精编医用高等数学第三章课件
高等数学(同济第六版)课件 第三章 7曲率解析
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当 x b 时，k最大。 2a
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y=f (x)在点
y
M(x,y)处的曲率为k (k 0)
D 1 y f (x)
在点M 处的曲线的法线上，
k
在凹的一侧上取一点D，使 DM 1 .
N
可用一个与转角成正比与弧长成反比的量 来描述曲线的弯曲程度。
定义：设曲线C是光滑的，M0为基点，M, N为曲线
C上的点， MN的弧长为 s， y
C
M与N点切线的夹角为 ，
N.
K s
M0
M
称为曲线段MN的平均曲率； o
x
K lim s0 s
称为曲线C在点M处的曲率。
K | d | ds
2.曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导，
(5) e xdx dex .
(6) a xdx 1 da x lna
(7)
1 1 x
2
dx
d
arctan
x
1
(8)
dx d arcsin x 1 x2
(9) cos xdx d sin x.
(10) sin xdx d cos x (11) sec2 xdx d tan x. (12) csc2 xdx d cot x.
第七节 曲率
一、弧微分
设 f (x)在(a,b)内有连续导数，在曲线y=f (x)上
取基点A(x0, y0), 点M(x, y)为曲线上任一点; 记弧 AM 的长度为 d ，规定： y
曲线正向与 x 增大的方向一致。
M
A
《高等数学(上册)》课件 第三章
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使
《高等数学》电子课件(同济第六版)05第三章 第5节 函数的极值与最值-精品文档
(2)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 )
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极小值.
(3)如果当x(x0 , x0)及x(x0, x0 )时, f '(x)
2、函数极值不一定唯一；
3、极大值不一定大于极小值；
x 1 x2
x 3 x4
1
2
4、称f使 (x)0的点为驻点；
由 图 可 知 ： 可值导点函处数的极切x线 轴平 。
4
定理1(必要条件)设 f(x )在 点 x 0 处 具 有 导 数 , 且 在 x 0 处 取 得 极 值 , 那 末 必 定 f'(x 0 ) 0 .
第五节 函数的极值与最值
一、函数极值及求法 二、最值的求法 三、应用举例 四、小结及作业
1
一、函数极值及求法
y
yf(x)
a o x1
x2
y
x4
b x 5 x 6
x
y
o
x0
x
o
x0
x
2
定义 设函数 f ( x)在区间(a,b)内有定义 , x0是 (a,b)内的一个点 ,
如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立 ,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极大值 ;
f(x0)0
5
定理表明：
可导函f数 (x)的极值点必定是点 它 , 的驻 反之不一定。
例如, y x3, yx00, 但x0不是极值 . 点
5、函数的极值是 点驻 只点 可或 能导数点 不。 存
高等数学第三章导数与微分
第一节 导数的概念
图3-1-2
第一节 导数的概念
四、 可导与连续的关系
定理2
如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续， 其逆不真。
第一节 导数的概念
例6 求函数y=f(x)=|x|在x=0处的导数。 解 很明显，该函数在x=0处是连续的。又
当Δx<0时， =-1
当Δx>0时， =1
这说明，当Δx→0时，极限 数f(x)在x=0处不可导。
不存在，即函
第一节 导数的概念
五、 求导数举例
例7 求函数f(x)=sinx的导数.。 解 f′(x) =
=
=
= =cosx•1 =cosx
第二节 函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1
设函数u(x)，v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、 商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且有以下法则：
