第一讲：求线和圆的方程方法总结

第一讲 求直线和圆的方程方法总结

※求直线方程的若干方法：

直线是数学中最常见的图形,直线方程数学中最常用方程,该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查的题型和方法也多样，这里总结复习几种不同的求直线方程的方法. 【关健词】直线方程 方法 一、知识要点概述:

1、直线的方程、方程的直线概念；

2、直线方程形式

（1）点斜式：直线过点00(,)x y 斜率为k ，直线方程：00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴直线； （2）斜截式：直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，直线方程：y kx b =+,它不包括垂直于x 轴直线； （3）两点式：直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，直线方程：1

21

121x x x x y y y y --=

--，它不包括垂直于坐标轴的直线；

（4）截距式：直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,直线方程：

1=+b

y

a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；

（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)的形式. 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.

直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；

直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.

如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 二、解题方法指导:

1、求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解直接写出直线方程 设直线方程的一些常用技巧：

（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；

（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；

（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；

（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.

（6）经过两条直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 的交点的直线系方程为：

λ+++111C y B x A 0)(222=++C y B x A （λ为参数）.

2、具体方法有：

⑴利用公式求直线方程；⑵通过直线系求直线方程；⑶借助相关点求直线方程——轨迹法； ⑷利用参数求直线方程；⑸通过分析结构求直线方程. 三、范例剖析 1、直接法

例1、直线l 在y 轴上的截距为3，且倾斜角α的正弦值为

4

5

，求直线l 的方程.

解：

4sin 5α=

，3cos 5α=±，∴直线的斜率43

k =± 故所求直线的方程为4

33

y x =±

+，即4390x y -+=或4390x y +-= 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法.同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在[0,)π内，从而cos α有两个解. 2、待定系数法（公式法）

例2、过点P (2，1）作直线l 交y x ,正半轴于AB 两点，当||||PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.

解法1：设直线l 的方程为：)0(),2(1≠-=-k x k y

令y ＝0解得k x 12-

=；令x ＝0，解得k y 21-=，∴A （k

1

2-，0），B （0，k 21-）， ∴||||PB PA ⋅＝)4)(11(22k k ++4248)1(4822

=⨯+≥++=k

k

当且仅当12

=k 即1±=k 时，||||PB PA ⋅取到最小值.又根据题意0

方法2：由题设，可令直线l 为：1(2)y k x -=-，分别令y =0和x =0 可得21

(,0)k A k

-，

B （0，1-2k ）.∴2221

||||1(2)4(121)k PA PB k k

-⋅=+-+-- 442)2(2)1(22

2

22222==≥+=k k k k k k

当且仅当12

=k 即1k =±时，||PA PB ⋅取最小值4.

又

0k >∴k =-1，这时直线l 的方程是x +y -3=0.

方法3：设直线l 方程为1=+b y a x ，l 过（2，1）点∴112=+b a ∴2

-=a a

b

∴2

2

||||(2)14(1)PA PB a b ⋅=-++-8)2(4)2(428)2(4)2(42

222+--≥+-+

-=a a a a 488=+=（以下略）.

评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1

的情形.

引申1：过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ∆AOB 的面积最小时的直线l 的方程.

y

B

P(2,1)

O A

l 过点P （2，1）

221442(2)22a a a a -+=⋅--14(

2)22

a a =++- 14

[(2)4]22

a a =-++-14]42

≥=

4

评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法.这里选择了截距式方程.

引申2：在本例条件下，求求直线l 在两坐标轴截距之和的最小值及其此时直线l 的方程. （参考数学试题精编P 54） 3、直线系法：

直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程.

例3. 求过02321=+-

y x l ：

.

(*)0)243()232(=--++-y x y x λ

即022)43()32(=-+--++λλλy x 因为所求直线与044=-+y x 平行，所以1

4

3432λ

λ--=

+

(*)，得:4、相关点法

:

利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法.

例4、

.

解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x ，y ）关于直线l

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=⋅--=++-+⋅130********x x y

y y y x x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=5354535

953

5400y x y y x x