ＝a 1＋(n －1)d[问题·引入]1．等差数列的公差d 可以为负数、正数、零吗？[提示] 可以，当a n <a n ＋1时，d >0，当a n ＝a n ＋1时，d ＝0，当a n >a n ＋1时，d <0.2．b ＝a ＋c 2是a ，b ，c 成等差数列的什么条件？ [提示] 充要条件3．如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系？[提示] 在数列{a n }中，若已知首项a 1，且满足a n －a n －1＝d (n ∈N ＋，n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，则数列{a n }为等差数列．可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a 1＝a ，a n ＝a n －1＋d (n ≥2)，其本质是等差数列的递推公式．题型一 等差数列定义的应用 例1 (1)已知数列{a n }为等差数列且a 5＝11，a 8＝5，求a n .(2)求等差数列10,8,6，…的第20项．(3)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式及已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋21.(2)由于a 1＝10，d ＝－2，∴a n ＝10＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋12，∴a 20＝－2×20＋12＝－28.(3)由于a 1＝2，d ＝7，∴a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5，由7n －5＝100，得n ＝15.∴100是这个数列的第15项．规律总结先根据两个独立的条件解出两个量a 1和d ，进而再写出a n 的表达式，有几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程思想的重要应用．变式训练1．已知等差数列{a n }中，a 5＝10，a 12＝31，求a 10和d .解 由等差数列的定义，可知a 12－a 5＝7d ＝31－10＝21，∴d ＝3.∴a 10＝a 12－2d ＝31－6＝25. 题型二 等差中项的应用例2 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．解 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.规律方法等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系：a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)．因此在等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项；反之，如果一个数列从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，那么这个数列是等差数列．在具体解题过程中，如果a ，b ，c 成等差数列，常转化为a ＋c ＝2b 的形式去运用；反之，如果要证明a ，b ，c 成等差数列，只需证a ＋c ＝2b 即可． 变式训练2．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝________.【解析】由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列． ∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21.【答案】213．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也构成等差数列． 证明 ∵1a ，1b ，1c为等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )． ∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )ac＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b . ∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c为等差数列． 题型三 等差数列的判定例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p ，q ∈R ，且p ，q 为常数)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．(1)解 欲使{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0.即p ＝0时，数列{a n }是等差数列．(2)证明 因为a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，所以a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q .而(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数，所以{a n ＋1－a n }是等差数列．规律总结判断一个数列是否为等差数列的常用方法 方法符号语言 定义法a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋) 等差中项法2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N ＋) 通项公式法a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)变式训练4．已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列， 理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2， ∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， ∴1a n ＋1－1a n ＝12， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12， 公差为d ＝12的等差数列. 题型四 等差数列通项公式及其应用例4 已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝－14,2a 2＋a 6＝－15，求a 8.解 a 3＋a 5＝－14⇒a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋6d ＝－14⇒a 1＋3d ＝－7.①又2a 2＋a 6＝－15⇒2(a 1＋d )＋a 1＋5d ＝－15⇒3a 1＋7d ＝－15.②解①②联立的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3， ∴a n ＝2＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋5，∴a 8＝－3×8＋5＝－19.规律总结等差数列的通项公式是本节的重点，在应用时要注意方程思想的应用．有两种情况：(1)已知a n ，a 1，n ，d 中任意三个量可求第四个量，即“知三求一”．(2)已知等差数列中的任意两项，就可以确定等差数列中的任一项．变式训练 5．数列{a n }各项的倒数组成一个等差数列，若a 3＝2－1，a 5＝2＋1，求a 11.解 设b n ＝1a n(n ∈N ＋)，则{b n }为等差数列，公差为d . 由已知得b 3＝1a 3＝12－1＝2＋1， b 5＝1a 5＝12＋1＝2－1. ∴⎩⎨⎧ b 1＋2d ＝2＋1，b 1＋4d ＝2－1，解得⎩⎨⎧b 1＝3＋2，d ＝－1. ∴b 11＝b 1＋10d ＝2－7，∴a 11＝1b 11＝12－7＝－7－247. [随堂体验落实]1．△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】∵A ＋B ＋C ＝180°且B ＝A ＋C 2， ∴3B ＝180°，B ＝60°.【答案】B2．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b等于( ) A.14B ．12 C.13D.23 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x . ∴a b ＝13. 【答案】C3．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( ) A ．－2B ．－12C ．12D ．2【解析】由题意知a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－1，①a 1＋2d ＝0，②由①②可得d ＝－12，a 1＝1. 