高等数学洛必达法则教学

第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 函数的性质 第三节 洛必达法则
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
第三节 洛必达法则
本节主要内容: 一.未定式 二.洛必达法则
三.其他类型未定式的极限
第三章 导数的应用
一、未定式
第三节 洛必达法则
如果当xx0（或x ）时，两个函数 f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
) )

lim
x
5 2
cos cos
5 2
x x
5 5 22
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
注意： 3) 在很多情况下，要与其它求极限的方法（如
等价无穷小代换或重要极限等）综合使用，
才能达到运算简捷的目的.
用洛必达法则
例如,
而
第三章 导数的应用
例4
求
lim
x0
x sin x x2 sin x
lim
lim
x0 3
x0 (3)
第三章 导数的应用
例2 求 lim x4 16 x2 x 2
解 方法一： ( 0 ) 0
x4 16
4x3
lim
lim 32
x2 x 2
x2 1
方法二：
第三节 洛必达法则
x4 16
( x 2)( x 2)( x2 4)

1
可多次使用洛必达法则，但在反复使用法则时，要时
刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用
法则。
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
例6 求 lim ln tan 3x x0 ln tan 2 x
解
()

lim
x0
ln tan ln tan
3x
2x
lim
x0
tan tan
第三节 洛必达法则
解
(0) 0
x sin x
x sin x
x sin x
1 cos x
lim
x0
x2 sin x
lim x0
x2 x
lim x0
x3
lim x0
3x2
等价无穷小代换
洛必达法则
1 x2

lim
x0
2 3x2
1 6


lim
x0
sin x 6x
lim lnsin ax , x0 ln sin bx
()
lim x e x，0
x
lim x x，00
x0
arcsin
lim(
x0
x
1
x )x2
1
lim (ln 1 )x
x0
x
0
lim( x 1 )
x1 1 x ln x
第三章 导数的应用
2x 3x

3 sec2 2 sec2
3x 2x
3 tan 2x lim
2 x0 tan 3 x
3 2x
lim 1
2 x0 3 x
第三章 导数的应用
例7
求
lim
x
xn ex
解
xn
lim
x
e
x
()

nx n1

lim
x
ex
n(n 1)xn2
则
f (x)
f ( x)
lim
lim
A
xx0 g( x) xx0 g( x)
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
定理的证明
1) 应用洛必达法则时，是通过分子与分母分别求 导数来确定未定式的极限，而不是求商的导数.
2)上述定理对“ 0 ”型或“
”型的极限均成
0

立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型后
第三节 洛必达法则
二、洛必达法则
定理3.3.1（洛必达法则）设函数 f(x) 、g(x) 满足：
（1） lim f ( x) 0, lim g( x) 0 ；
x x0
x x0
（2） f(x) 、g(x)在x0的某去心邻域

N ( x0 ,

)
内可导，
且 g(x) ≠ຫໍສະໝຸດ Baidu；
（3） lim f ( x) A （A为有限数，也可为无穷大）． xx0 g( x)
lim f ( x) (或 lim f ( x) )
xx0 g( x)
x g( x)
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
（1） 0 , （2） 0 , 0
（3） 00 , 0 ,1
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
例如,
lim tan x , x0 x
(0) 0
lim
lim
x2 x 2 x2
x2
( x 2)( x2 4)
lim
x2
1
32
第三章 导数的应用
例3 求 lim sin 5x x sin 2 x
第三节 洛必达法则
解
(0)
0
sin 5x lim x sin 2 x

lim
x
(sin (sin
5 2
x x
解
()

lim x sin x lim 1 cos x x x sin x x 1 cos x
不存在()
洛必达法则失效！
lim
x sin x

1 sin x
lim
lim x
2ex
L
n!

lim
x
nex
0
第三节 洛必达法则
使用n次洛必 达法则
第三章 导数的应用
例8
求 lim x
ln x x
( >0)
解
()
1
ln x
lim
x
x

lim
x

x x 1
1

lim
x
x
0
第三节 洛必达法则
才能使用洛必达法则。
第三章 导数的应用
例1 求 lim sin 2x x0 3x (0) 0
第三节 洛必达法则
解 lim sin 2x x0 3x
(sin 2x)
2cos 2x
lim x0
(3 x )'
lim x0
3
2 3
不是未定式不能用洛必达法则 !
2cos 2x
(2cos 2x)
第三章 导数的应用
注意 4)若
不存在()
第三节 洛必达法则
洛必达法则失效！
例如, lim x sin x x x
1 cos x lim x 1
极限不存在
lim (1 sin x ) 1
x
x
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
例9 求 lim x sin x x x sin x

lim
x0
x 6x

1 6
第三章 导数的应用
arctan x
例5 求 lim 2 x
1
第三节 洛必达法则
解
(0) x 0
lim
x

2
arctan
1 x
x

lim
x

1
1 x
2

1 x2

lim
x
x2 1 x2

lim
x
2x 2x