粘性流体运动讲义

2、流体各向同性。
应力张量[τ]与变形张量[ε]之间的函数关系与坐标系无 关。
3、当流体处于静止状态时，变形率为零，流体中的应 力就是流体的静压力p0可记为： τ ij=-p0 δij 张量记法 {引入Kronecker符号: δ ij = 1 I=j
0 I=j
相当于：
[τ]=-p0 [I] 100
u v w x y z
§1-5本构方程(广义牛顿内摩擦定律)
作用在流体上的应力张量[τ]与变形张量[ε]之间的
函数关系。
牛顿内摩擦定律： u
y dy
y
u+du u
应力
应变
x
相当于：
yx
2
yx
( u
y
v ) x
斯托克斯假说：
1、流体连续，应力张量[τ]与变形张量[ε]之间的函数关 系是线形关系。
表面力 质量力
f
lim
F
1
lim
F
m0 m v0 v
其中： m：表示质量， v:体积 F：表示在作用在 m上的质量力
f ：单位质量的流体上 所受的力； （N/kg）
lim
A0 A
A: 面积 ， 作用在表面上的力(N/m2)
特点：
质量力形成向量场，是空间、时间的单值函数；
ut
α：刚体旋转角度（兰） ：流体变形角度(白)
旋转角速度：
v t y
t
y x
x α 刚体旋转
90 0角变形速度
t
由几何图形可以看出：
t v x / x x
t u y / y y
得：
(v u ) t / 2
x y
xx
[(u x
u) t
u t]/
τzy
τzz τxz
τzx
τyx
τxx
z
τxy
τyy
x y
τxx 、τyy、τzz –法向应力 τ xy、τxz、τyx、τyz、τzx、τzy-切应力
理论证明：对于这种复杂的应力体系，一点的 应力状态完全可以由上述三个互相不正交的作用 面上的9个应力分量来表征。-二阶张量
[τ]=
τxx τxy τxz τyx τyy τyz τzx τzy τzz
张量知识简介： 1、是由三个线性无关的向量组成； 2、单位张量-单位矩阵； 3、对称张量、反对称张量； 4、并失 a b
a1b1 a1b2 a1b3 a2b1 a2b2 a2b3 a3b1 a3b2 a3b3
并矢是一个运算，并矢的值是一个张量。
结论：任何一个张量都可以分解成两个向量 的并矢-张量的运算可以用向量的运算来进行， 如点积、叉积等。
任务：1、了解粘性流体流动的基本方程与基本感念； 2、边界层 3、湍流的基本概念与基本方程 4、应用分析（如层流边界层流动、射流、管道
流等）
§1-2概念
-研究流体宏观运动以及流体与该流体中运动物体之间 的相互作用
§1-3粘性流体中的作用力
1、作用在流体上的力 表面力：作用在流体外表面上，
与面积成正比； 质量力：作用在流体内部， 与质量成正比。
2 z
x
2、线变形率
u x u+ u
A
B
单位时间内单位长度的线增
长率。
Ax
B
u
t
( x)
xx
[(u x
u)t
ut ] /
x
u x
u
yy
v y
zz
w z
3、变形张量
ε xx ε xy ε xz
[ε]=
ε yx ε yy ε yz
ε zx ε zy ε zz
4、体积膨胀率 I1= ε xx + ε yy + ε zz
[I]= 0 1 0 001
[τ] =a [ε]+b [ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ] ——假设1
[τ] =2 µ[ε]+b [I] ——牛顿内摩擦定律
关键问题：求 b=?
5、张量特性：
(a)张量值不随坐标的变化而变化，但是分量 可以变（如矢量）
(b)张量有三个不变量，如对角线的三个分量 的和。
可以证明：应力二阶张量是对称张量
( yx
1 2
yx
y
dy)
( xy
1 2
xy
x
dx)
Y
M
dy
( xy
1 2
xy
x
dx)
dx
(
yx
1 2
yx
y
dy)
X 采用对M点取矩的力矩方程： （τxy- τyx)dxdy= /12 dxdy(dx2+dy2)
2 x
u
u0
( u )x
x
1 2
( u y
v )y
x
1 2
( u z
w )z
x
1 ( v u )y 1 ( u u )z
2 x y
2 z x
u0 xxx yyy zz z zy yz
v
v0
r
[
].r
平移 刚体旋转 变形运动
二、速度分解的几何图形和流体变形
流体变形
1、旋转角速度与角变形速度
§1-1序言
液体速度场典型分布图 - R2
200 rpm
改造前后比较
炉膛内速度矢量（以温度着色）
操作条件对性能的影响(2)
空气浓度分布剖面图
操作条件对性能的影响(3)
关闭部分烧嘴对炉膛内速度场温度场的影响
课程的性质和任务：
性质：1、具有较强的理论性和系统性； 2、具有较广的应用性，适用于各行各业。 3、数值模拟研究的基础（CFD）
Y
M
M(x,y,z)是靠近M0(x0,y0,z0)
流体点附近的一个流体点，
W0
运用泰勒级数展开：
M0
x方向上：
U0
M(x,y,z)质点的速度u可以
z0
用M0(x0,y0,z0)的速度u0来 表示：
X
y0
u
u0
( u )x
x
( u )y
y
( u )z
z
V0 Z
x0
加减 1 v y和 1 w z
2 x
x
旋转角速度：ωz= /
t=
( v x
u ) y
/
2
90 0角变形速度 (v u ) / 2
t x y
xy
1 ( v 2 x
u ) y
yz
1 ( w 2 y
v ) z
zx
1 ( u 2 z
w ) x
z
1 ( v u )
2 x
y
x
1 ( w v )
2 y
z
y
1 ( u w )
:微圆体的旋转角速度
/12 dxdy(dx2+dy2)：转动惯量； ：物质密度
因为：当dx 0 dy 0
/12(dx2+dy2)
0
τxy=τyx 定义：平均压力 p=(τxx+τyy+τzz)/3
§1-4流体微团的运动分析和变形
1、速度分解定律（Helmhotz） 流体运动=流体刚体运动（平移+刚体旋转）+变形运动
表面力在空间上随受力面积的取向不同，有无穷个值。
面2
τ2
τ
1
τn
面1
面n
F(x,y,z,t)
静止流体、理想流体：表面力τn的方向一定是沿内 法线方向。
n
粘性流体，τn 的方向随面积的方
向任意变化。
n
τn
-τn
理想流体 静止流体
粘性流体体
一般情况下，流体内部一点的应力状态：
用3个矢量力分量来表示。
一点的应力状态