【答案】B4．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.∴a 6＝2×6＋1＝13.【答案】135．设{a n }是等差数列，若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，求a m ＋n .解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(m －1)d ＝n ，a 1＋(n －1)d ＝m ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝m ＋n －1，d ＝－1， ∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d＝(m ＋n －1)－(m ＋n －1)＝0.法二：∵a m ＝a n ＋(m －n )d ，∴n ＝m ＋(m －n )d ，∵m ≠n ，∴d ＝－1，∴a m ＋n ＝a m ＋[(m ＋n )－m ]d ＝n ＋n ×(－1)＝0.[感悟高手解题]已知数列{a n }，a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)．(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)，∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，令a 2＝b 1＝1，a 3＝b 2＝3，a 4＝b 3＝5，…a n ＝b n －1＝1＋2[(n －1)－1]＝2n －3.又a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2n －3 (n ≥2) [点评] 在(1)问中由a n －a n －1＝2(常数)，直接得出{a n }为等差数列，这是易出错的地方，事实上，数列{a n }从第2项起，以后各项组成等差数列，而{a n }不是等差数列，a n ＝f (n )应该表示为“分段函数”型．因此我们在判断等差数列时，要严格按其定义判断．。
高中数学：第2章 数列 §2.1-第1课时
第二章 数列§2.1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与通项公式1.下列说法中正确的是A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列C.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D.数列0，2，4，6，…可记为{2n }解析 {1，3，5，7}是一个集合，故选项A 错；数虽相同，但顺序不同，不是相同的数列，故选项B 错；数列0，2，4，6，…可记为{2n －2}，故选项D 错，故选C. ★答案★ C2.已知数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的有 (1)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；(2)a n ＝sin 2n π2；(3)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；(4)a n ＝1－cos n π2；(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n 为奇数），0（n 为偶数）.A.1个B.2个C.3个D.4个解析 对于(3)，将n ＝3代入，则a 3＝3≠1，易知(3)不是通项公式.根据三角中的半角公式可知(2)和(4)实质是一样的，都可作为数列{a n }的一个通项公式.数列1，0，1，0，…的通项公式可猜想为a n ＝12＋12×(－1)n ＋1，即为(1)的形式.(5)是分段表示的，也为数列的一个通项公式.故选D.★答案★ D3.在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于 A.11B.12C.13D.14解析 观察数列可知，后一项是前两项的和， 故x ＝5＋8＝13. ★答案★ C4.数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________.解析 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，∴a n ＝3n －2， ∴a 26＝3×26－2＝76＝219. ★答案★ 2195.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项.解析 令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项.★答案★ 4[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列有四个结论，其中叙述正确的有①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式.A.①②B.②③C.③④D.①④解析数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.★答案★ B2.数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是A.a n＝n－2n B.a n＝n－1nC.a n＝n－1n＋1D.a n＝n－2n＋2解析已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n＝n－1n＋1.★答案★ C3.已知数列12，23，34，…，nn＋1，则0.96是该数列的A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项解析由nn＋1＝0.96，解得n＝24.★答案★ C4.已知数列{a n}的通项公式a n＝nn＋1，则a n·a n＋1·a n＋2等于A.n n ＋2B.n n ＋3C.n ＋1n ＋2D.n ＋1n ＋3解析 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. ★答案★ B5.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是 A.15 B.5C.6D.log 23＋log 31325解析 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132 ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5. ★答案★ B6.(能力提升)图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为 A.3n －1B.3nC.3n ＋1D.3(n ＋1)解析 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根).★答案★ C二、填空题(每小题5分，共15分)7.在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项.解析 令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10⎝⎛⎭⎫n ＝52舍去，即为第10项. ★答案★ 108.若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________.解析 根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项. 因为a n ＝3－2n ，所以a 2n ＝3－22n ＝3－4n ， a 2a 3＝3－223－23＝15. ★答案★ 3－4n159.(能力提升)如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析 因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a n ＝n . ★答案★n三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，13，…； (2)53，( )，1715，2624，3735，…； (3)2，1，( )，12，…；(4)32，94，( )，6516，…. 解析 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓912 812 712 ( ) 512 412于是括号内填612，而分子恰为10减序号，故括号内填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差.故括号内填108， 通项公式为a n ＝（n ＋1）2＋1（n ＋1）2－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以括号内应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .11.