地下水动力学第二章

m x x 2 x3 , e 1 x m0 2! 3!
1 2 2 e 1 p p0 p p0 1 p p0 2! m m0 1 p 即为岩土(空隙介质)的压缩状态方程。
水的压缩方程 多孔介质的压缩方程
p

V
V0
dV
V ( p0 p) In V0
e
( p0 p )
V V0
水的压缩方程
按麦克劳林级数展开
2 3 x x e x 1 x ... 2! 3!
0
e
( p0 p )
V V0
由于很小，且p变化不大，故
2 3 e ( p p ) 1 ( p0 p) ( p0 p) 2 ( p0 p)3 ... 2! 3!
2.1.3 渗流连续性方程
连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程 水均衡的基本思想：
对某一研究对象，流入－ 流出＝V 研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体
大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价 本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。
为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。
测压水头
m s (1 m) p
hp
p

ห้องสมุดไป่ตู้

p s
m为单位水平面积中颗粒间接触面积的水 平投影. 由于m<<1，令（K.Terzaghi)
m s
(1 m) p p
图2-2-1 饱和含水介质中受力情况
Terzaghi有效应力公式
m s
(1 m) p p
2.3 渗流基本微分方程
渗流连续性方程 ( vx ) ( v y ) ( vz ) xyz ( nz ) xy
x y
水和多孔介质的 压缩方程 总水头和孔隙水 压力关系
d dp
z
e (1 e) p
t
dp dH
本节：利用达西定律，并综合上述各式，将渗流连 续性方程转化为以水头H为因变量的渗流基本微分 方程。
渗流连续性方程化简
（一）化简
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( nz ) x y z xy ( n z ) y z t x
e ( p 0 p ) 1 ( p0 p ) V 1 ( p0 p ) V0 V V0 [1 ( p0 p )] V0 V0 ( p0 p )
V V0 V0 ( p0 p ) V V0 ( p0 p ) V0 V ( p0 p ) V0
质厚度变薄和空隙率n变小，同时从孔隙中释放地
下水；

p减少多孔介质固体颗粒也会膨胀,而有效应力
地下水弹性储存
弹性储存：当地下水水头（水压）降低(或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质
物理意义： 弹性储存与重力储存不同；
给水机制不同
弹性储存更宜理解为“变形储存”； 弹性储存这种性质不仅承压含水层具备，
多孔介质的压缩方程
1 dVb d Vb 1 dVb 1 dVv 1 de dp Vb Vb 1 e
e (1 e) p
1 dm dp m 对此式积分 m m0 (1 p ) H z p
如果取出水平面积为1个单位，高度为 m的岩土柱体(其体积Vb=m×１)来 分析，而且近似认为该柱体不发生侧向变形,体积的变形直接反映在该柱体 的高度m的变化 .
渗流连续性方程化简
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( nz ) x y z xy y z t x
（一）化简 ( nz ) t ( nz ) z z e ( e) ( e ) t t 1 e 1 e t t
1 dVb d Vb
α 为岩土的体积弹性压缩系数。 如果上部荷载不变，则 d dp
1 dVb dp Vb
Vb Vs Vv
由于骨架部分体积不变 dV
b
dVv
e (1 e) p
Vv d( ) 1 dVb 1 Vs 1 de dp Vb Vb 1 e Vs
e e e p H 根据 (1 e)和dp dH , 得 (1 e) p t p t t d p H 根据 和dp dH , 得 dp t p t t
( nz ) z H H [ (1 e) e ] t 1 e t t H z ( n ) t
地下水连续性方程
( v x ) xyzt x 0 x ( v y ) |( x , y , z ,t ) ( v y ) | ( x , y y , z ,t ) xyzt y ( v y ) xyzt y 0 y ( v z ) xyzt z 0 z ( nz ) |( x , y , z ,t t ) ( nz ) |( x , y , z ,t ) xyt t ( nz ) xyt t 0 t
>>在渗流场中，各点的渗流速度的大小、方向都可能不相 同。为了反映流体运动中的质量守恒，就需要建立以微分方 程表达的连续性方程。
2.1.2 建立方程的假定条件 >>水是可压缩的； >>忽略多孔介质固体颗粒的压缩性； >>多孔介质骨架在垂直方向上是可压缩的，但 水平方向不可变形； >>为了方便，取直角坐标系的x、y，z轴分别 平行于各向异性岩层渗透系数的主方向。
y方向流入流出差
( v y ) |( x , y , z ,t ) xzt ( v y ) |( x , y y , z ,t ) xzt
z方向流入流出差 ( v z ) |( x , y , z ,t ) xyt ( v z ) |( x , y , z z ,t ) xyt 单元体内地下水m [( nz ) |( x , y , z ,t t ) 质量变化量
>>即使有时不直接采用式2-1-1，但建立有关关系
式时，也必须应用能反映质量守恒原理的另一种 形式的连续性方程来代替。
2.2 水和多孔介质的压缩性
•地下水弹性储存概念
取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密， 忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。
含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力由粒 间应力的垂向分量s和孔隙水应力p两者来平衡.
层间弱透水层也有弹性储存
水的压缩方程
假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有
1 dV dp V 1 dV V dp
E
1

