高等代数考研真题 第二章 行列式
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2001年] 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩=秩(A)，则线性方程组( )．A．AX=α必有无穷多解B．AX=α必有唯一解C．=0仅有零解D．=0必有非零解正确答案：D解析：齐次线性方程组解的情况的判定关键是要弄清楚该方程组的未知数个数与系数矩阵秩之间的关系，对非齐次方程组解的情况判定的关键是要弄清楚该方程组的增广矩阵与系数矩阵A的秩的关系．若秩(A)=秩()，则该非齐次方程组必有在秩()=秩(A)=r的前提下考察r与未知数个数n之间的关系，进一步了解解的情况．解一因秩=秩(A)≤n＜n+1(n+1为未知数个数)，即系数矩阵非列满秩，由命题2．4．1．1(1)知，=0必有非零解．仅(D)入选．解二由秩=秩(A)知，α必为A的列向量组的线性组合，因而秩([A:α])=秩(A)．由命题4．1．1．2(2)知，Ax=α有解，但有多少个解尚不能确定．如秩(A)＜n，则由命题2．4．1．2(4)知，AX=α必有无穷多解，故(B)不对．但如果秩(A)=n，由命题2．4．1．2(3)知，AX=α必有唯一解，故(A)不对．因(C)中方程组的系数矩阵不是列满秩，由命题2．4．1．1(1)知，该方程组必有非零解，故(C)不成立．因而仅(D)入选．知识模块：线性方程组2．非齐次线性方程组AX=b 中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则( )．A．r=m时，方程组AX=b有解B．r=n 时，方程组AX=b有唯一解C．m=n时，方程组AX=b有唯解D．r＜n时，方程组AX=b有无穷多解正确答案：A解析：非齐次线性方程组解的情况常用命题2．4．1．2判别，为此应首先考查秩(A)与秩(A)是否相等，但m=秩(A)=r时，可直接利用命题2．4．1．3判定．因A为m×n矩阵，若秩(A)=m，则m=秩(A)≤秩([A : b])≤m，于是秩(A)=秩([A : b])=m，故方程组AX=b当秩(A)=m时必有解．仅(A)入选．知识模块：线性方程组3．[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3 ，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).A．不存在B．仅含一个非零解向量C．含有两个线性无关的解向量D．含有三个线性无关的解向量正确答案：B解析：基础解系所含解向量个数等于n=秩(A)，因此先求秩(A)，进而确定选项．解一当A*≠O时，秩(A*)=0，因而秩(A*)=n或秩(A*)=1，于是秩(A)=n或秩(A)=n一1．由题设知AX=b有四个互不相等的解，因而解不唯一，于是秩(A)=n一1．因而n一秩(A)=n一(n－1)=1，即其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．解二因A*≠O，故秩(A*)≥1，则秩(A)≥n－1．又因AX=0有解且不唯一，故秩(A)≤n一1，因而秩(A)=n一1，其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．知识模块：线性方程组4．[2011年] 设A=[α1，α2，α3，α4]是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为( )．A．α1，α3B．α1，α2C．α1，α2，α3D．α2，α3，α4正确答案：D解析：先求A*X=0的一个基础解系所含解向量的个数．再由A*A=∣A∣E=0E=0得到A的列向量为A*X=0的解，且A的列向量组中含有A*X=0的基础解系，最后利用AX=0的基础解系求得A的列向量之间的线性关系，从而确定A*X=0的基础解系．因AX=0的基础解系只含一个解向量[1，0，1，0]T，故n 一秩(A)=4一秩(A)=1，即秩(A)=3．因而秩(A*)=1．于是A*X=0的一个基础解系必含n一秩(A*)=4一l=3个解向量，这就排除了(A)，(B)选项．因秩(A)=3，故∣A∣=0，所以A*A=∣A∣E=O．又因秩(A)=3，故A的列向量组中含有A*X=0的基础解系．又因[1，0，1，0]T为AX=[α1，α2，α3，α4]X=0的解向量，故[α1，α2，α3，α4][1，0，1，0]T=α1+α3=0，即α1与α3线性相关，从而排除(C)．仅(D)入选．知识模块：线性方程组5．已知β1，β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则AX=b的通解必是( )．A．k1α1+k2(α1一α2)+(β1－β2)／2B．k1α1+k2(α1一α2)+(β1+β2)／2C．k1α1+k2(β1一β2)+(β1－β2)／2D．k1α1+k2(β1一β2)+(β1+β2)／2正确答案：B解析：利用解的结构定理即命题2．4．4．2求之．解一因α1，α2线性无关，由命题2．3．2．2知α1，α1+α2线性无关，α1，α1一α2也线性无关．又因1／2+1／2=1，由命题2．4．4．1知，(β1+β2)／2为AX=b的一特解，由命题2．4．4．2知，k1α1+k2(α2一α1)+(β1+β2)／2为AX=b 的通解．仅(B)入选．解二因(A)中(β1一β2)／2不是AX=b的特解，而(C)中既没有特解，且β1+β2也不是AX=0的解，(D)中虽有特解，且α1与β2一β1均为AX=0的解，但α1与β2一β1的线性相关性无法确定，故(A)，(C)，(D)均不正确．仅(B)入选．知识模块：线性方程组6．[2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．A．[1，2，3，4]T+c[1，1，1，1]TB．[1，2，3，4]T+c[0，1，2，3]TC．[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]TD．[1，2，3，4]T+c[3，4，5，6]T正确答案：C解析：关键在于构造出AX=0的一个非零特解，求得其基础解系．构造的方法需利用命题2．4．4．1．解一仅(C)入选．AX=b为四元非齐次方程组，秩(A)=3，AX=0的一个基础解系只含n一秩(A)=4—3=1个解向量．将特解的线性组合2α1，α2+α3写成特解之差的线性组合：2α1一(α2+α3)=(α1一α2)+(α1一α3)．因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为X=α1+c[2α1一(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，c为任意常数．解二仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α1及(α2+α3)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故α1一(α3+α2)／2=(1／2)[2α1一(α2+α3)]=(1／2)[2，3，4，5]T是AX=0的一个解，从而2×(1／2)[2，3，4，5]T=[2，3，4，5]T=η，也是AX=0的一个解，且因η≠0，故η为AX=0的一个基础解系，所以AX=b的通解为X=α1+cη=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，其中C为任意常数．知识模块：线性方程组7．[2015年] 设矩阵．若集合Ω={1，2}，则线性方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件为( )．A．aΩ，dΩB．aΩ，d∈ΩC．a∈Ω，dΩD．a∈Ω，d∈Ω正确答案：D解析：只需由AX=b有无穷多解的充分必要条件秩(A)=秩(A:b)＜3找出a，d所满足的条件即可．注意到A为3阶范德蒙行列式，由秩(A)＜3得∣A∣=(2一1)(a一1)(a－2)=0，故a=1或a=2，即a∈Ω．排除(A)、(B)．又由a=1时，=[A:b]=由秩=秩[A:b]＜3得到(d一1)(d一2)=0，即d=1，d=2，d∈Ω．当a=2时，由,故(d－1)(d－2)=0，即d=1，d=2，d∈Ω．因而当a=l，2时，d∈Ω，排除(C)．仅(D)入选．知识模块：线性方程组8．要使ξ1=[1，0，2]T，ξ2=[0，1，一1]T都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为( )．A．[一2，1，1]B．C．D．正确答案：A解析：可用一般的方法求之，也可利用Ax一0的基础解系中解向量的个数求之．解一ξ1，ξ2线性无关，以ξ1T，ξ2T为行向量作矩阵B=，解BX=0，得基础解系β1=[一2，1，1]T，以β1T为行向量作矩阵A=[β1T]，则A即为所求的矩阵，因而仅(A)入选．解二因ξ1，ξ2线性无关，n=3，三元齐次线性方程组AX=0的基础解系中至少含2个解向量，故3一秩(A)≥2，即秩(A)≤1．(A)，(B)，(C)，(D)中矩阵只有(A)中矩阵的秩等于1．故仅(A)入选．知识模块：线性方程组9．[2000年] 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有( )．A．(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A解析：本题的难点是在由ATAX=0得到A．这只有将ATAX=0化成只含AX 的式子才好研究，为此在ATAX=0两边同时左乘XT．解一由命题2．4．7．3(1)知，仅(A)入选．解二设a为组(Ⅰ)的任一解，则Aα=0，于是有ATAα=AT(Aα)=AT0=0,即α也是组(Ⅱ)的解．于是得到组(Ⅰ)的解必为组(Ⅱ)的解．反之，设β为组(Ⅱ)的任一解．下面证明它也是组(Ⅰ)的解．由ATAβ=0得到βT(ATAβ)=0，即(Aβ)T(Aβ)=(βTAT)(Aβ)=βT(ATA β)=0．设Aβ=[b1，b2，…，bn]T，则(Aβ)T(Aβ)=b12+b22+…+bn2=0bi=0 (i=1，2，…，n)，即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．或用反证法证之．若Aβ=[b1，b2，…，bn]T≠0，不妨设b1≠0，则(Aβ)T(Aβ)一[b1，b2，…，bn][b1，b2，…，bn]T=b12+bi2＞0．这与(Aβ)T(Aβ)=0矛盾．因而Aβ=0，于是组(Ⅱ)的解也必为组(I)的解．因而组(I)与组(II)同解．仅(A)入选．知识模块：线性方程组10．设有齐次线性方程组AX=0和βX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则AX=0的解均是BX=0的解；③若AX=0与BX=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则AX=0与BX=0同解．以上命题中正确的是( )．A．①②B．①③C．②④D．③④正确答案：B解析：利用线性方程组同解的基本性质判别之．仅(B)入选．由命题2．4．7．2知，命题③正确．又命题①也正确，这是因为AX=0的解均是BX=0的解，则AX=0的基础解系是BX=0的基础解系的一部分，因此AX=0的基础解系所含向量个数小于等于BX=0的基础解系所含向量的个数，即n一秩(A)≤n一秩(B)，秩(A)≥秩(B)．知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高等代数考研真题 第二章 行列式
第二章１．（北师大2003－25）１．计算行列式87162534的逆序数，并依次将上述排列变成12345678的所有对换2．设n 个数码的排列121n n i ,i ,...i ,i -的逆序数是k ，那么排列321n n n i ,i ,...i ,i i -的逆序数是多少？请说明理由。
２．计算下列行列式（每小题6分，共12分）D=2132301211432211---的值。
3.（成电科大，2003）计算下列行列式（每小题6分，共12分）1.32222322223222223n ......D ..................=D ．＝ 2.2323231222111114441555D =4.（中科武汉2004－15）计算行列式1111111222221223331234111111n nn...b a a a ...a a b b a a ...a a D b b b a ...a a .....................b b b b ...b a =5（成电科大2004－10分）求证：1212341112321112321114311211n n n ...n n ...n n x ...n n D ()x x x ...n n .....................x x x (x)xx...x+------==---6.(北工大，2002－10分)计算行列式0121110001000100010n n na ...a x ...a x ...D ..................a ...x a ...x+-----的值。
7(东北大学，2001－10分)计算下列行列式11112n n nnna c a c D (n )db d b =8.（东北大学，2002－10分）11111n aa a D aa+--+=--+9．（北航，2001 10分）已知a>>0，证明n 阶行列式1000110001000000101a ...a ...a ...D (n ).....................a ...a --=≥--10.（复旦，2002）计算下列行列式的值：（7分）95000009500040950004000095400094.......................................11.（中大，2004 10分）计算下列n 阶行列式：000210001200012012......D n ........................=12.（东北大2003 25分）证明当αβ≠时，11000001000101n n ..............................αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+13.（北工大 2001 10分）计算n 阶行列式的值111n a b ab a b ab D a b ab a b++=++其中a,b 为实数。
高等代数2.1-引言
联合收入问题
R,S,T三公司有右 三公司有右 图股份关系。 公司 图股份关系。R公司 拥有T公司60%股份 公司60%股份， 拥有 公司60%股份， 公司掌握R公司 T公司掌握 公司 20%股份 ，R,S,T 股份…， 股份 各自营业净收入分别 10、 万元。 是10、8和6万元。求 各公司联合收入及实 际收入。 际收入。
+
15/27
例2．求 n 级排列 135 (2n 1)(2n)(2n 2) 42 ． 的逆序数. 的逆序数.
方法一
解：135 (2n 1)(2n)(2n 2) 42
12
n1
n1
1
τ = 1 + 2 + + (n 1) + (n 1) + + 2 + 1 = n(n 1)
16/27
19/27
定理1 定理
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 证明 1) 特殊情形：作相邻对换 特殊情形： 设排列为
a1 al ab b1 bm ab
对换 a 与 b
a1 al ba b1 bm
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 = b1a22 a12b2 ;
4/27
类似地， 类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x1 = b1a22 a12b2;
（a11a22 a12a21）x2 = a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 ≠ 0 时， 原方程组有唯一解
除 a , b 外，其它元素所成逆序不改变. 其它元素所成逆序不改变
历年行列式考研真题精选
关于行列式的计算方法总结行列式是线性代数中一个非常重要的内容，根据行列式形式的不同，计算的方法也多种多样。
行列式的计算灵活多样，通常是利用行列式的定义、行列式的性质、对角线法则等取计算行列式。
本文通过多方资料对历年考研题中的行列式的解决方法进行了分类归纳和以及总结。
一、 利用基本性质计算1.（1999数二（5）题）记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为)(x f ，则方程0)(=x f 的根的个数为 （ ） .1)(A .2)(B .3)(C .4)(D求解：347534453542333322212223212)(---------------=x x x x x x x x x x x x x x x x x f373422133101221012----------=x xx x x x671212212673412133001220012------=--------=x x x x x x x x x x)1(5)12)(5)((5512121-=+---=----=x x x x x x x故0)1(5)(=-=x x x f 有两个根，故应选)(B .原行列式中各元素的特点，（均是x 的一次多项式，且除33a ，43a 外，其余x 的系数均有规律。
）利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别。
2.（1996数一（2）题）四阶行列式44332211000000a b a b b a b a 的值等于（ ）.)(43214321b b b b a a a a A - .)(43214321b b b b a a a a B + ).)()((43432121b b a a b b a a C -- ).)()((41413232b b a a b b a a D --求解：原式33224133224143322143322100000a b b a b b a b b a a a b a b b a b a a b b a a -=-=))((41413232b b a a b b a a --=。
考研必备高等代数第二章第八节
(1 2 ) ( 2 4 )
A 6 ( 1)
(1 2 ) ( 3 4 )
M6 M6 .
