一类含参数的实二次型

Ｉ Ｉ
１ Ｏ Ｏ
；
Ｏ
Ｏ
一
０
；
Ｏ
…
ｌ
一
＋ ｊ ） ｘ ａ ｘ ｊ
一
２ Ｏ
Ｏ ０ Ｏ ；
Ｏ
Ｏ
…
总是不定 的． 证明 由定理 １ ， 对任何参数 ， 咒 （ ≥２ ） 元实二次型
ｆ （ ｘ ｌ ， Ｘ ． ２ ， ， ・ ・ ・ ， ｘ ｎ ）
一
（ 一１ ） 倍加到第 １ ， ３ ， ４ ， …， 萝 ０ 上， 得
０
—
一
１
Ｏ
０
：
●
…
Ｏ ０
１
…
Fra Baidu bibliotek
Ａ４ — Ｏ
：
●
・
・ ・
０
：
●
Ｏ
Ｏ
…
０
由于 Ａ 与 最 后 一 个 矩 阵 Ａ 合 同 ， 所 以 ｚ 可见
把Ａ 的第 ２ 行加到第 １ 行， 再把第 ２ 列加到 二次 型 ｆ （ ｘ ， ｚ 。 ， …， Ｘ ， ） 的典 范形 式 是 ｚ ； 一
０ ０
●
Ａ２ ＝
一
２
Ｏ
（ ｎ一 １ ）
Ｏ
Ｏ
…
Ｏ
依 次 把 Ａ 第 ２ 行 的 丢 ＋ ２ ） ， 一 ２ ， 一 ３ ， … ，
ｆ （ ｘ ｌ ， Ｘ ２ ， …， Ｘ ）
：
一
（ ｎ －１ ） 倍加到第 １ ， ３ ， ４ ， …， 行上 ， 得
Ｏ
Ｏ
Ａ
８
…
０
把 Ａ ｓ 第 １ 行 的 一 号 倍 加 到 第 ２ 行 ， 再 把 第 １ 型 ｆ （ ｘ ｌ ， ２ ， …， Ｘ ＂ ） ～ 列 的 一 号 倍 加 到 第 ２ 列 ， 得 ∑ ∑ｎ 一 （
— － ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 【
…
一
２ ｎ
…
一
（ ｎ 一１ ）
依次把 Ａ 的第 １ 列的一２ ， 一３ ， …， 一 倍加 到第 ２ ， ３ ， …， ７ ／ ＂ 列上， 得
＋２
—
标的差叫做 ｆ （ ｘ １ ， ２ － － ＇ ） 的符号差． 引理 ｌ ［ 。 ］ 设 他元 实二 次型 ，（ ｌ ’ ２ ，
…， ） 的秩为 ｒ ， 正惯 性指标 为 Ｐ ． 则ｆ （ Ｘ ｌ ， Ｘ ｚ ， …， ｚ ） 是不定的当且仅当 Ｏ ＜ ＜ｒ ． 定理 １ 对任何参数 ， （ ≥２ ） 元实二次
型
一
—１
Ｏ
一
２ … 一 （ 一 １ ）
０ ０
●
１
・ ・ ・ ・ ・ ・
第３ ２卷第 ２期
２ ０ １ ３ 年２ 月
数学教学研究
５ ３
一
类 含 参数 的 实二 次 型
朱敏 燕 ，李旭 东
７ ３ ０ ０ ３ ０ ；
（ １ ． 兰 州市第二 中学 ，甘 肃 兰州
２ ． 兰州城 市学 院 数学学 院，甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
摘 要： 讨 论一 类 含 参 数 的７ ｌ （ ≥ ２ ） 元实 二 次 型∑ ， ∑ （ ＋ｉ ＋ｊ ） ｘ ｌ ｘ ｉ ， 证明 其 秩等于２ ，
—
１
０
０
０
Ｏ
Ｏ
Ｏ
５ ４
数学教学研 究
第３ ２卷第 ２期
２ ｏ １ ３年 ２月
依 次 把 Ａ 。 第 ２ 列 的 吉 （ ＋ ２ ） ， 一 ２ ， 一 ３ ， … ， 接 着 对 第 ２ 行 乘 彦 厶 ， 第 ２ 列 乘 彦 厶 得
正、 负惯性指标都等于 １ ， 符号差等于 Ｏ ， 均与参数 无关， 从而证明这类二次型是不定的．
关键 词 ： 实二 次 型 ； 秩； 惯性指标 ； 符号差 ； 不 定二 次型
中图分类 号 ： ０１ ５ １ ． ２
二次型的理论在数学 和物理的许多分支
＋２ ２ ＋３
２ ＋３ 蛾— ＿ ４
第 １ 列， 得
一
２ １
一
１
Ｏ Ｏ
：
●
…
０
ｆ （ ｘ ｌ ， Ｘ ２ ， …， Ｘ ， ）
一
—
…
０
Ｏ
：
●
Ａ５ 一 Ｏ
：
●
∑ ∑
＋汁 ） 五 ｘ ｊ
…
’
的秩等于 ２ ， 正、 负惯性指标都等于 １ ， 从而符
号差等于 Ｏ ， 均与参数 无关． 推论 １ 对任何参数 ， （ ≥２ ） 元实二次
Ａ ＋２
２
—
—
∑ ∑： ； （ ＋ ＋ ） ． Ｔ ｉ Ｘ
Ａ３ 一
１ —２ ０
０
的秩等于 ２ ， 正、 负惯性指标都等于 １ ， 从而符 号差等于 ０ ， 均与参数 无关．
证明 二 次型 ｆ （ ｘ ， ２ ， …， Ｘ ） 的矩 阵
是
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － ０ １ — １ ０
…
， ３ ， …， 行上 ， 得 定义 １ Ｅ 在秩等于 ｒ 的实二次型 （ ｚ ， 到第 ２
城一 ＋（ ｎ ＋１ ）
；
ｉ ＋ｚ ２ ＋…＋ ； 一 １ 一…一 中， 正平方项的个数 Ｐ叫做 ｆ（ ｘ ｌ ， ｚ ， …， ）
的正惯性指标 ， 负平方项 的个数 ｒ — 叫做 厂 （ ｚ ， 。 ， …， 五 。 ） 的负惯性指标 ， 正、 负惯性指
３ ＋４ ６ ＋５
… 琅＋（ Ｄ … ２ ｒ ａ ＋（ ， ２ ）
中都有应用． 由于二次型的重要性 ， 在高等代
数中通常是把二次型从多项式部分抽 出来用
瓠＋４
瓯＋５
瓤＋６
…
＋（ ｌ ３ ）
Ｄ
；
， ｎ ＋（ ｔ ｒ Ｈ）
；
；
７ ：
ｉ
矩阵作 为工具专 门研究 的． 本 文讨论一类含 参数的实二次型的秩 、 惯性指标 、 符号差．
ｚ ’ ． ． ・ ， Ｘ ） 的典范形式
＋（ ” ＋２ ） 轨 ＋（ ３ ） …
＾ ＋（ ， 曲
依次把 Ａ 的第 １ 行 的一２ ， 一３ ， …， 倍加 ＿ ． 一