(12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 017；(3)2 018是否为数列{a n }中的项？解析 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2. (2)a 2 017＝4×2 017－2＝8 066.(3)令2 018＝4n －2，解得n ＝505∈N *， ∴2 018是数列{a n }的第505项.12.(12分)(能力提升)数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1.(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (3)区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列的项？若有，有几项？ 解析 (1)a 7＝7272＋1＝4950.(2)证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1，∴0<a n <1，故数列的各项都在区间(0，1)内.(3)因为13<n 2n 2＋1<23，所以12<n 2<2，又n ∈N *，所以n ＝1，即在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有且只有一项a 1.。
求数列的通项公式(教师版)
求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。
解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。
2.2.1等差数列的概念和通项公式
课题 2.2等差数列教案编号 课型 新授 授课班级 课时授课时间2010-12授课人郝永军教材分析 本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项n a 可看作项数n 的一次型（0≠d ）函数，这与其图像的形状相对应．有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式d n a a n )1(1-+=是数列第n 项n a 与项数n 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是n ，即其末项未必是该数列的第n 项，在教学中一定要强调这一点．学情分析学法指导 类比等差数列与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)教学目标知识与技能掌握等差数列的概念、等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式及推导方法，会用定义判断数列{n a }是否为等差数列，能熟练运用用通项公式求有关的量:,,,,1n a n d a过程与方法1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；情感态度与价值观3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣. 教学重点掌握等差数列的概念及通项公式、等差中项，用通项验证数列{n a }是否为等差数列，并能用通项公式解决有关问题.教学难点 理解等差数列“等差”性的特点 教学资源 教学方法 知识结构 板书计划教学过程教学环节所需时间教学内容设计意图教学反馈教师活动学生活动探究任务一：等差数列的概念问题 1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，…② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10366在这一段的教学中，一定要重视归纳的过程，这是学生能理解等差数列的所必须的，不要一笔带过！1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示.⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{na},若na－1-na=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N+，则此数列是等差数列，d 为公差探究任务二：等差数列的通项公式从定义的数学表达式：1n na a d--=（n=2,3,4……）得：1n na a d-=+表明从第二项起，等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公差的和,因此，等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示.213211,2, (1)na a d a a d a d a a n d=+=+=+=+-以上体现了归纳的过程，能否由递推式得出其通项呢？2132431.......n na a da a da a da a d--=-=-=-=1(1)na a n d⇒=+-由于有了第一节递推公式的基础，这种做法学生能很快接受，甚至能主动提出这种想法.1）第一通项公式：dnaan)1(1-+=n∈N*例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：⑴由35285,81-=-=-==dan=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项注：通项公式d n a a n )1(1-+=反映了项n a 与项数n 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知n d a ,,1求n a ）.找学生试举一例如：“已知等差数列{}n a 中，首项11=a ，公差2-=d ，求200a .”这是通项公式的简单应用。
必修五2-1第1课时数列的概念与通项公式
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
：1,2,3,4和1,2,3,4，…是相同的数列吗？ 提示：不是．数列1,2,3,4表示有穷数列，而1,2,3,4，…表 示无穷数列．
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3． 数列的通项公式
序号n 之间的关系可以用一个式子来 如果数列{an}的第n项与______ 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 另外，数列还可以用列表法、图象法、递推公式法等表示．
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题型一
数列的有关概念
【例1】 下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1){0,1,2,3,4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列； (4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1. [思路探索] 紧扣数列的有关概念完成判断．
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自学导引
1． 数列的概念 一定顺序 排列的一列数称为数列；数列的一般形 (1)数列：按照_________ 式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 每一个数 叫做这个数列的项．排在第一位的数 (2)项：数列中的_________ 首项 ，排在第n位的数称为 称为这个数列的第1项(通常也叫做_____) 第n项 ． 这个数列的_______
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(1)数列的项与项数 数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个 数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)； 而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值 f(n)对应的自变量的值，即n. (2)数列表示法的理解 数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一 个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本 质的区别．
高中数学必修五第二章第二节第1课时等差数列的概念及通项公式
栏目 导引
第二章 数 列
等差数列的通项公式及其应用 在等差数列{an}中， (1)已知 a5＝－1，a8＝2，求 a1 与 d； (2)已知 a1＋a6＝12，a4＝7，求 an.