导数的概念
函数的求导法则 函数的高阶导数
隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数
偏导数 函数的微分及应用
第一节 导数的概念
一、 引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设做变速直线运动的质点在t时刻所经过的路程为s，即路程 s是时间t的函数 s=f（t） 。
则当时间由t0改变到t时，动点在Δt=t-t0这段时间内经过的 路程为Δs=f（t）-f（t0）。动点在Δt=t-t0这段时间内的平均速 度为
第二节 函数的求导法则
例4 求函数y=lnsinx的导数。
解
y′=(lnsinx)′
1
= sin x (sinx)′
= cos x
sin x
=cotx
第二节 函数的求导法则
《医用高等数学》课件
本课程旨在探索数学和医学之间的精美交叉。通过深入讲解微积分和线性代 数等概念，我们将了解这些概念如何应用于医疗领域。
课程介绍
课程目标
掌握数学的基本原理和概念，了解其在医学和 生命科学中的应用。
教学方法
授课和案例分析相结合，以及小组讨论和解决 实际问题。
课程内容概述
导数与微分，积分，微分方程，线性代数以及 它们在医学领域的应用。
总结讲话
1 课程收获
本课程将使您了解医疗领 域和数学的紧密联系，为 您的未来工作奠定坚实的 数学基础。
2 学习建议
预习，认真听课，及时解 决所有问题，参加在线讨 论，互相学习。
3 Q&A 时间
敬请参与师生互动环节， 问答时间将会为您提供关 于这个跨学科领域的深入 了解。
线性代数
了解线性代数的基本概念和方法，如矩阵和行列式， 以及它们在医学图像处理中如何使用。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用案例分析
1
医学影像处理
了解如何使用数学来处理医学影像，从分段到计算机断层扫描（CT）。
2
生物医学工程
深入探讨基础和高级生物医学工程问题，如心理学，病理学和生物力学。
3
医学统计分析
通过分析数据集，查找和评估医疗方案和疾病的影响。
学习资源
每周有详细的课堂笔记、教学视频、答疑在线 会议和老师的在线答疑时间。
重点概念讲解
导数与微分
学习微分和导数的概念和应用，例如，如何计算出 给定函数的斜率以及面积和体积的微小变化。
积分
了解积分的基本概念，包括如何计算区间函数的面 积，体积，质量和中心。
微分方程
讲解常微分方程的概念和解决方法，以及它在生命 科学和医疗技术方面的应用。
高等数学第三章课件-矩阵的秩
定理2 设 A = (aij )n×n , 则 R( A) = n ⇔ | A |≠ 0 R( A) < n ⇔ | A |= 0
(满秩矩阵) (降秩矩阵)
k 级子式
定义 在一个 s×n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列
(1 ≤ k ≤ min(s,n)) , 位于这些行和列的交点上的 k 2
就是A行(列)向量组的一个极大无关组.
例
⎛1 1 1 ⋯ 1⎞
⎜ ⎜
a1
a2
a3
⋯
an
⎟ ⎟
设 A = ⎜ a12 a22 a32 ⋯ an2 ⎟ , 其中 a1 , a2 ,⋯, an
⎜ ⎜
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⎟ ⎟
⎜ ⎝
a s−1 1
a s−1 2
a s−1 3
⋯
a s−1 n
⎟ ⎠
互不相同, 且 s ≥ n,求 R(A).
所以方程组 x1α1 + x2α2 + ⋯ + xrαr = 0 只有零解.
即
⎧ ⎪ ⎨
aa11⋯21xx1⋯1 ++⋯aa22⋯21xx⋯22++⋯⋯⋯⋯++⋯aa⋯rr12xx⋯rr ==
0 0
⎪ ⎩
a1n
x1
+
a2n
x2
+
⋯
+
arn xr
=
0
（2）
只有零解. 由引理1，方程组（2）的系数矩阵
定理3 矩阵 A的秩为 r 的充要条件是 A中有一 个 r 级子式不等于0，且所有 r + 1 级子式等于0．
注
① R( A) ≤ r ⇔ A的所有 r + 1级子式等于0； R( A) ≥ r ⇔ A有一个 r 级子式不为0.
31医用高等数学
解 lnxxdxlnx1xdxlnx(lnx)dx
lnxdlnx1 2(ln x)2C
例3-14 求
a2
1
x2
dx.
解 a2 1x2dx (ax)1a (x)dx
21a(a 1xa 1x)dx
2 1 a[d(a a x x)d(a a x x)]
1(ln axlnax)C 2a
1 lnax C 2a ax
例3-15 求 secxdx.
