第十一章 概率与统计

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
第十一章《概率统计》
一、选择题（共11题）
1．（安徽卷）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为
A ．
17 B ．27 C ．37 D ．47
解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得38C 个三角形，要得直角非等腰．．三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得38
24C ，故C 。

2．（福建卷）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 A.72 B.83 C.73 D.28
9 解析：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。

从中摸出3个球，
至少摸到2个黑球的概率等于21335338
C C C P C +==27，选A 。

3．（湖北卷）甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么
A. 甲是乙的充分但不必要条件
B. 甲是乙的必要但不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。

故选 B
4．（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法
【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2
=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出y x -，设x=10+t, y=10-t, 24x y t -==，选D
5．（江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器。

接收器与信
号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接
收到信号。

若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，
将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中
每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到
信号的概率是
（A ）454 （B ）36
1 （C ）154 （D ）158 【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题. 【正确解答】将六个接线点随机地平均分成三组，共有22264233
15C C C A =种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有1114218C C C =种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是15
8，选D 【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已
6．（江西卷）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为（ ）
A ． a=105 p=521 B.a=105 p=421 C.a=210 p=521 D.a=210 p=421
解：选A ，a ＝322742C C C 2！
＝105，甲、乙分在同一组的方法种数有 （1） 若甲、乙分在3人组，有1
22542C C C 2！
＝15种 （2） 若甲、乙分在2人组，有3
5C ＝10种，故共有25种，所以P ＝25510521
＝ 7．（江西卷）袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 Ａ．12344812161040C C C C C Ｂ．21344812161040C C C C C Ｃ．23144812161040C C C C C Ｄ．13424812161040
C C C C C 解：依题意，各层次数量之比为4:3:2:1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，故选A
8．（四川卷）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为
（A ）
1954 （B ）3554 （C ）3854 （D ）4160
解析：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除。

所有的三位数有32109648A A -=个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，
4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位数被3
整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有33212A =个；② 若三
个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③ 若三
组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个，④若三组各取一个数字，
第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个，这样能被3 整除的数共有228个，不能被3整除
的数有420个，所以概率为
420648=3554
，选B 。

9．（四川卷）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校
学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生
（A ）30人，30人，30人 （B ）30人，45人，15人
（C ）20人，30人，10人 （D ）30人，50人，10人
解析：甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某
方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取
学生30人，45人，15人，选B.
10．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5
岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30 (C)40 （D ）50
解析：根据该图可知，组距为2，得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数所占的频
率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C.
11．(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店
有195家。

为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。

若采用分层抽
样的方法，抽取的中型商店数是
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13
解：各层次之比为：30:75:195＝2:5:13，所抽取的中型商店数是5，故选C
二、填空题（共9题）
12．（福建卷）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个
面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标
以数2。

将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，则
11111133333311663(0)4C C C C C C P C C ξ++===，112211661(1)9C C P C C ξ===，1111211211661(2)9
C C C C P C C ξ+===， 111111661(4)36
C C P C C ξ===，∴ 124499369E ξ=++=.
0.0005
300035000.0003
0.0004
200015000.0002
0.0001
400025001000月收入（元）
频率/组距
13．（湖北卷）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。

（精确到0．01）
解：P ＝332445550.800.200.800.200.80C C ⨯⨯⨯⨯（）（）＋（）＋（）
＝0.94 14．（湖南卷）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.
解析：某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是409050818590
⨯+⨯=分. 15．（全国II ）一个社会调查机构就某地居民 的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居 民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人． 解析:由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有100000.00055002500⨯⨯=人
按分层抽样应抽出10025002510000
⨯=人 16．（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 解：抽取教师为160-150=10人，所以学校教师人数为2400×16010=150 人。

17．(上海卷)两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．
解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有124C P 种方法；2) 剩下的一套
全排列，有4P 种方法；所以，所求概率为：124481C P P =； 18．(上海卷)在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。

解：在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传
志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是28212C P C ==33
14. 19．（四川卷）设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4。

()P k ak b ξ==+（k =1，2，3，4）。

又ξ的数学期望3E ξ=，则a b += ;
解：设离散性随机变量ξ可能取的值为()()1,2,3,4,1,2,3,4P k ak b k ξ==+=，所以
()(2)(3)(4)1a b a b a b a b +++++++=，即1041a b +=，又ξ的数学期望3E ξ=，
则()2(2)3(3)4(4)3a b a b a b a b +++++++=，即30103a b +=，1,010
a b =
=,∴ a b +=110. 20．（上海春）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则 （结论用数学式子表示）.
解：如果在有限数列 中，按顺序去掉一些高分 ，那么有不
等关系
； 如果在有限数列
中，按顺序去掉一些低分 ，那么有不等关系
．从而应填
，与 ．
三、解答题（共27题）
21．（安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。