栏目 导引
第二章 数 列
【解】 (1)由题意知aa11＋＋（（85－－11））dd＝＝2－，1， 解得ad1＝＝1－. 5， (2)由题意知aa11＋ ＋（a1＋4－（16）－d1＝）7d，＝12， 解得ad1＝＝21. ， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
栏目 导引
第二章 数 列
等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列 的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 中共含有四个参数， 即 a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由 通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为 “知三求一”． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自变量为 n 的一次函数．
栏目 导引
第二章 数 列
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列 1，1，1，1，1 是等差数列．( ) (2)若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的差都是常数，则这个 数列是等差数列．( ) (3)任意两个实数都有等差中项．( ) (4)等差数列的公差是相邻两项的差．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．设{an}是等差数列，且 a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式 为________． 解析：设公差为 d，a2＋a5＝36，所以(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，2a1 ＋5d＝36，因为 a1＝3，所以 d＝6，所以通项公式 an＝a1＋(n－ 1)d＝6n－3. 答案：an＝6n－3
第1课 数列的概念及其通项公式
听课随笔听课随笔【精典范例】【例1】 已知数列的第ｎ项a n 为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项． 【解】首项为ａ１＝２×１－１＝１； 第２项为ａ２＝２×２－１＝３； 第３项为ａ３＝２×３－１＝５【例2】根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：(1);(2)(1)1n n n na a n n ==-⋅+ 【解】（1）1,2,3,4,5.n =1234512345;;;;;23456a a a a a ===== (2) 1211,2,3,4,5.;2;2n a a ===3453;4;5;a a a =-==-【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）211⨯，-321⨯， 431⨯，-541⨯.（2）0, 2, 0, 2分析：写出数列的通项公式，就是寻找n a 与项数n 的对应关系()n a f n =【解】(1) 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是：11(1)(1)n n a n n +=-+(2) 这个数列的奇数项为0，偶数项为2，所以它的一个通项公式是：1(1)n n a =+- 点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并;(2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系.【追踪训练一】1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是 （ A ） A. (1)nn a =- B. 1(1)n n a +=-C.1(1)n n a -=-D.{11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是 （ B ）A. n a =B. n a =C. n a =D.n a =3．数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为1)4)(2(2+++n n n .【选修延伸】【例3】在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.(1)求数列{a n } (2)88是否是数列{a n }中的项. 【解】 (1)设a n =An +B ,由a 1=2,a 17=66 得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+24,66172B A B A B A 解得 ∴a n =4n －2(2)令a n =88,即4n －2=88得n =245∉N * ∴88不是数列{a n }中的项. 思维点拔:已知数列的通项，怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项？ 例如：已知数列{}n a 的通项为27n a n =-，判断27()m m N +∈是否为数列中的项？ 提示：可把27()m m N +∈化成通项公式的形式，即272(7)7m m +=+-，因为m N ∈，所以7m N +∈满足通项公式的意义，所以27m +是数列中的第7m +项． 【追踪训练二】1．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 （ B ）项.A. 9B. 10C. 11D. 12 2．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为 （ ） A. 非负整数集 B. 正整数集 C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n3．已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a = 29 .听课随笔。
第一部分 第二章 2.1 第一课时 数列的概念与通项公式
列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数
值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值 不是此数列的项．
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5．已知数列{an}的通项公式是 则 a2·3＝ a A．70 C．20 B．28 D．8
3n＋1n是奇数， an＝ 2n－2n是偶数，
(
)
解析：a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10.∴a2·3＝20. a 答案：C
－
－2,
返回
1 2 1 2 －1 1 3 2 －1 1 (3)2＝ 21 ＝1－21，4＝ 22 ＝1－22， 3 7 2 －1 1 8＝ 23 ＝1－23， 4 15 2 －1 1 ＝ 24 ＝1－24， 16
2n－1 1 故 an＝ 2n ＝1－2n(n∈N*)． (4)3＝1＋2,5＝1＋22,9＝1＋23,17＝1＋24， 故 an＝1＋2n(n∈N*)．
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[一点通]
此类问题虽无固定模式，但也有规律可
循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、 转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方 法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻 项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和 绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、 分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．
