数学上海高考函数与分析(函数的周期性)教师版
2024年沪教版上海新高考一轮复习03-函数的概念与性质
第3讲 函数的概念与性质以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏下难度.1.函数的概念概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素 对应关系 y ＝f (x )，x ∈A 定义域 x 的取值范围值域 与x 对应的y 的值的集合{y |y =f (x )|x ∈A }2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法. 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 常用结论：1.直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图像至多有1个交点.2.注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}.(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .5.函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数定义 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果∀x 1，x 2∈D当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递增，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≥f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递减，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数课堂引入知识梳理自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间.常用结论：1.有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 常用结论：1.函数周期性的常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0).(3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0).2.对称性的四个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称. (2)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图像关于点(b ，0)中心对称.(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称；特别地，当a ＝b 时，即f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )时，则y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称.(4)若函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则y ＝f (x )的图像关于点(a ，b )对称.特别地，当b ＝0时，即f (a ＋x )＋f (a －x )＝0或f (x )＋f (2a －x )＝0时，则y ＝f (x )的图像关于点(a ，0)对称.3.函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.1．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（ ）① ② ③ ④A ．①②B ．①④C ．①②④D ．③④2．函数()021(1)32x f x x x +=+−−的定义域为（ ）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭C ．()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭3．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A ．2()x xf x x−=，()1g x x =− B ．2()f x x =，()2()g x x =C ． 22f x x ，()22g t t ＝－D ．()11f x x x =+⋅−，2()1g x x =−4．给出下列说法：①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定都是无限集；③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素； ④对于任意的一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同； ⑤()f a 表示当x a =时，函数()f x 的值，这是一个常量． 其中说法正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4例题分析模块一：函数的概念5．若函数y =[)0,∞+，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()4,+∞ C ．[]0,4 D ．[)4,+∞6．已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()22f x x x =+ B ．()268f x x x =++C ．()24f x x x =+ D ．()286f x x x =++7. 已知函数()f x R ，则m 的取值范围为______．8. 设函数()23f x x =−，()g x ()()⋅f x g x 的定义域为______．9. 已知()123f f x x x ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，()0x ≠，则()f x 的解析式为________．10. 求下列函数定义域（1）已知函数()f x 的定义域为()0,1，求2()f x 的定义域. （2）已知函数()21f x +的定义域为()0,1，求()f x 的定义域 （3）已知函数()1f x +的定义域为[]2,3−，求2(22)f x −的定义域. （4）设函数()f x 的定义域为[]3,1−，则()()()g x f x f x =+−的定义域.（5）若()f x 的定义域为[]35−，，求()()(25)x f x f x ϕ=−++的定义域11. 设()26f x mx nx =++，已知函数过点()1,3，且函数的对称轴为2x =.(1)求函数的表达式；(2)若[]13,x ∈−，函数的最大值为M ，最小值为N ，求M N +的值.1. 当()0,x ∈+∞时，幂函数()2531m y m m x −−=−−为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =−C ．1m =−或2m =D ．152m ±≠2. 设函数2()2(4)2f x x a x =+−+在区间(,3]−∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．7a ≥− B ．7a ≥C ．3a ≥D ．7a ≤−3. 已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧−+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（ ）A ．()()3,13,−+∞B ．()(),12,3−∞−C ．()()1,13,−+∞D ．()(),31,3−∞−4. 已知()f x 是定义在[2b ，1]b −上的偶函数，且在[2b ，0]上为增函数，则(1)(2)f x f x −的解集为( ) A ．21,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1−D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦例题分析模块二：函数的性质5. 二次函数()22f x ax a =+在区间2,a a −⎡⎤⎣⎦上为偶函数，又()()1g x f x =−，则()0g ，32g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3g 的大小关系为（ ）A ．3(0)(3)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．3(0)(3)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．3(3)(0)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．3(3)(0)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭6. 已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f −==，则(2022)(2023)f f +=（ ） A ．3− B ．1− C ．1 D ．27. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()110f x f x −++=，若()03f =，则()()20222023f f +=（ ）A ．0B ．-3C ．3D ．68. 若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，在区间()0,1上，有()()()12120x x f x f x −−>⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图像关于点()1,0成中心对称B ．函数()f x 的图像关于直线2x =成轴对称C ．在区间()2,3上，()f x 为减函数D ．7223f f ⎛⎫⎛⎫−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9. 已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，若()12f x −为奇函数，()12g x +为偶函数，则（ ）A ．()()f x g x +的图像关于直线1x =对称B ．()()f x g x +的图像关于直线1x =对称C ．()()f x g x −的图像关于点()1,0对称D ．()()f x g x −的图像关于点()1,0对称10. 已知定义在R 上的函数113()e e (1)x x f x x x −−=−+−+，满足不等式(4)(23)2f x f x −+−≥，则x 的取值范围是（ ）A ．(,2)−∞B ．(,2]−∞C ．(,2)−∞−D ．(,2]−∞−11. 已知函数()322()(1)ln 2f x a x x x =−+++为R 上的偶函数，则不等式(21)()f x f a −的解集为（ ） A ．[2,2]− B ．[1,2]− C ．[1,1]− D ．[0,1]12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =−+ .若对任意的[]1,2x ∈−，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()()0,2,6−∞C ．()2,0−D ．()()2,06,−+∞13. 已知函数()f x 是定义域为R 的函数，()()20f x f x ++−=，对任意1x ，[)21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x −>，已知a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t −+−=的两个解，则关于t 的不等式()()()0f a f b f t ++>的解集为（ ） A ．()2,2− B ．()2,0− C ．()0,1 D ．()1,214. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且函数(1)=−y f x 的图像关于点(1,0)对称，对于任意的x ，总有(2)(2)f x f x −=+成立，当(0,2)x ∈时，2()21f x x x =−+，函数2()g x mx x=+（x ∈R ），对任意x ∈R ，存在t ∈R ，使得()()f x g t >成立，则满足条件的实数m 构成的集合为（ ） A ．1{|}4≤m mB ．1{|}4<m mC ．1{|0}4<≤m mD ．1{|}4>m m15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有()()22f x f x +=−，且()()f x f x −=，下列结论正确的是________.(填序号) ①()f x 的图像关于直线2x =对称； ②()f x 的图像关于点()20,对称； ③()f x 的最小正周期为4； ④()4y f x =+为偶函数．16. 已知函数()|1|||f x x x t =++−的图像关于2x =对称，则t 的值是_______17. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()f x 为奇函数，其图像关于直线2x =对称．当[]0,4x ∈时，()24f x x x =−，则()2022f =____.18. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =−+． (1)求0x <时，函数()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在区间[1,2]a −−上单调递增，求实数a 的取值范围．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称. (1)求证：()f x 是周期为4的周期函数；(2)若()()01f x x x =≤≤，求[]5,4x ∈−−时，函数()f x 的解析式.1. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈−+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．2. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x −++=，当[]1,0x ∈−时，()22f x x x =+，若()0f x x b −−≥对一切R x ∈恒成立，则实数b 的最大值为______．3. 已知函数29,1()438,12x ax x f x x a x x ⎧−+≤⎪=⎨+−+>⎪⎩，若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．例题分析模块三：函数不等式恒成立问题4. 已知函数()22121x f x x ⎛⎫=− ⎪+⎝⎭若对任意的[]3,3m ∈−，都有()()10f ma f a m +−+≥恒成立，则实数a 的取值范围为______．5. 已知函数()f x 的定义域()(),00,D =−∞+∞∪，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+−，若()f x 在()0,+∞上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >−恒成立，则m 的取值范围是______．6. 已知函数f (x )对∀x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，且f (1)＝－2. (1)证明函数f (x )在R 上的奇偶性； (2)证明函数f (x )在R 上的单调性；(3)当x ∈[1，2]时，不等式f (x 2－mx )＋f (x )＜4恒成立，求实数m 的取值范围.7. 已知奇函数()2121x x a f x ⋅−=+的定义域为[]2a b −−，.(1)求实数,a b 的值；(2)当[]12x ∈，时，()220x mf x ++>恒成立，求m 的取值范围.1. 函数21(1)y x x =−<−的反函数是___________.2. 函数2()3f x x x =−的单调增区间是___________.3. 设2()1x f x x =−，1()x g x x−=，则()()f x g x ⋅=__________﹒ 4. 若函数()f x 的定义域为[]22−,，则函数(21)f x −的定义域是___________. 5. 函数2()2(1)2f x ax a x =+−+在(,4]−∞上为严格减函数，则a 的取值范围是_________． 6. 若函数2()f x x x a =−+的定义域是R ，则实数a 的取值范围是________.7. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()24f x x ax =−+．若()y f x =的值域为R ，则实数a 的取值范围是______．8. 函数223211x x y x −−=−的值域是___________.师生总结随堂检测9. 若函数()f x 是定义在()0,∞+上的严格增函数，且对一切x ，0y >满足()()x f f x f y y⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则不等式()()1322⎛⎫+−< ⎪⎝⎭f x f f x 的解集为___________.10. 已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x −=++，则()()22f g +=___________.11. 已知3a >−，且函数[]()33,y x b x a ∈=+−是奇函数，则a b +=___________.12. 已知函数1x x a y =++−的图像关于直线1x =对称，则该函数的最小值是___________. 13. 已知函数()f x 满足：任意给定x ∈R ，都有(3)(1)f x f x +=−，且任意1x ，[)22,x ∈∞＋，()()12120f x f x x x −<−（12x x ≠），则下列结论正确的题号是___________．（1）()2514f a a f ⎛⎫−++≤ ⎪⎝⎭；（2）任意给定x ∈R ，()()2f x f ≤；（3）()()03f f >； （4）若()()1f m f >−，则15m −<<． 14. 已知函数()()2,0,1,0,x a x f x x a x x ⎧−≤⎪=⎨++>⎪⎩若()0f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为_________．15. 已知函数()800x x f x x x a x ⎧−<⎪=⎨⎪−≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈−−，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.16. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区间[,]a b 上都是严格增函数或都是严格减函数时，就把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”．若区间[1,2]是函数2()y x a =−的“不动区间”，则实数a 的取值范围为________．1. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．()f x x =，()2g x x = B ．()2f x x =，()()2g x x =C ．()211x f x x −=−，()1g x x =+D ．()11f x x x =+⋅−，()21g x x =−2. 设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要3. 函数y =f (x )与函数y =g (x )的图像如图1和图2，则函数y =f (x )∙g (x )的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数11()f x x=，211()()f x x f x =+，…，11()()n n f x x f x +=+，…，则函数2018()f x 是（ ）A ．奇函数但不是偶函数B ．偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数巩固练习5. 定义在R 上的函数()f x ，若存在R a ∈且0a ≠，使得()()()f x a f x f a +>+恒成立，则称()f x 具有“P 性质”.已知()1f x 是R 上的增函数，且()10f x ≤恒成立；()2f x 是R 上的减函数，且存在00x <，使得()200f x =，则（ ） A ．()1f x 和()2f x 都具有“P 性质”B ．()1f x 不具有“P 性质”，()2f x 具有“P 性质”C ．()1f x 具有“P 性质”，()2f x 不具有“P 性质”D ．()1f x 和()2f x 都不具有“P 性质”6. 已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=−+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；(2)令()()g x f x =y g x 在1,12x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦的值域.7. 已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在(1,1)−上的奇函数，且12()25f =. (1)求a ，b 的值；(2)用定义证明()f x 在(1,1)−上是增函数； (3)解不等式：(1)()0f t f t −+<.8. 已知函数()221x f x x−=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n −−，求实数t 的取值范围．9. 设()y f x =的定义域是[]1,1−，在区间[]0,1上是严格减函数；且对任意1x ，[]21,1x ∈−，若[]121,1x x ±∈−，则()()()()1212122f x x f x x f x f x ++−=． (1)求证：函数()y f x =是一个偶函数； (2)求证：对于任意的[]1,1x ∈−，()1f x ≥−．(3)若16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()232f x f x ≥−．。
数学上海高考函数与分析(三角函数(一))教师版
C、 D、
4、已知 =1998，则 的值为
A、1997 B、1998 C、1999 D、2000
5、已知tanα，tanβ是方程 两根，且α，β ，则α+β等于
A、 B、 或 C、 或 D、
6、若 ，则sinx·siny的最小值为
A、-1 B、- C、 D、
7、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是
D、函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则 ，k∈Z
∴函数定义域为 ，k∈Z
∵
∴当x∈ 时，
∴
∴
∴函数值域为[ ）
（3）∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称
∴f(xห้องสมุดไป่ตู้不具备奇偶性
（4）∵f(x+2π)=f(x)
∴函数f(x)最小正周期为2π
注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；
以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。
对称轴：
最值： ；
2. y =cosx的图像及性质
定义域：R
值域：
最小正周期： ；
奇偶性：偶函数；
单调递增区间： ；
单调递减区间： ；
对称中心：（ ）；
对称轴：
最值： ；
3. y=tanx的图像及性质
定义域：
值域：R
最小正周期：
奇偶性：奇函数；
单调递增区间： ；
对称中心：（ ）；
4.y=cotx的图像和性质
A、y=lgx2B、y=|sinx| C、y=cosx D、y=
上海高中三角函数的周期性、奇偶性和对称性
该函数是奇函数
【例1 】判断下列函数的奇偶性： (3)y sin x cos x
解： 定义域R关于原点对称
f ( ) sin cos 2 4 4 4
f ( ) sin( ) cos( ) 0 4 4 4
f ( ) f ( )且f ( ) f ( ) 4 4 4 4
该函数既不是奇函数，也不是偶函数
型如y a sin x b cos x(a 0, b 0)的函数 是非奇非偶函数
【例1】判断下列函数的奇偶性： (4)y sin x sin x 4 4 解： 定义域R关于原点对称
x k
4
,k Z
原函数图像的对称中心是点(k
4
, 0), k Z
【例6】函数y cos(2 x ) 的图像 2 的一条对称轴是直线【 】 A. x
2
B.x
4
B
C. x
8
D. x
解： y sin 2 x
当x
一、y sin x 的奇偶性、周期性和对称性:
-2
y
1
-4
-3
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
y siin x
T 2
sin( x) sin x
直线x k
奇函数
, k Z
对称轴
对称中心
sin cos 0 tan 1
【例4】求下列函数的最小正周期： (1)y 3 sin 2 x cos 2 x
上海市高三数学专题教案：函数的周期性新人教版 教案
上海市2010届高三数学专题教案：函数的周期性一、知识梳理1、若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，)()(x f T x f =+恒成立 则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
2、如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f ()f x b +，那么)(x f y = 周期为T a b =- 二、例题例1、若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+ 则 ①)(x f 关于 对称；②)(x f 的周期为 ；③）时，，（若10∈x )(x f =x2，则=)(log 1821f 。
例2、（1）已知函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有1(2),()f x f x +=-求)(x f y =的一个 周期。
（2）设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间]1,0[AB ，求在区间]2,1[上时()f x 的表达式．例3、设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间[2，3]上，)(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x 求)(x f 的表达式。
例4．已知函数)(x f 的定义域为R ，且满足1()(1)1()f x f x f x -+=+．（1）试证明函数2是)(x f 的一个周期；（2）当[0,1)()x,f(x [-1x f x ∈=时，求）在，0）上的表达式 （3）对（2）中的函数(x)ax 100a f =有个根，求的取值范围。
例5、已知函数)(x f y =的图像关于直线x=1及x=4都对称 （1）、求证：)(x f y =是周期函数，并求出周期（2）、把（1）的结论推广到一般结论（不必证明） 练习：1、函数)(x f 对任意R x ∈，有0)()(=-+x f x f ，)1()1(-=+x f x f ，求(2008)f2．设函数)(x f 在R 上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f ．（1）试判断函数)(x f 的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．3．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线1=x 对称，对任意]21,0[,21∈x x 都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+．（1）设2)1(=f ，求)21(f ，)41(f ；（2）证明)(x f 是周期函数．P58 第1、2、4作业：P62第4题，P64第1、2题反函数一、知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）.在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.原函数与反函数的关系：（1）、几何关系：互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.（2）、代数关系：原函数的自变量（定义域）为反函数的函数值（值域） 3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. 4．常用结论：11(1).[()][()]f f x f f x x --==（2）如果y =f （x ）是奇函数，那么y =f －1（x ）也是奇函数，反之亦然。
数学上海高考函数与分析(二模复习专题：函数Ⅰ(函数及其基本性质))教师版
数学上海高考函数与分析(二模复习专题：函数Ⅰ(函数及其基本性质))教师版本文是一篇数学课的教学内容，主要讲解了函数Ⅰ（函数及其基本性质）的相关知识点、考点精练和典型例题。
文章存在一些格式错误，需要进行修改和删除。
教学目的：1、了解函数考点，构建模块框架与概念间的联系；2、掌握该模块重点知识的研究方法；3、通过典型例题与强化训练巩固重点题型的解题技巧；教学内容：一、考纲考点二、考点相关知识点梳理1.函数的概念函数关系式的建立2.函数的运算函数的基本性质3.幂、指、对函数定义、三要素函数的表示方法反函数函数的简单应用题及分段函数4.函数的和函数的积奇偶性幂函数指数函数对数函数解析式零点周期性三、考点精练考点精练一·函数的有关概念】典型例题】例1】（徐汇区2010年高三二模文1）函数y=（x-1）/(x+2)的定义域是（-∞，-2)∪[1,+∞)。
难度等级】基础。
例2】（闸北区09年二模文理1）函数y=log0.5x的定义域为(0,1]。
难度等级】基础。
例3】（虹口区2009年二模文理2）函数f(x)=ax^3-3x，则a的取值是3.难度等级】较难。
例4】（徐汇区2010年高三二模理14）设f(x)=1+ax，[x]表示不超过x的最大整数，如[x]=1，[−1.5]=−2.则g(x)=f(−x−1)/(1−f(x))的定义域和值域都是(−1,0]，a的值域为[1/2,1)。
难度等级】难。
例5】（嘉定黄浦2010年二模文21）已知a∈R，函数f(x)=x+a/(x+1)，x∈[0,+∞)，求函数f(x)的最小值为a^2/4.难度等级】中等。
首先，文章中的数学符号应该用LaTeX格式书写，以便于阅读和理解。
其次，文章中存在明显的格式错误，如缺少空格和换行，需要进行修正。
最后，文章中的语言表达需要更加准确和简练。
修正后的文章如下：已知函数 $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$，$x\in[0,+\infty)$，$a$ 为正实数。
沪教版高中数学高一下册--6.1-正弦函数和余弦函数的性质一最值与周期性-课件
(2)y3cos(2x)
6
解：(2) 3cos(2x)3cos[(2x)2]
6
6
3cos[2(x)]
6
y 3cos(2x)的最小正周期是.
(3)y2sin(x6)
32
解： (3)2sin( x )2cos1 x
32
3
2cos(x 2)2cos1(x6)
3
3
y 3cos(2x)的最小正周期是6.
6
(4 )ysin 2xco s2x
f (x) f (x2)，则f (x)是以2为周期的周期函数.
解：(1)不正确.
sin(
2
)
0，sin
3
33
32
但sin(
2
)
sin
，
2
不是y
sin
x的周期.
33
33
(2)不正确. 函数y 2是周期函数，但其周期是
任意非零实数，且没有最小正周期.
(3)不正确. 当x 0时，f (x) f (x 2)不一定成立.
解：(4)y sin2x cos2x 2sin(2x )
4
而 2sin(2x ) 2sin[(2x ) 2]
4
4
2sin[2(x ) ]
y sin2x cos2x4的最小正周期是.
思 考 ： 函 数 yAsin(x)(A0， 0)
和 yAcos(x)(A0， 0)
的 最 小 正 周 期 如 何 求 ？ T
例 3.求 下 列 函 数 的 最 小 正 周 期 . (1) y sin 2 x
(2) y 3 cos(2 x ) 6
(3) y 2 sin( x )
32 (4) y sin 2 x cos 2 x
上海高中三角函数的周期性奇偶性和对称性PPT课件
tan1
【 例 4 】 求 下 列 函 数 的 最 小 正 周 期 ：
(1)y 3sin2xcos2x
解：y2sin(2x) T 2
6
2
y a sinx b cosx 的周期T 2
【例4 】求下列函数的最小正周期：
(2)ysin2(2x)1
3
1cos(4x2)
解：y
3 1
2
1cos(4x2)3
f(x)sin2x(sin2x)sin2x
f(x)f(x)
该 函 数 是 奇 函 数
【例 1 】判断下列函数的奇偶性：
(2)yxcos(x)
解 ： 定 义 域 R 关 于 原 点 对 称
f(x)x(cosx)xcosx f(x)xcos(x)xcosx
f(x)f(x) 该 函 数 是 奇 函 数
(1)当f (x) 是奇函数时 f (x) f (x) 0
2cos2xsin0
sin 0
k,kZ
【例2】已知函数f xsin2x (1)取何值时，f x是奇函数？ (2)取何值时，f x是偶函数？
解 ： fx s i n 2 x c o s c o s 2 x s i n f x s i n ( 2 x ) c o s c o s ( 2 x ) s i n
当 y取 得 最 大 值 或 最 小 值 时 sin(x)1
一 、 y s i n x 的 奇 偶 性 、 周 期 性 和 对 称 性 :
y 1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y sin x
周期性 sin(x2)sinx T 2
奇偶性 对称轴 对称中心
sin(x)sinx 奇 函 数
数学上海高考函数与分析(函数的单调性)教师版
【课后练习】
1、函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围为 ；
2、若函数 在 上为增函数，则实数 的取值范围是 ；
3、已知 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围 ；
பைடு நூலகம்4、奇函数 在 上为减函数，且 ，则实数 的范围为 ；
5、已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是 ；
10、求 的单调递增区间。
参考解答： 为该函数单调递增区间
11、已知函数 ， ，且 ，
试比较 与 的大小关系；
参考解答：
12、已知函数 ， ， ，问是否存在负数 值，
使 在 上为增函数，在 上为减函数，若存在，请求出 ；不存在，请说明理由；
参考解答：
【课堂总结】
1.函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有些函数在整个定义域内是单调的，如一次函数；而有些函数在定义域内的部分区间上是增函数而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如y=
6、若函数 或 是定义在 上的增函数，则实数 的取值
范围为 ；
7、〖思考〗已知 ，且 ，则 的值为 ；
8、讨论 的单调性，并简述过程；
参考解答： 时，该函数不具有单调性； 时， 和 单调减；
时 和 单调增
【高考真题】
1、定义在 上的偶函数 ，满足 ，若 在区间 上是减函数，
则 满足——————————————————————————————————————（ ）
2.函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，即x1、x2是给定区间上的任意两个值，“任意”二字绝不能丢掉，更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定x1＜x2.三者缺一不可.