解
secxdx
1 cos
dx
cosx cos2 x
dx
1dssiinn2xx
1ln1sinx 2 1sinx
1 (1sinx)2
C
ln 2
1sin2
x
C
(9) 11x2dxarx c C t a a c r n x o c C t
(10)
1 dxarc x C s i n arc x c Co
1x2
例3-3 求 (2x2 1 1)dx.
2x
解
(2x2
1 2x
1)dx
3 x2dx1
第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分 一、不定积分的概念 二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法 四、分部积分法 五、有理函数的积分
一、不定积分的概念
定义3-1 若在某区间上 F(x)f(x),则称 F (x)为 f ( x)
在该区间上的一个原函数．
例 sinx coxs x(,)
7 .f(tx ) a s2 n e xc d f( xtx ) a d tn a xn 8.f(1a xr2x c)d ta xn f(arx c)dt(a an rx c)tan
高等数学第三章课件-线性相关性
与
⎧ a11 x1 + ⋯ + a1,n−1 x n−1 = a1n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎪ a j −1,1 x1 + ⋯ + a j −1,n−1 xn−1 = a j −1,n ⎨ ⎪ a j +1,1 x1 + ⋯ + a j +1,n −1 xn −1 = a j + 1,n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩ a s1 x1 + ⋯ + a s ,n−1 xn−1 = a sn
ε 1 = (1,0,⋯ ,0), ε 2 = (0,1,⋯ ,0), ⋯ , ε n = (0,0,⋯ ,1)
线性表出.
α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) , 事实上，对任意 皆有 α = a1ε 1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n也称为 n 维单位向量组．
若向量 β 可表成向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 的一个 α1 ,α 2 ,⋯ ,α β 线性组合, 则称向量 可由向量组 s 线性表出.
注： 1) 若 α = k β ，也称向量 α 与 β 成比例. ℝ 3 中,向量 α 与 β 成比例 ⇔ α 与 β 共线. ℝ 3 中,若向量 α 1与 α 2不成比例,则
⎛ α1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜αs ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜αs ⎟ → ⎜ ⎟ ⎯⎯ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯ β1 ⎟ β1 ⎟ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ βt ⎠ ⎝ βt ⎠ ⎝ 0⎠
若能，写出它的一个线性组合．
医用高等数学-02-001
第三讲 极限与函数
主 讲 人：曹灿 单 位：吉首大学数学与统计学院 讲授时间：2019年9月2日 授课班级: 2012级临床医学3，4班
2019年9月2日12时20分
吉首大学数学与统计学院
1
本节课主要内容
一、无穷小量的性质 二、极限的运算法则 三、极限存在准则 四、函数的连续性
2019年9月2日12时20分
吉首大学数学与统计学院
2
一、无穷小量的性质
1.1无穷大与无穷小的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设 lim f ( x) . x x0 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
g( x) f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
与已知矛盾，
故假设错误．
2019年9月2日12时20分
吉首大学数学与统计学院
26
三、 极限存在准则
一、 夹逼定理
二、函数极限与数列极限的关系
三、柯西收敛准则
四、两个重要极限
2019年9月2日12时20分
吉首大学数学与统计学院
（3） 无界变量未必是无穷大.
2019年9月2日12时20分
吉首大学数学与统计学院
8
二、极限的运算法则
一、极限的四则运算法则 二、复合函数的极限
2019年9月2日12时20分
医学高等数学PPT课件
医学高等数学
9
高等数学1
2、函数连续 理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
医学高等数学
14
高等数学1
第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv
《医学高等数学》课件 第三章 一元函数积分学
2
1 1
d t
(1
t)
2t
2 ln(1 t)
C
因为t 1 x ，于是
1
dx 1
x
2
1 x 2 ln(1
1 x)C
例10 求 a2 x2 dx。
解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来消去根式。
设x=asint，
2
t
2
，则
t
arcsin
x a
例10 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线 的方程。
解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由题设，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为 dy 2x，
dx
即dy 2xdx。
因为 2xdx x2 C，所以必有某个常数C使f(x)=x2+C。即曲线方程为
第二节 不定积分的计算
案例导入：
判断下列积分是否成立:
cos3xdx sin 3x C;
1 3x
5
dx
ln
3x
5
C;
exdx ex C; (2x 5)3 dx (2x 5)4 C.