由拉普拉斯定理
D = M1 A1 + M2 A2 + … + M6 A6
1 0 2 1 1 0 2 1 4 1 4 1 1 3 0 1 1 0 3 1 1 3 1 3 1 0 2 1 1 2 1 2 0 1 1 2 4 1 3 1 1 0 1 0 3 1 0 1
*第八节 拉普拉斯 (Laplace) 定理 行列式的乘法规则
主要内容
定义 拉普拉斯定理
行列式的乘法定理
一、定义
这一节介绍行列式的拉普拉斯定理，这个定理
可以看成是行列式按一行展开公式的推广.
首先我们把余子式和代数余子式的概念加以
推广.
定义 9 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行
k 列 (k n) . 位于这些行和列的交点上的 k2 个元素 按照原来的次序组成一个 k 级行列式 M, 称为行列 式 D 的一个 k 级子式. 在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n - k 级行列式 M , 称为 k 级子式 M 的余子式. 从定义立刻看出，M 也是 M 的余子式. 所以 M 和 M 可以称为 D 的一对互余的子式.
(j1 - 1) + (j2 - 2) + … + (jk - k)
= (j1 + j2 + … + jk) - (1 + 2 + … + k)
次列变换.
用 D1 表示这样变换后所得的新行列式，那么
D 1 ( 1)
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年] 行列式==( )．A．(ad—bc)2B．一(ad一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：待计算的行列式为数字型行列式，且元素排列有一定规律，应利用行列式性质将其变形化为能直接使用非零元素仅在主、次对角线上的2n阶或2n 一1阶行列式计算：=(a1a2n一b1b2n)(a2a2n-1—b2b2n-1)…(anan+1—bnbn+1)，=an(an-1an+1一bn-1bn+1)(an-2an+2一bn-2bn+2)…(a2n-1a1一b2n-1一b1)．解一令.此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，由式(2．1．1．5)，即得∣A∣=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．解二将∣A∣按第1行展开，然后可利用式(2．1．1．6)直接写出结果：∣A∣=(一a)=(一a)d(ad一bc)+bc(ad —bc)=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．知识模块：行列式2．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：利用行列式性质将f(x)化为含零子块的四分块矩阵的行列式或三角形行列式计算．(式(2．1．1．6))=5x(x－1)．由此可知f(x)=0的根有2个．仅(B)入选．知识模块：行列式3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式∣AB∣≠0B．当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0C．当n＞m时，必有行列式∣AB∣≠0D．当n＞m时，必有行列式∣AB∣=0正确答案：B解析：证秩(AB)＜m或证ABX=0有非零解(利用命题2．1．2．7)证之．解一利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到：(1)当m＞n时，有秩(A)≤min{m，n)=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m；(2)秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故∣AB∣=0．仅(B)入选．解二因BX=0的解必是ABX=0的解．而BX=0是n个方程m 个未知数的齐次线性方程组．当m＞n时，BX=0有非零解，从而ABX=0有非零解，故∣AB∣=0．仅(B)入选．知识模块：行列式4．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=.若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：注意到Q的列向量为α1，α2，α3的线性组合，首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式，再代入Q-1AQ中进行运算，即可求得正确选项．解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]因而Q-1AQ=，故仅(B)入选．解二用初等矩阵表示，有Q=PE12：(1)，由E12-1(1)=E12(一1)得到Q-1AQ=[PE12(1)]-1APE12(1)=E12-1(1)P-1APE12(1)=E12(一1)P-1APE12(1)=仅(B)入选．知识模块：矩阵5．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：利用命题2．2．1．4及命题2．1．2．6求之．解一易求得(E —A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E－A+A2)=E+A3=E．由命题2．2．1．4知E一A可逆，E+A也可逆．仅(C)入选．解二由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值，由命题2．1．2．6知，它们均可逆．仅(C)入选．知识模块：矩阵6．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．√3／3B．3C．1／3D．√3正确答案：A解析：出现第l行3个相等的元素，自然想到用行列式展开定理．用a11的表达式表示∣A∣，再利用命题2．1．2．8即可求出a11解一显然矩阵A满足命题2．1．2．8中的三个条件，因而由该命题即得∣A∣=1．将∣A∣按第1行展开得到1=∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故以a11=√3／3．仅(A)入选．解二由A*=AT，即，其中Aij为∣A∣中元素aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，得aij=Aij(i，j=l，2，3)．将∣A∣按第1行展开，得∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到∣A*∣=∣A∣3-1=∣AT∣=∣A∣，即∣A∣(∣A∣一1)=0，而∣A∣＞0，故∣A∣一1=0，即∣A∣=1，则3a112=1，因a11＞0，故a11==√3／3．仅(A)入选．知识模块：矩阵填空题7．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量．记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如果∣A∣=1，那么∣B∣=_________．正确答案：将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式，再在等式两边取行列式；也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系，从而求出∣B∣．解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC，其中C=为三阶范德蒙行列式，则∣C∣=2，故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2．解二用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数，找出∣A ∣与∣B∣的关系，求出∣B∣．∣B∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，2α3∣∣α1+α2+α3，α2，2α3∣=2∣α1+α2+α3，α2，α3∣2∣α1，α2，α3∣=2∣A∣=2．涉及知识点：行列式8．[2006年] 设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则∣B∣=_________．正确答案：可用上述法一或法二求之．解一由BA=B+2E得∣B(A—E)∣=∣2E∣=22=4，故∣[B∣∣A—E∣=4，∣B∣=4／∣A—E∣=4／2=2．解二由BA=B+2E得B(A—E)=2E，则B=2(A—E)-1=2，故∣B∣=2．涉及知识点：行列式9．[2003年] 设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则∣B∣=_________．正确答案：注意到所给矩阵方程A2B—A—B=E含单位矩阵E的加项，左端又出现矩阵A的平方，应将它们结合在一起，因式分解，将方程化成矩阵乘积形式，再取行列式求解．题设等式化为(A2一E)B=A+E，即(A+E)(A—E)B=A+E．易求得∣A+E∣=18≠0，故A+E可逆．在上式两端左乘(A+E)-1，得到(A—E)B=E．再在两边取行列式，得∣A—B∣∣B∣=1．因∣A—E∣==2，故∣B∣=／2．涉及知识点：行列式10．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式∣2A∣=一48，则λ=________．正确答案：先利用命题2．1．2．2求出行列式∣A∣，再利用命题2．1．2．4即可求出参数λ．由命题2．1．2．2得∣2A∣=23∣A∣=一48，解得∣A ∣=一6．又由命题2．1．2．4得到∣A∣=一6=λ·2·3，故λ=一1．涉及知识点：行列式11．[2012年] 设A为三阶矩阵，∣A∣=3．A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则∣BA*∣=_________．正确答案：先将矩阵B用初等变换E12与A表示．为利用AA*=∣A∣E，将所得表示式右乘A*．再取行列式．计算行列式时，要正确计算出初等矩阵的行列式∣E12∣．由题设有B=E12A，两边右乘A*得到BA*=E12AA*=∣A ∣E12E=∣A∣E12，则∣BA*∣=∣∣A∣∣E12∣=∣A∣3∣E12∣=33(一1)=一27．涉及知识点：行列式12．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=__________．正确答案：利用A*=(Aij)及∣A∣=∣A∣3-1求之．由a=一A，则(a)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=一(Aij)，故AT=一A*，从而∣A∣=∣AT∣=∣—A*∣=(一1)3∣A∣3-1=一∣A∣2，即∣A∣2+∣A∣=∣A∣(∣A∣+1)=0，故∣A∣=0或∣A∣=一1．若∣A∣=0，则由∣A∣=ai1Ai1+ai1Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到a=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾，故∣A∣=一1．涉及知识点：行列式13．[20l0年] 设A，B为三阶矩阵，且∣A ∣=3，∣B∣=2，∣A-1+B∣=2，则∣A+B-1∣=_________．正确答案：∣A+B-1∣=∣A+B-1∣，常用单位矩阵E将其恒等变形为∣A+B-1∣=∣A+B-1E∣而求之，也可在A+B-1的左和(或)右边乘以适当矩阵化为其行列式已知的矩阵而求之．解一∣A+B-1∣=∣EA+B-1E∣=∣(B-1B)A+B-1(A-1A)∣=∣B-1(BA+A-1A)∣=∣B-1(B+A-1)A∣=∣B-1∣∣B+A-1∣A∣=1．2．3=3．解二A-1(B-1+A)B=A-1B-1B+A-1AB=A-1+B，故∣A-1∣∣B-1+A∣∣B∣=∣A-1+B∣=2，即∣B-1+A∣=2∣A∣／∣B ∣=6／2=3．涉及知识点：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是_________．正确答案：利用命题2．1．3．1(1)寻找λ满足的条件．因方程个数与未知数的个数相等，又该方程组只有零解，由命题2．1．3．1(1)知∣A∣≠0，从而∣A∣==(λ—1)2．于是当λ≠1时，∣A∣≠0，即该方程组只有零解．涉及知识点：行列式15．[2003年] 设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=则αTα=_________．正确答案：由命题2．2．1．2知，αTα为ααT的主对角线元素之和．另一种思路是利用向量运算规律求出α，再求αTα．解一由命题2．1．1．2知，αTα为ααT的主对角线上的元素之和，即αTα=1+1+1=3．解二由ααT=[1，一1，1]知α=，于是αTα=3．涉及知识点：矩阵16．设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．正确答案：求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之．解一先求出n=2，3时，A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A,A3=A2．A=2A·A=2A2=2．2A=22A，设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak．A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1．2A=2kA．因而对任何自然数，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1．A－2·2n-2A=0．解二由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由∣λE－A∣=λ(λ－2)2得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是A=PΛP-1，An=PΛnP-1，2An-1=P(2Λn-1)P-1=PΛnP-1，故An一2An-1=0．涉及知识点：矩阵17．设A=，其中ai≠0(i=1，2，…，n)，则A-1=_________．正确答案：把A看作是A=的分块矩阵，利用分块矩阵的求逆公式(命题2．2．1．5(3))易求得A-1也可用初等行变换求之．涉及知识点：矩阵18．设A=,A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．正确答案：直接利用式(2．2．2．1)求之．由式(2．2．2．1)得到(A*)-1= 涉及知识点：矩阵19．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________．正确答案：解一因A的秩为2，较其阶数4小2，由命题2．2．2．1知秩(A*)=0．解二由题设知A的秩为2，因而A的所有三阶子式等于0．于是A 的所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故秩(A*)=0．涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高等代数行列式
a2
a 1
2
a 2
2
a 3
2
(5)计算 D
b2 c2 d2
b 1 b 2 b 3 2 2 2 c 1 c 2 c 3 2 2 2 d 1 d 2 d 3
2 2 2
解：将行列式D看作 a 的多项式，按第一列展开可 知D是关于 a 的至多二次多项式。
an
0
0
(1)
2 n 1
bn
0
a b c d
1 1
0
cn 1 0
d n 1 0
0 dn
c
c
n
n 1
d
0
n 1
0
都按最后一行展开
由此得递推公式：
an d n D2 n2 bn cn D2 n2
D2n (an dn bncn )D2n2
即 而 得
D2 n (ai di bi ci ) D2
假设对于 (n 1) 阶行列式命题成立，即
Dn1 xn1 a1xn2
an2 x an1 ,
则Dn按第1列展开 :
Dn xDn 1 an (1) n 1 1 0 x 1 1 1 0 0 x 0 0 1
xDn1 an 右边
所以，对于 n 阶行列式命题成立.