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
()()()()012...516f f f f ++++× ()()()()()01234f f f f f +++++， 01633=×+=，故选：B.2．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，且满足()()122f f +=，则()20231k f k ==∑（ ） A ．2023− B ．0 C ．2 D ．2023【答案】B【详解】因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)−+=+f x f x ，所以(2)()f x f x −+=， 因为(2)f x +为奇函数，所以(2)(2)f x f x −+=−+， 所以(2)()f x f x +=−，所以(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数，由(2)(2)f x f x −+=−+，令0x =，得(2)(2)f f =−，则(2)0f =， 又(1)(2)2f f +=，得(1)2f =， 由(2)(2)f x f x −+=−+，令1x =，得(1)(3)f f =−，则(3)2f =−， 由(2)()f x f x +=−，令2x =，得(4)(2)0f f =−=， 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以20213()[(1)(2)(3)(4)]505(1)(2)(3)05052(2)0k f k f f f f f f f ==+++×+++=×++−=∑. 故选：B ．3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x +关于点()2,0成中心对称，则函数()f x 的一条对称轴为（ ） A ．2023x = B ．2022x =C ．2021x =D ．2020x =【答案】C【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()11f x f x +=−+，所以()f x 关于1x =对称，即()()2f x f x =−，因为()1f x +关于点()2,0成中心对称，且()f x 向左平移1个单位长度之后得到()1f x +， 所以()f x 关于()3,0对称，所以()()60f x f x +−=， 因为()()2f x f x =−，()()60f x f x +−=， 所以()()62f x f x −−=−，故()()()48f x f x f x =−+=+，故()f x 的周期为8， 因为()f x 关于1x =对称，关于()3,0对称，所以()f x 关于5x =对称，由图象可知，()y f x =与|lg |y x =有10个交点， 所以方程()lg f x x =有10个根. 故答案为：10。
【高中数学函数专题】函数的周期性(解析版)
函数的周期专题六性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则＝________．答案14解析由题意可得－2＝14，＝14．(3)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＋a ，－1≤x <0，|25－x|，0≤x <1，其中a ∈R ．若5(2f -＝9(2f ，则f (5a )的值是________．答案－25解析：由题意可得5()2f -＝＝－12＋a，9()2f ＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．【高中数学函数专题】(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．答案22解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809答案B解析定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．1．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)1≤x<0，0≤x≤1，其中a，b∈R．若＝a＋3b的值为________．2．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f(－1)＝f(1)，故＝，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2，①．由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a，②．由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10．3．已知函数f(x)(1－x)，0≤x≤1，－1，1<x≤2，如果对任意的n∈N*，定义f n(x)＝{[()]}n ff f f x⋅⋅⋅个，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．33．答案C解析∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C．4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．4．答案337解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝337×1＝337．5．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．25．答案D解析当x>12时，由可得当x>0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．46．答案B解析∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0．则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)，－1＜x≤0，1，0＜x≤1，则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)答案D解析由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4答案C解析依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．答案2解析由f(x＋2)＝1f(x)得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________．答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－3．(5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案1348解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝＋3－11＋3＝1348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5(2f 的值为()A ．12B ．14C ．－14D ．－127．答案A解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝2×12×＝12，故选A ．8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案A解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A ．5B ．12C ．2D ．－29．答案D解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2014)＝()A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案B解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2018)＝()A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋311．答案A解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则________．12．答案52解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴＝52，∴＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3](1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝()A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案B解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．(2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于()A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案B解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________．答案解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋－f 32－＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x －1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．【对点训练】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则()A．12B．－12C．－1D．113．答案C解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，∴f－12＝－＝－12·(3－1)＝－1，故选C．14．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为() A．－3B．－2C．2D．314．答案D解析因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(5)＋f(6)＝f(1)＋f(2)＝0＋3＝3．选D．15．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．答案3解析解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．16．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．16．答案2解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝() A．0B．－a C．a D．3a17．答案B解析因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a．故选B．18．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．18．答案4解析∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4．。
数学上海高考函数与分析(函数的图像与性质)教师版
级：高三 题
辅导科目： 数学
课时数：3
函数的基本性质
直观认识函数基本性质的基础上，从具体函数到抽象表示的函数对其奇偶性、单调性、最大 值和最小值等基本性质进行解析研究。 掌握函数的基本性质以及反映这些基本性质的图象特 征。 教学内容
教学目的
第 1 课时
【知识梳理】
奇偶性 （1）定义：_____________________，则称 f(x)为奇函数；___________________________，则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性. 如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意： 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是 ○ 定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定 f(－x)与 f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： ○ （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是 它的图象关于 y 轴对称； ②设 f ( x) ， g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=___，奇 奇=___，偶+偶=___，偶 偶=___，奇 偶=___
2 x 7 2 x 1
x 0, x 0, ②设 f ( x) 1n( x 1 x ) 1n
1 1n( 1 x x ) f ( x) 1 x x ③当 x=0 时 f(x)=0，也满足 f(－x)=－f(x)； 由①、②、③知，对 x∈R 有 f(－x) =－f(x)， ∴f(x)为奇函数；
2024年高一数学真题分类汇编(沪教版2020必修第二册,上海专用)三角函数(解析版)
专题02三角函数一、填空题高三校考期中）函数的最小正周期为【答案】由题意可得：函数的最小正周期.故答案为：.高三同济大学第一附属中学校考期中）已知函数，则函数的【答案】因为，所以的最小正周期为.故答案为：.高三上海市回民中学校考期中）函数的定义域为【答案】【分析】定义域满足.【解析】的定义域满足，即.故答案为：.高一校考期中）是由解析式得的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，高一格致中学校考期中）函数的一个对称中心是（．．．．【分析】求解出对称中心为，对赋值则可判断令，解得，所以函数图象的对称中心是，令,得函数图像的一个对称中心是，高一闵行中学校考期中）函数的值域是【答案】【解析】，因为所以函数的值域为.故答案为：.若，则的取值范围是【答案】【分析】通过讨论的取值范围，即可得出，进而求出的取值范围由题意，，而，则，当时，解得或；当时，解得，综上：.故答案为：.高一上海市进才中学校考期中）函数的严格增区间是【答案】【分析】根据正切型函数的图象与性质，得到，即可求解由题意，函数，令，解得，即函数的递增区间为.故答案为：.高一上海市大同中学校考期中）函数（，）的，最小正周期是，初相是【答案】【分析】根据函数的性质求出，即得函数的解析式因为函数（，）的振幅是因为函数的最小正周期是，所以.，所以.所以函数的解析式为.故答案为高一华东政法大学附属中学校考期中）函数，的最小正周期为，则实数【答案】/0.5【分析】由周期公式求出的值由题可知，，∴.故答案为：.高一上海市青浦高级中学校考期中）已知函数是偶函数，则的取值是【答案】【分析】根据余弦函数的性质求得的值令，则，所以的值为.故答案为：.高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知函数的最，则正整数的取值是解：因为函数的最小正周期不小于所以（），得，所以正整数的取值为高一上海市进才中学校考期中）若函数的图像关于直线对称，则【分析】根据三角函数的对称性，得到，即可求出结果因为函数的图像关于直线对称，所以，即.故答案为：.高一校考期中）若函数的最小正周期是，则【答案】【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得的值由于，依题意可知.故答案为：高一校考期中）若函数的最大值为，则的值为【答案】【分析】由三角函数辅助角公式可得，由三角函数的有界性可得函数的最大值为，再结合已知条件运算即可得解解：因为，即函数的最大值为，由已知有，即，故答案为.高一校考期中）函数（其中）为奇函数，则【答案】/函数是奇函数，则，而，所以.故答案为：高三校考期中）若将函数向右平移个单位后其图像关于轴对称，则【答案】易知函数向右平移个单位后得函数，此时函数关于轴对称，则，又，所以时，.故答案为：.函数图像上一个最高点为，相邻的一个最低点为，则【答案】【分析】由题知，，即，从而利用周期公式求出.由三角函数的图象与性质可知，，则，又，所以，.故答案为：.高三上海市建平中学校考期中）关于的不等式对任意恒成立，则实数的最大值为【答案】/令,，将不等式转化成关于的一元二次不等式，因为，所以，即，令，，有令，，要使不等式对于任意恒成立，只需满足，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以时，即，得或，有最小值，，得，所以实数的最大值为.故答案为：.高一校考期中）若、是函数两个不同的零点，则的最【答案】【解析】、是函数的零点满足，所以，由于所以的最小值为.故答案为：.的部分图像，【答案】【分析】由图象，首先得出的值，然后根据的值运用周期公式求出值，再将最高点的坐标代入函数式中求解的值即可得出表达式【解析】由图象可知，，，，，将，又故答案为：.图像如图，则函数的解析式为【答案】【分析】根据函数图象得到，根据周期求出，再根据函数过点，代入求出，即可得解；【解析】解：由图可知，，所以，解得，所以，又函数过点，所以，所以，，解得，，又，所以，所以；故答案为：23．（2023下·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期中）函数的部分图像如图所示，则的单调减区间为（A．B．【答案】B【分析】由图象得出函数的周期，从而可得减区间．【解析】由题意周期是，，，所以减区间是，故选：B．24．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（）A．B．【答案】A【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可.【解析】由题意，，即.由图可知，，解得，，此时，将点代入解析式，可得，即，所以，，即，取，，所以.故选：A.25．（2021下·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用函数的图象，求出对称轴方程，从而求出函数的周期，由此求得的值，再利用特殊点求出的值，得到函数的解析式，然后利用参变量分离以及正弦函数的性质，即可求出的取值范围．因为轴，所以图象的一条对称轴方程为，所以，则，所以，又，，且，所以，故，因为当时，不等式恒成立，所以，令，因为，则，所以所以的最小值为，所以，即．故选：．把函数按进行平移，得到函数，且满足，则使得最小时，【答案】【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，依题意为奇函数，解得的取值，再求出的最小值，即可得解；解：把函数按进行平移得到，即，又，即为奇函数，所以，解得，又，要使最小，即取得最小，所以；故答案为：高一上海市南洋模范中学校考期中）函数的最小，则实数的最小值为【答案】由题意利用正弦函数的周期性，结合题意即可求得实数的最小值．解：函数的最小正周期不大于所有，，则实数的最小值为，故答案为：．高三校考期中）若函数在上单调递增，则的最大值【答案】【分析】由正弦函数的性质，令可得函数的单调增区间，结合题设给定递增区间求由正弦函数的性质知：在上递增，在上递减，对于，有，可得；有，可得，所以题设函数在上递增，在上递减，要使其在上单调递增，则，故的最大值为.故答案为：.已知函数，，则的最小值是【答案】的最小值等于，进而可以求出结果因为，所以，，所以，故答案为：.高三上海市七宝中学校考期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有个零点，则的最小值为【解析】由得,,设,则作出与的图象如图则,得,即的最小值是,故答案为:.高三校考期中）记函数的最小正周期，若，为的零点，则的最小值为【答案】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：高一上海市七宝中学校考期中）对于函数，有以下函数的图象是中心对称图形；任取，恒成立；函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等：因为，：因为，所以，因此不成立，所以本结论不正确；：令，即，或，当，显然成立，当时，，显然函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点④：，或，当，显然成立，当时，，，，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确；故答案为：①③二、解答题已知向量，，函数.求函数的单调递增区间；若，求函数的值域(1)；(2).）由向量数量积的坐标表示及倍角正余弦公式、辅助角公式得，）由题设，令，则，所以函数的单调递增区间为.）由，则，故，可得，所以的值域为.34．（2023上·上海静安·高三上海市回民中学校考期中）已知函数．(1)求函数的最小正周期及最大值；(2)令，①判断函数的奇偶性，并说明理由；②若，求函数的严格增区间.【答案】(1)，最大值为(2)①偶函数，理由见解析；②【分析】（1）根据二倍角公式化简的表达式，即可根据三角函数的性质求解，（2）利用奇偶性的定义即可判定奇偶性，根据整体法即可求解单调区间.【解析】（1）,，当时，即时，（2），是偶函数，理由如下：由于的定义域为,关于原点对称，且，所以是偶函数；令，所以，取，则单调递增区间为，当，则单调递增区间为，由于，所以单调递增区间为的严格增区间为35．（2023上·上海黄浦·高三上海市向明中学校考期中）已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调区间；(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为.(2)【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间；（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围．【解析】（1），则函数的最小正周期；令，解得，可得函数的单调递增区间为·令，解得，可得因数的单调递减区间为；（2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减，当，，由增大到1，当，，由1减小到，若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为36．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)若对任意都有，求实数t的取值范围．【答案】(1)单增区间为(2)【分析】（1）利用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由整体法求增区间；（2）由题设知，结合给定闭区间列不等式求参数范围.【解析】（1）由，令，则，所以的单调递增区间为.（2）由，则，故，又，则，所以，即.37．（2023下·上海闵行·高一校考期中）已知函数(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；(2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1，(2)(3)【分析】（1）由题意可得，由正弦函数的性质求解即可；（2）由题意可得,，将问题转化为，且在上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解；（3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解.【解析】（1）当时，,所以当，即时，所以,此时；（2）因为为偶函数，所以,所以,所以，又因为在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以，且在上恒成立，因为，所以，所以，解得所以m的取值范围为;（3）因为过点，所以所以，又因为,所以,所以，又因为对任意的，，都有成立，所以，因为，所以，设,则有图像是开口向下，对称轴为的抛物线，当时，在上单调递增，所以,所以，解得所以；当时，在上单调递减，所以,所以，解得所以;当时，,所以，解得所以,综上所述：所以实数a 的取值范围为【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可.一、填空题由上图可知：两个图象交点个数为4个，即函数()()lg 1,1sin ,0x x f x x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则y =故答案为：4．2．（2023上·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考期中）已知关于6．（2023下·上海闵行·高一上海市文来中学校考期中）已知()[)[)π4sin ,0,4428,4,8x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若函数(g 实数a 的取值范围为.因为[2()()()1g x f x af x a =+--=故()0g x =时，即()1f x =或()f x 则()g x 在[8,8]x ∈-上恰有八个不同的零点，即等价于同的交点，由图象可知，1y =和()f x 的图象有则(1)y a =-+和()f x 的图象需有2故95a -<<-，则实数a 的取值范围为(9,5)--，故答案为：(9,5)--【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解二、单选题7．（2023上·上海松江·高三校考期中）已知函数的是（）A ．()f x 的最大值为2B ．()f x 在[]0,π上有4个零点。
2024年上海高考真题数学(含解析)
2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。
沪教版高三C专题(函数的周期性3星)
专题：函数的周期性(★★★)教学目标了解函数周期性的概念，会用定义判断函数的周期；能够利用函数的周期解决一些简单问题，理解函数对称性与周期性之间的关系。
【解读：了解函数周期性的意义，能根据已知的函数方程求函数的周期；能够判断函数的周期，求解类似求值、求解析式等函数的综合问题；了解函数的奇偶性、对称性与周期性之间的关系，能够利用函数的性质解决综合性问题】知识梳理15 min.1、周期函数的定义一般地，对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f y =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
显然，若T 是函数的周期，则)0,(≠∈k z k kT 也是)(x f 的周期。
如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。
说明：1、周期函数定义域必是无界的。
2、周期函数不一定都有最小正周期。
【可让学生举出反例，随后教师给出例子：函数()()f x C C=为常数】 推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期；)2()2(Tx f T x f -=+，则)(x f 周期为T ；()f x 的周期为)(x f T ω⇔的周期为ωT。
2、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，即函数)()()(b a C x b f x a f ≠=+++对于定义域中任意x 满足)()()(b a C x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=特例：()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若)()()(可正可负，C b a C x b f x a f ≠=+⋅+，则得)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，所以函数)(x f 的周期是)(2a b T -=（3）分式型，即函数)(x f 满足)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+得)2(1)2(b x f a x f +-=+，进而得1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -=特例：()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； )(11)(x f a x f +-=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.)(11)(x f a x f -=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. )(11)(x f a x f -=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1)(1)()(+-=+x f x f a x f ，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1)(1)()(-+=+x f x f a x f ，则()x f 是以a T 2=为周期的周期函数.1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（4）递推型：)()()(a x f x f a x f --=+（或)2()()(a x f a x f x f ---=），则)(x f 的周期T = 6a （联系数列） ()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；，，满足)0())(()()(≠=+=a x f g a x f x f y 其中)()(1x g x g =-，则)(x f y =是以a 2为周期的周期函数。
沪教版数学高一下册-6.1.2正弦函数和余弦函数的图像和性质 -正弦函数、余弦函数的性质——周期性 课件(共13
只有个别的x值满足:f (xT) f (x)
不能说T是y f (x)的周期.
例如:sin( ) sin ,但是sin( ) sin .
就 是 说不 4 能 2对 x在 定 4义 域 内 的 3每 一 2个 值 使 3
2
sin(x)sinx,因 此不 是 ysinx的 周 期 .
2
2
思考：周期函数的周期唯一吗？
思考：
由诱导公式co1sx(2)co1sx，是否可
3
3
以说 f(x)cos1 x的周期为2π?
3
一Ｔ2般，不使地是得，f (当对x)于x取函c定o数义s13f(域xx)的 ，内如周 的果每期存一。在个其 一值个时周非，期零都应常有为 数
f(fx(+xT))＝cfo(xs)1，x那么co函s数(1 xf(x)就2叫) 做c周os期1 (函x数 6．非) 零常数T叫做3这个函数3的周期． 3
yAsi nx ()或 yAcox s()A (0)x (R ) (0)的周期T是 2 什么？
小结：
1、 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常 数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x) ＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数 T叫做这个函数的周期．
2、正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它们的周期。最小正周期是2π。
3、 函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+ φ),x∈R(其中A,ω, φ为常数，且
A≠0)的周期 T 2
正弦函数的周期性
back
y y=sinx(x∈R)
x
-2
0X
2 X+2π
近五年上海高考分类汇编——函数【教师版本】
近五年上海高考汇编——函数一、 填空题1、（2009年上海高考理14）将函数2642--+=x x y [])60(，∈x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为__________.答案：2arctan3解析：由2642--+=x x y 得：（x －3）2＋（y ＋2）2＝13，[])60(，∈x ，它的图象是以（3，－2）为圆心，13为半径的一段圆弧，设过原点且与曲线C 相切的直线为y ＝kx ，当θ＝0时，k ＝－OCk 1＝23，此时直线的倾的定义，即是一个斜角为β，即tan β＝23，当切线与y 轴重合时，曲线上的点满足函数函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为90°－β，则tan （90°－β）＝23，即θ＝2arctan32、（2009年上海高考文1）函数f(x)=x 3+1的反函数f -1(x)=_____________. 答案：31x -解析：由y ＝x 3+1，得x ＝31-y ，将y 改成x ，x 改成y 可得答案.3、（2010年上海高考理8）对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是 . 答案：（0，-2）解析：f(x)=log (3)a x +的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）4、（2010年上海高考文9）函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 . 答案：（0，-2）解析：法一：函数3()log (3)f x x =+的反函数为33-=xy ，另x=0，有y=-2法二：函数3()log (3)f x x =+图像与x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点为（0，-2） 5、（2011年上海高考理1）函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= . 答案：12x+ 6、（2011年上海高考理13）设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 。
数学上海高考函数与分析(三角函数(二))教师版
4sin x y cos x 2 y 1 ，故存在角 ，使得 16 y 2 sin( x ) 2 y 1 ，即 sin( x )
5 1 ，解得 3 y 。 3 16 y
2
2 y 1 16 y 2
，因为
sin( x ) 1，所以
2
， ,
3 ,2 来求相应的 x 值 2
y sin 2 x 向右平移
个单位，应得 y sin 2( x ) ，而不是 y sin(2 x ) 。 6 6 6
y=sinx
-4 -7 -3 2 -5 2 -2 -3 - 2 -
y
2
1 o -1 y
∴v0 +gLsinα =
2
1 L2 1 2 2 L2 g t + 2 ≥ 2 g 2 t 2 2 =gL 4 t 4 t
运动员从 A 点滑至 O 点，机械守恒有:mgh=
2
1 2 mv0 , 2
∴v0 =2gh,∴L≤
2
v0 2 gh =200(m) g (1 sin ) g (1 sin )
2
a 2 b 2 sin( x ) ；一类是含有三
sin x cos x ，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数或 1 sin x cos x
二次分式函数等。 3、三角函数的单调性 （ 1 ） y A sin(x ) ( A 0, 0) 单 调 性 的 确 定 ， 基 本 方 法 是 将 x 看 作 整 体 ， 如 求 增 区 间 可 由
教学目的
【知识梳理】
1、 三角函数的定义域 （1）定义域是研究其它一切性质的前提。 （2）求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数 大于零、 底数大于零且不等于 1， 同时还要考虑到函数本身的定义域。 可用三角函数图象或三角函数线解不等式 （组） 。 2、三角函数的值域 求三角函数的值域是常见题型.一类是 y a sin x b cos x 型，这要变形成 y 角函数的复合函数，如 y sin x 2cos x ， y
沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题03：函数的基本性质(含答案)
学习目标1.函数、函数的运算；函数的奇偶性、单调性、周期性、函数的最大值或最小值。
2.理解函数的概念，能使用函数的记号)(x f y =表示的函数是x y ，3.会求函数值)(a f ，4.会求简单函数的定义域和值域。
5.理解函数运算意义，会求两个函数的和与积。
6.掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念，7.会求一些简单函数的最大值和最小值。
知识梳理重点1函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),则说f(x)在这个区间上是增函数； ⑴若当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.重点2函数的奇偶性⑴偶函数：设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足⑴定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.⑴满足，或，若时，. ⑴奇函数：设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足⑴定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.b a ,b a ,-y 12+=x y )1,1[-)()(x f x f =-0)()(=--x f x f 0)(≠x f 1)()(=-x f x f )()(x f x f -=-b a ,b a --,3x y =)1,1[-⑴满足，或，若时，. 重点3对称变换：⑴y = f （x ）⑴y =f （x ）⑴y =f （x ）重点4判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：例题分析例1．在R 上定义运算：a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若不等式1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．12-B ．32-C ．12D ．32【答案】D 【详解】由a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则1211x a a x --⎛⎫≥⎪+⎝⎭即(1)(2)(1)1x x a a ---+≥，所以221a a x x --≤-恒成立，在R 上2x x -的最小值为14-， 所以2114a a --≤-，整理可得(21)(23)0a a +-≤， 解得1322a -≤≤， )()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f 0)(≠x f 1)()(-=-x f x f ）（轴对称x f y y -=−−−→−）（轴对称x f y x -=−−−→−）（原点对称x f y --=−−−→−22122212122222121)()()(b x b x x x x x b x b x xf x f x ++++-=+-+=-）（实数a 的最大值为32， 故选：D例2．已知函数()231,0,0x x x x f x e x -⎧-+<=⎨≥⎩，则不等式()()2231f a f a -≥的解集为（ ）A ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B．33,22⎛⎡⎫-+-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．33,22⎡-+⎢⎣⎦【答案】A 【详解】 因为20a ≥， 所以()()()2222222ee 2a a faf a --===，所以()()2231f a fa -≥，即()()231f a f a -≥，易知函数()f x 在R 上单调递减，所以2312a a -≤， 即22310a a -+≥，解得1a ≥或12a ≤. 故选A.跟踪练习1．已知函数()|21|f x x =-，a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，一定成立的是（ ） A ．0a <，0b <，0c < B ．0a <，0b ，0c > C ．22a c -< D ．222a c +<2．已知函数()2()ln 1f x x =+，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ､b ､c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b << C ．c b a >>D ．b c a >>3．已知3()1f x ax bx =++，且f (5)=7，则f (－5)的值是 A ．－5B ．－7C ．5D ．74．设()f x 是定义在R 上且图象为连续不断的偶函数，且当0x >时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有实数x 之和为（ ）A ．5-B ．2-C ．3-D ．8-5．已知函数()f x 的定义域为实数集R ，对x ∀∈R ，有(2)()f x f x +=-成立，且(2)5f =，则(100)f = A ．10B ．5C ．0D ．-56．函数2()ax bf x x+=是定义在(,3][1,)b b -∞-⋃-+∞上的奇函数．若(2)9f =，则+a b 的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．37．已知函数()22x x f x m -=+⋅是奇函数． （I ）求m 的值；（II ）若对任意(0,)x π∈，恒有()2(sin )cos 10f a a x f x ++--≥，求实数a 的取值范围．8．某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位：摄氏度)与时间t (单位：小时)[]0,20t ∈近似地满足函数关系132by t t =-++，其中b 为大棚内一天中保温时段的通风量. （1）当13t ≤时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1C )；（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于17C ，求大棚一天中保温时段通风量的最小值. 9．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t N ∈，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为()p t . （1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？ 10．已知二次函数()()220f x ax x a =->（1）若()f x 在[]0,2的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥．求a 的取值范围．参考答案1．D 【详解】解：对于A ，0a <，0b <，0c <，因为a b c <<，所以0a b c <<<， 而函数()|21|f x x =-在区间(,0)-∞上是减函数， 故()()()f a f b f c >>，与题设矛盾，所以A 不正确； 对于B ，0a <，0b ，0c >，可设1a =-，2b =，3c =， 此时()()35f c f ==为最大值，与题设矛盾，故B 不正确； 对于C ，取0a =，3c =，同样()()35f c f ==为最大值， 与题设矛盾，故C 不正确；对于D ，因为a c <，且()()f a f c >，说明可能如下情况成立()i a 、c 位于函数的减区间1(,)2-∞，此时12a c <<，可得1a c +<，所以222a c +<成立 ()ii a 、c 不在函数的减区间1(,)2-∞，则必有12a c <<，所以()()1221f a a c f c =->-=，化简整理，得222a c +<成立． 综上所述，可得只有D 正确 故选：D ．2．D 【详解】因为()2()ln 1f x x =+，所以定义域为R 且关于原点对称， 又因为()()()()()22ln1ln 1f x x x f x -=-+=+=，所以()f x 为偶函数；当()0,x ∈+∞时，因为21y x =+、ln y x =均单调递增，所以()()2ln 1f x x =+在()0,∞+上也单调递增， 又因为13log 31=-，0.2000.20.21<<=，33log 4log 31>=，所以0.213300.2log 3log 4<<<，所以()()0.21330.2log 3log 4f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以b c a >>，故选：D. 3．A 【详解】解：因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-，所以()()551615f g -=-+=-+=- 故选：A 4．A 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上且图象为连续不断的偶函数，且当0x >时()f x 是单调函数， 所以当0x <时，()f x 是也是单调函数，且函数()f x 的图象关于纵轴对称， 因此由33()044x x f x f x x x --⎛⎫=⇒+= ⎪++⎝⎭或304x x x --=+， 当304x x x -+=+时，可得2530x x +-=，显然4-不是该方程的根， 该方程根的判别式为2541(3)0-⨯⨯->，所以该方程有两个不相等的实根，设为12x x 、，则有125x x +=-， 当304x x x --=+时，可得2330x x ++=，该方程根的判别式为234130-⨯⨯<，故该方程没有实数根，综上所述：满足3()4x f x f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有实数x 之和为5-，故选：A 5．D 【详解】对x ∀∈R ，有(2)()f x f x +=-，所以()()(4)(2)f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦， 所以函数()f x 的周期为4，所以()()(100)42500f f f =⨯+=， 对于(2)()f x f x +=-令0x =可得(2)(0)5f f =-=，所以()05f =-， 即(100)5f =-， 故选：D. 6．A 【详解】函数2()ax bf x x +=是定义在(,3][1,)b b -∞-⋃-+∞上的奇函数，则(3)(1)0b b -+-=，解得2b =．又(2)9f =，则222942a a ⨯+=⇒=，所以6ab +=．故选：A7．（I ）1-；（II ）[)2+∞，． 【详解】（I ）因为函数()22x xf x m -=+⋅的定义域为R ，且是奇函数，所以00(0)21+02f m m -=+⋅==，所以1m =-，所以m 的值为1-； （II ）由（I ）得1()22xx f x =-，所以函数1()22xxf x =-是在R 上的增函数， 所以不等式()2(sin )cos 10f a a x f x ++--≥等价于()2(sin )cos 1f a a x f x +≥---，即()2(sin )cos +1f a a x f x +≥，所以2sin cos +1a a x x +≥，又(0,)x π∈，所以(]sin 0,1x ∈，所以(]1+sin 1,2x ∈，所以原不等式等价于2cos +11+sin x a x≥恒成立，令1+sin t x =，则(]1,2t ∈，所以2cos +11++21+sin x t x t=-，令()1++2g t t t =-，所以()1++2g t t t=-在(]1,2t ∈上单调递减，所以()()()21g g t g ≤<，又()1122++222g =-=，()111++221g =-=，所以()122g t ≤<， 所以实数a 的取值范围为[)2+∞，． 8．（1）6.7C ；（2）256. 【详解】（1）由题设知：113(00013)2y t t t =-+≤≤+，又100(),()2f t tg t t =-=+均单调递减， ⑴y 在013t ≤≤上单调递减，故当13t =时，min 206.73y =≈， ⑴大棚一天中保温时段的最低温度6.7C . （2）由题意，13172by t t =-+≥+且[]0,20,0t b ∈>， ⑴当013t ≤≤时，由（1）知132y t t b =-++递减，故只要1715b≥即可，则255b ≥，当1320t <≤时，132********y t t t t b b =-+=++-≥=++，当且仅当2t =时等号成立，故只要1517≥即可，则256b ≥，若256b =有214(13,20]t ==∈，此时17y =成立.⑴综上，在[]0,20t ∈上，要保持一天中保温时段的最低温度不小于17C ， 大棚一天中保温时段通风量的最小值为256.9．（1）210200200,?210()()1200,1?020t t t p t t N t *⎧-++≤<=∈⎨≤≤⎩；（2）6分钟.【详解】（1）由题意知21200(10),?210()?()1200,?1?020k t t p t t N t *⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩，（k 为常数），因2(2)1200(102)120064560p k k =--=-=，则10k =，所以210200200,?210()()1200,1?020t t t p t t N t *⎧-++≤<=∈⎨≤≤⎩； （2）由6()3360360p t Q t -=-得26(10200200)3360360,?2103840360,1?020t t t t Q t t⎧-++--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，即)3684060(),210(3840360,1020t t tQ t N t t*⎧-+≤<⎪⎪=∈⎨⎪-≤≤⎪⎩， ⑴当210t ≤<时，3684060()8406012120Q t t=-+≤-⨯=，当且仅当6t =等号成立；⑴当1020t ≤≤时，3840360Q t=-在[10，20]上递减，当10t =时Q 取最大值24， 由⑴⑴可知，当发车时间间隔为6t =分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.10．（1）2；（2）[)8,+∞.【详解】由()f x 解析式知：()f x 为开口方向向上，对称轴为1x a =的二次函数， （1）当12a≥，即102a <≤时，()f x 在[]0,2上单调递减， ()()max 00f x f ∴==，不合题意； 当102a <<，即12a >时，()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()(){}max max 0,2f x f f ∴=，又()00f =，()244f a =-，()f x 在[]0,2的最大值为4， ()()max 2444f x f a ∴==-=，解得：2a =；综上所述：2a =.（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥， 则()()max min 2f x f x -≥对[],1x t t ∈+恒成立，⑴当1t a≤时，()f x 在[],1t t +上单调递增， ()()()()max min 1222f x f x f t f t at a ∴-=+-=+-≥， 当1t a≥时，22y at a =+-单调递增， ()min 12222at a a a a a∴+-=⋅+-=，2a ∴≥； ⑴当11t a ≥+，即11t a ≤-时，()f x 在[],1t t +上单调递减， ()()()()max min 1222f x f x f t f t at a ∴-=-+=--+≥， 当11t a≤-时，22y at a =--+单调递减， ()min 122212at a a a a a ⎛⎫∴--+=---+= ⎪⎝⎭，2a ∴≥； ⑴当112t t a <≤+，即1112t a a -≤<时，()f x 在1,t a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,1t a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()()()()2max min 1111212f x f x f t f a t t a a ⎛⎫∴-=+-=+-++≥ ⎪⎝⎭， 当1112t a a -≤<时，又0a >，11111122t a a<+≤+<+， 令1m t =+，则212y am m a =-+在111,12a a ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭上单调递增， 2111112222a a a a⎛⎫⎛⎫∴+-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：8a ≥；⑴当1112t t a +<<+，即11112t a a -<<-时，()f x 在1,t a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,1t a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()()2max min 1122f x f x f t f at t a a ⎛⎫∴-=-=-+≥ ⎪⎝⎭， 当11112t a a -<<-时，212y at t a =-+在1111,2aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 2111112222a a a a⎛⎫⎛⎫∴---+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：8a ≥；综上所述：a 的取值范围为[)8,+∞.。
2019年高三数学 第9课时 函数的周期性复习案 沪教版.doc
2019年高三数学 第9课时 函数的周期性复习案 沪教版 函数的周期性、对称性与函数图像一、知识导学：函数的对称性函数的周期性函数图像的变换二、例题导讲：例1、设函数2()23f x x x =-++，试画出下列函数的图像。
（1）()y f x =；（2）()y f x =-；（3）()y f x =-；（4）()y f x =--；（5）()y f x =（6）()y f x =；（7）(2)y f x =+。
例2、讨论当实数a 取不同值时，关于x 的方程组2411y x x y a ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩ 解的个数。
例3、方程sin lg x x =有_______个实根。
例4、设()y f x =是定义在R 上的函数，求证：(,)A a b 是函数()y f x =图像的一个对称中心的充要条件是：b x a f x f 2)2()(=-+。
例5、已知函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，在定义域上()f x 满足(1)(1)f x f x +=-和(3)(3)f x f x +=-，且(0)0f =，在区间[3,6]上max ()(3.1) 1.5f x f ==。
（1）求()f x 在[0,3]上的最大值及相应的x 的值；（2）求方程()0f x =在区间[0,10]上的根有几个。
【基础训练】1．若函数(1)y f x =-是偶函数，则()y f x =的图象关于直线 对称。
2．已知函数()1x a f x x a -=--图象的对称中心是(4,1)，则a = 。
3．已知函数2221()()21mx mx m f x m R x x -+-=∈-+，则该函数的对称轴方程为 。
4．设()f x 是定义在R 上的以3为周期的函数，若23(1)1,(2)1a f f a -->=+，则实数a 的取值范围是 。
5．若函数22()1x f x x =+，那么111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++=___。
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1 ，则 f x 是以 T 2 a 为周期的周期函数； f x
（4） f x a f x a ，则 f x 是以 T 2 a 为周期的周期函数； （5） f ( x a)
1 f ( x) ，则 f x 是以 T 2 a 为周期的周期函数. 1 f ( x) 1 f ( x) ，则 f x 是以 T 4 a 为周期的周期函数. 1 f ( x)
例 4、定义在 R 上的函数 f x ，对任意 x R ，有 f x y f x y 2 f x f y ，且 f 0 0 ， 1 求证：
3 若存在非零常数 c ,使 f
②函数 f x 是不是周期函数，为什么？
c 0 ，①证明对任意 x R 都有 f x c f x 成立； 2
2
例 3、 （1）定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 2 ，当 x 3,5 时， f x 2 x 4 ，则 （ B
）
B. f sin1 f cos1 ； f cos ； 6 6 2 2 D. f cos 2 f sin 2 C. f cos f sin 3 3 （2）设 f ( x ) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数， f ( x ) 在 (0,3) 内单调递减，且 y f ( x) 的图像关于直线 x 3 对称，
f ( x) 的最小正周期.
2、几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数 y f x 满足对定义域内任一实数 x （其中 a 为常数）,
（1） f x f x a ，则 y f x 是以 T a 为周期的周期函数； （2） f x a f x ，则 f x 是以 T 2 a 为周期的周期函数； （3） f x a
年 课
级：高三 题
辅导科目： 数学
课时数：3
函数的周期性
教学目的
掌握周期函数的定义及最小正周期的意义
教学内容
【知识梳理】
1、周期函数的定义：对于 f ( x) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数 T ，使得 f ( x T ) f ( x) 恒成立，则称函 数 f ( x) 具有周期性，T 叫做 f ( x) 的一个周期，则 kT （ k Z , k 0 ）也是 f ( x) 的周期，所有周期中的最小正数叫
2
（3） f x 是定义在 R 上的以 2 为周期的函数，对 k Z ，用 I k 表示区间 2k 1,2k 1 ， 已知当 x I0 时， f x x2 ，求 f x 在 I k 上的解析式。 解：∵ f ( x) 是周期为 2 的函数，∴ f ( x) f ( x 2) f ( x 2k ) 设 x I K , 则， ( x 2k ) I 0 ，∴ f ( x) f ( x 2k ) ( x 2k )
【典型例题分析】 例 1、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x 2) f ( x) ，则 f (6) 的值为 A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
（ B ）
例 2、 （1）设 f ( x) 的最小正周期 T 2 且 f ( x) 为偶函数,
它在区间 0, 1 上的图象如右图所示的线段 AB ,则在区间 1, 2 上,
（6） f ( x a )
（7） f ( x a)
1 f ( x) ，则 f x 是以 T 4 a 为周期的周期函数. 1 f ( x)
（8）函数 y f ( x) 满足 f (a x) f (a x)（ a 0 ） ，若 f ( x) 为奇函数，则其周期为 T 4 a ，若 f ( x) 为偶函数， 则其周期为 T 2 a . （9）函数 y f ( x) x R 的图象关于直线 x a 和 x b a b 都对称，则函数 f ( x) 是以 2 b a 为周期的周 期函数；
y A
f ( x)
x
2 1
B
1
2 x
0
x （2）已知函数 f ( x) 是周期为 2 的函数，当 1 x 1 时， f ( x) x2 1 ， 当 19 x 21 时， f ( x) 的解析式是 解：∵ f ( x) 是周期为 2 的函数，∴ f ( x) f ( x 2) f ( x 2k ) 设 19 x 21 , 则 1 x 20 1，∴ f ( x) f ( x 20) ( x 20) 1
（10）函数 y f ( x) x R 的图象关于两点 A a, y0 、 B b, y0 a b 都对称，则函数 f ( x) 是以 2 b a 为周 期的周期函数； （11）函数 y f ( x) x R 的图象关于 A a, y0 和直线 x b a b 都对称，则函数 f ( x) 是以 4 b a 为周期 的周期函数；
A. f sin
则下面正确的结论是 (
B
)
A. f (1.5) f (3.5) f (6.5)
B. f (3.5) f (1.5) f (6.5)
D. f (3.5) f (6.5) f (1.5)
C. f (6.5) f (3.5) f (1.5)
f 0 1 ； 2 判断 f x 的奇偶性；