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[思路点拨]
观察各项的特点，寻找数列的项an与序号n
的关系，得出一个合适的函数解析式，然后再进行验算，
从而得出答案．
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[精解详析] (1)0.9＝1－0.1＝1－10 1,0.99＝1－10 0.999＝1－10－3， 0．999 9＝1－10－4，故 an＝1－10－n(n∈N*)． 1 1 4 22 (2)12＝1＋ 2 ，25＝2＋ 2 ， 1 ＋1 2 ＋1 9 32 16 42 310＝3＋ 2 ，417＝4＋ 2 ， 3 ＋1 4 ＋1 n2 故 an＝n＋ 2 (n∈N*)． n ＋1
第1课时 数列的概念与通项公式
数值f(1),f(2),…,f(n),…就是数列{an}.另一方面,对于函数y=f(x),如果
f(n)(n∈N*)有意义,那么f(1),f(2),…,f(n),…构成了一个数列{f(n)}.
与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示.
数列的一个通项公式为 an= 3(2-1) = 6-3.
(3)原数列可变形为
1
an=1-10 .
1
1
1
1
1-10 ,1-102 ,1-103 ,1-104 ,…,故数列的一个通项公式为
(4)数列给出前 4 项,其中奇数项为 3,偶数项为 5,故通项公式的一种表示
3(为奇数),
方法为 an=
事物.
2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣数列的概念及数列的特点.对
于递增数列、递减数列、常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷数列
还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限.
【变式训练1】 下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由.
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列;
(2)所有自然数能构成数列;
(2)上述数能交换次序排列吗?
提示:不能.
2.填空:
(1)数列
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
(2)数列的项
数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的第一个位置上的数叫做这
个数列的第1项,常用符号 a1 表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2
项,用 a2 表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中
物的规律,解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关
系.具体可参考以下几个思路:
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§2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式学习目标1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一数列及其有关概念1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？答案不是．顺序不一样．知识点二通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．知识点三数列的分类1．按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．1．1,1,1,1是一个数列．( √ )2．数列1,3,5,7，…的第10项是21.( × ) 3．每一个数列都有通项公式．( × )4．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )题型一 数列的分类例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n答案 C解析 A ，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有C 符合题意．反思感悟 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018； (2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…； (6)9,9,9,9,9,9.解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列． 题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8； (3)9,99,999,9 999.解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1n，n ∈N *.(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *.(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.反思感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－11×2，12×3，－13×4，14×5； (2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)nn ×(n ＋1)，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1，n ∈N *.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)，79×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)，79×(103－1)，79×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n －1)，n ∈N *.题型三 数列通项公式的简单应用例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－10n ＋4. 问当n 为何值时，a n 取得最小值？并求出最小值． 解 ∵a n ＝2n 2－10n ＋4＝2⎝⎛⎭⎫n －522－172， ∴当n ＝2或3时，a n 取得最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－8. 反思感悟 利用函数的性质研究数列的单调性与最值． 跟踪训练3 (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.(2)已知数列{a n }中，a n ＝－n 2＋25n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是第 项． 答案 12或13解析 ∵a n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋⎝⎛⎭⎫2522是关于n 的二次函数，又n ∈N *， ∴当n ＝12或n ＝13时，a n 最大．归纳法求数列的通项公式典例观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有小圆圈．答案n2－n+1解析观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1.