新人教版高中数学必修五 第二章数列教案：2.2 等差数列

2.2 等差数列
【知识要点】
1. 等差数列的概念
a. 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

b. 符号语言：+1-=n n a a d （d 为常数） 2. 等差数列的通项公式：1=+(-1)n a a n d 3. 等差数列的性质及应用
若数列{}n a 的首项是1a ，公差为d 的等差数列，则它有下列性质：
a. d>0，数列{}n a 是递增数列；d<0，数列{}n a 是递减数列；d=0，数列{}n a 是常数列。

b. *1--=
=(,,N )-1-n m k
a a a a d m n k n m k
∈ c. *
a =+(-)(m,n N )n m a n m d ∈
d. 若m+n=p+q ，则*
a +=+(,,,N )m n p q a a a m n p q ∈ e. 若
*+=,+=2(,,N )2
m n k m n
k a a a m n k ∈则 f. 若数列{}n a 是有穷的等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即12-1+1-a +=+=...=+=...n n i n i a a a a a
g. 下标成等差数列且公差为m 的项*
++2m a ,,,...(k,m N )k k m k a a ∈组成公差md 等差数列。

h. 若数列{}n b 是等差数列，则数列{}{},+n n n n a b ka b ±（k 为非零常数）也是等差数列。

i. 项数间隔相等或连续等长的片段仍构成等差数列。

例如：135,...,,a a a 构成等差数列。

再如：123456789++,++,++,...a a a a a a a a a 也构成等差数列。

4. 判断一个数列为等差数列的方法
a. 定义法：{}*
+1a -=((n N )n n n a d a ∈⇔常数）为等差数列
b. 递推法：{}*
+1+22=+(n N )n n n n a a a ∈⇔a 为等差数列
c. 通项法：n a 为n 的一次函数{}n a ⇔为等差数列
d.求和法：{}{}2
n =+(S n n n An Bn a a n ⇔S 为等差数列其中为的前项和
5. 等差数列的设项方法
a. 通项法：设数列的通项公式，即设*
1=+(-1)(n N )n a n d ∈a 、
b. 对设法：当等差数列{}n a 的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：...a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,...；当项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a-d ，a+d ，再以公差为2d 向两边分别设项：...a-3d,a-d,a+d,a+3d,...
【知识应用】
1. 要判断一个数列是否为等差数列，紧紧抓住定义来判断即可。

【J 、L 】1.判断下列数列是否为等差数列 （1）2,4,6,8，…，2（n-1），2n （2）1,1,2,3，…，n.
【C 】 例2 已知数列{}n a 的通项公式为2
a =+(,,,n pn qn p q R p q ∈且为常数）
（1）当p 和q 满足什么条件时，数列{}n a 是等差数列 （2）求证：对任意实数p 和q ，数列{}+1-n n a a 是等差数列
2. a. 等差数列的通项公式n a 是关于三个基本量1,a d n 和的表达式，所以由首项1a 和公差d 可以求出数列中的任意一项。

b. 等差数列的通项公式可以推广为=+(n-m)d n m a a ，由此可知已知等差数列中的任意两 项，就可以求出其它的任意一项。

【J 】例1 已知等差数列{}n a ：3,7,11,15，…求： （1）135,4m+19*
(m N )∈是{}n a 中的项吗？并说明理由？
（2）若*
a ,()m t a m t N ∈、是数列{}n a 中的项，则2a +3m t a 是数列{}n a 中的项吗？
【L 】例2 在等差数列中，+=n,a =(),a m n m n a m m n ≠则=_______。

【C 】例3 在等差数列{}n a 中，前三项依次为101151
,,,a +16x x x
则=_________。

3. 应用类型题，需熟练掌握。

【J 】例1 （1）在等差数列{}n a 中，147246++=15,=45a a a a a a ，求数列的通项公式。

（2）已知等差数列{}n a 中，79412+=16,=1,a a a a 则=________。

【L 】例2 （1）在等差数列{}n a 中，若34567++++a a a a a =450，求28+a a （2）已知{}n a 为等差数列，156075=8,=20.a a a 则=________。

【C 】例3 （1）在等差数列{}n a 中，若4681012++++=120a a a a a ，则9111-3
a a =______。

（2）设{}n a 为公差为-2的等差数列，如果14797+++...+=50a a a a ，那么36+a a + 9a +…+ 99a =__________。

4. 理解等差数列的定义需注意的问题：
a. 注意定义中的“从第2项起”这一前提条件
b. 注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算需求，它的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻。

c. 注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列。

【J 】例1 已知数列{}n a 满足1-141=4,=4-
(2),b =-2
n n n n a a n a a ≥令。

（1）求证：数列{}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式
【L 】例2 已知111,,a b c 成等差数列，求证：+++,,
b c c a a b
a b c
成等差数列。

【C 】例3 已知a ，b ，c 依次成等差数列，求证：2
2
2
-,-,-a bc b ac c ab 依次成等差数列。

5. 常用设法一般有如下规律：
a. 若所给等差数列为2n *
(n N )∈项，则可设为：a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a3d,…a+(2n-1)d,此数列的公差为2d 。

b. 若所给等差数列的项数为2n+1*
(n N )∈,则这个数列可设为：a-(n-1)d,…a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d ，这个数列的公差为d 。

【J 】例1 （1）已知三个数乘等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数。

（2）成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数。

【L 】例2 两个等差数列5,8,11，….和3,7,11，….都有100项，问它们有多少个共同项？
【C 】例3 等差数列的首项是
1
25
，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围
总结：
1. 掌握等差数列的概念及通项公式。

2. 掌握等差数列的性质并能灵活运用。

3. 从观察和分析等差数列中的前项和后项入手，理解等差数列的概念。

4. 掌握判断数列为等差数列的方法并能求其通项公式。

练习题：
1. 在等差数列{}n a 中，2641=-5,=+6,a a a a 则=_______。

2. 等差数列{}n a 的首项为70，公差为-9，则这个数列中绝对值最小的一项是_______。

3. 已知等差数列{}n a 满足123101+++....+a =0a a a ，则有（ ） A 1101+0a a > B 2100+0a a < C 3100+0a a ≤ D 51=0a
4. 设数列{}n a 是等差数列，1231231211
=(),b ++=,=,288
n a n n b b b b b b a 又求通项。