现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。

根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。

（Ⅰ）写出ξ的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求ξ的数学期望E ξ。

（要求写出计算过程或说明道理）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）1122322211234567895151515151515151515
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 22．（安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。

现有芳香度分别为0，
1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。

根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；
（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；
解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B
（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故2()15
P A =。

（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)，故22661113()1()15
P B C C =-+=。

23．（北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）
解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A ，B ，C ，相应的概率为a ，b ，c
（1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为AB __C ＋A __B C ＋__
A BC ＋ABC ，设其概率为P 1，则P 1＝ab （1－c ）＋a （1－b ）c ＋（1－a ）bc ＋abc ＝ab ＋ac ＋bc －2abc 设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P 2，则P 2＝
13ab ＋13ac ＋13
bc （2）P 1－P 2＝（ab ＋ac ＋bc －2abc ）－（13ab ＋13ac ＋13bc ）＝23ab ＋23ac ＋23
bc －2abc ＝23（ab ＋ac ＋bc －3abc ）＝23〔ab （1-c ）＋ac （1－b ）＋bc （1－a ）〕>0 ∴P 1>P 2即用方案一的概率大于用方案二的概率.
24．（北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是
否及格相互之间没有影响.求：
(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；
(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B,C ，
则P (A )=0.5，P (B )＝0.6，P (C )=0.9.
(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率
p 1=P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9
=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.
(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率
p 2=31
P (A ·B )+31
P (B ·C )+ 31
P (A ·C )
=31×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)=31
×1.29=0.43
25．（福建卷）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).
（I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。

本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。

满分12分。

解：（I ）设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则65
5
().666P A ⨯==⨯
答：抛掷2次，向上的数不同的概率为5
.6
（II ）设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。

向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1) 5种，
5
5
().6636P B ∴==⨯
答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为5
.36
(I)求该运动员两次都命中7环的概率
(II)求ξ的分布列
解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ；
(Ⅱ) ξ的可能取值为7、8、9、10
04.0)7(==ξP 21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP
39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP
36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP
ξ分布列为
(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .
27．（湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100)N 。

已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可共查阅的（部分）标准正态分布表00()()x P x x Φ=<
点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70，100)，由条件知，
P(ξ≥90)＝1－P （ξ<90）＝1－F(90)＝1－Φ)10
7090(-＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.228. 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，
参赛总人数约为0228
.012≈526（人）。

（Ⅱ）假定设奖的分数线为x 分，则P(ξ≥x )＝1－P （ξ<x ）＝1－F(90)＝1－Φ)1070(
-x ＝52650＝0.0951，即Φ)1070(-x ＝0.9049，查表得10
70-x ≈1.31，解得x ＝83.1. 故设奖得分数线约为83.1分。

28．（湖北卷）某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。

在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。

登山组的职工占参加活动总人数的4
1，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。

为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。

试确定
（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有40%310%347.5%,10%44x xb x xc x x
++==，解得b=50%,c=10%. 故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、 50％、10％。

（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为320040%604
⨯⨯=（人）；抽取的中年人数为 32004⨯⨯50％＝75（人）；抽取的老年人数为32004
⨯⨯10％＝15（人）。

29．（湖南卷）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
解：（Ⅰ）．每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是31.016
55.0)5.01(32251==⨯-⨯=C P . （Ⅱ）．由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B(5,0.5).从而ξ的数学期望是 E ξ＝50.5 2.5⨯=，即平均有2.50家煤矿必须整改.
(Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是1.0)8.01()5.01(2=-⨯-=P ，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是41.09.0153=-=P
30．（江西卷）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令ξ表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。