p 为水压； V 为水的体积；β 为水的体积弹性压缩(或膨胀)系数
E为体积弹性模量 。V随p增大而减小，即dV/dp<0
积分
1 dp p0 V
水的压缩方程
1 dV dp V
由于V~V0变化不大，故
m V 由于
V p V
V p V0
m d( ) dV 1 d d ( ) m V
dp
1 d

d dp
多孔介质的压缩方程
假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有

dp dH
推导过程
1 dm 1 Vb 1 1 dm 1 dm dp , ( dp ) m Vb 1 m m dm dp m dm p0 dp m0 m m p p0 ln m0
p m
e p p 0
p p0
( nz ) |( x , y , z ,t ) ]xy
m V nxyz
( v x ) |( x , y , z ,t ) ( v x ) |( x x , y , z ,t )
X方向流入流出差

x
xyzt
y方向流入流出差
z方向流入流出差
单元体内地下水 质量变化量
测压水头
p
hp p
'
p
多孔介质总应力 有效应力 孔隙水应力


'
p
图2-2-1 饱和含水介质中受力情况
有效应力公式分析
水压p减少，将引起以下作用:


p减少地下水体积膨胀，从而释放出部分地下
水； p减少地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持 平衡，这部分力将转嫁到多孔介质固体骨架上， 增大有效应力，压缩多孔介质，结果使含水层介
1 dV dp V V p V
1 dVb d Vb 1 dVb 1 dVv 1 de dp Vb Vb e
d dp
dp dH
e (1 e) p
说明本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水 层释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。
X方向流入流出差 ( vx ) |( x , y , z ,t ) yzt ( vx ) |( x x , y , z ,t ) yzt
渗流连续性方程推导
X方向流入流出差
( v x ) |( x, y , z ,t ) yzt ( v x ) |( xx, y , z ,t ) yzt
建立连续性方程 分析含水层与岩石、流体压缩性关系 建立不同含水层地下水流微分方程 讨论边界条件及初始条件 用数学模型描述实际问题
2.1 渗流的连续性方程
2.1.1 引言
>>因为流体是连续介质，所以流体在运动过程中是连续充 满着它所据的空间。流体运动时的这种连续性，若用数学方 程式来表示，那就是连续性方程。连续性方程是质量守恒定 律应用于流体运动的具体表现形式。
t
e n 1 e Vs z z z z 1 e 1 Vv V V Vs Vs
z 1 e
可视为多孔介质均衡体 中固体部分的厚度，且 由于固体颗粒部分视为 不可压缩，因此此比值 不随时间t变化。
( nz ) z z z e ( e) ( e) ( e ) t t 1 e 1 e t 1 e t t
第二章 地下水流基本微分方程及 定解条件
教学目标：
准确理解渗流连续性概念 掌握达西定律和质量守恒原理的应用 掌握建立地下水基本微分方程的思想方
法 几种典型的地下水流方程的推导 ●潜水剖面二维流、平面二维流 ●承压水二维流 ● 三维流 边界条件概化，初始条件确定方法与原
第二章 地下水流基本微分方程及 定解条件 主要内容：
渗流连续性方程推导
假设：水是可压缩的，多孔介质骨 架在垂直方向可压缩，但在水平方 向不可变形。 均衡的含义：在t时段内从x,y,z三 个方向共6个单元界面上流入流出 水的净总质量等于单元体内储存量 的变化。
图2-1-1多孔介质单元水均衡要素图
V Qt vt
X方向流入
X方向流出
m V vt
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( nz ) x y z xy y z t x
2.1.4 小结
>>连续性方程是研究地下水运动的基本方程。
>>各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续
性方程为基础建立起来的。