n ( n 1) 2
n 1i j 1
n ( n 1) 2
[(a i 1) (a j 1)]
[(i j)] (1)
n ( n 1) 2
(1)
n 1i j 1
(1)
n ( n 1) 1 2
n 1i j 1
高等代数习题解答(第二章)
高等代数习题解答第二章 行列式1．决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）134782695； 2）217986354； 3）987654321．1）解 ()134********τ=，排列134782695是偶排列． 2）解 ()21798635418τ=，排列217986354是偶排列． 3）解 ()98765432136τ=，排列987654321是偶排列． 2．选择i 与k 使1）1274569i k 成偶排列； 2）1254897i k 成奇排列．1）解 当8,3i k ==时，()12748563910τ=，排列127485639为偶排列． 2）解 当3,6i k ==时，()1325648975τ=，排列132564897为奇排列． 3．写出把排列12435变成排列25341的那些变换． 解 (1,2)(1,5)(4,3)12435214352543125341→→→．4．决定排列(1)21n n - 的逆序数，并讨论它的奇偶性． 解 ()(1)(1)21012(2)(1)2n n n n n n τ--=++++-+-=． 当4n k =或41()n k k +=+∈ 时，排列为偶排列； 当42n k =+或43()n k k +=+∈ 时，排列为奇排列．5．如果排列121n n x x x x - 的逆序数为k ，排列121n n x x x x - 的逆序数是多少？解 由于一个n 级排列中，构成逆序的数对与构成顺序的数对总数是2(1)2n n n C -=，把一个排列颠倒后，原来的逆序变成顺序，原来的顺序变成逆序，所以排列121n n x x x x - 的逆序数(1)2n n k --． 6．在6级行列式中，233142561465a a a a a a 与324314516625a a a a a a 这两项应带有什么符号？解 由于(234516)(312645)4ττ+=+=；(341562)(234165)6410ττ+=+=，故两项均应带有正号．7．写出4级行列式中所有带负号并且包括因子23a 的项． 解 所求的项为112332a a a a -；12233441a a a a -；14233142a a a a - 8．按定义计算行列式：1）000100200100000n n-； 2）010000200001000n n -；3）00100200100000n n-．1）解 原行列式(1)((1)21)2(1)!(1)!n n n n n n τ--=-=- ．2）解 原行列式(231)1(1)!(1)!n n n n τ-=-=- ． 3）解 原行列式(1)(2)((1)(2)21)2(1)!(1)!n n n n n n n τ----=-=- ．9．由行列式的定义证明：123451234512121200000000a a a a ab b b b bc cd de e =． 证明 由定义，行列式的一般项为125125()125(1)j j j j j j a a a τ- ， 其中，125j j j 是一个5级排列．在这个5级排列中，345,,j j j 至少有一个大于或等于3，则相应的元素等于0，由此可知每一项都为0，从而行列式为0．10．由行列式的定义计算212111()321111xx x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由．解 ()f x 的展开式中x 的4次项只有一项：(1234)(1)2x x x x τ-⋅⋅⋅，故4x 项的系数为2；x 的3次项也只有一项：(2134)(1)1x x x τ-⋅⋅⋅，故3x 项的系数为1-．11．由1111110111=证明：奇偶排列各半．证明 由于行列式的每个元素都等于1，所以它的每一项的绝对值都等于1，当行标按自然顺序排列时，符号由列标排列的奇偶性确定，当列标排列为奇排列时，符号为负，当列标排列为偶排列时，符号为正．由又由于行列式等于0，说明带正号的项与带负号的项个数相等，即（列标排列中）奇排列与偶排列各占一半．12．设21211112111111()1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------=，其中121,,,n a a a - 是互不相同的数．1）由行列式定义，说明()p x 是一个1n -次多项式；2）由行列式性质，求()p x 的根．解 1）()p x 的展开式中，含1n x -的只有一项，其系数是211112112222111111(1)1n n n n n n n a a a a a a a a a --+-----，由于121,,,n a a a - 互不相同，上述的范德蒙德行列式不等于0，故1n x -项的系数不等于0，从而()p x 是一个1n -次多项式．2）2121111111112111111()()()1n n n n i j k i i k n n n n n x x x a a a p x a x a a a a a ----=≤<≤-----==∏-⋅∏-，而111()0n j k i k n a a -≤<≤-∏-≠，于是()p x 的根是121,,,n a a a - ．13．计算下面的行列式：1）2464273271014543443342721621； 2）xy x y yx y x x y xy+++；3）3111131111311113； 4）1234234134124123；5）1111111111111111xx y y+-+-； 6）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++++++++．1）解 2464273271014543443342721621123100042732720005434431000721621c c c ++=23100010032720001004431000100621c c -= 121000100511327102144311621c c ÷÷=21312511327100121100294r r r r --=--529410=-⨯．2）解 xy x y y x y x x yx y +++()()()123222c c c x y y x y x y x yx x y xy++++=+++()()121211c x y y x y x y x y x xy÷++=++()2131120r r r r y x yx y xy x yx--+=+---()2x yx y x y x-=+--()()22()()x y x y x y =+----()22332()2()x y x xy y x y =+-+-=-+．3）解311113111131111312346111631161316113c c c c +++=2131416111020000200002r r r r r r ---=622248=⨯⨯⨯=．4）解1234234134124123123410234103411041210123c c c c +++=21314110234011302220111r r r r r r ----=-----32412102340113004404r r r r -+-=--101(4)(4)160=⨯⨯-⨯-=．5）解1111111111111111xx y y +-+-123411110011110r r r r x x x y yy--+--=+--21431100001010c c c c x x x y yy--+--=+--241300(1)0x x y y+++--=---拉普拉斯定理22xy xy x y =⋅=．注1：也可以不用拉普拉斯定理；注2：另解 将第4行拆成两行．6）解2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++++++++2131412222214469214469214469214469c c c c c c a a a a b b b b cc c cd d d d ---++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b cc d d --++==++．14．证明1111111112222222222b cc a a b a b cb c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++． 证法一 左边1231111122222222c c c a c a a b a c a a b a c a a b ---++=-++-++1(2)11111222222c a c a a b a c a a b a c a a b ÷-++=-++++ 21311112222c c c c a c b a c b a c b --=-231112222c c a b ca b c a b c ↔==右边．证法二 左边123111111122222222()2()2()c c c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++=++++++++12111111122222222c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ÷++++=++++++++ 213111111222222c c c c a b c b c a b c b c a b c b c --++--=++--++--1231112222c c c a b c a b c a b c ++--=----23(1)111(1)2222c c a b ca b c a b c ⨯-⨯-==右边． 15．略16．计算下面的行列式：1）1111211312254321- 2）111121121311113211102---3）0121420121135123312121035-- 4）111122011213210211012121302--- 1）解111121*********1-21314124111101151140123r r r r r r ------=---3242111101150001012r r r r +----=--3411110115001201r r ↔---=--34111101151(1)(1)(1)1001201r r ↔---=-=-⨯-⨯-⨯-=--．2）解111121121311113211102---1243223112122211211123201c c c ⨯⨯⨯-=--131211122213112123201r r ↔--=--213141331211041310541120834r r r r r r +-+-=----231211015210541120834r r +--=----32425812110152100211112003720r r r r -+--=--- 211111(1)372012--=-⨯⨯-1(2120(11)37)12=⨯-⨯--⨯1312=-．3）解 0121420121135123312121035--31415133012142012110141030551120241r r r r r r ----=------122121114101(1)355112241+---=⨯----1232422320110191141008174141219r r r r r r +++-----=-----2111019(1)(1)8174141219+--=--⨯-----2331241101907302857r r r r ---=----1173(1)(1)2857+--=--⨯--21473069r r ---=483=-．4）解 1101122011213210211012121302---13522221022201121642108110124261r r r ⨯⨯⨯--=-3141514221022201121202788300300645r r r r r r -+---=--- 31415141222112227811(1)303080645r r r r r r -++----=⨯⨯--31211222581300080645c c -----=--313111213(1)2588645c c -+--=-⨯⨯---21312611230712801017r r r r ++--=---117123(1)(1)10178+-=-⨯-⨯--33((7)1712(10))88=-⨯-⨯-=．17．计算下列n 级行列式：1）000000000000x y x y x y yx； 2）111212122212nnn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------；3）121212n n n x m x x x x m x x x x m---； 4）122222222232222n；5）12311100002200011n n n n-----． 1）解 000000000000x y x y x y y x111110000000000000(1)(1)00000000000000n n n x y y x y x y x y x y y x x y ++--=⋅-+⋅-按第1列展开111(1)n n n x x y y -+-=⋅+⋅-1(1)(2)n n n x y n +=+-≥．2）解 当1n =时，1111a b a b -=-； 当2n =时，11122122a b a b a b a b ----112212211212()()()()()()a b a b a b a b a a b b =-----=--；当3n ≥时，111212122212nnn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------21311112121212131313112nr r r r n n n na b a b a b a a a a a a a a a a a a a b a b a b --------=------=0． （第2，3两行成比例）3）解121212n n n x mx x x x m x x x x m---12212121nni n i nc c c i n i ni n i x mx x x mx m x x mx x m=+++==---=--∑∑∑121(2,3,,)000i ninr r i i n x mx x m m-==--=-∑11()n n i i m x m -=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑． 4）解 122222222232222n2(1,3,4,,)1000222200100002i r r i n n -=-=-2121000022200100002r r n +-=-(1)2(2)!2(2)!n n =-⨯⨯-=--．另解：1(2,3,,)i r r i n -= ，然后按第2行展开．5）解 1231110000220000011n n n n -----12(1)23120100002200011nc c c n n n n n n++++--=---10002200(1)211n n n n--+=--按第1列展开(1)(1)(2)(1)2n n n +=---11(1)(1)!(1)(1)!(1)22n n n n n n --++=--=-． 另解：第1列起，各列加到后一列，然后按第n 列展开．18．证明1）01212011111001100()100nn i ina a a a a a a a a ==-∑； 2）012111021000100010000001n n n n n x a x a x a x a x a x a xa x a ------=++++-+；3）1100010001000001n n αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+； 4）cos 100012cos 100cos 012cos 00012cos n ααααα=；5）1231211111111111111111(1)11111nn i ina a a a a a a a =+++=++∑． 1）证法一 当1n =（2级）时，左边=0011111a a a a =-=右边；假设等式对于n 级的情形成立，则对于1n +级情形：左边=0121111001001na a a a0111(1)1(1)(1)2211111111100000(1)(1)100000100n n n n n n nna a a a a a a ++++++-=-+-按第行 展开1(1)1(121)12112101(1)(1)[()]n n n n n n n iia a a a a a a a a τ-++---=--+-∑第2个行列式根据归纳假设112112101[()]n n n n iia a a a a a a a a ---=-+-∑ 12101()nn n i ia a a a a a -=-∑=右边． 证法二 左边=012111100100100n a a a a11221(1)1033200011111111000000000000000(1)000000n n na a a a a a a a a a ++=-++-按第列 展开2(121)01223121(1)(1)n n n n n n a a a a a a a a a a τ+--=-++-- 2101223121(1)(1)n n n n n a a a a a a a a a a +--=-++--01223121n n n a a a a a a a a a a -=--- =右边．证法三提示 将第(2,3,,1)i i n =+ 行的1ia -倍加到第一行即得下三角行列式． 2）证法一 当1n =时，左边=00x a x a +=+=右边； 假设等式对于n -1级情形成立，则对于n 级情形：左边=01221000100010000001n n x a x a x a xa x a -----+0121032110001000100010001000100(1)000000100101nn n n n xa x x a x x a xa xa x x a +---------=+---+-按第1行 展开111210()(1)(1)n n n x x a x a a -+-=++++-- 第1行列式根据归纳假设2210()n x a x a x a =++++ 第1行列式根据归纳假设=右边．于是，等式成立．证法二 左边=01221000100010000001n n x a x a x a xa x a -----+120110000000010001000010000100(1)(1)000100010101n nnx x x x a a x x ++-----=-+-+----按第列 展开(1)21000000001000100001000100(1)()(1)00000000000100n nn nn n x x x x x x a x a xx x-++-------++--1122211210121(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x x a x +-+------=--+--++--++- 110121()n n n n a a x a x x a x ----=+++++=右边．3）将等式左边的行列式记为n D ，按第1列展开，得 12()n n n D D D αβαβ--=+-， 即 112()n n n n D D D D αβα----=-， 该等式对于一切的n 都成立，于是2123()n n n n D D D D αβα----=- 334()n n D D βα--=- =221()n D D βα-=-22[()()]n βαβαβααβ-=+--+n β=． ① 在原式中，是,αβ对称的，故同理可得1n n n D D βα--=． ②②α⨯-①β⨯，得11()n n n D αβαβ++-=-，所以 11n n n D αβαβ++-=-．另解 第二数学归纳法，按第1行展开（略）．4）提示 用第二数学归纳法，按第n 行展开得122cos n n n D D D α--=⋅-． 5）提示 用数学归纳法，将第n 行拆成两行111 与00n a ． 19—21略。
《高等代数》第二章习题及答案
习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答 只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵． 解 设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证 已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．） 解 不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证 充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换． 证 因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证 已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证 设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证 令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证 由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解 如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的． 如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证 当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证 若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证 先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3． 解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证 如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00， 从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。
