港澳台联考数学真题 (含答案)
港澳台联考数学二轮复习试卷(含答案)——16空间解析几何
16．空间解析几何试卷（1）1. 已知(1,2,1)a =-，(0,2,3)b =，计算a b ，a b ⨯，以及以,a b 为邻边的平行四边形的面积2.求过三点(2,1,4)A -，(1,3,2)B --，(0,2,3)C 的平面方程3.过点(1,1,1)，且垂直于平面7x y z -+=和321250x y z +-+=的平面方程为_______________.4.设平面过原点及点(6,-3,2), 且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为______________.5.经过原点且垂直与两平面2530x y z -++=及370x y z +--=的平面方程是___________6.过M(-2,7,3)且平行与平面x -4y +5z -1=0平面方程是_____________7.已知一平面通过x 轴及点M(4,-3,1),则该平面方程是____________8.已知平面通过M （8，-3，1），N （4，7，2）且垂直于平面3x +5y -7z +21=0,则该平面的方程是__________9. 用对称式方程及参数方程表示直线102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩为___________________10. 一直线过点(2,3,4),A -且和y 轴垂直相交, 求其方程.11.过M(-1,2,1)且于直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩平行的直线方程是________ 12.通过M(2,1,3)且与直线L ：11321x y z +-==-垂直相交的直线方程是_______________ 13.求通过点M(-1,-4,3)且与下面两条直线24135x y z x y -+=⎧⎨+=-⎩，24132x t y t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=-+⎩都垂直的直线方程.试卷（2）1.空间直角坐标系O xyz -中，经过点(2,1,1)P 且与直线310,32210x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩垂直的平面方程为________．2.设直线l :221126--=-+=-z y x 与平面π：2x －2y ＋z ＝ 4相交于点P .在平面π内，过点P 作直线 1l ⊥l ，则点P 的坐标___________直线1l 的方程__________________3. 经过点（1，2，3），且与直线213221-=-=+z y x 垂直的平面之方程为 4.在空间直角坐标系中，经过点(1,1,2)P -且垂直于平面2x －2y ＋3z ＝1的直线之方程为5.在空间直角坐标中，经过坐标原点作直线垂直于平面x ＋2y －2z ＝3，则垂足的坐标为6.在空间垂直角坐标系O －xyz 中，若平面ax ＋2y ＋3z ＝1 与平面2x ＋y －az ＝2互相垂直，则a 的值7.在空间直角坐标系O —xyz 中，若原点到平面3x －2y ＋az ＝1的距离等于71，则a 的值为 8.在空间直角坐标系O －xyz 中，经过点P (3，1，0)，且与直线⎩⎨⎧=+-=+4222z y x y x 垂直的平面的方程为9.在空间直角坐标系O －xyz 中，经过A(1，0，2)，B(1，1，－1)，和C(2，－1，1)，三个点的平面方程为____________________10.把直线L 的一般方程2220260x y z x y z -++=⎧⎨+-+=⎩化为直线的点向式方程是____________________ 11.两平面2702110x y z x y z -+-=++-=与之间的夹角___________12.通过点A(2,-1,3)作平面22110x y z --+=,的垂线，求平面上的垂足是 ______________13.过点A （1，2，-2）且通过直线L ： 21131x z y --=+=-的平面方程____ _____________ 14.在空间直坐标系O －xyz 中，给出点A(1， 0， 2)和平面π：2x ＋ y － z ＝ 3.过点A 作平面π的垂线l ，点B 是垂足．求直线l 的方程和点B 的坐标．15.在空间直角坐标系中，给定两点A （0，1，0）、B （1，0，1）和平面π：2x －3y ＋z ＋5＝ 0。
港澳台华侨生联考试题：数学基础练习30套：第22套：三角函数基础(含答案)
） D．第四象限 )
cos 的值等于(
D．
1 5
B．
1 5
C．
2 5
2 5
7．已知 cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（ ）. A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
cos 2 2 8．若α是第三象限角，则 y＝ ＋ 的值为( sin cos 2 2
上， 则
等于 （ A． 14．如果
） B． C． D．
sin 2 cos 5 ，那么 tan 的值为（ ） 3 sin 5 cos 23 23 A．－2 B．2 C．－ D． 16 16
15．若
sin( ) cos( ) =3 ，则 tan（π+α）=（ sin( ) cos( )
．
39．已知 sin
5 ，则 sin 4 cos 4 的值为 5
． .
40．已知 tan 2, 求 7sin 2 3cos 2 A.
1 5
B.
11 5
C.
21 5
D.
31 5
1．D 11．B 21．D 26． 2 31．
3 4
2．C 12．A 22．D
B.
13 4
C.
13 5
13 4
弧度时，它有最大的面积．
26．已知扇形的周长为 20，当扇形的圆心角为
27．若角α的终边上有一点 P（－4，a），且 sinα·cosα＝
3 ，则 a 的值为 4
；
28．已知角α的终边经过点 P（3， 3 ），则与α终边相同的角的集合是______． 29．设扇形周长为 8cm ，面积为 4cm ，则扇形圆心角的弧度数是 30．如果 cos A 31．已知 sin( ) 32．已知 tan α＝2，则
港澳台华侨生联考试题：数学基础练习30套：第23套：三角函数的图像性质(含答案)
对称 2
）
13．函数 y sin cos 的图象的一个对称中心是（ A．
5 C． , 0 , 2 4 4 14．函数 f x sin x 的图象的一条对称轴是（ ） 4
, ] 上的值域。 12 2
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参考答案 1．B 2．D 3．B 13．C 4．B 14．C 5． B 6．B 7． D 8．A 18．B 9．D． 10．B 19．D 20．A
11． A 12．B
28．已知函数 f ( x ) 1 2 sin( x
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π f ( x) sin 2 x 3 sin x sin x 2 （ 0 ）的最小正周期为 ．
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三角函数的图像性质
1．若角 满足条件 sin cos 0 ，且 cos sin 0 ，则 在（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
）
2．下列函数中，以 为周期且在区间 0, A． y sin
x 2
上为增函数的是（ ） 225．（Ⅰ） （Ⅱ） f ( x ) 在 [0, 28．（Ⅰ） ；（Ⅱ） [ 1, 2 ] .