4
验证了案例之后,我们提出这样的问题,如果遇到这样的积分,我们怎么去求出它 的原函数呢? 这就是我们这一节要着重介绍的换元积分法和分部积分法。
解
dx 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d(x) a
arcsin x C
1 ( x)2
a
a
a
例5 求 e5xdx 。
解
e5xdx 1 e5xd (5x) 1 e5x C
5
5
医用高等数学第三章3.4.1
y
A
y = f ( x)
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
x = b 所围成。 所围成。
o a
b
x x+dx
b x
dA = f (x)dx,
A = ∫ f (x)dx
a
微元法的一般步骤： 微元法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 为 根据问题的具体情况， x 积分变量， 积分变量，并确定它的变化区间 [a , b] ；
2 ）设想把区间 [ a , b ]分成 n 个小区间，取其中任 个小区间， 一小区间并记为 [ x , x + dx ] ，求出相应于这小区 ∆ 间的部分量 ∆ U 的近似值 .如 果 U 能近似地表示 为 [ a , b ]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积， 的乘积，就把 f ( x ) dx 称为量 U 的微分元且记作 dU ，即 dU = f ( x ) dx ；
y
P
r
o
h
x
例5 求由y = x , x = 2以及x轴所围成的图形
2
绕两坐 标轴 旋转所 得的 体积.
三、定积分在医学中的应用举例
上连续， 如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续， 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点 ξ ，
1 b f (ξ) = ∫a f ( x )dx, b−a
第四节 定积分的应用
目的与要求 理解微元法 熟练掌握用定积分求平面图型的面积、 熟练掌握用定积分求平面图型的面积、 旋转物体的体积 了解函数的平均值 了解定积分在医药学上的应用． 了解定积分在医药学上的应用．
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用讲义
第三章 微分中值定理与导数的应用讲义【考试要求】1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型未定式极限的方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．【考试内容】一、微分中值定理1．罗尔定理如果函数()yf x =满足下述的三个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得()0f ξ'=．说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点．2．拉格朗日中值定理如果函数()yf x =满足下述的两个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-．说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．3．两个重要推论（1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证），应用拉格朗日中值公式可得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）． 由假定，()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即()f x 在区间I 上是一个常数．（2）如果函数()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）． 证：设()()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．二、洛必达法则1．x a →时“0”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）在点a 的某个去心邻域内()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），那么()()limlim()()x ax a f x f x F x F x →→'='． 说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当()lim()x af x F x →''为无穷大时，()lim ()x a f x F x →也是无穷大．2．x →∞时“”型未定式的洛必达法则 如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）当x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim()()x x f x f x F x F x →∞→∞'='． 说明：我们指出，对于xa →或x →∞时的未定式“∞∞”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞∞”型极限时的注意事项（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“00”型或“∞∞”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：2sin lim x xx π→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故2sinsin 22lim 2x x x ππππ→==．（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“00”型或“∞∞”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．（3）洛必达法则是求“00”型或“∞∞”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求20tan lim tan x x xx x→-时，可先用~tan x x进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====． （4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2limlnsin3x xx+→时，0000lnsin 2sin3cos 222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x xx→∞+，(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x xx x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的，但是原极限是存在的，sin sin sin limlim(1)1lim 101x x x x x x xx x x→∞→∞→∞+=+=+=+=．4．其他类型的未定式除了“00”型或“∞∞”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”及“0∞”型等．对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“00”或“∞∞”型；对于“1∞”、“00”及“0∞”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型，然后再转化成“00”型或“∞∞”型未定式． 三、函数单调性的判定法1．单调性判定法设函数()yf x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，（1）如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； （2）如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．说明：① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=，而在其余点上恒有()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加（或单调减少）的．2．单调区间的求法设函数()f x 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数()f x 的单调性的步骤如下：（1）求出函数()f x 的定义域；（2）求出函数()f x 的导数()f x '，并令()0f x '=求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得()f x '分母为零的点）； （3）用函数()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．3．用单调性证明不等式函数()f x 的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为()f x ，根据要证明的式子找出不等式成立的x 的范围I ； （2）求()f x 的导数()f x '，判断()f x '在上述I 范围内的符号（即正负）； （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．例如：试证明当1x>时，13x>-． 证明：原不等式即为13x -+，故令1()3f x x=-+，0x >，则2211()(1)f x xx '=-=- ，()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内()0f x '>，因此在[1,)+∞上()f x 单调增加，从而当1x >时，()(1)f x f >，又由于(1)0f =，故()0f x >，即130x -+>，亦即13x>-．四、函数的凹凸性与拐点1．函数凹凸性的定义设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 、2x ，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．2．函数凹凸性的判定法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．说明：若在(,)a b 内除有限个点上()0f x ''=外，其它点上均有()0f x ''>（或()0f x ''<），则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线（或凸曲线）． 3．曲线的拐点的求法一般地，设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点（除端点外I 内的点）．如果曲线()y f x =在经过点00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点00(,())x f x 为这曲线的拐点．我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点：（1）求()f x ''； （2）令()0f x ''=，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内()f x ''不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是拐点．在[,]a b 上单3．基本初等函数的微分公式说明：若要求函数()y f x =的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号，若()0f x ''>，则该部分区间为凹区间，若()0f x ''<，则该部分区间为凸区间．五、函数的极值与最值1．函数极值的定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x 内任一x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值，那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是()f x 的一个最大值，如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不见得是最大值．关于极小值也类似．2．函数取得极值的必要条件设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0()0f x '=．说明：这也就是说，可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，3()f x x =的导数2()3f x x '=，(0)0f '=，因此0x =是这函数的驻点，但0x=却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处不可导，但函数在该点取得极小值．3．判定极值的第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导．（1）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0(,)x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值．4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数()f x 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下： （1）求出导数()f x '；（2）求出()f x 的全部驻点与不可导点；（3）考查()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得函数()f x 的全部极值．5．判定极值的第二充分条件设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值； （2）当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值．说明：该极值判定条件表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠，那么该驻点0x 一定是极值点，并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是极小值．但如果0()0f x ''=，则该判定条件失效．事实上，当0()0f x '=，0()0f x ''=时，()fx 在0x 处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，41()f x x =-，42()f x x =，33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．6．求()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下：（1）求出()f x 在(,)a b 内的驻点1x ，2x ，，m x 及不可导点1x '，2x '，，n x '；（2）计算()i f x （1,2,,i m =），()j f x '（1,2,,j n =）及 ()f a ，()f b ；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的便是()f x 在[,]a b 上的最小值．说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ，那么不必讨论0()f x 是不是极值，就可以断定0()f x 是最大值或最小值．六、函数的渐近线的求法1．水平渐近线若lim()x f x a →∞=（包括lim ()x f x a →-∞=或lim ()x f x a →+∞=），则直线y a =就是函数()f x 的水平渐近线．2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）若0lim()x x f x →=∞（包括0lim ()x x f x -→=∞或0lim ()x x f x +→=∞），则直线0x x =就是函数()f x 的垂直（铅直）渐近线．【典型例题】 【例3-1】验证罗尔定理对函数()lnsin f x x =在区间5[,]66ππ上的正确性．解：显然函数()lnsin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续，在开区间5(,)66ππ上可导，1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==⋅=，且5()()l n266f f ππ==-，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点5(,)66ππξ∈，使得()0f ξ'=，即cot 0ξ=，2πξ=即为满足条件的点．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性．解：显然函数2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，()88f x x '=-，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-，即6(2)88ξ---=-，可得1(0,1)2ξ=∈，12ξ=即为满足条件的点．【例3-3】不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围． 解：显然()f x 是连续可导的函数，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，故()f x 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上满足罗尔定理的条件，所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=，即1ξ是()f x '的一个零点；在区间(2,3)内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ'=，即2ξ是()f x '的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ，使得3()0f ξ'=，即3ξ也是()f x '的一个零点．又因为()f x '是三次多项式，最多只能有三个零点，故()f x '恰好有三个零点，分别在区间(1,2)，(2,3)和(3,4)内．【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=，其中11x -≤≤．证明：设()arcsin arccos f x x x =+，[1,1]x ∈-， 因为()(0f x '=+=，所以()f x C =，[1,1]x ∈-．又因为(0)a r c s i n 0a r c c o s 0022f ππ=+=+=，即 2C π=，故arcsin arccos 2x xπ+=．说明：同理可证，arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞．【例3-5】求下列函数的极限．1．求 332132lim 1x x x x x x →-+--+．解：该极限为1x →时的“”型未定式，由洛必达法则可得 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---．2．求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．解：本题为x →+∞时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式222211lim lim 111x x x x x x→+∞→+∞-+===+-．3．求0lnsin 2lim lnsin3x xx+→． 解：该极限为0x+→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式0001cos 222sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x xx x+++→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅．4．求 2tan lim tan 3x xx π→．解：本题为2x π→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式2222222sec cos 32cos3(sin 3)3lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ→→→⋅-⋅===⋅- 22cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ→→-===-．5．求2tan limtan x x xx x→-． 解：该极限为0x →时的“00”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得原式22320000tan sec 12sec tan 21lim lim lim lim 3663x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====． 说明：此题也可这样求解（运用公式22sec1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算）： 原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====． 6．求11lim()sin x x x→-． 解：该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式，解决方法为先化为“1100-”型，然后通分化为“”型，故 原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22x x x x x x x x x xx x x x →→→→---=====．7．求lim x x x +→． 解：该极限为0x +→时的“00”型未定式，解决方法为取对数化为“0ln0⋅”型，进而化为“”型，故 原式020001lim ln 1lim ln limlim ()ln 00lim 1x x x x xx x xx x x xx x e ee e e e +→+++→→→+--→=======．8．求cos limx x xx→∞+．解：原式1sin lim lim(1sin )1x x x x →∞→∞-==-，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的条件，实际上，原式cos cos lim(1)1lim 101x x x xx x→∞→∞=+=+=+=．【例3-6】求下列函数的单调区间． 1．32()29123f x x x x =-+-．解：因2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，22x =．用1x ，2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞，其讨论结果如下表所示：由上表可得，函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞，单调递减区间为[1,2]．2．()f x = ．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，()f x '=（0x ≠），当0x =时导数不存在．将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞，讨论结果如下表所示：所以函数的单调递增区间为[0,)+∞，单调递减区间为(,0]-∞． 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式． 1．试证当0x>时，ln(1)x x >+成立．证明：设()ln(1)f x x x =-+，则1()111xf x x x'=-=++， 因()f x 在区间[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且 ()0f x '>， 故()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，又因为(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，即ln(1)0x x -+>，也即 ln(1)x x >+成立．2．试证当1x >时，13x>-．证明：令1()(3)f x x =--，则2211()(1)f x xx '=-=-， 因()f x 在区间[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导且()0f x '>， 故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加，又因为(1)0f =，所以当1x >时，()0f x >，即1(3)0x -->，也即13x>- 成立．【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．证明：令5()1f x x x =++，因为()f x 在闭区间[1,0]-上连续，且(1)10f -=-<，(0)10f =>，根据零点定理，()f x 在区间(0,1)内至少有一个零点．另一方面，对于任意实数x ，有4()510f x x '=+>，所以()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点．综上所述，方程510xx ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值． 1．32()395f x x x x =--+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得驻点11x =-，23x =，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．2．233()2f x x x =-．(,1]-∞-解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有13()1f x x-'=-=， 令()0f x '=，得驻点1x =，当0x =时()f x '不存在，驻点1x =以及不可导点0x =将定义域分成三个区间，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(0)0f =，极小值为1(1)2f =-．【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值．解：因为2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得 12x =-，21x =，计算(3)23f -=，(2)34f -=，(1)7f =，(4)142f =，比较上述结果可知，最大值为(4)142f =，最小值为(1)7f =．【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点． 1．43()341f x x x =-+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有32()1212f x x x '=-，2()36()3f x x x ''=-，令()0f x ''=，得10x =，223x =， 列表讨论如下：(,1]-∞-由上表可得，曲线()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞，凸区间为2[0,]3，拐点为(0,1)和211(,)327．2．()f x =解：函数的定义域为(,)-∞+∞，当0x ≠时有231()3f x x -'=，532()9f x x -''=-，当0x =时，()f x '和()f x ''均不存在，但在区间(,0)-∞内，()0f x ''>，故曲线在(,0]-∞上是凹的；在区间(0,)+∞内，()0f x ''<，故曲线在[0,)+∞上是凸的．所以曲线的凹区间为(,0]-∞，凸区间为[0,)+∞，拐点为(0,0)．【历年真题】 一、选择题1．（2009年，1分）若函数()y f x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点 （D ）拐点 解：若0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的驻点，选（C ）．2．（2009年，1分）当0x >时，曲线1sin y x x=（A ）没有水平渐近线 （B ）仅有水平渐近线23 x ()f x 2(,)3+∞ 0 (,0)-∞2(0,)3+-+对应拐点对应拐点凹凸凹()f x ''（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线解：由1sin1lim sin lim11x x x x x x→∞→∞==可知，1y =为曲线的水平渐近线；01lim sin 0x x x+→=，故曲线无铅直渐近线．选项（B ）正确． 3．（2008年，3分）函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 2解：对函数()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即 1ln 20ξ-=，故 1ln 2ξ=．选（D ）． 4．（2007年，3分）曲线33yx x =-上切线平行于x 轴的点为（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0)（D ）(1,2)- 解：切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点．由2330y x'=-=可得，1x =±；1x =时，2y =-，1x =-时，2y =，故曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-．选项（D ）正确． 5．（2007年，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的 （C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的 解：()0f x '>可得()f x 单调增加，()0f x ''<可得曲线为凸的，故选（A ）．二、填空题1．（2010年，2分）函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =；当1x <时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，故函数的单调递减区间为[1,2]．2．（2009年，2分）当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是函数（填“单调递增”、“单调递减”）．解：当6x π=时，sin36()66f ππππ==；当2x π=时，sin22()22f ππππ==；故当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是单调递减函数． 3．（2009年，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =．比较函数值(1)6f =，(2)5f =，(0)1f =，可知，函数的最大值为(1)6f =，故函数的最大值点为1x =．4．（2007年，4分）曲线24x t y t⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为．解：将1t =代入参数方程可得切点为(1,4)，切线斜率11422t t t t y k tx =='==='，故切线方程为42(1)y x -=-，即 22y x =+．5．（2005年，3分）x y xe -=的凸区间是．解：()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-，(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-． 令 (2)0x y x e -''=-=可得，2x =，且当2x >时，0y ''>，当2x <时，0y ''<，故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞．6．（2005年，3分）曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为．解：因ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+，故切线斜率1[(ln 1)]1x x k x x ==+=，所以切线方程为11(1)y x -=⋅-，即 y x =．三、应用题或综合题1．（2010年，10分）现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？ 解：设剪区的小正方形边长为x ，则纸盒的容积2(962)yx x =-，048x <<．2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--，令0y '=，可得 16x =（48x =舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大． 2．（2010年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对于[0,1]上的任意x 所对应的函数值()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．解：令()()F x f x x =-，由于()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续．(0)(0)0(0)F f f =-=，(1)(1)1F f =-．而对[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，故(0)0F ≥，(1)0F ≤． 若(0)0F =，即(0)00f -=，(0)0f =，则0ξ=； 若(1)0F =，即(1)10f -=，(1)1f =，则1ξ=；当(0)0F ≠，(1)0F ≠时，(0)(1)0F F ⋅<，而()F x 在[0,1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()0f ξξ-=，()f ξξ=．综上，在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材 料最省？解：设堆料场的宽为xm ，则长为512x m ，设砌墙周长为y ，则5122y x x=+， 令251220y x'=-=，得 2256x =，16x =（16x =-舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当16x =时，函数有最小值．即当宽为16m ，长为32m 时，才能使砌墙所用的材料最省． 4．（2009年，10分）当0x >，01a <<时，1a x ax a -≤-．解：原不等式即为 10a x ax a -+-≤．设()1a f x x ax a =-+-，则（1）当1x=时，()110f x a a =-+-=，即10a x ax a -+-=成立； （2）当01x <<时，111()(1)0a a f x axa a x--'=-=->，故()f x 单调增加，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立；（3）当1x>时，111()(1)0a af x ax a a x--'=-=-<，故()f x 单调减少，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立．综上，当0x>，01a <<时，不等式10a x ax a -+-≤成立，即1ax ax a -≤-． 5．（2008年，8分）求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞． 先求单调区间和极值．令2633(2)0y x xx x '=-=-=，得驻点0x =，2x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞，(0,2)，(2,)+∞．当(,0)x ∈-∞时，0y '<，函数单调减少；当(0,2)x ∈时，0y '>，函数单调增加；当(2,)x ∈+∞时，0y '<，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0,2]，单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞；极小值(0)0f =，极大值(2)4f =．再求凹凸区间和拐点．令660y x ''=-=，得1x =．当(,1)x ∈-∞时，0y ''>，函数为凹的；当(1,)x ∈+∞时，0y ''<，函数为凸的，且当1x =时，2y =，故函数的凹区间为(,1]-∞，凸区间为[1,)+∞，拐点为(1,2)．6．（2007年，8分）求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞．先求单调区间和极值．令221(2)10(1)(1)x x y x x +'=-==++，得驻点2x =-，0x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-，(2,1)--，(1,0)-，(0,)+∞．当(,2)x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当(2,1)x ∈--时，0y '<，函数单调减少；当(1,0)x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(0,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，单调减少区间为[2,1)--和(1,0]-；极大值(2)3f -=-，极小值(0)1f =．再求凹凸区间和拐点．因432(1)2(1)(1)x y x x -+''=-=++，故当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<，函数为凸的；当(1,)x ∈-+∞时，0y ''>，函数为凹的，故函数的凸区间为(,1)-∞-，凹区间为(1,)-+∞．凹凸性改变的点为1x =-，不在定义域内，故函数没有拐点．7．（2007年，8分）在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？解：设扇形的半径为x ，则弧长为2lx -，设扇形的面积为y ，则由题意211(2)22y l x x x lx =-=-+．令202l y x '=-+=得，4l x =．唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为4l时，扇形的面积最大．8．（2006年，10分）求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2321(31)(1)0y x x x x '=--=+-=，得驻点13x =-，1x =，用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-，1(,1)3-，(1,)+∞．当1(,)3x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当1(,1)3x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(1,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为1(,]3-∞-和[1,)+∞，单调减少区间为1[,1]3-；极大值132()327f -=，极小值(1)0f =． 再求凹凸区间和拐点．令620y x ''=-=，得13x=．当1(,)3x ∈-∞时，0y ''<，函数为凸的；当1(,)3x ∈+∞时，0y ''>，函数为凹的，且当13x =时，1627y =，故函数的凸区间为1(,]3-∞，凹区间为1[,)3+∞，拐点为116(,)327．9．（2006年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >．证明方程11()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．证明：先证存在性．设011()()()x xF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[0,1]x ∈．因()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续，且011011(0)00()()F dt dt f t f t =+=-<⎰⎰，11(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰，故由零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=，即在(0,1)内方程至少存在一个根．再证唯一性，即证()F x 的单调性．1()()0()F x f x f x '=+>，故()F x 单调增加，所以结合上面根的存在性可知，方程011()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．10．（2005年，8分）已知()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求2lim ()n nfn→∞． 解：切线斜率()22arctan arctan 02011x xtx x e k e dtx --==⎛⎫'===⎪ ⎪+⎝⎭⎰，故切线方程为01(0)y x -=⋅-，即 y x =．因()y f x =过点(0,0)，故(0)0f =，且(0)1f '=，故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n→∞→∞→∞'''===='．。