求：
（1）ξ的分布列
（2）ξ的的数学期望
解:(1)ξ的所有可能的取值为0,10,20,50,60.
3222239729(0)();101000
19918243(10)();101010101000
11818(20);10101000
919(50);10101000
11(60);101000
P P P P P ξξξξξ=====⨯+⨯===⨯===⨯==== 分布列为
729(2)010205060 3.310001000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元) 31．（江西卷）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求
（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；
（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．
解:（1）231999;101010P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）方法一：22222191191811826210101010101010101000
P ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 方法二：2119119262221010101010101000
P =+⨯⨯-⨯⨯⨯= 方法三：291199262110101010101000
P ⎛⎫=-⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 32．（辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为
16、12、13;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是(01)p p <<,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元, ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1ξ、2ξ分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
(I) 求1ξ、2ξ的概率分布和数学期望1E ξ、2E ξ;
(II) 当12E E ξξ<时,求p 的取值范围. 【解析】(I)解法1:
1ξ的概率分布为
E 1ξ=1.216⨯
+1.1812⨯+1.171
3
⨯=1.18. 由题设得~(2,)B p ξ,则ξ的概率分布为
故2ξ的概率分布为
所以2ξ的数学期望为
E 2ξ=21.3(1)p ⨯-+1.252(1)p p ⨯-+20.2p ⨯=2
0.1 1.3p p --+. 解法2:
1ξ的概率分布为
E 1ξ=1.216⨯
+1.1812⨯+1.171
3
⨯=1.18. 设i A 表示事件”第i 次调整,价格下降”(i=1,2),则
P(ξ=0)= 2
12()()(1)P A P A p =-;
P(ξ=1)=1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-;
P(ξ=2)=212()()P A P A p =
故2ξ的概率分布为
所以2ξ的数学期望为
E 2ξ=21.3(1)p ⨯-+1.252(1)p p ⨯-+20.2p ⨯=20.1 1.3p p --+. (II) 由12E E ξξ<,得:
20.1 1.3 1.18(0.4)(0.3)00.40.3p p p p p --+>⇒+-<⇒-<<
因0<p<1,所以12E E ξξ<时,p 的取值范围是0<p<0.3.
【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力. 33．（辽宁卷）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：
（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．
本小题主要考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.
解：（Ⅰ）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为1
20.60.40.48C ⨯⨯= 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为120.60.40.48C ⨯⨯=
故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为 0.480.480.2304P =⨯=
（Ⅱ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为40.40.0256,= 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为 10.02560.9744P =-=
解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为1
40.60.40.1536C ⨯⨯=
甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为22240.60.40.3456C ⨯⨯= 甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为22240.60.40.3456C ⨯⨯= 甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为4
0.60.1296=
故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为 0.15360.34560.34560.12960.9744P =+++= 34．（全国卷I ）A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。

每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效。

若在一个试验组中，
服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组。

设每只小白鼠服用A 有效的概率为
23，服用B 有效的概率为1
2。

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望。

解: (1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小鼠有i 只" , i=0,1,2, B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小鼠有i 只" , i=0,1,2, 依题意有: P(A 1)=2×13×23 = 49, P(A 2)=23 ×23 = 49 . P(B 0)=12 ×12 = 1
4,
P(B 1)=2×12 ×12 = 1
2 , 所求概率为: P=P(B 0·A 1)+P(B 0·A 2)+P(B 1·A 2)
= 14×49 + 14×49 + 12×49 = 4
9
(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,49) . P(ξ=0)=(59)3= 125729 , P(ξ=1)=C 31×49×(59)2=100243,
P(ξ=2)=C 32×(49)2×59 = 80243 , P(ξ=3)=( 49)3= 64
729
ξ的分布列为:
35．（全国卷I ）A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。

每个试验
组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效。

若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组。

设每只小白鼠服用A 有效的概率为
23，服用B 有效的概率为1
2。

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。

解: (1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小鼠有i 只" , i=0,1,2, B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小鼠有i 只" , i=0,1,2, 依题意有: P(A 1)=2×13×23 = 49, P(A 2)=23 ×23 = 49 . P(B 0)=12 ×12 = 1
4,
P(B 1)=2×12 ×12 = 1
2
, 所求概率为: P=P(B 0·A 1)+P(B 0·A 2)+P(B 1·A 2)
= 14×49 + 14×49 + 12×49 = 49
(Ⅱ)所求概率为: P=1－(1－49)3= 604729
36．（全国II ）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从
每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
解(1.) 0,1,2,3ξ=
22342255189P( 0)=10050C C C C ξ=∙== 21112
3324
42222
5555C 24P( 1 )=C 50C C C C C C C ξ=∙+∙= 11122324422222555515(2)50C C C C C P C C C C ξ==∙+∙= 12
4222
552
(3)50
C C P C C ξ==∙= 所以ξ的分布列为
ξ的数学期望E(ξ)=0123 1.250505050
⨯+⨯+⨯+⨯=
(2)P(2ξ≥)=15217(2)(3)505050
P P ξξ=+==
+= 本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大 37．（全国II ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。