, 12 3
3 k , k ] ；（Ⅲ） [0, ] 6 3 2 3 k 30．（Ⅰ） ， x ,1] , k z （Ⅱ） [ 2 2 3 ，
19．函数 y sin(2 x 21．已知函数 f ( x ) 2 3 sin x cos x 2sin 2 x , x R ．
港澳台华侨生联考试题：数学基础练习30套：第21套：等比数列简单题(含答案)
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15．等比数列{ an }的公比 q 0 ， 已知 a2 =1， a4 =4，则{ an }的公比 q 的值为（ A．－2 B． 1 C． 3 D．2 ）
16．已知各项均为正数的等比数列 {a n } 中， a 5 a 6 4 ，则数列 log 2 an 的前 10 项和为 （A） 5 17．在等比数列 an 中, 若 a3a6 9, a2 a4 a5 27 , 则 a2 的值为（ A． 2 B． 3 C． 4 ） C．-1 D ． 1 D． 9 （ B） 6 （C） 10 （D） 12 ）
A. S n 2an 1 B. S n 3an 2 C. S n 4 3an
B、4
C、8
D、16
(
)
D. S n 3 2an
参考答案 1．A 11．C 21．C 31．A 41．C 2．C 12．C 22．A 32．A 42．B 3．C 13．A 23．A 33．B 43．D 4．D 14．D 24．B 34．C 44．B 5．B 15．D 25．B 35．B 45．B 6．A 16．C 26．D 36．A 46．D 7．C 17．B 27．B 37．D 47．C 8．D 18．D 28．D 38．C 48．C 9．C 19．D 29．A 39．C 49．D 10．A 20．D 30．C 40．B 50．D.
C. -2
）
29．设 S n 为等比数列 an 的前 n 项和， 8a2 a5 0 ，则
2
S4 （ S2
）
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A． 5 B． 8 C． 8
港澳台华侨生联考试题：数学基础练习30套：第20套：等差数列简单题(含答案)
的前 项和为 ，若
，则
__________． ，则 __________． ．
中，其前其前 项和为 ，且满足
40．已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 41．等差数列 42．已知数列 的前 项和为 ，若 是等差数列，若 ，
S3 S 2 1 ，则数列 an 的公差是 3 2
1．B 11．B 21．B 31．A 41．
2．C 12．D 22．C 32．B 42．3
3．D 13．A 23．B 33．C 43．2
4．D 14．C 24．A 34．B 44．8
5． A 15．C 25．B 35．C 45． 66
参考答案 6．C 16．C 26．C 36． 2 46．
7．A 17．C 27．B 37．4 47． 2
）
（
）
8．已知数列 A. 6 B. 8
是等差数列， a1 a3 2, a3 a5 4 ，则 a5 a7 (
C. 12 D. 16
)
9．在等差数列 an 中，若 a4 a6 a8 a10 80 ，则 a1 +a13 的值为（ A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 10．已知等差数列 an 满足 a1 a2 1 ， a3 4 ，则 a4 a5 等于（ A. 17 B. 16 C. 15 D. 14
）
3 2
C. 2
D. 3
27．等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，且 S5 15 ， a2 5 ，则公差 d A. 3 B. 2 C. 1 D. 2
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28．在等差数列 an 中，已知 a3 , a7 是函数 f x x 4 x 3 的两个零点，则 an 的前 9 项和等于（
2024年华侨港澳台联考高考数学试卷与答案
2024年华侨港澳台联考高考数学试卷一、单选题（本大题共12小题,共60.0分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项）1.设集合{}2{1,2,3,4,5},|A B x x A ==∈,则()A B ⋂=A.{1} B.{1,2}C.{1,4}D.φ2.已知21z ii+=+,则()z z +=A.12B.1C.32D.33.已知向量(2,1),(2,1)a x x x x b =++=--.若//a b ,则()A.22x = B.||2x = C.23x = D.||3x =4.不等式21230x x --<的解集是()A.1(1,0)0,3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭B.(3,0)(0,1)-⋃C.1(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.(,3)(1,)-∞-⋃+∞5.以(1,0)为焦点,y 轴为准线的抛物线的方程是()A.212y x =-B.212y x =+C.221y x =- D.221y x =+6.底面积为2π,侧面积为6π的圆锥的体积是()A.8πB.83π C.2πD.43π7.设1x 和2x 是函数32()21f x x ax x =+++的两个极值点.若212x x -=,则2(a =)A.0B.1C.2D.38.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+.若1332f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则(ϕ=)A.2()2k k Z ππ+∈ B.2()3k k Z ππ+∈C.2()3k k Z ππ-∈ D.2()2k k Z ππ-∈9.函数12(0)xy x =>的反函数是()A.21(1)log y x x=> B.21log (1)y x x=>C.21(01)log y x x=<< D.21log (01)y x x=<<11.若双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条㨆直线与直线21y x =+垂直,則C 的名心率为()A.5C.54D.5212.在1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,则这3个数的和能被3整除的概概是()A.928B.13C.514D.25二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为.14.已知O 为坐标原点,点P 在圆22(1)9x y ++=上,则||OP 的最小值为.15.若tan 3θ=,则tan 2θ=.16.设函数()(0xf x a a =>,且1)a ≠是增函数,若(1)(2)(2)(2f f f f ----,则a =.17.在正三棱柱111ABC A B C -中,121,2AB AA ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为.18.设()f x 是定义域为R 的奇函数,()g x 是定义域为R 的偶函数.若()()2xf xg x +=,则(2)g =.三、解答题（本大题共4小题,共60.0分。
2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷
2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷A．{3}B．{0，1}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，1，2，3}A．1-2i B．1+2i C．-1-2i D．-1+2i A．1B．C．2D．-2（2024•香港）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B=（ ）答案：C解析：结合交集的定义，即可求解．解答：解：A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B={-2，-1，2}．故选：C．（2024•香港）计算=（ ）3+4i 1-2i答案：D解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：===-1+2i ．故选：D．3+4i 1-2i （3+4i ）（1+2i ）（1-2i ）（1+2i ）-5+10i 5（2024•香港）函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）√3√6答案：C 解析：利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．√+a 2b 2解答：解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，√312√32π3π3A．y=±3x B．y=±2x C．y =±x D．y =±x A．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件∴当sin（x+）=1时，函数y取得最大值2．故选：C．π3（2024•香港）已知双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）x 2a 2y 2b 2√101312答案：A 解析：利用双曲线的离心率，得到a,b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，可得=，即=10，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x.故选：A．x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a （2024•香港）已知平面向量a =（1，1），b =（x+1，y），则（ ）→→→→→→→→→→答案：D解析：根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．解答：解：对于A，若a ∥b ，则1•y=1•（x+1），即y=x+1，充分性不成立，错误，对于B，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a ∥b 不成立，错误，→→→→→A．f（x）是奇函数，不是增函数B．f（x）是增函数，不是奇函数C．f（x）既是奇函数，也是增函数D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数A．1B．C．-D．-1对于C，若a ⊥b ，则x+1+y=0，必要性不成立，故错误，对于D，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a •b =2-2=0，a ⊥b ，充分性成立，故D正确．故选：D．→→→→→→→（2024•香港）已知函数f （x ）=ln （+x ），则（ ）√+1x 2答案：C解析：结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断．解答：解：函数的定义域为R，f（-x）+f（x）=ln（-x）+ln（+x）=ln（1+x 2-x 2）=0，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，B，D错误；当x≥0时，t=+x单调递增，根据奇函数的单调性可知，t=+x在R上单调递增，根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确．故选：C．√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2（2024•香港）若（a+x）4的展开式中x的系数是-，则a=（ ）121212答案：C解析：根据二项式定理，建立方程，即可求解．A．2x-3y+2=0B．3x+2y+2=0C．3x+2y-2=0D．2x-3y-2=0A．4B．2C．1D．解答：解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是•=-，∴a=-．