《高等代数》(上)题库
《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。
(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。
(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。
(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。
(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。
(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。
(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。
最新高代第二章-行列式精品文档
高代第二章-行列式
行列式
主要内容：
➢ n 阶行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 行列式的计算 ➢ 克拉默（Cramer）法则
行列式
性质1 行列互换，行列式不变，即 D=DT
§4 行列式的性质
a11 a12 … a1n
a11 a21 … an1
a 21 a 22 … a 2 n a12 a22 … an 2
… … …… … … … …
an1 an2 … ann
a1n a2n … ann
行列式有关对行成立的性质，对列也成立。
a 3 1 a 3 2 a 3 3 a 1 2 a 2 1 a 3 3 a 1 1 a 2 3 a 3 2 ( 1 )(j1j2j3)a 1j1a 2j2a 3j3 j1j2j3
（1）三阶行列式由6项组成； （2）每一项是3个元素的乘积，而且这3个元素位于不同的行和列； （3）任意项中三个元素都含有2个下标，第一个下标表示元素所在的行，
例如：由1，2，3可以组成6个3级排列
123，132，213，231，312，321 自然排列
行列式 ● 逆序数
§2 排列
定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即大数 排在小数的前面，则称它们为一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称
为该排列的逆序数。把排列 i1i2 … in 的逆序数记为：(i1i2… in)
行列式
§5 行列式按一行(列)展开
§5 行列式按一行(列)展开
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．记行列式为f(x)，则方程f(x)＝0的根的个数为A．1．B．2C．3D．4正确答案：B解析：[分析] 本题实质上是考查四阶行列式的计算问题，可利用行列式的性质进行计算，得到f(x)后，即可确定其根的个数．[详解] 因为由此可知f(x)＝0的根的个数为2，故应选(B)．[评注] 由于数学二只要求考查线性代数初步，相对内容较少，行列式的计算问题基本上每年出一题，因此利用行列式的定义、性质和按行或列展开定理进行计算应熟练掌握．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0．B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜＝0．C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0．D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜＝0．正确答案：B解析：[分析] 四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断AB是否满秩即可．[详解] 因为AB为m 阶方阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n)，当m＞n时，由上式可知，r(AB)≤n＜m，即AB不是满秩的，故有行列式｜AB｜＝0．故应选(B)．[评注] 本题不知矩阵AB的具体元素，因此直接应用行列式的有关计算方法进行求解是困难的．对于此类抽象矩阵行列式的计算往往可考虑转换为利用：1．矩阵的秩(判断行列式是否为零)；2．行(列)向量组的线性相关性；3．方程组解的判定；4．特征值和相似矩阵的性质等进行计算．知识模块：行列式3．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ—c的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：[分析] 本题考查初等矩阵的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为这两个初等矩阵的乘积．[详解] 由题设，有，于是，故应选(D)．知识模块：矩阵4．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得－B*．D．交换A*的第1行与第2行得－B*．正确答案：C解析：[分析] 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可．[详解] 由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A＝B，于是B*＝(E12A)*＝A*E12*＝A*｜E12｜.E12－1＝－A*E12，即A*E12＝－B*，故应选(C)．[评注] 注意伴随矩阵的运算性质：AA*＝A*A＝＝｜A｜E，当A可逆时，A*＝｜A｜A－1，(AB)*＝B*A*．知识模块：矩阵5．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则A．C＝P－1AP．B．C＝PAP－1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：由题设可得，而，则有C＝PAP－1．故应选(B)．知识模块：矩阵6．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP＝．若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则QTAQ为A．B．C．D．正确答案：A解析：因为Q＝P．于是．即(A)正确．知识模块：矩阵7．设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记，则A＝A．P1P2．B．P1－1P2．C．2P1．D．2P1－1．正确答案：D解析：由已知条件有P2AP1E得A＝P2－1EP1－1＝P2P1－1．故应选(D)．知识模块：矩阵8．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P－1AP＝若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝A．B．C．D．正确答案：B解析：由已知条件有Q＝P，因此故应选(B)．知识模块：矩阵9．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于A．kA*．B．kn－1A*．C．knA*．D．k－1A*．正确答案：B解析：[分析] 利用伴随矩阵的定义讨论即可．若加强条件，则可令A可逆．[详解1] 采用加强条件的技巧，设A可逆，则由AA*＝A*A＝｜A｜E，知A*＝｜A｜A－1，于是(kA)*＝｜kA｜(kA)－1＝kn｜＝kn－1｜A｜A－1＝kn－1A*．故应选(B)．题设k≠0，±1，n≥3，主要是为了做到四个选项只有一个是正确的．[详解2] 由A*的定义，设A＝(aij)n ×n，其元素aij的代数余子式记作Aij，则矩阵kA＝(kaij)n×n，若其元素的代数余子式记作△ij(i，j＝1，2，…，n)，由行列式性质有△ij＝kn－1Aij(i，j＝1，2，…，n)．从而(kA)*＝kn－1A*．[评注] 涉及与A*有关的题目，一般利用A*的定义和公式AA*＝｜A｜E．知识模块：矩阵10．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜＝2，｜B｜＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为A．B．C．D．正确答案：B解析：利用伴随矩阵的公式，有。
高等代数作业 第二章行列式答案
高等代数第四次作业第二章 行列式 §1—§4一、填空题1.填上适当的数字,使72__43__1为奇排列、 6,52.四阶行列式44⨯=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____、 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3.设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =ΛΛΛΛΛΛΛ则._____122122211121=n n nnn na a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ(1)2(1)n n d -- 4.行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数就是_____、 2 二、判断题1、 若行列式中有两行对应元素互为相反数,则行列式的值为0 ( )√2、 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则121112222121n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d ( )×3、 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ( )×4、 abcd zz z dy y c x b a =000000( ) √ 5、abcd dcx b y x a z y x-=000000 ( )× 6、0000000=yxh gf e d c b a ( )√7、 如果行列式D 的元素都就是整数,则D 的值也就是整数。
( )√ 8、 如果行列D 的元素都就是自然数,则D 的值也就是自然数。
( )×9、n na a a a a a ΛN 2121= ( )×10、 01000200010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn -=n ！ ( )× 三、选择题1.行列式01110212=-k k 的充分必要条件就是 ( ) D(A)2=k (B)2-=k (C)3=k (D)2-=k 或 3 2.方程093142112=x x 根的个数就是( )C (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 ( )A(A)665144322315a a a a a a (B)655344322611a a a a a a (C)346542165321a a a a a a (D)513312446526a a a a a a4、 n 阶行列式的展开式中,取“–”号的项有( )项 A(A)2!n (B)22n (C)2n (D)2)1(-n n5.若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-就是五阶行列式的一项,则l k ,的值及该项的符号为( )B (A)3,2==l k ,符号为正; (B)3,2==l k ,符号为负; (C)3,1k l ==,符号为正; (D)1,3k l ==,符号为负6.如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ,则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C(A)2 M (B)－2 M (C)8 M (D)－8 M 7.如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ,则=1D ( )C(A)8 (B)12- (C)24- (D)24 四、计算题 1. 计算3214214314324321解:3214214314324321321421431432111110=123012101210111110------=440004001210111110---=400004001210111110---==1602、 计算3111131111311113、 解:3111131111311113=31111311113111116•=20000200002011116•=.48263=⨯高等代数第五次作业第二章 行列式 §5—§7一、填空题1、 设ij ij A M ,分别就是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02、 122305403-- 中元素3的代数余子式就是 、6-3、 设行列式4321630211118751=D ,设j j A M 44,分布就是元素j a 4的余子式与代数余子式,则44434241A A A A +++ = ,44434241M M M M +++= 、0,66- 4、 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解,则k 、 2≠5、 含有n 个变量,n 个方程的齐次线性方程组,当系数行列式D 时仅有零解、 0≠ 二、判断题1、 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -,则D=0 ( )√2、222)(00000000a b b a a b b a ab -= ( )√ 3、222)(00000000b a a b b a a b b a -= ( )√4、0=d b a c d b c a b d c a b d a c ( )√ 5、483111131111311113= ( )√ 6、)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= ( )× 7、0107310111187654321=--- ( )√三、选择题1、 行列式102211321的代数余子式13A 的值就是( )D(A)3 (B)1- (C)1 (D)2-2.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的就是 ( )D(A)行列式主对角线上的元素全为零 (B)行列式主对角线上有一个元素为零 (C)行列式零元素的个数多于n 个 (D)行列式非零元素的个数小于n 个3.若111111111111101)(-------=x x f ,则)(x f 中x 的一次项系数就是( )D(A)1 (B)1- (C)4 (D)4-4.4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D(A)43214321b b b b a a a a - (B)))((43432121b b a a b b a a -- (C)43214321b b b b a a a a + (D)))((41413232b b a a b b a a -- 5.如果122211211=a a a a ,则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解就是( )B(A)2221211a b a b x =,2211112b a b a x = (B)2221211a b a b x -=,2211112b a b a x = (C)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x ----=(D)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x -----=6、 三阶行列式第3行的元素为4,3,2对应的余子式分别为2,3,4,那么该行列式的值等于( )B(A)3 (B)7 (C)–3 (D)-77.如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解,则 k =( )C(A)0 (B)1 (C)－1 (D)3 四、计算题1、 计算D=100110011001aa aa---解:方法1:100110011001aa a a ---21r r ↔=aa a a 100110001011---21r ar +=aaa a a 101100100112--+-32r r ↔=aa a a a 100101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a方法2:将行列式按第一行展开,有:1001101101a aa a---=1011011010101a a a aa a-----=1]01111[2++---•a aaa a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a2、 计算12125431432321-=n n n D n ΛM M M M ΛΛΛ解:12125431432321-n n n ΛM M M M ΛΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M ΛΛΛ121125411431321)1(21-+=n n n n ΛM MM M ΛΛΛ11101111110321)1(21ΛMMM M ΛΛΛn nnn n --+=111111111)1(21ΛM M MΛΛn n n n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n n n n n n n ΛM M MΛΛ3、 计算6427811694143211111解:6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12=4、 计算=n D 12111111111na a a +++L L M M M L 解:=n D 12111111111na a a +++LL M M M Lna a a ΛM M M ΛΛ1101101121++=12111111+111a a ++LLM M ML1211--+=n n n a a a D a Λ).11(121∑=+=ni in a a a a Λ 5、 解方程:22x 9132513232x 213211--=0、解:22x 9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=223310131000103211)1(x x ----•-=223300130000103211)1(x x ----•-=224000130000103211)1(x x ---•-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1.证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明:()()()()()()()()()()()()43433232212222222222222222222222221232123252122123212325212221232521221232123252122123c c c c c c c c c c a a a a a a a a a a bb b b b b b b b bc c c c c c c c c cd d d d d d d d d d -----++++++++++++++++++++++++++++ 40推论2.设111,12,11,111211ΛΛM M M Λn n n n n a a a a a a D ---=,求证:n D D D D +++=Λ21,其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。
高等代数第二章课后习题
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
x1-m
x2
…
xn
x1
x2-m … xn
3）
.
.
.
.
. .
.
.
.
x1
x2
…
xn-m
第二章 行列式
第 章 行列式
2
1
第二章 行列式
5x1+6x2=1 x1+5x2+6x3=0 4） x2+5x3+6x4=0 x3+5x4+6x5=0
x4+5x5=1
2
第 章 行列式 3
ห้องสมุดไป่ตู้
a a ...a 2
n-1
n-1
n-1 n-1
其中 a1，a2，...，an-1 是互不相同的数. 1) 由行列式定义说明，p(x)是一个 n-1 次多项式;
2)由行列式性质,求 p(x)的根 .
4
1.计算下面的行列式:
第二章 行列式
246 427 327
1)
1014 543 443 ;
-342 721 621
1
第 章 行列式 2
第二章 行列式
6.由行列式定义计算
2x x 1 2
f（x）= 1 3
x 1 -1 2x 1
1 11 x
中 x4 与 x3 的系数，并说明理由.
3
第二章 行列式
证明奇偶排列各半.
8.设
1
P(x)=
1 .
.
.
1
x
x2...xn-1
a1 a12 ...a1n-1 . .. . .. . ..
上海大学高等代数历年考研真题
2000 上海大学高等代数a b b bc a b b(一 ) 计算行列式 : c c a bc c c a(二 )把二次型 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2x2 x3x3 x4x1 x4用非退化线性替换化成平方和 .(三 )A, B 分别为n m 和 m n 矩阵,I n表示 n n 单位矩阵.证明: m n阶矩阵 X A In可逆当且仅当 BA 可逆，可逆时求出 X 的逆.0B(四 )设 e1 , e2e n是 n 维线性空间 V n的一组基，对任意 n 个向量a1, a2a n V n，证明：存在唯一的线性变换A，使得A(e i )a i i , 1 ,n2(五 )设 A 是n维线性空间 V 的线性变换，求证：V AV A 1(0)当且仅当若 a1 , a2 a r为AV的一组基则 Aa1 , Aa2Aa r是 A2 (V ) 的一组基.(六 )设 A为2级实方阵，适合A210，求证： A 相似于1 .0110 (七 )已知 f , g 均为线性空间 V 上线性变换，满足f2 f , g2g 试证：（ 1）f与g有相同的值域fg g, gf f .（ 2）f与g有相同的核fg f , gf g.2001 上海大学高等代数x a2a3a na1x a2a n（一）计算行列式： a1a2x a na1a2a3x（二）设 A 为 3阶非零方阵，且 A20 .a1（1）求证：存在a1, a2,a3，b1,b2,b3， A a2b1 b2 b3a3（2）求方程组AX0 的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行f (x1, x2 , x3 )x123x222x324x1x3 4x2 x3为标准形（四）设 A 为n m 阶实矩阵，且r ( A)m(n m) .若( AA')2aAA'，求证AA'aE m.（五）设A是（为奇数）维线性空间V n 1n上线性变换，若 A0,A 0 n n求证：存在 a V ，使a Aa Aa, Aa 2,A , an 2n 1n1为V 的一组A a A a, a基，并求 A 在此组基下的矩阵.（六）设 A 是欧式空间 V 上的对称变换.求证：对任意 a0 ，都有a0 Aa, a0 A 的所有特征值都小于0.（七）设 B A a，其中 A 为n阶负定矩阵，a为n维列实向量，a为实数 .求证B正定的充分必要条件为a' A 1a0 .（八）若 A 是正交阵，且 A 特征值为1的重数是 S ，求证：A ( 1)s（ A 为A的行列式）.2002 上海大学 高等代数x 1 a a aax 2 a aA B . （一）计算行列式：若 A 2B aa x 3a ，求 AB Aa a ax n（二）设 A 是 n 阶可逆方阵， BA A .0 A（ 1）计算 B k （ K 是整数），（ 2）假设（ 三 ）设1 0 0A 1 1 0 ， C 为 6 阶方阵，而且 BC2C E ，求C .1 1 1p p p( n 1) pp p( n 1) ppA， A 是 n 阶矩 阵p( n 1) pp p ( n 1) pppp（ p 0 ），求 AX 0 的基础解系 .（四）构造一个 3 阶实对称方阵 A ，使其特征值为 1，1，-1.并且对 应的特征值有特征向量 ， (2, 2,1).(1,1,1)（五）设向量组 A ： a 1, a 2 ,a 3 a n 的秩为 r （ r n ），则 A 中任意 r 个向量 线性无 关的充 分必要 条件 为：对 任意向量 a i, a i , a i ， 若12r1k 1 a ik 2a i kr 1a i 0 ，则 k 1 , k 2k r 1 或全为 0 或全不为 0.12r1（六）设 A 为 n 阶正定矩阵， B nm为秩为 m 的实矩阵，求证 B ' AB tE（ t 0 ， E 为单位矩阵）为正定矩阵 .（七）设 A 为欧式空间 V 上的线性变换，且 A 2E .（ 1）求证： A 是 V 上的正交变换的充分必要条件为 A 是 V 上的对称变换 .（ 2）设V1 a a V , Aa a ，求证：V V1 V2是直和.（八）设 A 为n阶实正交矩阵， a1 , a2 , a3a n为 n 维列向量，且线性无关，若 A Ea1, A Ea2 A Ea n线性无关，则 A 1 .2003 上海大学高等代数x a a aa x a a（一）计算行列式： A（ A 为n阶矩阵），a a x aa a a xA 2ABA A（1）求A（2）求B（二）设 A 为 n 2k 1 阶反对称矩阵，求 A .（三）设 A, B 为n阶整数方阵（A, B 中元素为整数），若 AB E A （ 1）求证：A1，2 00（ 2）若B1 2 0，求 A .232（四）设A(a1 , a2a n )为 n 阶方阵，r ( A)n 1 ，且a n a1a2a n 1的解 .a1a2a n 1an，求AX（五）设 A 是n阶可逆方阵，且 A 每行元素之和为 a ，求证： A k的每行元素之和为 a k（ k 为正整数）（六）设 A 为n阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵 G 使E r.G 1AGE s（七）设 A2 A ，且 A 为n阶方阵， R( A)r .（ 1）求证：E A 2r（）求证： R( A)R( A E) n （）若 r1，23求 AX 0的解.（八）构造一个 3 阶实对称方阵 A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量 (1,1,1).（九）设二次型f ( X ) x12x22x32x422x1 x22x1 x32x1 x42x2 x32x2 x42x3 x4（ 1）求f ( X )对应的实对称矩阵A.（ 2）求正交变换X PY ，将 f ( X ) 化为标准型.（十）设 A 是n维线性空间 V 上的线性变换，a1, a2a k是对应的不同特征值 1 ,2k 的特征向量.若a1a2a k W ，而W是A的不变子空间，则有维（ W ）k（十一）设 B 为欧式空间 V 上的变换， A 为欧式空间 V 上的线性变换且有：( Aa, ) (a, B ), a,V .证明：（ 1）B为欧式空间V上的线性变换 .（ 2）A1(0)B(V)2004上海大学高等代数（一）设 n 阶可逆方阵 A(a ij ) 中每一行元素之和为a(a0) ，证明：n（ 1）A ij a 1 A (i1,2n) ，其中 A ij为 a ij的代数余子式.j1（ 2）如果a ij都是整数(i1,2n) ，则a整除A.（二）设 A2 n a1a2an 1an为实矩阵，且 r ( A) 2 .b1b2bn 1b n（ 1）求行列式E A'A .（ 2）求A'AX0 的解（ X 是n维列向量）.（三）设 A, B 为n阶整数方阵，若B2E AB .21.（ 1）求证：A B100（2）若B 110，求 (A 2B) 1.231（四）若 A 为非零的半正定矩阵， B 为正定矩阵，求证：（1）求证：存在实矩阵T，使T'T B .（2）A E 1.（3）A B B.（五）设为A的特征值的最小者.求证 : 对任意的n维列向量a ,有a' Aa a' a .(六)设1, 2 ,3为3阶方阵A的特征值, 且1 11,0 1 1,00 1 分别为其对应的特征向量,求A n.(七 ) a1, a 2, a 3V 是n维欧氏空间,是n维空间V上的线性变换a n 1是V中n 1 个线性无关的向量,且(),,如果分别与a1, a2 , a3a n 1正交(不为0).求证 :为的特征向量.3 0 3(八)设 A 3 2B 2 3 0 6 0 ，求证：3 0 3（1） r ( A) r (B) 2（2）题型与钱吉林书习题类示。
名校高等代数历年考研试题(1-3章)
第一章 多项式例 1.1（华南理工大学， 2006年） 设 ( ) ( ) x g x f , 是数域F 上的多项式. 证明：( ) ( ) x g x f | 当且仅当对于任意的大于1的自然数n 有， ( ) ( ). | xg x f n n 证明 必要性显然成立，下证充分性. 设 ( ) g x 在数域F 上的不可约分解为( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 k lllk g x cp x p x p x =××× ，其中 ( ) ,1,2,..., il i p x i k = 是互不相同的不可约多项式.若有 ( ) ( ) | nnf xg x ，则( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 ,0,1,2,...,.k nf nf nfn k i i f x dp x p x p x f l i k =×××££= 其中d 是某个常数，因此有( ) ( ) x g x f | .例 1.2（大连理工大学，2007 年）设 ( ) ( ) ( ) x hx g x f , , 是实系数多项式，如果 ( ) ( ) ( ) x xhx xg x f 22 2 + = ，则 ( ) ( ) ( ) . 0 = = = x h x g x f 证明 由 ( ) ( ) ( ) ( ) 222 f x x g x h x =+ ，可知 ( ) 2 | x f x ，易推得 ( ) | x f x . 于是有 ( ) ( ) 2221 f x x f x= ，代入方程并在两边约去 x 有 () ( ) ( ) x h x g x xf 2 2 21 + = (*)于是有 ( ) ( ) ( ) 22 | x g x h x + ，若多项式 ( ) g x 或 ( ) h x 中的常数项不为零的话，都可 以推出( ) ( )( )x h x g x 2 2 | + 于是有( ) ( ) ( ) () ( )x h x g x x h x g 21 2 1 2 2 2 + = + 代入(*)式并约去 x 有( ) ( ) () ( )x h x g x x f 21 2 1 21 + = 这样又回到原来的方程，所不同的是 ( ) ( ) ( ) 111 ,, f x g x h x 比 ( ) ( ) ( ) ,, f x g x h x 的次数要小 1. 于是经过有限次后必可以使得方程的左边为零次多项式，即为某个常 数c ，使得( ) () ( )x h x g x c k k 22 + = 比较两边的次数易得 0 = c ，并代入方程有( ) () 0 22 = + x h x g k k 于是( ) () 0 = = x h x g k k 那么 ( ) ( ) ( ) ,, f x g x h x 都是某个多项式乘以数0. 由此可推得( ) ( ) ( ) 0 = = = x h x g xf . 例 1.3（大连理工大学，2007年）证明多项式 1 | 1 - - n d x x 的充分必要条件是n d | .证明 充分性显然，下证必要性.若 d r r dq n < < + = 0 ,，则 ( ) ( )11 1 1 - + - = - + - = - r dq r r r n n x x x x x x x 由于 1 - dq x 可被 1 - d x 整除， 而 1 - r x 不能被 1 - d x 整除， 于是 1 - n x 不能被 1 - dx 整除.由其逆否命题可知必要性成立.例 1.4 （北京科技大学，2004年）求一个三次多项式 ( ) x f ，使得 ( ) 1 + x f 能 被( ) 21 - x 整除，而 ( ) 1 - x f 能被( ) 21 + x 整除.解 由题知 ( ) 'f x 能被( ) 1 x - 和( ) 1 x + 整除，又由 ( ) f x 是一个三次多项式， 那么 ( ) 'f x 是一个二次多项式，于是可设( ) ( )( ) aax x x a x f - = - + = 2 ' 1 1 积分易得( ) 33a f x x axb =-+ （其中a, b 为常数） 由题设可知 ( ) 1 f x =- ，易解得3 2 0a b ì = ïí ï = î 那么显然有( ) xx x f 2 3 2 1 3 - = .例 1.5（兰州大学，2004）设 () f x 和 () g x 是数域F 上的两个不完全为零的多 项式，令{ [ ]}()()()()(),() I u x f x v x g x u x v x F x =+Î 证明：(1) I 关于多项式的加法和乘法封闭，并且对任意的 () h x I Î 和任意的 [ ] (), k x F x Î 有 ()() h x k x I Î .(2) I 中存在次数最小的首项系数为 1 的多项式 () d x ， 并且()((),()) d x f x g x = .证明 (1) 容易证明，略.(2) 考虑{ [ ] 0 (()()()())(),() I u x f x v x g x u x v x F x =¶+Î 且 } ()()()()0 u x f x v x g x +¹ 则 0 I 是非负整数的一个子集，由最小数原理， 0 I 中存在最小数，也就是说，I 中存在次数最小的首项系数为1的多项式：11 ()()()()()d x u x f x v x g x =+ 设 () h x 是 I 中任意多项式，且 ()()()() h x d x q x r x =+ ，其中 ()0 r x = 或者(()) r x ¶< (()) d x ¶ .若 (()) r x ¶< (()) d x ¶ ， 则 ()()()() r x h x d x q x =- .由(1)可知 () r x I Î ， 与 () d x 是I 中次数最小的多项式矛盾. 故 ()0 r x = ，所以 ()() d x h x .显然 (),() f x g x I Î ，所以 ()() d x f x ， ()() d x g x .如果 ()() p x f x ， ()() p x g x ，则11 ()()()()()p x u x f x v x g x +即 ()() p x d x ，所以 ()((),()) d x f x g x = .例 1.6（上海交通大学，2004）假设 1 () f x 与 2 () f x 为次数不超过 3 的首项系数为1的互异多项式，若 42343 12 1()() x x f x x f x +++ ，试求 1 () f x 与 2 () f x 的最大公因式.解 由于42 1x x ++ = 22222 (1)(1)(1) x x x x x x +-=++-+ 设它的4个根分别为 1212 ,,, w w e e 其中1212 13131313 ,,, 2222i i i i w w e e -+--+- ==== 由于 4234312 1()() x x f x x f x +++ ，就有 343 12 ()() f x x f x + = 42 (1) x x ++ () g x . 于是有下面的方程组112 122 (1)(1)0 (1)(1)0 f f f f w w += ì í+= î 与 112 122 (1)(1)0 (1)(1)0f f f f e e ---= ì í ---= î 分别解这两个方程组得，12 (1)(1)0 f f == ， 12 (1)(1)0f f -=-= 于是有，11 (1)(),(1)() x f x x f x +- ， 22 (1)(),(1)() x f x x f x +- .进而有 1 (1)(1)() x x f x +- ， 2 (1)(1)() x x f x +- .而 1 () f x ， 2 ,() f x 是互异的次数不超过 3 的首系数为 1 的多项式，所以 2 12 ((),())1 f x f x x =- .例 1.7 （浙江大学，2006 年）设 P 为数域， ( ) [] i i f f x p x =Î ， ( ) [],1,2 i i g g x p x i =Î= .证明：( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 , , , , , g g f g g f f f g f g f = 证明 设 ( )( ), , , , 2 2 2 1 1 1 g f d g f d = = 有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )12121212 12121212 1212 1121122 ,,, ,,, , , ,,. f f f g g f g g f f f g g f g g f d g d f g d f g f g = = = = 例 1.8 （哈尔滨工业大学， 2005年） 设 ( ) ( ) x g x f , 都是实数R 上的多项式，R a Î (1) 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).| a g f x g f a g x g - - (2) 问 ( )( ) a f x f a x - - 33 | 是否成立，为什么？解 (1) 令 ( ), y g x = 考虑多项式( ) ( ) ( ) ( ) a g f y f y h- = 由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0= - = a g f a g f a g h 可知 ( ) ( ) ( )y h a g y | - 即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a g f x g f a g x g - - | .(2) 令 3 b a R =Î ，注意用到(1)的结论，将(1)中a 的换成这里的b ，将(1)的( ) g x 换成这里的 3 x ，可得( ) ( ) 33 | x a f x f a -- .例 1.9（上海大学，2005）设22 1231 1(1)()()()() n n n n n nn x x f x xf x x f x x f x - - éù --++++ ëûL （ 2 n ³ ）求证： 1() i x f x - (1,2,,1) i n =- L . 证明 由题设易知1222 1231 1()()()()n n n n n n n n x x x f x xf x x f x x f x --- - ++++++++ L L 这里令e 是n 次本原单位根，那么22 1231 22222 1231 11212 1231 (1)(1)(1)(1)0(1)(1)()(1)()(1)0(1)(1)()(1)()(1)0n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f e e e e e e e e e - - - - ---- - ì ++++= ï ++++= ï íï ï ++++= î L L L LL于是关于 1231 (1),(1),(1),,(1) n f f f f - L 的齐次线性方程组的系数行列式为22 22222112121 1()() 0 1()()n n n n n n ee e e e e e e e - - ---- ¹ L L MMMML .故齐次线性方程组只有零解，于是 121 (1)(1)(1)0 n f f f - ==== L ，所以 1()i x f x - (1,2,,1) i n =- L .例 1.10（哈尔滨工业大学，2006 年）已知 ( ) ( ) x g x f , 是数域 P 上两个次数大 于零的多项式，且存在 ( ) ( ) 11 ,[], u x v x p x Î 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 = + x g x v x f x u ，问是否存 在 ( ) ( ) ,[] u x v x p x Î ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x v x g x u x g x v x f x u ¶ < ¶ ¶ < ¶ = + , , 1 . 如果存在，这样是唯一的吗？说明理由.解 由于 ( ) ( ) ( ) 11 ()1 u x f x v x g x += ，若 ( ) 1 u x 的次数大于 ( ) g x 的次数，则由 带余除法得( ) ( ) ( ) ( ) 1 u x g x q x u x =+ ， ( ) ( ) ( ) ( )u x g x ¶<¶ 代入上式得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1f xg x q x u x g x v x ++= 即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) 1 1 = + + x v x q x f x g x u x f 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 v x f x q x v x =+ ，则有( ) ( ) ( ) ( )x f x v ¶ > ¶ 否则由比较次数可知上式将不可能成立.关于唯一性的证明，可以假设 ( ) 2 u x ， ( ) 2 v x 也满足条件，那么有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1122 1f x u xg x v x f x u x g x v x +=+= 易得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1221 f x u x u x g x v x v x -=- 由 ( ) f x 与 ( ) g x 互素，可知 ( ) ( ) ( ) ( ) 12 | g x u x u x - .又由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 u x u x g x ¶-<¶ ，可得 ( ) ( ) 12 0 u x u x -= ，即 ( ) ( ) 12 u x u x = ，这时有( ) ( ) 12 v x v x = .例 1.11（华南理工大学，2005年）证明：如果 ( ) ( )( ) 1 , = x g x f ，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x f x g x g x +++= 证明 由已知条件有 ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 f x f x g x += ， ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 g x f x g x += ，由多 项式互素的性质可得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x += 于是有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x g x ++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x g x +++= 综合上述两个等式以及多项式互素的性质有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 f x g x f x g x f x g x f x g x +++= .例 1.12（苏州大学，2005）设 () f x 是一个整系数多项式，证明：如果存在 一个偶数m 和一个奇数n ，使得 () f m 和 () f n 都是奇数，则 () f x 没有整数根.证明 （反证法） 假设 () f x 有整数根k ，则 ()()() f x x k g x =- ，因为x k - 是 本原多项式，故 () g x 是整系数多项式. 又由于()()() f m m k g m =- ， ()()() f n n k g n =- .且 () f m 和 () f n 都是奇数，那么m k - ，n k - 都是奇数，与m 是偶数且n 是 奇数矛盾，所以 () f x 没有整数根.例1.13 （四川大学， 2004年） (1) 设多项式 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 + - - × × × - - = n x x x x f ， 其中n 为非负整数. 证明： ( ) x f 在有理数域上一定不可约.(2) 在有理数域上求多项式 ( ) 36 12 11 2 2 3 4 + - - + = x x x x x g 的标准分解式.(1) 证明 假设 ( ) f x 在有理数域上可约， 故 ( ) f x 可分解为两个整系数多项式 的积， 即存在两个整系数多项式 ( ) ( ) , h x k x 使得( ) ( ) ( )f x h x k x = 注意到 ( ) 1,1,2,,21 f i i n ==×××- ，于是( ) ( ) 1,1,2,,21h i k i i n ==×××- 令 ( ) ( ) ( ) l x h x k x =- ，由 ( ) h x 与 ( ) k x 的次数小于21 n - 知 ( ) l x 的次数也小于 21 n - ，但是 ( ) l x 有21 n - 个不同的根为 1,2,,21 x n =×××- ，那么有 ( ) 0 l x º ，于是 ( ) ( ) h x k x = ，推得( ) ( ) ( ) 2f x k x =³ 但是 ( ) 00 f = ，矛盾. 于是 ( ) f x 在有理数域上不可约.(2) 注意到 ( ) ( ) 230 g g =-= ，由综合除法可得( ) ( ) ( )2223 g x x x =-+ 上式为 ( ) g x 在有理数域上的标准分解式.例 1.14（上海大学，2005）设 1 ()2n nf x x x + =+- (1) n ³ ，求 () f x 在有理数域上的不可约因式并说明理由. 解11 ()2(1)(1)n n n nf x x x x x ++ =+-=-+- 112 12 (1)(1)(1)(1) (1)(2222)(1)()n n n n n n n x x x x x x x x x x x x g x --- -- =-++++-+++ =-+++++ =- L L L 对 () g x ， 令 2 p = ， 用Eisenstein 判别法容易证明 () g x 在有理数域上不可约， 因此 () f x 在有理数域的不可约因式是： 1 x - 及 12 2222 n n n x x x x -- +++++ L .例 1.15（大连理工大学，2004）设R Q 分别表示实数域和有理数域，(),()[] f x g x Q x Î . 证明：(1) 若在 [] R x 中有 ()() g x f x ，则在 [] Q x 中也有 ()() g x f x .(2) () f x 与 () g x 在 [] Q x 中互素，当且仅当 () f x 与 () g x 在 [] R x 中互素.(3) 设 () f x 是 [] Q x 中不可约多项式，则 () f x 的根都是单根.证明 (1)（反证）假设在 [] Q x 中 () g x 不能整除 () f x ，作带余除法有()()()(),(),()[]f x q xg x r x q x r x Q x =+Î 且 (()) r x ¶< (()) g x ¶ .以上带余除法的结果在 [] R x 中也成立，所以在 [] R x 中 () g x 不能整除 () f x ， 与在 [] R x 中有 ()() g x f x 矛盾. 因此，结论成立.(2) 如果 () f x 与 () g x 在 [] Q x 中互素，那么存在 (),()[] u x v x Q x Î ，使得()()()()1 f x u x g x v x += .以上等式在 [] R x 中也成立，所以 () f x 与 () g x 在 [] R x 中互素.如果 () f x 与() g x 在 [] Q x 中不互素，那么 () f x 与 () g x 在 [] Q x 存在非零次公因式.即()[] d x Q x Î ， (())1,d x ¶³ 1 ()()() f x d x f x = ， 1 ()()() g x d x g x = ，11 (),()[]f xg x Q x Î 以上两个等式在 [] R x 中也成立. 因此， () f x 与 () g x 在 [] R x 中不互素. (3) () f x 是 [] Q x 中的不可约多项式 ， 则 ' ((),())1 f x f x = ， 否则 ' ((),())()1, f x f x d x =¹ 则 () f x 有重因式, 与 () f x 不可约矛盾. 于是 () f x 没有重 因式，所以 () f x 的根都是单根.例 1.16（南京理工大学，2005年）设 p 是奇素数，试证 1 + + px x p 在有理数 域上不可约.证明 令 1 x y =- ，代入 ( ) 1 p f x x px =++ 有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 pg y f x f y y p y ==-=-+-+ .考查多项式 ( ) ( ) ( ) 1! h y p g y =- ，注意到 p 是一个奇素数，那么 ( ) h y 的常数项为 ! p - ，于是对于素数 p 有， |! p p - ，而 2p 不整除 ! p - ，对于 ( ) h y 的首项，显然有 ( ) |1! p p - .对于其他的项，利用二项式定理对( ) ( ) 1!1 pp y -- 展开可知 p 能整除除了首项和 常数项之外的所有项系数. 又 ( ) 1 p y - 中关于 y 的一次项的系数也为 p 的倍数， 于是 p 整除 ( ) h y 的除了首项和常数项之外的所有系数. 利用Eisenstein 判别法可 知 ( ) h y 在有理数域上不可约，即 ( ) g y 在有理数域上不可约，也即 ( ) f x 有理数 域上不可约.例 1.17（陕西师范大学， 2006年） 11 ()()(),()()(), f x af x bg x g x cf x dg x =+=+ 且0 a bc d¹ ，证明： 11 ((),())((),()) f x g x f x g x= . 证明 令 111 ()((),()) d x f x g x = ， ()((),()) d x f x g x = .由1 ()()() f x af x bg x =+ (*) 1 ()()()g x cf x dg x =+ (**)于是 1 ()() d x f x ， 1 ()() d x g x . 那么 1 ()() d x d x .由式(*)与式(**)可以看成是关于 (),() f x g x 的线性方程组，解得，( ) ( )11 11 1()()() 1()()() g x ag x cf x ad bc f x df x bg x ad bc=- - =- - 于是 11 ()() d x f x ， 11 ()() d x g x . 那么 1 ()() d x d x . 显然 1 ()() d x d x .于是11 ((),())((),()) f x g x f x g x = .例 1.18（华南理工大学，2006年）设 ( ) 1 2 34 + + + + = x x x x x f .(1) 将 ( ) x f 在实数域上分解因式.(2) 证明： ( ) x f 在有理数域上不可约. 由此证明 ( ) 5/ 2 cos p 不是有理数. (1) 解 不妨设 2 2 5, i e pa b a == ， 于是 ,,, a a b b 是1的四个非实数的 5次方根. 显然有( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )2222 11 24 2cos 12cos 1 55 f x x x x x x x x x x x x x a ab b a a b b p p =---- =-++-++ æöæö =-+-+ ç÷ç÷èøèø上式为 ( ) f x 在实数域上的因式分解. (2) 证明 令 1 x y =+ ，代入 ( ) f x .有( ) ( )1 g y f y =+ ( ) ( ) 5432 11 11510105y y y y y y +- =+- =++++ 对素数5 用Eisenstein 判别法可得 ( ) g y 是有理数域上不可约的多项式， 于是 有 ( ) f x 在有理数域上不可约 . 若 ( ) cos 2/5 p 是有理数 ， 由 ( ) ( ) 2 cos 4/52cos 2/51 p p =- 可知 ( ) cos 4/5 p 也是有理数.于是由(1)的结论可知( ) 22 24 2cos 12cos 1 55 f x x x x x p p æöæö=-+-+ ç÷ç÷ èøèø.上式为 ( ) f x 在有理数域上的分解，这将导致 ( ) f x 在有理数域上可约，矛盾. 故结论成立.例 1.19（华东师范大学，2005 年）试在有理数域、实数域及复数域上将 ( ) 1 7 8 9 + + × × × + + + = x x x x x f 分解为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简 述理由.解 由( ) ( ) 1011 x f x x -=- ( )( )( )( )1 1 1 1 23 4 2 3 4 + - + - + + + + + - = x x x x x x x x x x 可知它在有理数域上的不可约分解为( ) ( )( )( )432432 111 f x x x x x x x x x x =+++++-+-+ （这里设 ( ) 432 1 1 g x x x x x =++++ ，并取 1 x y =+ 代入，并对素数 5用 Eisenstein 判别法可知 ( ) 1 1 g y + 在有理数域上不可约. 同理设 ( ) 432 2 1 g x x x x x =-+-+ ，并取 1 x y =- 代入，可知 ( ) 2 1 g y - 在有理数域上不可约.）设 243 55551212 ,,, i iii eee e pp ppa ab b ==== ，显然 1 的五次方根为 1122 1,,,, a a a a ；‐1的五次方根为 1122 1,,,, b b b b - . 于是在实数域上 ( ) f x 可分解为( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 11221122 11111f x x x x x x x x x x a a a a b b b b =+-++-++-++-++ 显然在复数域上 ( ) f x 可分解为( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 112211221 f x x x x x x x x x x a a a a b b b b =+-------- .第二章 行列式例 2.1(兰州大学，2004年) 计算下列行列式的值121 121 121 1231 n n n n n n n n xa a a a a x a a a D a a x a a a a a a x- - - - = L L L M M M M M L 解 将 n D 的第2列到第 1 n +列加到第1列，且提取公因子有 121 21 21 1231 1 1 ()1 1 n n n n nn i n n i n a a a a xa a a D x a a x a a a a a x- - - = - =+ å L L L M M M M M L 121 12121213212 1 00()000 0 n n ni i n n na a a a x a x a a a x a a a a a a a x a - = -- - =+-- ---- å L LL M M M M M L 11()() nni i i i x a x a = = =+- å Õ .例 2.2(中山大学，2009年) 计算n 阶行列式22 111122 2222 22 111122 1...1... ..................1... 1... n n n nn n nn n n n n nn n n nx x x x x x x x D x x x x x x x x - - - ---- - = 解 首先考虑 1 n + 阶范德蒙行列式221 1111 1 221 2222 2 221 1111 1 221 2211... 1... .................. ... () 1... 1 (1)... n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n x x x x x x x x x x g x x x x x x x x x x x x xx x x-- -- -- ---- - -- -- =213111 3222 ()()...()() .()...()()...()n n n x x x x x x x x x x x x x x x x =---- ---- 从上面 1 n + 阶范德蒙行列式知，多项式 () g x 的 1 n x - 的系数为 21(1) n D D + -=- ；但从上式右端看， 1 n x - 的系数为12 1 (...).()n ji i j nx x x xx £<£ -+++- Õ 二者应相等，故 12 1 (...).() n n ji i j nD x x x xx £<£ =+++- Õ .例 2.3(北京交通大学，2004年)计算n 阶行列式111 23 222341222123 111 122111...11... 1... ............1 (1)... nn n n n n n n n n n nn n C C C C C C D C C C C C C + --- -- --- +- =.解 从最后一行起将每一行减去前面一行便可将行列式降一阶， 再对降一阶的行列式做同样的处理，不断这样下去可得 1 D = .例 2.4(大连理工大学，2005年) n 阶行列式21...11 13 (11) (1)1...11n =+ .解 答案是 1 1!(1) ni n i= + å . 这是因为原式 21...1111...11 13 (1102)...11 (1)1...1101...11n n ==++ 将上述行列式的第二行到 1 n + 行分别减去第一行，可得原式 11...11 11...00 (1)...n- =- 然后依次将第二列乘以1，第三列乘以 1 2 ，........，第 1 n + 列乘以 1n都加到第一列可得1 11 11...1 (11)2 101...00 !(1) ............... 00...0 ni n n i n= ++++ =+ å .例 2.5(南开大学，2003年) 计算下列行列式的值1112121 1212222 1122 ... ... ............... n n n n n n n n n na b c a b c a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c +++ +++ =+++ 解法 1 将 n D 按第一行拆成两个n 阶行列式相加，并由于 3 n ³ ，故得1211121 12122221212222 11221122 ...... ...... .............................. n n n n n nn n n n n nn n n n n a a a b c b c b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c a b c a b c a b c++++++ =+++++++ 000=+= 解法 2 将原n 阶行列式加边成一个 1 n + 阶行列式11112121 21212222 112 100...0 ... ... ............... ... n nn n nnn n n n n x a b c a b c a b c D x a b c a b c a b c x a b c a b c a b c+++ =+++ +++由于 3 n ³ ，故对上面的 1 n + 阶行列式按第一行展开可知，其每个元素的余子式 都是一个至少有两列元素对应成比例的n 阶行列式，从而都等于零. 因此 0 D = .例 2.6(浙江大学，2004年) 计算n 阶行列式... ... .................. ... ... ... n b b b b a b b b a b D b b a b b b a b b b a b b b b=解 ......() ......0 .................................... ......0 ......0 ......0 n b b b b a b b b b a b b b b b a b b b b a b D b b a b b b b a b b b a b b b b a b b b abbbb a b b b b -+ + == + + + 11 ... ... .................. (1)() ... ... ...n n b b b b b b b b a b a b D b b a b b b a b b b a bbbb+ - =--+(3) 1121 (1)()(1)()n n n n n a b D b a b + +- - =--+-- 注意到 222 D b a=- 递推可得(3) 1 2(1)()((1)) n n n n D a b a n b + - =--+- .例 2.7(复旦大学，2005年) 设 12 ...,0,1,2,... k k kk n s x x x k =+++= ， 计算 1 n + 阶行列式11 121122 121 ...1 ... .................. ... n nn n n n n nnn n s s s s s s xD s s s xs s s x- - -- -- = 解 根据 k s 的定义、行列式的乘法以及范德蒙行列式知，所给的 1 n + 阶行列 式D可表示成两个 1 n + 阶行列式相乘111112 221111 112 12 11...11 1...0 ...1...0 ................................ 1...0 ... 00 (01)n n nn n n n n n n n n nnnn n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x - - ---- - = 2 11 ()(())nj ji i i j nx x xx =£<£ =-- ÕÕ 211 ()() ni ij i i j nx x xx =£<£ =-- ÕÕ .例 2.8(华东师范大学，2008年) 计算n 阶行列式1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 1 L L M M M M M L L L n n n n n n D n- - - - - = ∙ 解 将第2列，第 3列，…，第n 列都加到第 1 列上11 11 01 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 32 2 ) 1 ( L L M M M M M L LL nn nn n n n n D n - - - - - + =111 1 1 1 1 1 11 11 1 1 11 2) 1 ( LL M M MM L L n n n n n n - - - - + = 1111 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 2) 1 ( LL M M MM L L - - - - - - - + = n n n n n111 10 0 0 0 0 00 0 0 2) 1 ( L L M M M ML L - - - - + = n n n n n 2)1 ,2 , 2 , 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 2) 1 ( - - - - × - - + =n n n n n n L t 21 2)2 )( 1 ( ) ( ) 1 ( )1 (2 ) 1 ( - - - - - × - - + = n n n n n n n 2)1 ( )1 ( 1 2)1 ( + ×- = - - n n n n n 1) 2 )]( 1 ( 2 [ - - - = = n x n x 例 2.9（大连理工大学， 2004年) 计算n 阶行列式1 1 1 12 1 2 1 1 12 1 1 1 1 L M M M M M L L nn n D n - - - =解 将第2行，第 3行，…，第n 行都加到第 1 行上1 1 1 12 1 2 1 1 11 1 1 1 1 L M M M M M L L n n D n - - =0 01 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 L M M M M M L L nn - - =1 2) 1 ( )1 ,2 , , 1 , ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( - - - - - - = - - = n n n n n n n n L t .例 2.10(北京航空航天大学， 2004年) 计算下列行列式的值.12 12 12... .................. n n n n a a a a a a D a a a l l l+ + =+ 解 将行列式的所有列加到第一列， 并提取公因子 12 (...) n a a a l ++++ 可得1212 1212 1 1212...... ......().............................. n n nn n i i n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a l l l l l l l= ++ ++ =+ ++ å 然后将第 2 列到第n 列依次减去第一列乘以 12 ,,..., n a a a 得到一个下三角的行列式， 易得12 12 1112... ...()............... n nn n i i n a a a a a a a a a a l l ll l- = + + =+ + å 例 2.11（上海交通大学，2004年）求下面多项式的所有根23 2 3 23 2 3 3 2 3 2 22 23 2 2 2 2 3 ) ( nn n n nnna x a a a a a a a a x a a a a a a a a x a a a a x x f - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = L MM M M L L L 解 将第一列的 2 a - 倍，3 a - 倍，L ， n a - 倍分别加到第 2 列，第3列， L ，第n 列2323 221 3333 100100 ()010(2)010 0101n n n nnx a a a x a a a a a f x a x a a a - ------- -- =-=-- -- L L L L L L M M M M M M M M LL第2列的 2 a 倍，第 3列的 3 a倍，L ，第n 列的 n a 倍都加到第一列 22223 13 0100 ()(2)0010 001n n n x a a a a a f x x - ------ =- L L L L M M M M L1222 (2)(3)n n x x a a - =---- L 所以， 2 x = 是 () f x 的 1 n - 重根， 222 3 n a a +++ L 是 () f x的单根. 例 2.12 （北京交通大学，2005年）计算 1 n + 阶行列式11111 (1)(2)...()(1)(2)...()............... 12... 111 (1)n n n nn n n n n x x x x n x x x x n D x x x x n ---- + +++ +++ = +++ 解 注意到依次把第一行和第 1 n + 行交换次序，第2行和第n 行交换次序， ...，可得2 1 1111111...1 12... (1) ............... (1)(2)...()(1)(2)...() nn n n n n n n n nx x x x n D x x x x n x x x x n + ---- +++ =-+++ +++ 21 (1)(()()) n i j n x j x i £<£ =-+-+ Õ 21 (1)()n i j nj i £<£ =-- Õ 第三章 线 性 方 程 组例 3.1（清华大学，2006 年）设 12 ,,, s a a a L 是一组线性无关的向量，则122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 是否线性无关? 证明之.证明 若 112223111()()()()0 s s s s s k k k k a a a a a a a a -- ++++++++= L 将上式展开并利用 12 ,,, s a a a L 的线性无关，可得关于 121 ,,, s s k k k k - L 的线性方程 组为1 2 1 100...10 110...00 ... 011...0... ...............0 00...110 s s k k k k - æö æöæö ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷= ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷ ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø 令其系数矩阵为 A ，显然有 1 1(1) s A + =+- .当 S 为偶数时 ， 0 A = ， 则方程组有非零解 ， 这是122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 线性相关.当 S 为奇数时 ， 0 A ¹ ， 则方程组仅有零解 ， 这是122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 线性无关.例3.2 （北京科技大学， 2005年） 设 0 h 是线性方程组的一个解， 而 12 th h h L ， ， ， 是它的导出方程组的一个基础解系, 1021010 ,,..., t t g h g h h g h h + ==+=+ .证明：线性方程组的任一解g , 都可表成 112211 ... t t g m g m g m g ++ =+++ , 其中 121 (1)t m m m + +++= . 证明 设 0211 ... t t g h m h m h + =+++ ，令 121 1... t m m m - =--- ， 即 121 ...1 t m m m - +++= ，则由于 1021010 ,,..., t t g h g h h g h h + ==+=+ ，1210211 (...)... t t tg m m m h m h m h ++ =++++++ 1021010 ()...() t t m h m h h m h h + =+++++ 112211... t t m g m g m g ++ =+++ 例 3.3（哈尔滨工业大学，2005 年）设 12 ,,, r a a a L 是一组线性无关的向量，1,1,2,..., ri ij j j k i r b a = == å ，证明： 12 ,,, r b b b L 线性相关的充要条件是矩阵11121 21222 12... ... ............ ... r r r r rr k k k k k k K k k k æöç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø不可逆.证明 12 ,,, r b b b L 线性无关Û 10 ri i b = = å 仅有零解Û 10 rij i j j k x a = = å 仅有零解Û（由 12 ,,, r a a a L 线性无关性仅有零解）方程组 ' 0 K X = 仅有零解Û ' K 可逆Û矩阵 11121 21222 12... ... ............ ... r r r r rr k k k kk k K k k k æöç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø是可逆的.例 3.4（上海大学，2005 年）设b 是非齐次线性方程组AX b = 的一个解，12 ,,, n r a a a - L 是其导出组的一个基础解系，证明：(1) 12 ,,,, n r a a a b - L 线性无关.(2) 12 ,,,, n r b a b a b a b - +++ L 线性无关.证明 (1) 假定 12 ,,,, n r a a a b - L 线性相关，而 12 ,,, n r a a a - L 线性无关，那么b 可由 12 ,,, n r a a a - L 线性表出，则b 是导出组的一个解与b 是AX b = 的一个解矛 盾.(2)令( ) ( ) ( ) 1122 0n r n r x x x x b a b a b a b -- +++++++= L 于是( ) 112212 0n r n r n r x x x x x x x a a a b --- ++++++++= L L 由 12 ,,,, n r a a a b - L 线性无关，则12 0n r x x x - ==== L 且12 0 n r x x x x - ++++= L ，于是 12 0 n r x x x x - ===== L ，故(2)成立.例 3.5（东北大学， 2003年） 设 1 2 ... r A a aa æö ç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø是一个r n ´ 阶矩阵() r n < 且秩为r ，已知：b 是 0 AX = 的非零解，讨论 12 ,,, r a a a L 与b 的线性相关性.证明 由于对矩阵A ， 有 () r A r = ， 记 12 ,,, r U a a a =<> L . 显然有 12 ,,, ra a a L 为空间U 的一组基，由于b 是方程组 0 AX = 的一个非零解，所以有 T b 与12 ,,, r a a a L 相正交，于是有 U b ^^ Î ，对于 12 ,,, r a a a L 与 T b 的线性组合1122 0T r r l l l l a a a b ++++= L 两边同时与 T b 做内积，注意到 T U b ^ ，可得(,)0T T l b b = 由于 0 T b ¹ ，可得 0 l = ，于是1122 0r r l l l a a a +++= L 由 12 ,,, r a a a L 的线性无关性可得0(1,2,...,)i l i r == 即 12 ,,,, r a a a b L 的线性无关.例 3.6（浙江大学，2004 年） 令 12 ,,, s a a a L 是 n R 中s 个线性无关的向量， 证明：存在含n 个未知量的齐次线性方程组，使得 12 ,,, s a a a L 是它的一个基础解 系.证明 以列向量 12 ,,, s a a a L 的转置为行构成矩阵A1 2 TT T s A a a a æö ç÷ ç÷= ç÷ ç÷ ç÷ èøM 考虑以A 为系数矩阵的齐次线性方程组AX = 它的基础解系由 n s - 个 n 维列向量组成，设基础解系为 12 ,,, n s b b b - L 以12 ,,, T T T n s b b b - L 为行构成矩阵B ，则以B 为系数矩阵的齐次线性方程组 0 BX = 满足要求.因为 12 ,,, n s b b b - L 是 0 AX = 的解，则 0,1,,;1,, T j i s j n s a b ===- L L .它同 时说明，作为 n 维向量， 12 ,,, s a a a L 是齐次线性方程组 0 BX = 的解，而() r B n s =- .故 12 ,,, s a a a L 是 0 BX = 的一个基础解系.例 3.7（西安交通大学，2005年）讨论 , a b 为何值时，如下方程组有唯一解？无解？无穷多解? 当有无穷多解时，求出它的通解.1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++= ì ï ++= ï í-+--= ï ï +++=- î解 将增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵,有1111011110 0122101221 01320132 321101231 A a b a b a a æöæö ç÷ç÷ ç÷ç÷ =® ç÷ç÷ ------ ç÷ç÷ ---- èøèø11110 01221 00101 00010 a b a æöç÷ ç÷ ® ç÷ -+ ç÷- èø.(1)当 1 a ¹ 时方程组有唯一解. (2)当 1 a = 且 1 b ¹- 时方程组无解. (3)当 1 a = 且 1 b =- 时方程组有无穷多解. 解方程组1234 234 0 221 x x x x x x x+++= ì í++= î 方程组的特解为 0 1 1 0 0 a - æöç÷ç÷ = ç÷ ç÷ èø，导出组的基础解系为 12 11 22 , 10 00 h h æöæö ç÷ç÷ -- ç÷ç÷ == ç÷ç÷ ç÷ç÷ èøèø， 于是通解为 01122 k k a a h h =++ .例 3.8（东南大学，2005年） 问：参数 , a b 取何值时，线性方程组1234 1234 234 1234 1 32 223 54(3)3 x x x x x x x x a x x xx x a x x b +++= ì ï+++= ï í++= ï ï ++++= î有解？当线性方程组有解时，求出其通解.解 将增广矩阵做初等行变换可化为10112 01223 0002 0000 a b a --- æöç÷ç÷ç÷ - ç÷èø. 显然若要方程组有解，必须有 0 a = 且 2 b = , 这时增广矩阵变为10112 01223 0002 0000 a b a --- æöç÷ç÷ ç÷- ç÷èø 方程组的一个特解为 ' (2,3,0,0) - ，基础解系为 ''(1,2,1,0),(1,2,0,1) -- ，于是通解为12 211 322 010 001 x C C - æöæöæöç÷ç÷ç÷ -- ç÷ç÷ç÷ =++ ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø. 例 3.9（东南大学，2004年） 已知线性方程组1122 1122 1122 () 0()...0 ........................... ...()0 n n n n n na b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x ++++= ì ï++++= ï íï ï ++++= î (*)其中 10 ni i a = ¹ å .试讨论 12 ,,, n a a a L 和b 满足什么条件时，(1)方程组仅有零解.(2)方程组有非零解，此时用基础解系表示所有解.解 由于方程组(*)的系数行列式为2 1 12 12 2 111 ............ ............... ... nin i n n n in i nn nin n i b a a a a b a a a a b a b a a b a a a a bb a a a b = = = + + + ++ =+ ++ å å å .2 2 1111 1100 1 10()()() ............ ............1 (1)0... n nnnn n i i i i i i nn a a a b a bb a b a b a ba a bb- === + =+=+=+ + ååå(1)当 0 b ¹ ，且 1()0 ni i b a = +¹ å 时，方程组(*)的系数行列式不等于零. 于是此方程组只有唯一零解.(2) 当 0 b ¹ ，且 1()0 ni i b a = += å 时，方程组(*)的系数行列式为零. 因此方程组(1)有非零解，它的基础解系为 '(1,1,...,1) ，此时方程组的一切解可表为' (1,1,...,1), k k R Î .(3) 当 0 b = 时，方程组的系数行列式为零. 此时方程组(*)有非零解，并且方 程组等价于1122 0n n a x a x a x +++= (**)由于 10 ni i a = ¹ å ，故在 12 ,,, n a a a L 中必有一个不为零，不妨设 0 ia ¹ ，则有 11 1111 ....... i i n i i i n i i i i a a a a x x x x x a a a a-+ -+ =------ 其中 111 ,...,,,..., i i n x x x x -+ 为自由未知量，因此原方程组的一个基础解系为' 1 1 (1,0,...,0,,0, 0i aah =- ..................................' 11 (0,0,...,1,,0,...,0) i i i a a h - - =-' 11 (0,0,...,0,,1,...,0) i i i a ah + + =-..................................' (0,0,...,0,,0,...,1) nn i a ah =-此时，方程组(*)的一切解可表为111111 ...() i i i i n n i X k k k k k Rh h h h --++ =+++++Î L . 例 3.10（大连理工大学，2004年）设 A 是n 阶矩阵，若 ()1 r A n =- ，且代数 余子式 11 0 A ¹ ，则齐次线性方程组 0 AX = 的通解是.。
