第二章 2.1 第1课时 数列的概念与通项公式 【教师版】

§2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式

学习目标

1.理解数列及其有关概念.

2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.

3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．

知识点一数列及其有关概念

1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．

2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．

思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？

答案不是．顺序不一样．

知识点二通项公式

如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

知识点三数列的分类

1．按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

2．按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．

1．1,1,1,1是一个数列．( √ )

2．数列1,3,5,7，…的第10项是21.( × ) 3．每一个数列都有通项公式．( × )

4．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )

题型一 数列的分类

例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，1

4，…

B ．－1，－2，－3，－4，…

C ．－1，－12，－14，－1

8，…

D ．1，2，3，…，n

答案 C

解析 A ，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有C 符合题意．

反思感悟 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？

(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018； (2)0，12，2

3，…，n －1n ，…；

(3)1，12，14，…，1

2n －1，…；

(4)－

11×2，12×3，－13×4，1

4×5

，…； (5)1,0，－1，…，sin n π

2

，…； (6)9,9,9,9,9,9.

解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列． 题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式

例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；

(2)12，2，9

2，8； (3)9,99,999,9 999.

解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋

1n

，n ∈N *.

(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，16

2，…，

所以它的一个通项公式为a n ＝n 2

2

，n ∈N *.

(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.

反思感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．

跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

(1)－

11×2，12×3，－13×4，14×5

； (2)22－12，32－13，42－14，52－15；

(3)7,77,777,7 777.

解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，

所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n

n ×(n ＋1)

，n ∈N *.

(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1

n ＋1

，n ∈N *.

(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，7

9×9 999，

即79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)，7

9×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)，79×(103－1)，7

9×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝7

9×(10n －1)，n ∈N *.

题型三 数列通项公式的简单应用

例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－10n ＋4. 问当n 为何值时，a n 取得最小值？并求出最小值． 解 ∵a n ＝2n 2－10n ＋4＝2⎝⎛⎭⎫n －522－172

， ∴当n ＝2或3时，a n 取得最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－8. 反思感悟 利用函数的性质研究数列的单调性与最值． 跟踪训练3 (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)

(n ∈N *)，那么1

120是这个数列的第

项． 答案 10

解析 ∵1n (n ＋2)＝1

120

，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.

(2)已知数列{a n }中，a n ＝－n 2＋25n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是第 项． 答案 12或13

解析 ∵a n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋⎝⎛⎭⎫25

22是关于n 的二次函数，又n ∈N *， ∴当n ＝12或n ＝13时，a n 最大．