故选：C．C 41a 31212（2024•香港）圆x 2+（y+2）2=4与圆（x+2）2+（y-1）2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）答案：D 解析：将两圆的方程相减，即可求解．解答：解：圆x 2+（y+2）2=4，即x 2+y 2+4y=0①，圆（x+2）2+（y-1）2=9，即x 2+4x+y 2-2y=4②，②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0，故直线AB的方程为2x-3y-2=0．故选：D．（2024•香港）已知x =和x =都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ）π4π212答案：A 解析：根据x=和x=都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（-），由此求解即可．π4π2π2π4解答：解：因为x=和x=都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，所以周期为T≤2×（-）=，所以≤，所以ω≥4，即ω的最小值是4．故选：A．π4π2π2π4π22πωπ2A．2B．1C．D．A．2B．（2024•香港）抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，则p=（ ）1214答案：A 解析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p,可得抛物线的方程；解答：解：抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，可得=1，解得p=2，故选：A．p 2p 2p 2（2024•香港）正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ）12√2√223答案：B解析：根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，再建立方程求出正四棱柱的，最后代入体积公式，即可求解．解答：解：∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，∴正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，∴（2R）2=12+12+h 2，即4=2+h 2，∴h=，∴该正四棱柱的体积为1×1×=．故选：B．12√2√2√2（2024•香港）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f（x）=x 2+2x,则当2≤x≤3时，f（x）=（ ）A．x 2+2xB．x 2-2x C．-x 2+2x D．-x 2-2x答案：B 解析：根据题意，分析可得f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，结合函数的解析式分析可得答案．解答：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又由f（x）的图像关于直线x=1对称，则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，则f（x-2）=（x-2）2+2（x-2）=x 2-2x,则有f（x）=f（x-2）=x 2-2x.故选：B．（2024•香港）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280个．答案：280．解析：根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．解答：解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有•=280个．故答案为：280．A 51A 82（2024•香港）记等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 2=16，S 4=24，则a 8=-5．答案：-5．解析：根据等差数列的前n项和公式即可得．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d,由S 2=16，S 4=24，得，即，解得．所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5．故答案为：-5．⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1．答案：[-2，]．23解析：将不等式两边同时平方，再结合一元二次不等式的解法，即可求解．解答：解：2|x|≤|x-2|，则4x 2≤x 2-4x+4，化简整理可得，（3x-2）（x+2）≤0，解得-2≤x ≤，故所求解集为[-2，]．故答案为：[-2，]．232323（2024•香港）函数f（x）=e x -2x的最小值为2-2ln2．答案：见试题解答内容解析：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．利用单调性即可得出．解答：解：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．可得：函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x=ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）=2-2ln2．故答案为：2-2ln2．（2024•香港）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，则f（9）=11．答案：11．解析：利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值．解答：解：函数f（x）的定义域为R，f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，∴f（1）f（3）=4+8+3=15，∴f（3）=5，f（3）f（5）=16+16+3=35，∴f（5）=7，f（5）（7）=36+24+3=63，∴f（7）=9，f（7）f（9）=64+32+3=99，则f（9）=11．故答案为：11．（2024•香港）已知二面角α-AB-β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．√244解析：由题意建立空间直角坐标系，设正方形的边长，求出直线BF，AC的方向向量BF ，AC 的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．→→解答：解：过F作FO⊥AB，在平面α过O作y轴⊥AB，因为二面角α-AB-β的大小为90°，所以FO⊥平面α，设正方形的边长为2，由题意OF=，可得F（0，0，），B（1，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），则BF =（-1，0，），AC =（2，2，0），所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2，|BF |==2，|AC |==2，所以cos＜BF ，AC ＞==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos＜BF ，AC故答案为：．√3√3→√3→→→√3→√（-1++（）202√3）2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→4√24（2024•香港）已知△ABC中，A =，AC=ABtanB．（1）求B；（2）求sinA+sinB+sinC．π3答案：（1）；（2）．π12+√3√62解析：（1）由题设及正弦定理，可得cosB=sinC，再根据诱导公式进行代换，即可求得角B；（2）根据角A，B，C的值，利用两角和的正弦公式即可求解．解答：解：（1）由AC=ABtanB，可得tanB =，由正弦定理，可得=，又B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=sinC，由诱导公式，可得cosB=sin（A+B）=cos[-（A +B ）]，所以B =-（A +B ）+2kπ或B =（A +B ）-+2kπ，k∈Z，又A =，所以B =+kπ，k∈Z，又B∈（0，π），故B=；（2）由（1）知，A =，B=，则C =，sin +sin =+sin （-）+sin （+）=+2sin cos2=．b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62（2024•香港）在一个工作日中，某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个，该工人使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为0.5，且不同工作日使用仪器的情况相互独立．（1）求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率；（2）记X为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求E（X）．答案：（1）0.1；（2）50．解析：（1）利用概率的性质求解；（2）利用二项分布的期望公式求解．解答：解：（1）设事件A表示“在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器”，则P（A）=0.6+0.5-1=0.1；（2）因为在一个工作日中该工人仅使用甲仪器的概率为0.6-0.1=0.5，A．{3}B．{0，1}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，1，2，3}A．1-2i B．1+2i C．-1-2i D．-1+2i A．1B．C．2D．-2则X～B（100，0.5），所以E（X）=100×0.5=50．（2024•香港）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B=（ ）答案：C解析：结合交集的定义，即可求解．解答：解：A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B={-2，-1，2}．故选：C．（2024•香港）计算=（ ）3+4i 1-2i答案：D解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：===-1+2i ．故选：D．3+4i 1-2i （3+4i ）（1+2i ）（1-2i ）（1+2i ）-5+10i 5（2024•香港）函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）√3√6答案：C 解析：利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．√+a 2b 2A．y=±3x B．y=±2x C．y =±x D．y =±x A．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件解答：解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，∴当sin（x+）=1时，函数y取得最大值2．故选：C．√312√32π3π3π3（2024•香港）已知双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）x 2a 2y 2b 2√101312答案：A 解析：利用双曲线的离心率，得到a,b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，可得=，即=10，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x.故选：A．x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a （2024•香港）已知平面向量a =（1，1），b =（x+1，y），则（ ）→→→→→→→→→→答案：D解析：根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．A．f（x）是奇函数，不是增函数B．f（x）是增函数，不是奇函数C．f（x）既是奇函数，也是增函数D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数A．1B．D．-1解答：解：对于A，若a ∥b ，则1•y=1•（x+1），即y=x+1，充分性不成立，错误，对于B，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a ∥b 不成立，错误，对于C，若a ⊥b ，则x+1+y=0，必要性不成立，故错误，对于D，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a •b =2-2=0，a ⊥b ，充分性成立，故D正确．故选：D．→→→→→→→→→→→→（2024•香港）已知函数f （x ）=ln （+x ），则（ ）√+1x 2答案：C解析：结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断．解答：解：函数的定义域为R，f（-x）+f（x）=ln（-x）+ln（+x）=ln（1+x 2-x 2）=0，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，B，D错误；当x≥0时，t=+x单调递增，根据奇函数的单调性可知，t=+x在R上单调递增，根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确．故选：C．√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2（2024•香港）若（a+x）4的展开式中x的系数是-，则a=（ ）1212C．-A．2x-3y+2=0B．3x+2y+2=0C．3x+2y-2=0D．2x-3y-2=0A．4B．2C．1D．12答案：C解析：根据二项式定理，建立方程，即可求解．解答：解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是•=-，∴a=-．故选：C．C 41a 31212（2024•香港）圆x 2+（y+2）2=4与圆（x+2）2+（y-1）2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）答案：D 解析：将两圆的方程相减，即可求解．解答：解：圆x 2+（y+2）2=4，即x 2+y 2+4y=0①，圆（x+2）2+（y-1）2=9，即x 2+4x+y 2-2y=4②，②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0，故直线AB的方程为2x-3y-2=0．故选：D．（2024•香港）已知x =和x =都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ）π4π212答案：A 解析：根据x=和x=都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（-），由此求解即可．π4π2π2π4A．2B．1C．D．A．2B．解答：解：因为x=和x=都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，所以周期为T≤2×（-）=，所以≤，所以ω≥4，即ω的最小值是4．故选：A．π4π2π2π4π22πωπ2（2024•香港）抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，则p=（ ）1214答案：A 解析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p,可得抛物线的方程；解答：解：抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，可得=1，解得p=2，故选：A．p 2p 2p 2（2024•香港）正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ）12√2√223答案：B解析：根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，再建立方程求出正四棱柱的，最后代入体积公式，即可求解．解答：解：∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，∴正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，∴（2R）2=12+12+h 2，即4=2+h 2，∴h=，12√2A．x 2+2xB．x 2-2x C．-x 2+2x D．-x 2-2x∴该正四棱柱的体积为1×1×=．故选：B．√2√2（2024•香港）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f（x）=x 2+2x,则当2≤x≤3时，f（x）=（ ）答案：B解析：根据题意，分析可得f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，结合函数的解析式分析可得答案．解答：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又由f（x）的图像关于直线x=1对称，则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，则f（x-2）=（x-2）2+2（x-2）=x 2-2x,则有f（x）=f（x-2）=x 2-2x.故选：B．（2024•香港）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280个．答案：280．解析：根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．解答：解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有•=280个．故答案为：280．A 51A 82（2024•香港）记等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 2=16，S 4=24，则a 8=-5．答案：-5．解析：根据等差数列的前n项和公式即可得．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d,由S 2=16，S 4=24，得，即，解得．所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5．故答案为：-5．⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1．答案：[-2，]．23解析：将不等式两边同时平方，再结合一元二次不等式的解法，即可求解．解答：解：2|x|≤|x-2|，则4x 2≤x 2-4x+4，化简整理可得，（3x-2）（x+2）≤0，解得-2≤x ≤，故所求解集为[-2，]．故答案为：[-2，]．232323（2024•香港）函数f（x）=e x -2x的最小值为2-2ln2．答案：见试题解答内容解析：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．利用单调性即可得出．解答：解：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．可得：函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x=ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）=2-2ln2．故答案为：2-2ln2．（2024•香港）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，则f（9）=11．答案：11．解析：利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值．解答：解：函数f（x）的定义域为R，f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，∴f（1）f（3）=4+8+3=15，∴f（3）=5，f（3）f（5）=16+16+3=35，∴f（5）=7，f（5）（7）=36+24+3=63，∴f（7）=9，f（7）f（9）=64+32+3=99，则f（9）=11．故答案为：11．（2024•香港）已知二面角α-AB-β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．√244解析：由题意建立空间直角坐标系，设正方形的边长，求出直线BF，AC的方向向量BF ，AC 的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．→→解答：解：过F作FO⊥AB，在平面α过O作y轴⊥AB，因为二面角α-AB-β的大小为90°，所以FO⊥平面α，设正方形的边长为2，由题意OF=，可得F（0，0，），B（1，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），则BF =（-1，0，），AC =（2，2，0），所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2，|BF |==2，|AC |==2，所以cos＜BF ，AC ＞==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos＜BF ，AC√3√3→√3→→→√3→√（-1++（）202√3）2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→44（2024•香港）已知△ABC中，A =，AC=ABtanB．（1）求B；（2）求sinA+sinB+sinC．π3答案：（1）；（2）．π12+√3√62解析：（1）由题设及正弦定理，可得cosB=sinC，再根据诱导公式进行代换，即可求得角B；（2）根据角A，B，C的值，利用两角和的正弦公式即可求解．解答：解：（1）由AC=ABtanB，可得tanB =，由正弦定理，可得=，又B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=sinC，由诱导公式，可得cosB=sin（A+B）=cos[-（A +B ）]，所以B =-（A +B ）+2kπ或B =（A +B ）-+2kπ，k∈Z，又A =，所以B =+kπ，k∈Z，又B∈（0，π），故B=；（2）由（1）知，A =，B=，则C =，sin +sin =+sin （-）+sin （+）=+2sin cos2=．b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62（2024•香港）记数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1=4，=（-1）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）求{a n }的通项公式．a n +14（n +1）2n -1S n -1S n 2n -1答案：（1）证明见解答；（2）a n =4n•3n-1，n∈N *．解析：（1）根据数列的和与项的转化关系，等比数列的定义，即可证明；（2）根据数列的和与项的转化关系，分类讨论，即可求解．解答：解：（1）证明：∵=（-1），∴-=（-1），∴（2n-1）S n+1-（2n-1）S n =4（n+1）S n -4（n+1），∴（2n-1）S n+1=（6n+3）S n -4（n+1），∴（2n-1）（S n+1-1）=（6n+3）S n -（6n+3），∴（2n-1）（S n+1-1）=3（2n+1）（S n -1），∴=3（），又=a 1-1=3，∴数列{}是以首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）可得=，∴-1=（2n -1）×①，当n≥2时，-1=（2n -3）×②，①-②可得=（2n -1）×-（2n -3）×=4n•3n-1（n≥2），又a 1=4，也满足上式，∴a n =4n•3n-1，n∈N *．a n +14（n +1）2n -1S n S n +1S n 4（n +1）2n -1S n -1S n +12n +1-1S n 2n -1-1S 12×1-1-1S n 2n -1-1S n 2n -13n S n 3n S n -13n -1a n 3n 3n -1（2024•香港）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F，点A（-a,0），B（0，b），过F的直线x-y+1=0交C于B，P两点．（1）求P的坐标；（2）若点R（-2，y 0）在直线AB上，证明：FR是∠PFA的角平分线．x 2a 2y 2b 2答案：（1）P（-，-）．（2）证明详情见解答．4313解析：（1）直线方程中x-y+1=0，分别令y,x为0，解得b,c,由a 2=b 2+c 2，解得a,即可得出椭圆的方程，联立直线x-y+1=0与椭圆的方程，即可得出答案．（2）由（1）知A（-，0），B（0，1），写出直线AB的方程，进而可得Q点坐标，推出tan2∠RFA=tan∠RFA，即可得出答案．√2解答：解：（1）因为直线x-y+1=0过焦点F和点B，所以令y=0，得x=-1，即-c=-1，则c=1，令x=0，得y=1，即b=1，又a 2=b 2+c 2=2，所以椭圆的方程为+y 2=1，联立，解得x=0或x=-，所以x P =-，y P =x P +1=（-）+1=-，所以P（-，-）．（2）证明：由（1）知A（-，0），B（0，1），令x=-2，得y=1-，所以R（-2，1-），tan∠RFA==-1，tan2∠RFA==因为直线x-y+1=0的斜率为1，所以tan∠RFA=1，所以tan2∠RFA=tan∠RFA，所以FR是∠PFA的角平分线．x 22{x -y +1=0+=1x 22y 2434343134313√2√2√2|1-|√2-1-（-2）√22tan ∠RFA 1-ta ∠n 2√2。
港澳台学生联考试题：数学--数列各种简单综合题(含答案)
数列综合题1．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且2a ，3a ，41a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()...,2,112=-=n a S n n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()2,...,2,111==+=+b n b a b n n n ，求数列{}n b 的通项公式.3．已知等差数列{}n a 的公差0> d ，其前n 项和为n S , 11=a ,3632=S S ；（1）求出数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式nS （2）若数列{}n b 满足)2(,211≥=-=-n d b b b nn n ，求数列{}n b 的通项公式nb4．等差数列{}n a 中，11-=a ，公差0≠d 且632,,a a a 成等比数列，前n 项的和为n S .（1）求n a 及n S ;（2）设11+=n n n a a b ，n n b b b T +++= 21，求n T .5．已知数列{}n a 满足22a =，n S 为其前n 项和，且(1)(1,2,3,)2n n a n S n +== .（1）求1a 的值；（2）求证：1(2)1n n na a n n -=≥-；（3）判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()122n n S p n N +*=+∈.（I ）求p 的值及数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足()132n n a bn a p +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .7．在数列}{n a 中，c c a a a n n (,111+==+为常数，)*∈N n ，521,,a a a 构成公比不等于1的等比数列.记11+=n n n a a b （)*∈N n ．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）设}{n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得kk R 2≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由.8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()*31N n a S n n ∈-=．（Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列．9．设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若*)(,1211N n a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .11．在数列{}n a 中，,31=a )n n 2,n 2-n 21*-∈≥+=且（n n a a （1）求32,a a 的值；（2）证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S .12．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++< 都有．13．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足3(1)2n n S b =-且2152,.a b a b ==（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式：（Ⅱ）设T n 为数列{S n }的前n 项和，求T n ．14．在数列}{n a 和等比数列}{n b 中，01=a ，23=a ，1*2()n a n b n N +=∈．（Ⅰ）求数列{}n b 及}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．15．设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的+∈N n ，点(,)n n S ，均在函数r y x+=2的图像上.（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）记n na a ab 2log 2log 2log 22212+++= 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前n 项和n T .16．设数列{}n a 满足：11,a =()121*n n a a n N +=+∈.（I ）证明数列{1}n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式;（II ）若2log (1)n n b a =+,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .17．已知数列{}n a 是一个递增的等比数列，前n 项和为n S ，且42=a ，143=S ，①求{}n a 的通项公式；②若n n a C 2log =，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n 的前n 项和nT 18．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +-=（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．19．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，等差数列{}n b 满足11b a =，47b =．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证12n T <．20．已知数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和是n S ，且点(),2n n a S 在函数2y x x =+的图像上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设121,2n n n nb T b b b S ==+++ ，求n T ．21．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．已知数列{}n a 中，13a =，满足)2(1221≥-+=-n a a nn n 。
港澳台学生联考数学复习资料：含答案
y1 x1
2p y1 y2
( x1
x2 )
将 y1 y2 2 y0 ( y0 0) 代入得
k AB
2p y1 y2
p y0
，所以 k AB 是非零常数
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7
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北京博飞--华侨港澳台培训学校 如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2），A（ x1 , y1 ），B（ x2 , y2 ）均在抛物线上．
B（ x2 , y2 ） （I）求该抛物线上纵坐标为 p 的点到其焦点 F 的距离 2 （II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y2 的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数. y0
y
P
O A
解：（I）当 y p 时， x p
2
8
又抛物线 y 2 2 px 的准线方程为 x p 2
【答案】B
B． y2 x2 1 12 24
C． x2 y2 1 12 24
D． x2 y2 1 24 12
11. 记 cos(80) k ,那么 tan100 （ C ）
（A）— k 1 k2
（B） k 1 k2
（C）— 1 k 2 k
（D） 1 k 2 k
A． (, 4]
B． (, 4)
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C． (4, 4]
D．[4, 4]
1
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【答案】D
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7. 已知直线 y x m 是曲线 y x2 3ln x 的一条切线，则 m 的值为（ ）
B．（－2,2） D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
港澳台华侨生联考试题：数学基础练习30套：第18套：不等式(难)(含答案)
解不等式1．关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集为{x|－7<x<－1}，则实数m 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．若不等式2(a 2)x 2(a 2)x 40-+--<对一切x R ∈恒成立，则实数a 取值范围（）A ．2a ≤B ．22a -<≤C ．22a -<<D ．2a ≤-3．若不等式的解集是R ，则m 的范围是（）A ．B ．C ．D ．4．若不等式21x ax a -+≤有解,则a 的取值范围为（）A ．a ＜2B ．a=2C ．a ＞2D ．a ∈R 5．若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则b a -的值是（）A ．－10B ．－14C ．10D ．146．若关于x 的不等式有实数解，则实数m 的取值范围是（）A.(,4)(2,)-∞-+∞ B.(][),42,-∞-+∞ C.)2,4(- D.(][),24,-∞-+∞ 7．设a<－1，则关于x 的不等式01)((<--ax a x a 的解集是A.}1{ax a x x ><或B ．{x|x>a}C.}1{ax a x x <>或 D.}1{ax x <8．若不等式022>++mmx x 恒成立，则实数m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＜0或m ＞2D ．0＜m ＜29．如果0)2(22<+-+k kx kx 恒成立，则实数k 的取值范围是A.01≤≤-k B.01<≤-k C.01≤<-k D.01<<-k 10．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B = （）A.(3,0)-B.()3,1-- C.(]3,1-- D.()3,3-11．不等式2104xx -<-的解集是（）A ．)1,2(-B ．),2(+∞C ．)1,2(-),2(+∞⋃D ．)2,(--∞),1(+∞⋃12．不等式22>++x 的解集为A.),1()0.1(+∞- B.)1,0()1.( --∞ C.)1,0()0.1( - D.),1()1.(+∞--∞13．已知a R ∈，不等式31x x a -≥+的解集为P ，且2P -∉，则a 的取值范围是()A.3a >- B.32a -<< C.2a >或3a <- D.2a ≥或3a <-14．关于x 的不等式0axb ->的解集是(,1)-∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解为（）A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞B.(1,2)- C.(1,2)D.(,1)(2,)-∞⋃+∞15．不等式12x -≥的解集为()A.[1,)-+∞ B.[1,0)- C.(,1]-∞- D.(,1](0,)-∞-+∞ 16．不等式2112x x -++>的解集为（）A ．2(,0)(,)3-∞+∞ B ．2(,)3+∞C ．2(,1)(,)3-∞-+∞ D ．(,0)-∞17．不等式的解集为（）A ．[-4，2]B ．[)2,+∞C ．(],4-∞-D ．(][),42,-∞-+∞ 18．不等式3529x ≤-<的解集是（）A ．()(),27,-∞-+∞ B ．[]1,4C ．[][]2,14,7- D ．(][)2,14,7- 19．已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<<，（Ⅰ）若21=a ，求B A ⋂；（Ⅱ）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围.20．已知关于x 的不等式1+-x a x <0的解集为P ，0x 3x -2≥+的解集为Q 。
港澳台华侨生联考试题：数学基础练习30套：第1套：一元二次不等式1(含答案)
B． x | x 2或x 1 ）
C． x |1 x 2
D． x |1 x 2
14．不等式 ( x )( x ) 0 的解集是（
1 3 或x } 2 2 1 3 C． {x | x } 2 2
A． { x | x 15．不等式 的解集为（
2
）
1 4
C． 4
D．
1 2
19．不等式 x 2 x 3 0 的解集是（ A． (3,1) B． ( 1,3)
） D． ( ,3) (1, ) 网址：
C． ( ,1) (3, )
2
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23．不等式 3 x 2 x 1 0 的解集是（ A． ,1
） C． , 1, （ ）
1 3
B． 1,
1 3
D． ,
1 3
24．不等式（x—1）（2—x）≥0 的解集是 A． x x 1, 或x 2
3．A 11．A 19．B
4． B 12．D 20．B
5．C 13．C 21．A
参考答案 6． B 7．C 14．C 15．A 22．B 23．A
8．B 16．A 24．C
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4
1 3 2 2
B． { x | x
1 3 或x } 2 2 1 3 D． { x | x } 2 2
）
A．
B．
C． 16．不等式 x ( x 2) 0 的解集为（ A． {x | x 0或x 2} C． {x | 0 x 2}
2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷(解析版)
2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，则A∩B＝（ ）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}【答案】D【解答】解：因为集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，所以B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：D．2．（5分）已知（2+i）＝5+5i，则|z|＝（ ）A．B．C．5D．5【答案】B【解答】解：由（2+i）＝5+5i，得＝＝＝＝3+i，则z＝3﹣i，|z|＝＝．故选：B．3．（5分）设向量，，若，则x＝（ ）A．5B．2C．1D．0【答案】A【解答】解：∵向量，，，∴＝0，可得2（x﹣2）+（x+1）×（﹣1）＝0，∴x＝5．故选：A．4．（5分）不等式的解集为（ ）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，）【答案】C【解答】解：，则，解得0＜x＜1，故原不等式的解集为（0，1）．故选：C．5．（5分）抛物线y2＝2px过点，求焦点（ ）A．（，0）B．（，0）C．D．【答案】C【解答】解：抛物线y2＝2px过点，则3＝2p，解得p＝，故该抛物线的焦点为（）．故选：C．6．（5分）长方体的对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：不妨设长方体底面为正方形，边长为a，高为b，则底面的对角线为，∵长方体的对角线长为1，表面积为1，∴，解得，∴长方体体积为．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1处取得极小值1，则b＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：f（x）＝x3+ax2+x+b，则f'（x）＝3x2+2ax+1，∵函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1处取得极小值1，∴，解得，故f（x）＝x3﹣2x2+x+1，f'（x）＝3x2﹣4x+1，令f'（x）＝0，解得x＝或x＝1，f（x）在（﹣∞，），在（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减，故f（x）在x＝1处取得极小值，故b＝1，符合题意．故选：C．8．（5分）已知函数，则（ ）A．上单调递增B．上单调递增C．上单调递减D．上单调递增【答案】A【解答】解：，令，k∈Z，解得，k∈Z，当k＝0时，，故f（x）在（﹣，）上单调递增．故选：A．9．（5分）若，且x＞0，则x＝（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：∵，∴x2+2x+1＝16，且x＞0，解得x＝3．10．（5分）S n为等差数列的前n项和，S9＝81，a2＝3，则a10＝（ ）A．2B．11C．15D．19【答案】D【解答】解：设等差数列的公差为d，则：，解得，∴a10＝a1+9d＝1+18＝19．故选：D．11．（5分）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（ ）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝＝＝2．故选：A．12．（5分）在2、3、5、6中任选2个不同数字，其乘积能被3整除的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在2、3、5、6中任选2个不同数字，基本事件总数n＝＝6，其乘积能被3整除a的基本事件有5个，分别为：（2，3），（2，6），（3，5），（3，6），（5，6），则其乘积能被3整除的概率为．故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A={−2,−1,0,1,2}，B={2k|k∈A}，则A∩B=( )A. {0}B. {0,2}C. {−2,0}D. {−2,0,2}2.已知(2+i)z−=5+5i，则|z|=( )A. √ 5B. √ 10C. 5√ 2D. 5√ 53.设向量a⃗=(2,x+1)，b⃗ =(x−2,−1)，若a⊥b⃗，则x=( )A. 5B. 2C. 1D. 04.不等式1x >1x−1的解集为( )A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. (0,12) 5.抛物线y2=2px过点(1,√ 3)，求焦点( )A. (√ 312,0) B. (√ 36,0) C. (34,0) D. (32,0)6.长方体的对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为( )A. √ 2108B. √ 227C. √ 29D. √ 267.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b在x=1处取得极小值1，则b=( )A. −1B. 0C. 1D. 28.已知函数f(x)=sin(2πx−π5)，则( )A. (−320,720)上单调递增 B. (−15,310)上单调递增C. (310,45)上单调递减 D. (320,1320)上单调递增 9.若log 2(x 2+2x +1)=4，且x >0，则x =( ) A. 2B. 3C. 4D. 510.S n 为等差数列的前n 项和，S 9=81，a 2=3，则a 10=( ) A. 2B. 11C. 15D. 1911.O 为原点，P 在圆C(x −2)2+(y −1)2=1上，OP 与圆C 相切，则|OP|=( ) A. 2B. 2√ 3C. √ 13D. √ 1412.在2、3、5、6中任选2个不同数字，其乘积能被3整除的概率为( ) A. 16B. 17C. 13D. 56第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
台港澳联考试题：数学必考试题：三角函数一(含答案)
cos | sin | － 的值是 （ ） sin | cos |
C． 0 D．－2 ）
42．若动直线 x a 与函数 f ( x ) sin x 和 g ( x ) cos x 的图像分别交于 M，N 两点，则 MN 的最大值为（ A．1 B． 2 C． 3 D．2
43．函数 f x 2cos x （ 0 ）对任意 x 都有 f A． 2 或 0 B． 2 或 2
x f x ，则 4 4
f 等于（ 4
）
44．将函数 f ( x ) sin( x ) 的图象向左平移 A． 4 B．6 C． 8 D．12
个单位，若所得图象与原图象重合，则 的值不可能等于（ ） 2
D．关于 x 对称 ）
25．已知函数 f x = sin
3 x 3 cos x , x R ，则 f x （ 4 4
,0 对称 12 5 对称 12
B．周期为 ，且图象关于点
A．最大值为 2，且图象关于点
,0 对称 12 ,0 对称 12
C．最大值为 2，且图象关于 x
D．周期为 2 ，且图象关于点 ）
26． f ( x ) cos x sin x 在下列哪个区间上是单调递减的（ A．
5 , 4 4
B．
3 4
C．
3 4
17．若 sin cos tan ， (0 A． (0,
) 6
B． (
, ) 6 4
) ，则 （ ） 2 C． ( , ) 4 3
港澳台学生联招试卷：数学：数列练习汇总(含答案)
an (an an 1 ) (an 1 an 2 ) ... (a 2 a1 ) a1 2n 1 2n 2 ... 2 1 2n 1( n N * ).
4.
已知二次函数 y f ( x ) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f ( x ) 6 x 2 ，数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，点
－ －
4n, n=1,2,3, …, 因而 an=4n－2n, n=1,2,3, …, (Ⅱ)将 an=4n－2n 代入①得 Sn= = 2 ×(2n+1－1)(2n－1) 3
3
4 1 2 1 ×(4n－2n)－ ×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) 3 3 3 3
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2n1 n 1
lg(1 a1) 2n 1 lg 3 lg 32
解：（Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点 ( n, S n )( n N ) 均在函数 y f ( x ) 的图像上，所以 S n ＝3n2－2n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－ （ 3 n 1) 2(n 1) ＝6n－5. 当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （ n N ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知 bn
2. 已知数列 an 满足 a1 1, a2 3, an 2 3an 1 2an ( n N * ). （I）证明：数列 an 1 an 是等比数列； （I）证明： an 2 3an 1 2an , （II）求数列 an 的通项公式；
港澳台华侨生联考试题：数学基础练习30套：第30套：数学练习(含答案)
3．已知集合 A ( x, y ) x 2 y 2 1 ， B ( x, y ) y x ，则 A B 的子集个数为（
）
A．2 B． 4 C．6 D． 8 4．已知集合 A={m|m>1},集合 B={0,1,2,3,4}，且满足 B C=B,A C={2,3},则符合条件的集合 C 的个数有 （ A．3 个 5．定义 A B A． 6 ） B．4 个 C．6 个 D．8 个 ）
2
C． 1, 2
D． 4, 2 ）
10．已知函数 f ( x ) ax ax 4(0 a 2), 若 x1 x 2 , x1 x 2 1 a 则（ A． f ( x1 ) f ( x 2 ) C． f ( x1 ) f ( x 2 ) B． f ( x1 ) f ( x 2 ) D． f ( x1 ) 与 f ( x 2 ) 的大小不能确定
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12．函数 y （A） 1,3 13．函数 f ( x )
sin x cos x tan x 的值域为 sin x cos x tan x
（B） 1,3 （C） 1,3 的定义域为（ B． ( 2,1) ） C． ( , 1) (2, ) D． (1, 2) （ D） 1,3
11．定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x y ) f ( x ) f ( y ) 2 xy （ x，y R ）， f (1) 2 ，则 f ( 3) 等于（ A.2 B.3 C.6 D.9
1
）
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网址：
C． [0, 2]
D． [ 2, 2] ） （D） ( 1, 0) (0,1]
港澳台联考试题：三角和差化积二倍角(含答案)
2 2
C．1
D．
2 2
）
6 2 6 3 C、 4 4 2 1 cos 2 8sin 19．已知 tan 4, 的值是（ ） sin 2 20 3 65 A． B． C． 4 D． 4 2 3 4 cos 2 2 20．若 ，则 cos sin 的值为（ ） π 2 sin 4 7 1 1 A． B． C． 2 2 2
21．已知 tan 2 ，则 sin 2 的值为（ A、 ） D、
6 3 4
D、
6 2 4
D．
7 2
1 5
B、
2 5
C、
22．已知
cos cos
1 1 , sin sin , 则 cos( ) （ 2 3
2
3 5
4 5
）
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1．已知角 的终边经过点 P ( 1, 2) ，则 tan
tan 22.5 1 cos 30 C． D ． sin 2 1 tan 2 22.5 12 12 2 3 4．已知 为第二象限角， sin ，则 sin 2 （ ） 5 24 12 12 24 A、 B、 C、 D、 25 25 25 25 2 4 5．如果 cos ，那么 sin( ) ） cos 等于（ 4 2 5 2 2 2 2 3 2 3 2 A． B． C． D． 5 5 10 10 5 6．已知 sin ） , 且 ( , ) ，则 tan 2 （ 5 2 4 4 A． 2 B． C． 2 D． 3 3
A．0 B．－
2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷[含答案]
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2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，0，1，，，，2，，则 {2A =-1-2}{2B =-1-3}(A B = )A ．B ．，{3}{01}C ．，，D ．，，0，1，2，{2-1-2}{2-1-3}2．计算 34(12ii +=-)A ．B ．C ．D ．12i -12i+12i --12i-+3．函数的最大值是 sin y x x =+()A ．1B C ．2D ．2-4．已知双曲线的渐近线方程为 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C ()A ．B ．C ．D ．3y x =±2y x =±13y x =±12y x=±5．已知平面向量，，则 (1,1)a =(1,)b x y =+ ()A ．“，”是“”的必要条件1x =2y =-//a bB ．“，”是“”的充分条件1x =2y =-//a bC ．“，”是“”的必要条件1x =2y =-a b ⊥D ．“，”是“”的充分条件1x =2y =-a b ⊥6．已知函数，则 ())f x ln x =+()A ．是奇函数，不是增函数()f x B ．是增函数，不是奇函数()f x C ．既是奇函数，也是增函数()f x D ．既不是奇函数，也不是增函数()f x 7．若的展开式中的系数是，则 4()a x +x 12-(a =)A ．1B ．C ．D ．1212-1-8．圆与圆交于，两点，则直线的方程为 22(2)4x y ++=22(2)(1)9x y ++-=A B AB ()A ．B ．C ．D ．2320x y -+=3220x y ++=3220x y +-=2320x y --=9．已知和都是函数的极值点，则的最小值是 4x π=2x π=()sin()(0)f x x ωϕω=+>ω()A ．4B ．2C ．1D ．1210．抛物线的焦点为，上的点到的距离等于到直线的距离，则 2:2(0)C y px p =>F C F 1x =-(p =)A ．2B ．1C ．D ．121411．正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球的球面上，到该正四棱柱侧面的距离为，则该正O O 12四棱柱的体积是 ()A ．BC D12．已知偶函数的图像关于直线对称，当时，，则当时， ()f x 1x =01x 2()2f x x x =+23x ()(f x =)A ．B ．C ．D ．22x x +22x x -22x x -+22x x--二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
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2014年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试
数 学
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{(3)(2)0}P x
x x =+-≥，{2}Q x x =>，则P Q =（ ）
（A ）Q （B ）∅ （C ）{2}
（D ）P
（2）抛物线2
8y x =-的准线方程为
（ ）
（A ）2x =-
（B ）1x =-
（C ）1x =
（D ）2x =
（3）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2r =（ ）
（A ）8
（B ）5
（C ）
（D （4）若实数,a b 满足0ab <，则 （ ）
（A ）
a b a b +<- （B ）a b a b +>- （C ）a b a b -<+ （D ）a b a b ->+
（5）函数4sin cos2y x x =+的值域为
（ ）
（A ）
[]5,4- （B ）
[]3,7 （C ）[]5,3-
（D ）
[]1,3-
（6）使函数
()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数的最小正数ϕ= （ ）
（A ）π
（B ）
2
π
（C ）
4π
（D ）
8
π
（7）等比数列4,10,20x x x +++的公比为（ ）
（A ）
12
（B ）
43
（C ）32
（D ）53
（8）9(x 的展开式中3x 的系数是
（ ）
（A ）336 （B ）168
（C ）168- （D ）336-
（9）8把不同的钥匙中只有1把能打开某锁，那么从中任取2把能将该锁打开的概率为 （ ）
（A ）
14
（B ）
17
（C ）18
（D ）116
（10）平面10ax by z +++=与230x y z +-+=互相垂直，且其交线经过点(1,1,2)-，则a b +=
（A ）
23
（B ）13
（C ）13-
（D ）23
- （11）有一块草地为菱形，在菱形的对角线交点处有一根垂直于草地的旗杆，若该菱形面积为
2240m ，周长为80m ，旗杆高8m ，则旗杆顶端到菱形边的最短距离为 （ ）
（A ）6m
（B ）8m
（C ）10m
（D ）12m
（12）函数
2
1
()1
x f x x -=
+的最大值为（ ） （A
）
2
（B
）
1
4
（C
）
4
（D
）
1
2
- 二、填空题：本大题共6小题；每题5分． （13）函数tan(3)18
y x π
=+
的最小正周期是_____________．
（14
）设双曲线经过点，且其渐近线方程为230x y ±=，则该双曲线的标准方程为________． （15）已知点A 、B 在球O 的表面上，平面AOB 截该球面所得圆上的劣弧AB 长为80，=120AOB ∠，
则该球的半径为_______________．
（16）若21
1,()1,1x x f x x a x ⎧-≠⎪
=-⎨⎪=⎩
， 是R 上的连续函数，则a =______________．
（17）用1x +除多项式()P x 的余式为2，用2x +除多项式()P x 的余式为1，则用232x x ++除多项式
()P x 的余式为______________．
（18）设函数2
13
()log (443)f x x ax a =-+在(0,1)是增函数，则a 的取值范围____________．
三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （19）甲、乙、丙各自独立投篮一次.已知乙投中的概率是
23，甲投中并且丙投中的概率是3
8
，乙投不中并且丙投不中的概率是
1
6
． （I ）求甲投中的概率；（II ）求甲、乙、丙3人中恰有2人投中的概率．
（20）设椭圆2
212
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，1F l ∉，
求1F AB ∆重心的轨迹方程．
（21）设曲线22y x ax =-与2y x x =-所围成的区域被直线1x =分成面积相等的两部分，求a ．
（22）在数列{}n a 中，11a =，112
(1)2
n n a a n n +=++
+，1,2,3,n =⋅⋅⋅． （I ）求2a ，3a ，4a ； （II ）求数列{}n a 的通项公式．
2014年港澳台联考数学真题答案
一、选择题
1—12：BDBAC BDAAC CD 二、填空题
13．3
π 14．22
1188x y -= 15．
120π 16．2 17．3x + 18．[2,4] 三、解答题
19．解：（I ）设甲和丙投中的概率分别是P 甲、P 丙，则3
=8
P P ⋅甲丙，且21(1)(1)36P --=丙
， 解得3=
4P 甲，1
=2
P 丙． （II ）所求概率设为P ，则32132132111
(1)(1)(1)43243243224
P =
⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=
． 20．解：由已知条件可知，1(1,0)F -、2(1,0)F ，
①当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为：1x =
，则可得A
、(1,B ，又1(1,0)F -，所以1F AB ∆重心坐标为1
(,0)3
；
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，
因为1F l ∉，所以0k ≠，与椭圆的方程联立22
12(1)y k x y x ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩
，整理得2222
(12)4220k x k x k +-+-=，
则22412A B k x x k +=+，故2
2()212A B A B
k
y y k x x k k -+=+-=+ 所以1F AB ∆的重心坐标为222102(,)(,)1233(12)3(123)A B A B x x y y k k
k k +-++--++=
即222
21
3(12)23(2))1k x k k y k ⎧-=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩
重重，消去k 得，22
129x y +=，因为0k ≠，所以130x y ⎧≠-⎪⎨⎪≠⎩
故三角形的重心轨迹方程为2
2
112()93
x y x +=≠-．
21．解：（1）令22
2y x ax x x =-=-可得0x =或21
2
a x +=
，故两曲线的交点为(0,0)和22114(,)24a a +-，显然由题意可得2112a +>，得12
a >， 设区域被直线1x =分成左右两部分的面积分别为1S ，2S ，则
1
2221100
2121
=[(2)](
)|236
a S x x x ax dx x x a +---=-=-⎰， 21
212
2
2322211
2121211
=[(2)]()|()23326
a a a a S x x x ax dx x x a ++++---=-=-+⎰
，
由12S S =得，311211
()6326a a a +-=-+，即328124290a a a +-+=，即2(23)(4123)0a a a -+
-=，
解得3
2
a =，32a =-
因为12a >，所以3
2
a =．
22．解：（1）由11a =，11
2(1)2n n a a n n +=+++，可得28
3
a =，392a =，4325a =．
（2）由11
2(1)2n n a a n n +=+++得121(1)(2)n n a a n n n n +=++++，即111
2()112
n n a a n n n n +-=-+++， 当2n ≥时，
2111
2()2123a a -=-； 32112()3234
a a -=-； ...；
1112()11
n n a a n n n n --=--+ 以上各式两边同时相加可得：1112
2()1211
n a a n n n -=-=-
++， 化简得，2
21
n n a n =+．。