设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。

（I ）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。

（II ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。

解：设i A 表示事件“第二箱中取出i 件二等品”，i ＝0，1；
i B 表示事件“第三箱中取出i 件二等品”，i ＝0，1，2；
（1）依题意所求的概率为
1001()()i P P A B P A B =⋅+⋅1001
()()()()P A P B P A P B =+21112
3324422225555C C C C C C C C C ⋅=⋅+⋅1225
=
(2)解法一：所求的概率为2001
1()P P A B P =-⋅-22
34
225512712550
C C C C =-⋅-= 解法二：所求的概率为
1102122()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅110212()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++
111221232442422222225555551750
C C C C C C C C C C C C C ⋅=⋅+⋅+⋅= 38．（山东卷）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ε表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ε的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率. 解：（I ）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，
则3111
52223
102
()3
C C C C P A C ⋅⋅⋅== 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ”，“一次取出的3个小球上
有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为
1215283
101
()3
C C C P B C ⋅⋅==，所以12()1()133P A P B =-=-=. （II ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.
211222223101(2);30C C C C P C ξ⋅+⋅===2112
42423
102
(3);15C C C C P C ξ⋅+⋅=== 211262623103(4);10C C C C P C ξ⋅+⋅===2112
82823
108
(5);15
C C C C P C ξ⋅+⋅=== 所以随机变量
的概率分布为
因此的数学期望为
1238132345301510153
E ε=⨯
+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则
2313
()("3""4")("3")("4")151030
P C P P P εεεε=====+==
+=或 39．（山东卷）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； (Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念； (Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率. 解：（I ）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A ，由题意
1221
26263
89
()14
C C C C P A C +== （II ）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B ，则
21
26383
()28
C C P B C ==
（III ）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C ，“抽出的3张卡片上有两个数字
相同”的事件记为D ，由题意，C 与D 是对立事件，因为 121
4363
83
()7
C C C P
D C == 所以
34
()1()177
P C P D =-=-
=. 40．(陕西卷)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是13, 25 , 1
2
.
(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ.
解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A 1 ， "乙投篮1次投进"为事件A 2 ， "丙投篮1次投进"为事件A 3， "3人都没有投进"为事件A ． 则 P (A 1)= 13， P (A 2)= 25， P (A 3)= 1
2，
∴ P (A ) = P (1A .2A .3A )=P (1A )·P (2A )·P (3A )
= [1－P (A 1)] ·[1－P (A 2)] ·[1－P (A 3)]=(1－13)(1－25)(1－12)=1
5
∴3人都没有投进的概率为1
5
．
(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3)， ξ~ B (3， 2
5)，
P (ξ=k )=C 3k (25)k (35)3－k (k =0，1，2，3) ， E ξ=np = 3×25 = 6
5 ．
解法二: ξ的概率分布为:
E ξ=0×27125 +1×54125 +2×36125 +3×8125 = 6
5
．
41．(陕西卷)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是25, 12, 1
3.现3人各投篮1次,求:
(Ⅰ)3人都投进的概率;
(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率.
解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件A 1 ， "乙投进"为事件A 2 ， "丙投进"为事件A 3， 则 P (A 1)= 25， P (A 2)= 12， P (A 3)= 1
3，
∴ P (A 1A 2A 3)=P (A 1) ·P (A 2) ·P (A 3) = 25 ×12 ×35= 3
25
∴3人都投进的概率为3
25
(Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进"为事件B P (B )=P (A 2A 3)+P (A 1A 3)+P (A 1A 2) =P ()·P (A 2)·P (A 3)+P (A 1)·P ()·P (A 3)+P (A 1)·P (A 2)·P () =(1－25)×12 ×35 + 25×(1－12)×35 + 25×12 ×(1－35) = 1950
∴3人中恰有2人投进的概率为19
50
42．（四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。

（结果保留三位小数）
本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。

解：记“甲理论考核合格”为事件1A ；“乙理论考核合格”为事件2A ；“丙理论考核合格”
为事件3A ；记i A 为i A 的对立事件，1,2,3i =；记“甲实验考核合格”为事件1B ；“乙实验考核合格”为事件2B ；“丙实验考核合格”为事件3B ；
（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件 解法1：()()
123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++
()()()
()123123123123P A A A P A A A P A A A P A A A =+++
0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
0.902=
解法2：()()
1P C P C =-()
1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++
()()()()
1231231231231P A A A P A A A P A A A P A A A ⎡⎤=-+++⎣⎦
()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯。