一种安全高效的匿名电子选举方案

， ， ，
ｉ
个选 民 随 机 选 择 向 量 尾
｜ ｜
£
＊
｛
0
，
1
｝
利 用 私钥
ＩＤ＾ （
Ｔ；
ｓ
抽 取非 零 向 量
，
—
Ｓ ａ ｍｐｌ ｅＰ ｒ ｅ
．
ＡBaidu Nhomakorabea
ｉ
，
，

Ｔｕ
7
（
Ａ ＾
）
，

ａ
）
，
然后选 民 在 注 册
表 上 填入
2
）
Ｒ＾
）
，
并 将 其 发送 给 注 册 中 心
，
注 册 中 心 收 到 选 民 填 写 的 注 册 表 后 用 选 民 的 公 销 验 证选 民 身 份 的 合 法 性 和 唯
表 示 原 始签 名 人
ＴＳ
；
Ｐ ｒ ｏ ｘｙ
．
表示 代 理
签名 人
；
表示第
个选 民 的 身 份信 息
ＴＶ ａｐ Ｇ ｅｎ
，
ＲＡ
（
表示 注 册 中 心
，
表 示 计票 中 心
Ｚ
注 册 中 心利 用 算 法
ｌ
＂
）
＾
｜
输出
Ａ 0 ｒＱ
）
，
其中矩阵 烏 在
，
『
ｍ
上接 近均 勻 分 布
，
张利利
（
、
马
艳琴
，
、
卜
春霞
，
＿
2
，
曾
吉文
45 0 0 6 3
3
1
．
黄 河 科技学 院 信 息工 程 学院
．
河南 郑州
4 5 0 0 0 3 6
1
1
）
）
（
2
郑 州 大学 数 学 系
河南
郑州
（
3
．
厦 门大学 数学系 福建
，
厦门
0 0 0
）
摘
与
要
：
随着 网 络 的 迅速发展
、
选举方 案 除
，
了
满足 电 子选举应 满 足 的合 法 性
，
、
匿名
性
、
可 验证 性
．
无 收据性
等 性 能 之外 与 以 前 方案 相 比 方 案 可 以 保 证 在后量 子 时 代 依然 安 全
关 键词
：
电 子选举
；
盲 签名
；
格 无 收据 性
；
电 子选 举是
一
种 使 用 电 子 辅 助 装 置 投票 及计 票 的 选举 形 式 和 传 统选 举相 比 它 具 有投
为
．
自
从
1 9
8
1
年
Ｃ ｈａ ｕｍ
，
在
⑴
中第
一
次提 出 了 电 子 选举 的 方 案 之 后 国 内 外很 多 学 者 相 继
，
对 这个 问 题进 行 了 研 究 提 出 了 基 于 不 同 安全 特性 的 电 子 选举 方 案
，
2
［
－
6
1
．
但是 这 些 方 案 都
， ，
是基 于 数 论 中 的 大 整 数 分解 或 者 离 散对 数 困 难 问 题 在 量 子 计算 机 实 现 的 情 况 下 这 些 困 难
．
3
选票 设 计 阶 段
假设 有 ｎ 个选 民
人
2
．
一
，
爪2
，
…
，
，
瓜？
，
ｍ
，
个候选人
0
，
Ｏ
ｉ
，
0
…
2
，
，
Ｏｍ
，
如果 选 民 ＪＡ 投 给 候选
＝
票 则记
，

Ｍ
，
［
ｊ ］
＝
1
否 则记

Ｍ
ｂ1
＝
则选 民

Ｉ Ｄｔ
的 选票 为
Ｍ
，
［
1
］
Ｍ
，
［
2
］
？
？
？
1
）
，
：
合法 性 只 有 合 法选 民 才 有 权 利进行 投 票 选举
，
；
2
）
匿 名 性 任 何 其 他 非 投票 人都 无法根 据 选 票 追 踪 调 查 到 相 应 的 选 民 身 份
；
3
）
唯
一
性 合 法选 民 能 且 只 能 投
，
，
一
次票
一
；
4
5
）
高效 性 系 统 中 所 有 的 计 算 能 够 在
．
间 代 理 区域 等
，
）
，
然 后将
ａ
， ；
（
Ｗｊ
，
）
发 送给 代 理人
（ ）
2
）
Ｐ ｒ ｏｘｙ
收到 Ｗ
（
）
后 验 证 汛 工 的合 法性 若
丑 灰
（
＝ ）
Ａｃ 且
｜ ｜
别
＜
代 理人
Ｐ ｒ ｏ ｘｙ
接受
ａ
；
为代 理密 钥
， ，
票便 利
、
计票 准 确
、
形 式灵 活
，
、
二次 开 发 费 用 低 廉
、
效 率更 高 更 省 时 省 力 等优 点 并在
、
， ．
一
定
程 度 上 保护 了 投 票 人 的 权益 保 证 了 选 举过 程 的 公开 公 平 公 正
安全 的 选 举 系 统 应具 备 以 下 安 全性 质
，
个合 理 的 时 间 内 完 成
；
）
可 验 证性 任 何 选 民 能 容 易 地 验证 自 己 的 选票 是 否 被 计算 在 内 和 最 终结 果是 否 被 篡
；
改 或丢 弃
6
）
无 收 据 性 选 民 无 法 向 任何 人 证 明
，
自
己的选票
，
从 而 能 够 防 止 贿 赂选 民 强制 选举 的 行
（
ｘ ） ＝ ｅｘｐ （
－
Ｔｒ
＼ ＼
ｘ
2
－
ｃ
＼ ＼
／
ａ
2
）
，
ｘ Ｇ Ａ
．
2
相 关 难 题和 算 法
本文方案 的 安 全性 主要 基 于 格 上 的 小 整 数解 问 题
定义
3
（
ＳＩ Ｓ ）
和 非 齐次 小 整 数 解 问 题
Ａ ｅ Ｒ ＾
ｘ ｍ
，
（
Ｉ ＳＩ Ｓ
）
，

ｍ
，

ｋ
为 正整数 并 且 ｍ
，


＞ 2
：
ｎｌ ｇ ｑ
1
，

ｑ
＞

Ｐｕ
Ｊ
）
（
ｌ
ｇｎ）
，
Ｐ
＝

ｐｏ ｙ （ ｎ）
ｌ
，

Ｌ ＝ 0
；
｛
ｎ ｌ ｇｑ ）
，
高 斯参
数
ａ ＝ Ｌ ｕｊ （ ｌ ｇ ｎ ） ＩＤｉ
，
安全的
ｉ
ｈａ ｓ ｈ
函数
Ｈ ｛ 0
；
＊
，
—
｝
Ｚ
．
Ｃ Ａ
中抽取向量
ｅ
Ｓ ａｍ
ｒ
ｌ Ｐ ｒｅ ｐ ｅ
＾
，

Ｔ
ｙ
ｒ
，
）
：
输入 矩 阵
ｅ
，
Ａ ｅＺ
＾
ｍ
，
在 《 上 接 近均 旬 分 布 Ｍ ⑷ 的 陷 门 基 Ｔ 向 量 ｙ ｅ 和 实 数
，
其中
Ａｅ
．
，
＞
0
，

Ａ
＾
（
＾ｌ
）
输 出 非 零 向量
其中
ｅ
接 近分 布
2

—
种 安全 高 效 的 匿 名 电 子 选举 方 案
，
4 Ｇ
．
Ｗ
，
向量
ｙ ￡
和 实数
／
？
，
寻找
一
个非零 向量
，
Ｚ
ｍ
，
满足
Ａ
ｅ＝
2 ／
ｍ ｏ ｄ ｑ
且
｜ ｜
ｅ
｜
｜
＜ 2
3 （
基 于 原 像抽 样 函 数 文 献
Ｔｒ ａ ｐ Ｇ ｅ ｎ （ ｌ
？
Ｍ
ｑ
分 别 给 出 格 上 基 于 原 像 ＿ 样 的 多 项 式时 间 算 法如 下
，
该方 案 利 用 格 上 的 难题 以 及 安 全 信道 来 保证 选举 的 安全 问 题 匿 名 选举 主 要 包括
段 注 册 阶段
：
3
个阶
、
投票 阶 段 和 计 票 阶 段 电 子 选 举 的 新方 案 主 要 按 以 下 步骤 进 行
．
．
2
．
1
初始 化 令

ｎ ｑ
，
1＝ 1
称为 由
Ｂ
生成的
2
ｎ
－
维格
Ａ
呪 其中
：
Ｂ
称另
Ａ Ｂ
（
）
的
一
个基
个格 则
，
定义
格 上 的 高斯 分 布 令
ＤＡ
，
ｃｅ
ａ 〉
0
，
Ａ
是
一
Ａ
上 的 离 散高 斯分 布
是
2
（
ａ ｃ
，
｛
ｘ ） ＝ 丨 ￡Ａ Ｐ
＜
7
，
Ｃ ＼
＾）

）
其中
1
．
，
Ｐａ
，
ｃ
矩阵
1
7
。
是
八、々
）
的小基 且
｜
向

＜
寒似 地 利 用 算 法
Ｔ＾ ａ ｐ Ｇ ｅ ｉ ｉ
ｐ
）
，
选民
／
Ａ 输
1 5
8
数 学 的 实 践 与 认 识 4 5 卷
ＡＵ Ｔ
，
出
｛
％）
，
Ｃ
Ａ
输出
（
Ａ Ｔ
，
）
，
Ｐ ｒ ｏ ｘｙ
输出
Ｂ
，
矩阵
，
分别是
Ａ 和
Ｉ；
Ａ
丄
⑷
ｉ
，
Ａ
丄
⑷
，
Ａ
丄
（
，
：
ａ ｒ
）
：
令整 数

ｎ
，
ｍ
满足
：
ｇ
2
2
，
ｍ ＞ 2 ｎ ｌ ｇ ｑ
，

Ｔ
ｒ
ａ
ｐＧ
ｅｎ （
ｌ
ｎ
）
输出
（
Ａ ！
，
1
）
，
其 中矩
阵
4
在
＾
＿
上 接 近均 匀 分 布 矩 阵
，
Ｔ
是
Ａ
ｉ
ｙ 的 小基 且
）
，
ｆ
｜ ｜ ｜
｜
Ｓ ａｍ
ｐｌ ｅ Ｄ
（
ｙｌ
，
ｒ）
：
从 分布
，
第
4 5
卷第
1 1
期数 学 的 实 践与 认 识 Ｖｏ
ｌ
．
4 5
，

Ｎｏ
，
．

1 1
2 0 1 5
年

6

月 ＭＡ ＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ ＩＮ Ｐ Ｒ Ａ ＣＴ ＩＣ Ｅ Ａ ＮＤ ＴＨ ＥＯ ＲＹ Ｊ ｕｎ
．
2 0 1 5
ｆ
蕃 ｉＳ学 1
一
种 安 全 高 效 的 匿 名 电 子 选 举方 案
Ａ Ｐ0
Ｔ
＝
一
性
．
若
ｉ？
（
Ｊ
人？ 且
｜ ｜
ｓ
ｔ
｜ ｜

＜注 册
—
中 心 随 机为 选 民
（
，
Ｊ
Ａ 选 择选 票 号 Ｋ Ｇ
）
，
0
｛
，
＊
1
｝
，
并
利 用 私钥
，
抽取 非零 向量 氏
7
（
Ｓａ ｍ ｐ
ｌ
ｅ
Ｐ ｒ ｅ Ａ 0 Ｔ0 ｆ

，

／
（
Ａ Ｋ
｜
｜
ａ）
，
然后将
丑
发送
Ａ Ｋ
Ｉ Ｉ
给选 民 同 时 保存
3
）
Ａ Ｋ ＾
， ， ， ，
．
）
选 民收 到
｜ ｜
／
（
Ａ Ｋ 况 后 利 用 注册 中 心 的 公 钥 验 证 选 票 的 合 法 性 若
？
）
，
（
／
＝ ）
Ａ0 5
2
．
，
且
况
｜
｜

＜ 选 民 就 接 受 这 张 选票
，
否则 就 向 注册 中 心 重 新 申 请 选票
，
，
电
子选举
巳
经成为
了 电
子政务 的
一
个重 要 应 用 方面
．
，
传 统 选举 方 式 相 比
（
电 子 选 举提
供
了
更 大 的 灵 活 性和 更 高 的 效 率 基于 格上 的 难
（
题 小 整数解 问 题
电子
，
ＳＩ Ｓ
）
和 非 齐 次 小 整 数解 问 题
Ｉ ＳＩ Ｓ
）
，
提
出 了
一
种 安全高效 的 匿名
问 题 可 以 在多 项 式 时 间 内 解决 因 此 设 计 在 后量 子 时 代 依然 安 全 的 电 子 选举 方 案成 为 亟 待
， ，
解 决的 问 题
．
格 上 的 困 难 问 题可 以 保 证在 量子 环境 下依然 安全 因 此 基 于 格 的 密 码 体制
，
7
Ｉ
－
1 1
＇

4
投 票阶 段
对 于 大 型 的 选 举 在 投票 的 过 程都要 进 行 区 域 划 分 而 每
， 一
，
个 区 域 都 要 设 置 代理 签 名 机
构 每
，
一
个 代 理 机 构 都 可 以 对 其 所管 辖 范 围 的 选 票 进 行 签 名
：
．
代 理密 钥 的 生 成
定义
鱼ａ 朱
口 1
ｎ
，
向 量均 为 列 向 量 矩 阵 Ａ 的 施 密 特 正 交 化 矩 阵 记为 又
，
格 令
：
ｉ？
＝
叫
，
＆
…
2
， ，
ｂ
ｎ
］
，
其中
ｈ
，

＆
…
2
，
，
是
ｎ
维 向量 空间
Ｒ
ｎ
的
一
组基 则
，
ｎ
Ａ Ｂ
（
）

＝
｛
Ｂｃ
＝

Ｙｈ
，
ｃｉ
＼
ｃ
ｅ
Ｚ ｎ ｝ ⑴
1
0 3 4 2
）
，
郑 州 市 科 技 局 科 技 攻关项 目
（
2 0 1 4 0
7
1
3
）
1 1
期 张利 利 等
，
一
：
种 安 全高 效 的 匿 名 电 子 选举 方 案 1
5 7
子 选 举 方案
、
．
基于 格 上 的 难题 本 文 的 方 案 除 了 满 足 电 子 选 举 应满 足 的 合 法性
Ｓ
）
的 小基 其 中
和 ％ 分 别 是 注册 中 心 的 公 钥 和 私 钥
分别 是 第
个 选 民 的 公钥 和
．
私钥
2
．
Ｘ
，
和
：
Ｔ
分别是
ＣＡ
的 公钥 和 私 钥
和
Ｓ
分别是
Ｐｒ ｏ ｘ
ｙ
的公 销 和 私 钥
2
注 册 阶段
1
）
注 册 中 心 公 布 所 有选 民 的 名 单 并 向 选 民 发 送 注 册 表 第
， ，
，
、
匿名性
、
可
验 证 性 无 收 据 性 等 性 能 之 外 与 以 前方 案 相 比 本 文 中 的 方 案 可 以 保 证 在 后 量 子 时 代 依 然
安 全 而且运算 效 率 较 高
1
．
预 备 知识
．
1
1
格 的 基本 概 念
令 本文 的 系 统安 全 参数 是
成 为最
近 几 年 的 研 究 热 点 但 是还 没 有基 于 格 的 电 子 选 举 方 案 本 文 提 出 了 第
， ，
一
个基 于 格 的 匿 名 电
3 收稿 日 期 2 0 4 0 4 资 助 项 目 河南省科 技 厅基础 与前 沿 技 术项
：
1
－
－
1
：
目
（
1
4 2 3 0 0 4
Ｓ Ｉ Ｓ 问 题
ｅ ｅ
（
小 整 数解 问 题
＝
）
：
给定 整 数
且
｜ ｜
ｑ
，
实 数矩 阵
和 实数
／
？
，
寻找
一
个 非零 向 量
定义
Ｚ
ｍ
，
满 足 Ａｅ
（
0 ｍｏｄ
ｑ
ｅ
｜
｜
2
＜
4 Ｉ ＳＩ Ｓ
问 题 非 齐次小 整 数 解 问 题
ｅ £
：
）
给定 整 数 ｑ 实 数矩 阵
1
）
代 理 签名 人
ｌ
Ｐ ｒ ｏｘ ｙ
，
向 原 始签 名 人 Ｃ Ａ
）
，
发 出 代理 申 请
Ｐ ｒ ｏｘｙ
．
，
ＣＡ
利 用私钥
Ｔ
抽 取非 零 向 量
（
ｘ— Ｓ ａ ｍｐ
ｅ
Ｐｒｅ Ａ Ｔ Ｈ Ｗ
（
，
（
ａ）
，
其中 Ｗ
为
ＣＡ
赋 予 代 理 人 的 代 理 权 限 的 信 息 包括 代 理 时