《高等代数与解析几何》第二章 行列式专题练习
第二章 行列式专题练习一、选择题1、行列式102211321的代数余子式13A 的值是( )（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．行列式01110212=-k k的充分必要条件是 ( ) （A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k or 33．方程093142112=x x根的个数是( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )（A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（ ）项（A ）2!n （B ）22n （C ）2n （D ）2)1(-n n6．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( )（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负7．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )A 行列式主对角线上的元素全为零B 三角形行列式主对角线上有一个元素为零C 行列式零的元素的个数多于n 个D 行列式非零元素的个数小于n 个8．如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( ) （A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M9．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D ( ) （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）2410．若111111111111101)(-------=x x f ，则)(x f 中x 的一次项系数是( )（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于( ) （A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是( )（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13、设A 为 n 阶可逆阵，且A = 2，则1-A = （ ）（A ）2 （B ）0.5 （C ）2 4 （D ）2 314、三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( B )（A ）3 （B ）7 （C ）–3 （D ）-715．如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则 k =( ) （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）3二、填空题 1、1211=--kk ，则k= ； 2．排列36715284的逆序数是 ；3．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 ；4．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = ， j = ；5. 行列式=111110110110111 ； 6．若方程225143214343314321x x --= 0 ，则x= ；7．行列式=2112100121012 ； 8. 122305403-- 中元素3的代数余子式是 ；9. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式， 则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= ；10. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k ；11. 含有n 个变量，n 个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解12. 设A 为五阶矩阵，2=A ，*A 为伴随矩阵，则=*A ；13. 设A 为三阶矩阵，3=A ，则=-A 2 .三、计算题1．598413111 2．132213321３．yxyx x y x y y x y x+++ ４．001100000100100５．000100002000010n n - ６．11,22111,111n n n n a a a a a a --7．2605232112131412- 8．32142143143243219.计算3111131111311113. 10.计算D=a101a1001a 1001a ---11.计算D=44332211a 0b 0a b 00b a 0b 00a12. 12125431432321-=n n nD n13.642781169414321111114、2001520104211111=A 15、3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a +++16．xa aax a aa x17. =n D 12111111111n a a a +++18、解方程0132132213211321=-+-+-+-xb b b b b b x b b b b b b x b b b b b b b n n n n n19.解方程：22x 9132513232x 213211--=0.20.已知齐次线性方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++0x x px 0x x 2x 0x x x 321321321 ,当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？21.用克莱姆规则解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++137x 4x 5x 1066x 2x 2x 528x x x 2321321321四、证明题已知：向量组，321,,ααα线性无关，证明：321211,,αααααα+++线性无关。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章１．（北师大2003－25）１．计算行列式87162534的逆序数，并依次将上述排列变成12345678的所有对换2．设n 个数码的排列121n n i ,i ,...i ,i -的逆序数是k ，那么排列321n n n i ,i ,...i ,i i -的逆序数是多少？请说明理由。
２．计算下列行列式（每小题6分，共12分）D=2132301211432211---的值。
3.（成电科大，2003）计算下列行列式（每小题6分，共12分）1.32222322223222223n ......D ..................=D ．＝ 2.2323231222111114441555D =4.（中科武汉2004－15）计算行列式1111111222221223331234111111n nn...b a a a ...a a b b a a ...a a D b b b a ...a a .....................b b b b ...b a =5（成电科大2004－10分）求证：1212341112321112321114311211n n n ...n n ...n n x ...n n D ()x x x ...n n .....................x x x (x)xx...x+------==---6.(北工大，2002－10分)计算行列式0121110001000100010n n na ...a x ...a x ...D ..................a ...x a ...x+-----的值。
7(东北大学，2001－10分)计算下列行列式11112n n nnna c a c D (n )db d b =8.（东北大学，2002－10分）11111n aa a D aa+--+=--+9．（北航，2001 10分）已知a>>0，证明n 阶行列式1000110001000000101a ...a ...a ...D (n ).....................a ...a --=≥--10.（复旦，2002）计算下列行列式的值：（7分）95000009500040950004000095400094.......................................11.（中大，2004 10分）计算下列n 阶行列式：000210001200012012......D n ........................=12.（东北大2003 25分）证明当αβ≠时，11000001000101n n ..............................αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+13.（北工大 2001 10分）计算n 阶行列式的值111n a b ab a b ab D a b ab a b++=++其中a,b 为实数。
14.（北工大，2005 14分）计算n 阶行列式的值.12323413452121n ...n ...D ..................n...a n ααααααααααααααα++++++++=++++++++-15.（上海交大 2002 14分）计算下列行列312312312n n na a x a a ...a a a x a ..................a x a a a ...+++，x a a ...a aa x a ...a a a a x ...aa..................aaa...ax-------16.（北航，2004 10分）计算下面行列式的值121212n n n a a ...a a a ...a ............a a ...a λλλ+++17（北航，2002 10分）求下面的行列式的值312312312n n n x x x mx ...x x x x m ..................x x mx x ...---18.（浙大 2004 每小题8分，共16分）计算n 阶行列式：（1）b b b ...b a bb b ...a b ..................D n b b a ...b b b a b ...b b a b b ...bb=（2）31123241354122112...n n ...n ...D n ..................n...n n -=--19.,（复旦 2001）计算下列行列式：（7分）12312i na x x ...x a x x (x)a ,x a (i ,,...,n )x x ...x ...............a xxx...==20.（北航 2005 10分）计算下列行列式：3121122121...n a...n a a ...n ...............a a a ...aaa...--21（北交大 2005 10分）设n 阶方阵22220111001101......A ....................⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求A 中所有元素的代数余子式之和。
22（北工大 2003 15分）设n 阶行列式312001203011n ...n ...D .....................n= 求第一行各元素的代数余子式之和11121n A A ...A +++23.（华东理工 2004）（16分 每小题8分）计算下列行列式的值：1，251319137315528710-------；2，1201110010011n...a ...a ..................a ...，其中12n a ,a ,...,a 都不为0。
24.（北京科大 2005 10分）计算n （3n ≥）阶行列式1311122322123132331232222n n n n n n nsin()sin()sin sin()...sin()sin()sin()sin ...sin()sin()sin sin()..................sin()sin()sin()sin ...αααααααααααααααααααααααααααα++++++++++++25.(南开 2003) 计算下列行列式的值：111212112122221122n n n nn n n n na b c a b c ...a b c a b c a b c ...a b c ............a b c a b c ...a b c +++++++++其中3n ≥ (本题20分)26．（重大，2005 10分）计算行列式：2112122122212111n n n n n x x x ...x x x x x ...x x ............x x x x ...x +++（北京科大 2004 15分）计算行列式：a b b ...b ca b ...b cc a ...b ...............ccc...a27.（南开 2004 15分）设n 阶行列式1112121222121n n n n nna a ...a a a ...a ............a a ...a =且满足12ij ji a a ,i ,j ,,...,n =-=。
对任意的b ，求n 阶行列式111212122212n n n n nn a ba b ...a b a b a b ...a b ?............a ba b...a b++++++=+++28.（复旦 2003 ）设D ＝111212122212n n n n nna a ...a a a ...a ............a a ...a ，kj A 是kj a 的代数余子式，求证（1）11112212112222111122n n nn n njkj j k n n nn na x a x ...a x a x a x ...a x D x A ............a x a x ...a x ==++++++=++++∑∑（2）2121112212312132223212121111111nnnn nkj j ,k n n ,nn n ,nn n ...a a a a a a ...a a a a a a A ...............a a a a a a ,...=---------=---∑29（华东理工 2005 ）对1212i ,,...,n;j ,,...,n;==令1i jij ijb ()a +=-证明：（15分）ij ij det(a )det(b )=。
30（重大 2003 10分）设12n A (,,...)βββ=是n 阶方阵，4A =求矩阵112231n n nB (,,,...)ββββββββ-=++++的行列式的值。
31.(华东理工 2004 )设A 为任一n 阶方阵，证明 220AA det()AA ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
(12分)32.（北航，2003 10分） 设行列式ij n na ⨯中对任意i j 有ij ji a a ,=-且n 为奇数，证明ijn na ⨯＝033.(成电科大，2004 12分)设A 是三阶非零矩阵且ij ij a A =，计算A 。
….34.(北交大，2002 10分)计算n 阶行列式：12222122221212111n n n n n nnnnn...x x x ...x x x ...............x xx...x x x ...---35.（重大 2002 10分）1、设12n x ,x ,...,x 是n 个实数，计算下述n 阶行列式D 的值。
12222122221212111n n n n n nnnnn...x x x ...x xx...D ............x x x ...x x x ...---=当11i n ≤≤-时，D 的第i 行的元素为11112i i i n x ,x ,...,x ---。
2、设向量组12n A :,,...,ααα。
是n 个n 维向量，其中22112n ni i i i i (,x ,x ...x ,x ),i ,,...,n α-==。
讨论向量组A 的线性相关性。
36.（复旦 2005－7）设12012k k kk n s x x ...x ,k ,,,...,=++=计算行列式1112122n n n nn s s ...s s s ...s D ............s s ...s ---=37.（北交大，2005 15分）计算n+1阶行列式111112121121111nnnn n n n n n (x )(x )(x n )x ...(x )(x )(x n )x...D ...............x x x ...x n ...----⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦38.（南开，2005 20分）计算下列行列式12222112212121211221111112nn nn nn n n nn n...xx x...x xx x x x?,n...............x xx x x x...------++++++=≥+++39.（北工大，2004 －10）计算行列式的值：1201120120121230111120112000000 n n nn nn n nnn n nn na x a x aa x a x...a b...a x a x b...D..................a x ba x a x...a x a x ba x a x...----------=40.（上海理工，2002）计算行列式：1221 111111111221 222222221221 11111111 n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n a a b a b a b b...a ab a b a b b... ..................a ab a b a b b...---------++++++++41.（北工大，2000－10分）设234231231111100001000123300160144111n nn n nn nn n n...x...x...x f(X) (x).....................C C Cn (x)C C Cn (x)--++++=+计算1f(x)f(x)+-。