概率分布函数概率密度

dN
Nd xd yd z
物理意义：
速度在 附近
d x x d x , y y d y , z z d z
单位速度间隔内的分子数占总分子数的百分比。
③分子按空间位置和速度的概率分布函数：
f
(r,)

NddNrrd,
（二）分子动理学理论与统计物理学关系
3、广义上，分子动理学理论归属于统计物理学 的范畴。
狭义上，统计物理学仅指玻尔兹曼统计与吉 布斯统计，是平衡态理论。
热物理学的微观理论由分子动理学理论、统 计物理学与非平衡态统计三部分组成。
（三）学习建议
重点掌握基本物理概念、处理问题的物理思 想及基本物理方法，熟悉物理理论的重要基础— —基本实验事实。
第二章 分子动理学理论的平衡态理论
§2.1 分子动理学理论与统计物理学 §2.2 概率论的基本知识 §2.3 麦克斯韦速率分布 §2.4 麦克斯韦速度分布 §2.5 玻尔兹曼分布 §2.6 能量均分定理
§2.1 分子动理学理论与统计物理学
（一）名称：
全国科学技术名词审定委员会审定 “分子运动论”“分子动力论”等统一称为“分 子动理学理论”
2、速率分布函数 （概率分布函数的一种）
dN
Nd
=
f ()
只与速率v 有关 或说 只是v 的函数
含义：
速率在υ附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的 百分比。
或一个分子的速率在速率υ附近单位速率区间的概率-概率密度。
2、速率分布函数

f ()d 1
0
f
()

dΔNN
NNΔd
对单个气体分子来说，任何时刻其速度的大 小和方向受到许多偶然因素的影响，不能预知。
1、平均值 （P56）
u N1u1 N2u2 i Niui
Ni
N
i
当N 时：
u P1u1 P2u2 Piui
i
说明：应用方便，但只适用于N 非常大的所有事件。
2、涨落（散度、散差）（相对方均根偏差） （P58）
[(u )2 ]1/2 [(u)2 ]1/2 (u)rms

dN r,
Ndxdydzdxd y dz
物理意义：
位置在r 附近（x-x+dx,y-y+dy,z-z+dz）单位长度间隔内, 速度在 附近
（ d x x d x , y y d y , z z d z）
单位速度间隔内的分子数占总分子数的百分比。
1、按位置分布的概率密度 （P58）
黑点沿x方向分布的概率密度： 表示黑点沿x方向的相对密集程度。
f (x) dNx Ndx
射击点在靶上的分布 （P59图2.2）
黑点沿x方向分布的概率密度：
f (x) dNx Ndx
x2 f (x)dx 位置处于x1到x2范围内的概率 x1
f (x)dx
u
u
u
物理意义： 表示随机变量在平均值附近散开分布的程度
（三）概率分布函数（概率密度）
描述连续变量概率分布情况。 变量连续变化，如：粒子的空间位置、粒子的速度。
由于测量仪器总有一定的误差（如：1m/s），我们只 能测出分子速率从99m/s到101m/s的分子数是多少， 也只能讲速率界于某一范围内的概率。
思考１：（P99思考题2.1）
说明下列各量的意义。 (1) f(v)dv (2) Nf(v)dv
(3) 2 N f ()d 1
思考2：（P99思考题2.2）
速率从v1到v2之间分子的平均速率是否为
2 f ()d
1
例题： P102 习题2.2.1（b）
§2.3 麦克斯韦速率分布律
（二）分子动理学理论与统计物理学关系
1、分子动理学理论方法的主要特点： 它考虑到分子与分子间、分子与器壁间频繁
的碰撞，考虑到分子间有相互作用力，利用力学 定律和概率论来讨论分子运动及分子碰撞的详情。 它的最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入 平衡态的过程。
（二）分子动理学理论与统计物理学关系
2、统计物理学是从对物质微观结构和相互作用 的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言 由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。
1
（归一化条件）


x xf (x)dx （注意：对所有的黑点求平均）
黑点沿y方向分布的概率密度： 表示黑点沿y方向的相对密集程度。
f ( y) dNy Ndy
黑点沿平面位置分布的概率密度： 表示黑点在某一区域内的相对密集程度。
f (x, y) dNx,y f (x) • f ( y) Ndxdy
暂不去追求理论的十分严密与结果的十分精 确。
§2.2 概率论的基本知识
A、在一定的宏观条件下，大量偶然事件，在整体 上表现出确定的规律---统计规律
B、统计规律永远伴随着涨落现象
伽尔顿板实验（P54）
（一）等概率性与概率的基本性质 （P55）
1、随机事件：
在一定条件下，某一事件可能发生也可能不 发生。
lim 2、概率的定义：
Pi

N
Hale Waihona Puke Baidu
(NL ) N
在相同的条件下重复同一实验，在总次数N足够
多的情况下（即N→∞），计算所出现某一事件
的次数NL，则这一事件出现的百分比就是该事件 出现的概率。
3、等概率性 在没有理由说明哪一事件出现的概率更大些
（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应 相等。
统计物理的基本假定： （等概率原理） 如果对于系统的各个可能的状态没有更多的
归一性质
几何意义： oo
Δd

曲线下面积恒为1
3、概率分布函数的普遍意义
①分子按能量的概率分布函数：
f ( ) dN Nd
物理意义： 能量在ε附近（ε-ε+dε）单位能量间隔内的分
子数占总分子数的百分比
② 分子按速度的概率分布函数：
f ()

NdNd
知识，就可暂时假定一切状态出现的概率相等。
3、概率的基本性质：
(1) 归一化（P57）：
n
Pr
r 1
(2) 概率相加法则：n个互相排1斥事件发生的总概率
是每个事件发生概率之和。
(3) 概率相乘法则：
同时或依次发生的，互不相关（或相互统计独立） 的事件发生的概率 等于各个事件概率之乘积。
（二）平均值与涨落