故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)·n＋1＝n2－n＋1.[素养评析]归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题．本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律．1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列答案 D解析 由数列的通项a n ＝nn ＋1知，a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1(n ＋2)(n ＋1)>0，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列，故选D.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n ，n ∈N * B ．a n ＝n ＋1，n ∈N * C ．a n ＝n ＋2，n ∈N * D ．a n ＝2n ，n ∈N *答案 B解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1，n ∈N *. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，n ∈N *，则125是这个数列的第 项． 答案 8解析 令2n 2－3＝125，解得n ＝8(n ＝－8舍去)． 所以125是该数列第8项．4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·n2n －1，n ∈N *，则a 1＝ ；a n ＋1＝ .答案 1 (－1)n ·(n ＋1)2n ＋1解析 a 1＝(－1)1－1×12×1－1＝1，a n ＋1＝(－1)n ＋1－1·(n ＋1)2(n ＋1)－1＝(－1)n ·(n ＋1)2n ＋1.5．写出数列：1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式． 解 该数列的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)，n ∈N *.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，n ∈N *，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项 答案 C解析 解n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1 答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A ，B ，C ，D 检验，即可排除A ，B ，D ，故选C.4．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021 D.2223答案 C解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，n ∈N *， 当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021. 5．已知a n ＋1－a n －3＝0，n ∈N *，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1＝a n ＋3＞a n ，n ∈N *，即该数列每一项均小于后一项，故数列{a n }是递增数列．6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ， ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 7．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于( )A.19(10n －1) B.13(10n －1) C.13⎝⎛⎭⎫1－110n D.310(10n －1) 答案 C解析 代入n ＝1检验，排除A ，B ，D ，故选C.8．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为( )A ．a n ＝n ，n ∈N *B ．a n ＝n ＋1，n ∈N *C ．a n ＝n ，n ∈N *D ．a n ＝n 2，n ∈N *答案 C解析 ∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n ，….二、填空题9．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，3，5，7， ，11，…. 答案 3解析 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3.10．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是 ．答案 a n ＝2n ＋1，n ∈N *11．323是数列{n (n ＋2)}的第 项．答案 17解析 由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}的第17项．三、解答题12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．(1)求{a n }的通项公式；(2)判断88是不是数列{a n }中的项？解 (1)设a n ＝kn ＋b ，k ≠0.则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2，n ∈N *. (2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N *.∴88不是数列{a n }中的项．13．在数列{a n }中，a n ＝n (n －8)－20，n ∈N *，请回答下列问题：(1)这个数列共有几项为负？(2)这个数列从第几项开始递增？(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．解 (1)因为a n ＝n (n －8)－20＝(n ＋2)(n －10)，所以当0<n <10，n ∈N *时，a n <0，所以数列{a n }共有9项为负．(2)因为a n ＋1－a n ＝2n －7，所以当a n ＋1－a n >0时，n >72， 故数列{a n }从第4项开始递增．(3)a n ＝n (n －8)－20＝(n －4)2－36，根据二次函数的性质知，当n ＝4时，a n 取得最小值－36，即这个数列有最小值，最小值为－36.14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－n ，n 是奇数，11＋2－n ，n 是偶数，则a 3＋1a 4＝ . 答案 1916 解析 a 3＝2－3＝18，a 4＝11＋2－4＝1617， ∴1a 4＝1716，∴a 3＋1a 4＝1916. 15．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1，n ∈N *. (1)求证：该数列是递增数列；(2)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．(1)证明 ∵a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， ∴a n ＋1－a n＝⎣⎡⎦⎤1－33(n ＋1)＋1－⎝⎛⎭⎫1－33n ＋1＝3[(3n ＋4)－(3n ＋1)](3n ＋1)(3n ＋4)＝9(3n ＋1)(3n ＋4)＞0，n ∈N *， ∴{a n }是递增数列．(2)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧ n >76，n <83.∴76<n <83， ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。